Viscosity and Stoke's Law and Terminal Velocity Questions in Gujarati

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ $8$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \Rightarrow R = 2r$
ટર્મિનલ વેગ $v_t$ નું સૂત્ર $v_t = \frac{2r^2 g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ છે,જે સૂચવે છે કે $v_t \propto r^2$.
ધારો કે નાના ટીપાનો ટર્મિનલ વેગ $v_1$ છે અને મોટા ટીપાનો ટર્મિનલ વેગ $v_2$ છે.
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$
$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 10 \ cm/s = 40 \ cm/s$.

(C) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $v$ ટર્મિનલ વેગથી ગતિ કરતા ગોળાકાર પદાર્થ પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $F = 6 \pi \eta r v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા પદાર્થ માટે,ટર્મિનલ વેગ $v$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $v \propto r^2$.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F \propto r \cdot r^2 = r^3$.
ગોળાનું કદ $V$ એ તેની ત્રિજ્યાના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(V \propto r^3)$,આપણને $F \propto V$ મળે છે.
તેથી,જો દડાનું કદ બમણું કરવામાં આવે $(V' = 2V)$,તો તેના પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ પણ બમણું થશે $(F' = 2F)$.

(D) પગલું $1$: દડો ગ્લિસરીનમાં પ્રવેશતા પહેલા તેનો વેગ શોધો। $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u = 0$, $g = 9.8 \,m/s^2$, અને $h = 1.5 \,m$:
$v_i^2 = 2 \times 9.8 \times 1.5 = 29.4 \,m^2/s^2$.
પગલું $2$: હવા માં $1.5 \,m$ પડવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે। $h = \frac{1}{2}gt_1^2 \implies 1.5 = 0.5 \times 9.8 \times t_1^2 \implies t_1^2 = \frac{3}{9.8} \approx 0.306 \implies t_1 \approx 0.55 \,s$.
પગલું $3$: ગ્લિસરીનમાં વિતાવેલો સમય $t_2 = 1.5 - 0.55 = 0.95 \,s$ છે।
પગલું $4$: ગ્લિસરીનમાં, દડો પ્રતિપ્રવેગ $a = -2.66 \,m/s^2$ અનુભવે છે। ગ્લિસરીન ભાગ માટે $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h_{gly} = v_i t_2 - \frac{1}{2} |a| t_2^2$.
$v_i = \sqrt{29.4} \approx 5.42 \,m/s$.
$h_{gly} = (5.42 \times 0.95) - (0.5 \times 2.66 \times 0.95^2) = 5.15 - 1.20 = 3.95 \,m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, $3.2 \,m$ એ સૌથી નજીકનો ભૌતિક અંદાજ છે।

(C) ગોળાકાર વરસાદના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$v_T = \frac{2(\sigma - \rho) r^2 g}{9 \eta}$
જ્યાં $\sigma$ એ ટીપાંની ઘનતા છે,$\rho$ એ હવાની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
બંને ટીપાં માટે $\sigma, \rho, g,$ અને $\eta$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$v_T \propto r^2$ --- $(i)$
ગોળાકાર ટીપાંનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = 4 \pi r^2$
આનો અર્થ એ છે કે:
$A \propto r^2$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ટર્મિનલ વેગના સીધા પ્રમાણમાં છે:
$A \propto v_T$
તેથી,તેમના સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમના ટર્મિનલ વેગના ગુણોત્તર જેટલો જ થશે:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{v_{T1}}{v_{T2}} = \frac{16}{9}$
આમ,ગુણોત્તર $16: 9$ છે.

(A) જ્યારે ટીપું સંતુલિત હોય, ત્યારે વિદ્યુત બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $qE = mg$ $(1)$.
જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ટીપું $v$ ટર્મિનલ વેગથી નીચે પડે છે. સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ, ડ્રેગ ફોર્સ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $mg = 6 \pi \eta r v$ $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી, $qE = 6 \pi \eta r v$, તેથી $r = \frac{qE}{6 \pi \eta v}$.
ગોળાકાર ટીપાનું દળ $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ છે.
$m$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $qE = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{qE}{6 \pi \eta v} \right)^3 \rho g$.
$q$ માટે ઉકેલતા: $q^2 = \frac{162 \pi^2 \eta^3 v^3}{E^2 \rho g}$.
કિંમતો મૂકતા: $q^2 = \frac{162 \times \pi^2 \times (1.8 \times 10^{-5})^3 \times (2 \times 10^{-3})^3}{(\frac{81}{7} \pi \times 10^5)^2 \times 900 \times 9.8}$.
આની ગણતરી કરતા $q^2 = 64 \times 10^{-38} \,C^2$ મળે છે, તેથી $q = 8 \times 10^{-19} \,C$.

(A) સૌ પ્રથમ,દડાને ડૂબવા માટે લાગતો સરેરાશ સમય $t_{\text{avg}}$ શોધો: $t_{\text{avg}} = \frac{2.75 + 2.65 + 2.70}{3} = 2.7 \,s$.
ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{h}{t_{\text{avg}}} = \frac{0.9}{2.7} = \frac{1}{3} \,m/s$.
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2g(\rho_s - \rho_l)}{9\eta}$ છે,જ્યાં $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
$\eta$ માટે સૂત્ર: $\eta = \frac{2r^2g(\rho_s - \rho_l)}{9v_t}$.
અહીં $r = \sqrt{3} \times 10^{-3} \,m$,તેથી $r^2 = 3 \times 10^{-6} \,m^2$.
આપેલ છે કે $(\rho_s - \rho_l) = 7000 \,kg/m^3$ અને $g = 10 \,m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = \frac{2 \times (3 \times 10^{-6}) \times 10 \times 7000}{9 \times (1/3)} = \frac{6 \times 10^{-5} \times 7000}{3} = 2 \times 10^{-5} \times 7000 = 0.14 \,Pa \cdot s$.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી, $8$ નાના ટીપાંનું કદ મોટા ટીપાંના કદ જેટલું થાય:
$8 \cdot (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$.
ટર્મિનલ વેગ $v_t$ નું સૂત્ર $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ છે, જે સૂચવે છે કે $v_t \propto r^2$.
ધારો કે $v_1$ એ નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે અને $v_2$ એ મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે.
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$.
આપેલ છે કે $v_1 = 10 \,cm \,s^{-1}$, તેથી $v_2 = 4 \cdot 10 \,cm \,s^{-1} = 40 \,cm \,s^{-1}$.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 1 \times 10^{-4} \,m$, દડાની ઘનતા $\sigma = 10^4 \,kg \,m^{-3}$, પાણીની ઘનતા $\delta = 10^3 \,kg \,m^{-3}$, પાણીની સ્નિગ્ધતા $\eta = 9.8 \times 10^{-4} \,Pa \cdot s$.
પાણીમાં દડાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{2}{9} \frac{g r^2}{\eta} (\sigma - \delta)$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{2}{9} \times \frac{9.8 \times (10^{-4})^2}{9.8 \times 10^{-4}} \times (10^4 - 10^3)$
$v = \frac{2}{9} \times 10^{-4} \times 9000 = 20 \,m/s$
પાણીમાં પ્રવેશ્યા પછી વેગ બદલાતો ન હોવાથી, $h$ ઊંચાઈ પરથી પડ્યા પછી પ્રાપ્ત થયેલ વેગ ટર્મિનલ વેગ $v$ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{v^2}{2g} = \frac{20^2}{2 \times 9.8} = \frac{400}{19.6} \approx 20.4 \,m$.

(D) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 0.05 \,cm = 0.05 \times 10^{-2} \,m = 5 \times 10^{-4} \,m$.
સ્ટીલની ઘનતા $\rho = 7.8 \,g/cm^3 = 7800 \,kg/m^3$.
પાણીની ઘનતા $\sigma = 1 \,g/cm^3 = 1000 \,kg/m^3$.
સ્નિગ્ધતા $\eta = 0.001 \,Pa \cdot s$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 9.8 \,m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$v_T = \frac{2}{9} \times \frac{(5 \times 10^{-4})^2 \times 9.8 \times (7800 - 1000)}{0.001}$.
ગણતરી કરતા $v_T = 3.77 \,m/s$ મળે છે.

(D) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા $R$ ત્રિજ્યાના ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{2}{9} \frac{R^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$
જ્યાં $R$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે, $\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે, $\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે, $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
આપેલ સિસ્ટમ માટે $\rho, \sigma, g,$ અને $\eta$ અચળ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ:
$v \propto R^2$
તેથી, $\frac{v}{R^2} = \text{અચળ}$.

(B) આપેલ છે,વરસાદના ટીપાની ત્રિજ્યા $= r$.
વરસાદનું ટીપું સ્થિર સ્થિતિમાંથી પડવાનું શરૂ કરે છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
વરસાદના ટીપાનો ટર્મિનલ વેગ $v = \frac{2 g r^2(\rho - \sigma)}{9 \eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ વરસાદના ટીપાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ હવાની ઘનતા છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ટીપાં પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m v^2$.
$m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ અને $v = \frac{2 g r^2(\rho - \sigma)}{9 \eta}$ મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \rho \right) \left( \frac{2 g r^2(\rho - \sigma)}{9 \eta} \right)^2$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$W = \frac{2}{3} \pi r^3 \rho \cdot \frac{4 g^2 r^4(\rho - \sigma)^2}{81 \eta^2} = \frac{8 \pi \rho g^2(\rho - \sigma)^2}{243 \eta^2} r^7$.
અન્ય તમામ પદો અચળ હોવાથી,$W \propto r^7$.

(B) ધારો કે ગોળાઓની ત્રિજ્યા $r_A = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$ અને $r_B = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$ છે. ગોળાઓની ઘનતા $\rho_s = 2800 \ kg \cdot m^{-3}$ અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_f = 1.3 \times 1000 = 1300 \ kg \cdot m^{-3}$ છે. સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta = 1 \ Pa \cdot s$ છે.
ટર્મિનલ વેગ $v$ પર,સિસ્ટમ પરનું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે. સિસ્ટમ પર લાગતા બળો નીચેની તરફ કુલ વજન અને ઉપરની તરફ કુલ ઉત્પ્લાવક બળ અને કુલ સ્નિગ્ધતા અવરોધ છે.
કુલ વજન $W = (m_A + m_B)g = \frac{4}{3} \pi (r_A^3 + r_B^3) \rho_s g$.
કુલ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \frac{4}{3} \pi (r_A^3 + r_B^3) \rho_f g$.
કુલ સ્નિગ્ધતા અવરોધ $F_v = 6 \pi \eta r_A v + 6 \pi \eta r_B v = 6 \pi \eta v (r_A + r_B)$.
બળોને સરખાવતા: $W = F_B + F_v \Rightarrow \frac{4}{3} \pi (r_A^3 + r_B^3) g (\rho_s - \rho_f) = 6 \pi \eta v (r_A + r_B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{3} \pi (8 + 64) \times 10^{-9} \times 10 \times (2800 - 1300) = 6 \pi \times 1 \times v \times (2 + 4) \times 10^{-3}$.
$\frac{4}{3} \times 72 \times 10^{-8} \times 1500 = 6 \times 6 \times 10^{-3} \times v$.
$96 \times 10^{-5} \times 1500 = 36 \times 10^{-3} \times v \Rightarrow 1.44 = 0.036 \times v$.
$v = \frac{1.44}{0.036} = 40 \times 10^{-3} \ m \cdot s^{-1} = 0.04 \ m \cdot s^{-1} = 4 \ cm \cdot s^{-1}$.

(C) ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho-\sigma) g}{\eta}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉત્પ્લાવક બળને અવગણતા,$\sigma \approx 0$,તેથી $v \propto r^2$.
જ્યારે $r$ ત્રિજ્યાના બે ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 2r^3 \Rightarrow R = 2^{1/3} r$.
ધારો કે મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v'$ છે.
$\frac{v'}{v} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2^{1/3} r)^2}{r^2} = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4}$.
તેથી,$v' = \sqrt[3]{4} v$.

(C) ધારો કે નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,મોટા ટીપાંનું કદ આઠ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$
ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2}{\eta} (\rho - \sigma) g$
હવાની ઉત્પ્લાવકતાને અવગણતા,$\sigma \approx 0$,તેથી $v_t \propto r^2$.
ધારો કે $v_1 = 6 \ cm \ s^{-1}$ એ નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે અને $v_2$ એ મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે.
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$
$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 6 \ cm \ s^{-1} = 24 \ cm \ s^{-1}$.

(D) ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ એ $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ટીપાંની ત્રિજ્યા છે.
આમ,$v_T \propto r^2$.
આપેલ છે કે ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{T_1}}{v_{T_2}} = \frac{9}{4}$ છે.
કારણ કે $\frac{v_{T_1}}{v_{T_2}} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$,તેથી $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
ગોળાકાર ટીપાંનું કદ $V$ એ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે,તેથી $V \propto r^3$.
તેમના કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}$ થાય છે.

(A) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ સમાન હોવાથી,$v \propto r^2$.
આપેલ દળ $M = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ હોવાથી,$r \propto M^{1/3}$ થાય.
તેથી,$v \propto (M^{1/3})^2 = M^{2/3}$.
આમ,$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{M_1}{M_2}\right)^{2/3}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.5}{v_2} = \left(\frac{20 \times 10^{-3}}{54 \times 10^{-2}}\right)^{2/3}$.
$\frac{0.5}{v_2} = \left(\frac{20 \times 10^{-3}}{540 \times 10^{-3}}\right)^{2/3} = \left(\frac{20}{540}\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{27}\right)^{2/3}$.
$\frac{0.5}{v_2} = (\frac{1}{3^3})^{2/3} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
$v_2 = 0.5 \times 9 = 4.5 \ ms^{-1}$.

(C) પ્રવાહીમાં પડતા $r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$,જેની પ્રવાહીની ઘનતા $\sigma$ અને સ્નિગ્ધતા $\eta$ છે,તે સૂત્ર $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગોળા એક જ ધાતુના બનેલા છે અને એક જ પ્રવાહીમાં પડે છે,તેથી $\rho, \sigma, g,$ અને $\eta$ અચળ છે. આમ,$v_t \propto r^2$.
દળ $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ હોવાથી,$r^3 \propto m$,જેનો અર્થ છે કે $r \propto m^{1/3}$.
આને $v_t$ ના પ્રમાણસરતામાં મૂકતા,આપણને $v_t \propto (m^{1/3})^2 = m^{2/3}$ મળે છે.
ધારો કે $m_1 = 8 \ g$ માટે $v_1 = 3 \ cm s^{-1}$ અને $m_2 = 64 \ g$ માટે ટર્મિનલ વેગ $v_2$ છે.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^{2/3} = \left( \frac{64}{8} \right)^{2/3} = (8)^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$.
તેથી,$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 3 \ cm s^{-1} = 12 \ cm s^{-1}$.

(B) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં $v$ ટર્મિનલ વેગથી ગતિ કરતા $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર પદાર્થ પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $F = 6 \pi \eta r v$ છે.
આપેલ છે:
વ્યાસ $d = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
ટર્મિનલ વેગ $v = 0.7 \ ms^{-1}$.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta = 2 \times 10^{-5} \ Pa \cdot s$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 6 \times 3.14 \times (2 \times 10^{-5}) \times (0.5 \times 10^{-3}) \times 0.7$
$F = 6 \times 3.14 \times 10^{-5} \times 0.5 \times 10^{-3} \times 0.7$
$F = 6 \times 0.5 \times 0.7 \times 3.14 \times 10^{-8}$
$F = 2.1 \times 3.14 \times 10^{-8}$
$F = 6.594 \times 10^{-8} \ N \approx 6.6 \times 10^{-8} \ N$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ ઘન ગોળો પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ગોળા પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય છે.
ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F_{W})$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_{B})$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધ બળ $(F_{V})$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે (ગતિનો વિરોધ કરે છે).
કુલ બળ શૂન્ય હોવાથી,નીચેની તરફ લાગતું બળ એ ઉપરની તરફ લાગતા બળોના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$F_{W} = F_{V} + F_{B}$.

(A) ટર્મિનલ વેગ $(v_t)$ સ્ટોક્સના નિયમ પરથી મેળવેલા સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.02 \ mm = 2 \times 10^{-5} \ m$,સ્નિગ્ધતા $\eta = 1.8 \times 10^{-5} \ N \ s \ m^{-2}$,પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$,હવાની ઘનતા $\sigma \approx 0$,અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_t = \frac{2 \times (2 \times 10^{-5})^2 \times 1000 \times 10}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}$.
$v_t = \frac{2 \times 4 \times 10^{-10} \times 10^4}{16.2 \times 10^{-5}} = \frac{8 \times 10^{-6}}{16.2 \times 10^{-5}} = \frac{80}{16.2} \times 10^{-2} \approx 4.938 \times 10^{-2} \ m \ s^{-1}$.
$cm \ s^{-1}$ માં રૂપાંતર કરતા: $v_t \approx 4.938 \times 10^{-2} \times 100 \ cm \ s^{-1} = 4.938 \ cm \ s^{-1}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $4.9 \ cm \ s^{-1}$ મળે છે.

(B) પ્રવાહીમાં ઉપર તરફ ગતિ કરતા ગોળાકાર પરપોટા માટે ટર્મિનલ વેગ $V_T$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V_T = \frac{2(\rho - \sigma) r^2 g}{9 \eta}$
જ્યાં:
$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા $(900 \ kg \ m^{-3})$ છે,
$\sigma$ એ હવાની ઘનતા $(1.293 \ kg \ m^{-3})$ છે,
$r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા $(d/2 = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m)$ છે,
$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $(9 \ m \ s^{-2})$ છે,
$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(0.85 \ N \ s \ m^{-2})$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V_T = \frac{2(900 - 1.293) \times (0.5 \times 10^{-3})^2 \times 9}{9 \times 0.85}$
$V_T = \frac{2(898.707) \times 0.25 \times 10^{-6}}{0.85}$
$V_T \approx 0.528 \times 10^{-3} \ m \ s^{-1} \approx 0.5 \ mm \ s^{-1}$.

(A) આપેલ છે: તાંબાના દડાની ત્રિજ્યા $r = 3.0 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$, તેલની સ્નિગ્ધતા $\eta = 1 \,kg / ms$, તેલની ઘનતા $\rho = 1.5 \times 10^3 \,kg / m^3$, તાંબાની ઘનતા $\sigma = 9 \times 10^3 \,kg / m^3$, અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \,m / s^2$.
ટર્મિનલ વેગ $v_T$ માટેનું સૂત્ર સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ છે:
$v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2(\sigma - \rho)g}{\eta}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_T = \frac{2}{9} \times \frac{(3 \times 10^{-3})^2 \times (9 \times 10^3 - 1.5 \times 10^3) \times 10}{1}$
$v_T = \frac{2}{9} \times (9 \times 10^{-6}) \times (7.5 \times 10^3) \times 10$
$v_T = 2 \times 10^{-6} \times 7.5 \times 10^4$
$v_T = 15 \times 10^{-2} \,m / s$
આમ, ટર્મિનલ વેગ $15 \times 10^{-2} \,m / s$ છે.

(A) પ્રવાહીમાં ઉપર આવતા ગેસના પરપોટાનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$ નીચે મુજબના અનુભવજન્ય સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_t = \frac{g d^2 \rho_f}{18 \eta}$
આપેલ છે:
વ્યાસ $d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$
પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_f = 13.6 \times 10^3 \,kg/m^3$
સ્નિગ્ધતા $\eta = 1.5 \,cP = 1.5 \times 10^{-3} \,Pa \cdot s$
$g = 10 \,m/s^2$
સૂત્ર $v_t = \frac{g d^2 \rho_f}{18 \eta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_t = \frac{10 \times (2 \times 10^{-3})^2 \times 13.6 \times 10^3}{18 \times 1.5 \times 10^{-3}}$
$v_t = \frac{10 \times 4 \times 10^{-6} \times 13.6 \times 10^3}{27 \times 10^{-3}}$
$v_t = \frac{0.544}{0.027} \approx 20.14 \,m/s$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,દર આશરે $20 \,m/s$ છે.

(C) ધારો કે નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,મોટા ટીપાંનું કદ આઠ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$
ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2}{\eta} (\rho - \sigma) g$
હવાની ઉત્પ્લાવકતાને અવગણતા,$\sigma \approx 0$,તેથી $v_t \propto r^2$.
ધારો કે $v_1 = 6 \,cm \,s^{-1}$ એ નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે અને $v_2$ એ મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે.
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$
$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 6 \,cm \,s^{-1} = 24 \,cm \,s^{-1}$.

(C) પ્રવાહીમાં ઉપર તરફ ગતિ કરતા હવાના પરપોટાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \frac{2}{9} \frac{r^2 \rho g}{\eta}$.
અહીં,$r = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$,$\rho = 1.5 \ g/cc = 1.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,$g = 9.8 \ m/s^2$,અને $v = 0.25 \ cm/s = 0.25 \times 10^{-2} \ m/s$.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\eta = \frac{2}{9} \cdot \frac{r^2 \rho g}{v}$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = \frac{2}{9} \cdot \frac{(10^{-2})^2 \cdot (1.5 \times 10^3) \cdot 9.8}{0.25 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2}{9} \cdot \frac{10^{-4} \cdot 1500 \cdot 9.8}{0.0025} = \frac{2}{9} \cdot \frac{1.47}{0.0025} = \frac{2}{9} \cdot 588 \approx 130.6 \ Pa \ s$.
આમ,સ્નિગ્ધતા ગુણાંક આશરે $130 \ Pa \ s$ છે.

(C) આપેલ છે કે,
વરસાદનો ટર્મિનલ વેગ, $v = 2 \,m/s$
વરસાદની ઊંડાઈ, $h = 100 \,cm = 1 \,m$
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ, $A = 1 \,m^2$
પાણીનું કદ, $V = A \times h = 1 \,m^2 \times 1 \,m = 1 \,m^3$
પાણીની ઘનતા, $\rho = 10^3 \,kg/m^3$
પાણીનું દળ, $m = V \times \rho = 1 \,m^3 \times 10^3 \,kg/m^3 = 10^3 \,kg$
સપાટી પર વરસાદ દ્વારા સ્થાનાંતરિત ઉર્જા એ તે વિસ્તાર પર પડતા વરસાદની ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
ગતિ ઉર્જા, $K = \frac{1}{2} m v^2$
$K = \frac{1}{2} \times 10^3 \,kg \times (2 \,m/s)^2$
$K = \frac{1}{2} \times 10^3 \times 4 = 2 \times 10^3 \,J$
તેથી, દરેક ચોરસ મીટર દીઠ સ્થાનાંતરિત ઉર્જા $2 \times 10^3 \,J$ છે.

(C) જ્યારે એક નાનો ગોળાકાર પદાર્થ સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં નીચે પડે છે,ત્યારે તે ત્રણ બળો અનુભવે છે: નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન),ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ અને ઉપરની તરફ લાગતું સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ.
ટર્મિનલ વેગ $v$ પર,પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થનો પરિણામી પ્રવેગ શૂન્ય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{\text{net}} = ma$. પ્રવેગ $a = 0$ હોવાથી,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = 0$ થાય છે.
તેથી,પદાર્થનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ અને સ્નિગ્ધતાના અવરોધક બળના સરવાળા દ્વારા સંપૂર્ણપણે સંતુલિત થાય છે.

(B) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા $r$ ત્રિજ્યા અને $d$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v_{T} = \frac{2r^{2}g(d-\rho)}{9\eta}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $g, d, \rho$ અને $\eta$ બંને ગોળાઓ માટે અચળ હોવાથી,$v_{T} \propto r^{2}$ થાય.
ગોળાનું દળ $m = \frac{4}{3}\pi r^{3}d$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r \propto m^{1/3}$.
આ કિંમત ટર્મિનલ વેગના સમપ્રમાણતાના સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $v_{T} \propto (m^{1/3})^{2} = m^{2/3}$ મળે છે.
તેથી,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \left(\frac{m_{1}}{m_{2}}\right)^{2/3}$ થશે.
આપેલ છે કે $\frac{m_{1}}{m_{2}} = 8$,તેથી $\frac{v_{1}}{v_{2}} = (8)^{2/3} = (2^{3})^{2/3} = 2^{2} = 4$.

(C) ત્રિજ્યા $r$ અને ઘનતા $\rho_{s}$ ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થનો,$\rho_{L}$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $v_{T}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{T} = \frac{2r^{2}(\rho_{s} - \rho_{L})g}{9\eta}$
અન્ય તમામ પરિબળો $(r, \rho_{s}, \rho_{L}, g)$ અચળ છે તેમ ધારતા,ટર્મિનલ વેગ અને સ્નિગ્ધતા વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$v_{T} \propto \frac{1}{\eta}$
આ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જ્યાં જેમ $\eta$ વધે છે તેમ $v_{T}$ ઘટે છે. તેથી,સાચો આલેખ તે છે જે વ્યસ્ત સંબંધ દર્શાવે છે.

(B) ટર્મિનલ વેગ $v$ માટેનું સૂત્ર $v = \frac{2}{9} r^{2} \frac{(\rho - \sigma)}{\eta} g$ છે.
હવાની ઉત્પ્લાવકતાને અવગણતા,આપણે $\sigma \approx 0$ લઈએ છીએ.
સૂત્ર $v = \frac{2}{9} \frac{\rho}{\eta} r^{2} g$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 1.8 \times 10^{-3} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.9 \times 10^{-3} \ m$.
ઘનતા $\rho = 10^{3} \ kg \ m^{-3}$,સ્નિગ્ધતા $\eta = 1.8 \times 10^{-5} \ N \ s \ m^{-2}$,અને $g = 9.8 \ m \ s^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{2}{9} \times \frac{10^{3}}{1.8 \times 10^{-5}} \times (0.9 \times 10^{-3})^{2} \times 9.8$.
$v = \frac{2}{9} \times \frac{10^{3}}{1.8 \times 10^{-5}} \times (0.81 \times 10^{-6}) \times 9.8$.
ગણતરી કરતા $v = 98 \ m \ s^{-1}$ મળે છે.

(D) ગેસનો પરપોટો $\rho = 1.75 \ g/cm^3$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં $v_T = 0.35 \ cm/s$ ના અચળ ટર્મિનલ વેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે.
ગેસની ઘનતા અવગણ્ય હોવાથી,પરપોટા પર લાગતા બળો ઉત્પ્લાવક બળ $F_b$ (ઉપરની તરફ) અને સ્નિગ્ધતા બળ $F_V$ (નીચેની તરફ) છે.
ટર્મિનલ વેગ પર,કુલ બળ શૂન્ય હોય છે,તેથી $F_V = F_b$.
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,સ્નિગ્ધતા બળ $F_V = 6 \pi \eta r v_T$ છે,જ્યાં $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = V \rho g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $6 \pi \eta r v_T = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$.
$\eta$ માટે ઉકેલતા: $\eta = \frac{2}{9} \frac{r^2 \rho g}{v_T}$.
આપેલ છે: $r = 1 \ cm$,$\rho = 1.75 \ g/cm^3$,$v_T = 0.35 \ cm/s$,$g = 980 \ cm/s^2$.
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{(1)^2 \times 1.75 \times 980}{0.35} = \frac{2}{9} \times 4900 \approx 1088.8 \ \text{poise} \approx 1089 \ \text{poise}$.

(C) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,જ્યારે $a$ ત્રિજ્યાનો એક નાનો ગોળો $\eta$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક ધરાવતા સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં એક અવરોધક બળ (સ્નિગ્ધ બળ) લાગે છે.
આ સ્નિગ્ધ બળ $F$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$F = 6 \pi \eta a v$
આ બળ ગોળાના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.

(C) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
જ્યાં $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
ગોળાઓ સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી અને સમાન પ્રવાહીમાં પડતા હોવાથી,$\rho, \sigma, g,$ અને $\eta$ અચળ રહે છે.
તેથી,ટર્મિનલ વેગ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $v \propto r^2$.
$R$ અને $3R$ ત્રિજ્યા માટે,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{R^2}{(3R)^2} = \frac{R^2}{9R^2} = \frac{1}{9}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:9$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનો સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે અને $\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
ગોળાઓ એક જ ધાતુના હોવાથી,$\rho$ અચળ છે,તેથી $v_t \propto r^2$.
ગોળાનું દળ $M = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ છે,જેનો અર્થ છે કે $M \propto r^3$,અથવા $r \propto M^{1/3}$.
આને ટર્મિનલ વેગના પ્રમાણમાં મૂકતા,આપણને $v_t \propto (M^{1/3})^2 = M^{2/3}$ મળે છે.
આપેલ દળ $M_1 = M$ અને $M_2 = 8M$ માટે,તેમના ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{M_1}{M_2}\right)^{2/3}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{v}{nv} = \left(\frac{M}{8M}\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,$\frac{1}{n} = \frac{1}{4}$,જે દર્શાવે છે કે $n = 4$.

(C) $r$ ત્રિજ્યા અને $\sigma$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનો $\rho$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $v_T = \frac{2r^2(\sigma - \rho)g}{9\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ સમાન હોવાથી,$m = \frac{4}{3}\pi r^3 \sigma$,જેનો અર્થ છે કે $\sigma \propto \frac{1}{r^3}$.
ટર્મિનલ વેગના સૂત્રમાં $\sigma = \frac{m}{\frac{4}{3}\pi r^3}$ મૂકતા:
$v_T = \frac{2r^2}{9\eta} \left( \frac{m}{\frac{4}{3}\pi r^3} - \rho \right)g = \frac{2g}{9\eta} \left( \frac{3m}{4\pi r} - r^2\rho \right)$.
જ્યારે ગોળાની ઘનતા પ્રવાહીની ઘનતા કરતા ઘણી વધારે હોય $(\sigma \gg \rho)$,ત્યારે $v_T \propto r^2 \sigma$ થાય.
$r^3 \sigma = \text{અચળ}$ હોવાથી,$\sigma \propto r^{-3}$ મળે.
તેથી,$v_T \propto r^2 \cdot r^{-3} = r^{-1} = \frac{1}{r}$.
આમ,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2}{r_1}$.

(A) ટર્મિનલ વેગ $(V_T)$ માટેનું સૂત્ર સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_T = \frac{2r^2g}{9\eta}(\rho_b - \rho_\ell)$.
આપેલ છે:
વ્યાસ $d = 2 \ mm \implies r = 1 \ mm = 0.1 \ cm$.
ગોળાની ઘનતા $\rho_b = 10.5 \ g/cm^3$.
ગ્લિસરીનની ઘનતા $\rho_\ell = 1.5 \ g/cm^3$.
સ્નિગ્ધતા $\eta = 10 \ \text{Poise} = 10 \ g/(cm \cdot s)$ ($CGS$ એકમમાં).
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2 = 1000 \ cm/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$V_T = \frac{2 \times (0.1)^2 \times 1000}{9 \times 10} \times (10.5 - 1.5)$
$V_T = \frac{2 \times 0.01 \times 1000}{90} \times 9$
$V_T = \frac{20}{90} \times 9 = 2 \ cm/s$.

(C) ટર્મિનલ વેગનું સૂત્ર $V_T = \frac{2r^2g}{9\eta}(\sigma - \rho)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_T \propto r^2$.
ધારો કે $R_1$ એ દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા છે અને $R_2$ એ મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા છે.
કારણ કે $64$ નાના ટીપાં જોડાઈને એક મોટું ટીપું બનાવે છે,તેથી કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$64 \times (\frac{4}{3} \pi R_1^3) = \frac{4}{3} \pi R_2^3$
$R_2^3 = 64 R_1^3 \implies R_2 = 4R_1$.
હવે,$V_T \propto r^2$ ના પ્રમાણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(V_T)_1}{(V_T)_2} = (\frac{R_1}{R_2})^2 = (\frac{R_1}{4R_1})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.
આપેલ છે કે $(V_T)_1 = 10 \ cm/s$,તેથી:
$\frac{10}{(V_T)_2} = \frac{1}{16} \implies (V_T)_2 = 160 \ cm/s$.

(B) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં ગતિ કરતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$.
અહીં,$r$ એ દડાની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ દડાના દ્રવ્યની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
દડાનું દ્રવ્ય અને પ્રવાહી સમાન હોવાથી,$v_T \propto r^2$ થાય.
આપેલ છે: $r_1 = 6 \ mm$,$v_{T1} = 20 \ cm/s$,અને $r_2 = 3 \ mm$.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_{T2}}{v_{T1}} = (\frac{r_2}{r_1})^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_{T2}}{20} = (\frac{3}{6})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
તેથી,$v_{T2} = \frac{20}{4} = 5 \ cm/s$.

(B) ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $v_0$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_0 = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\sigma - \rho)$
સ્નિગ્ધતા $\eta$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\eta = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{v_0} (\sigma - \rho)$
કારણ કે $\sigma, \rho$ અને $g$ અચળ છે અને તેમાં ત્રુટિ નહિવત છે,તેથી $\eta$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $r$ અને $v_0$ ચલો દ્વારા નક્કી થાય છે.
ગુણાકાર અને ભાગાકાર માટે ત્રુટિ પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ: $\frac{\Delta \eta}{\eta} = 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta v_0}{v_0}$ થાય છે.

(B) પ્રવાહીમાં ઉપર તરફ ગતિ કરતા હવાના પરપોટાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \frac{2 r^2 g (\rho_l - \rho_g)}{9 \eta}$.
હવાની ઘનતા $\rho_g$ એ પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l$ ની સરખામણીમાં નગણ્ય હોવાથી,આપણે $\rho_l = 2000 \text{ kg/m}^3$ લઈશું.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 2 \text{ mm} \implies r = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$,$v = 0.5 \text{ cm/s} = 0.5 \times 10^{-2} \text{ m/s}$,અને $g = 10 \text{ m/s}^2$.
સ્નિગ્ધતા $\eta$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\eta = \frac{2 r^2 g \rho_l}{9 v}$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = \frac{2 \times (10^{-3})^2 \times 10 \times 2000}{9 \times 0.5 \times 10^{-2}} = \frac{2 \times 10^{-6} \times 20000}{4.5 \times 10^{-2}} = \frac{0.04}{0.045} \approx 0.888 \text{ Pa.s}$.
$1 \text{ Pa.s} = 10 \text{ Poise}$ હોવાથી,$\eta = 0.888 \times 10 = 8.88 \text{ Poise}$.

(D) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર ટીપાનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$,જ્યાં $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$\sigma$ એ વાયુની ઘનતા છે,અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા છે.
અહીં $v_t \propto r^2$ હોવાથી,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{R^2}{r^2}$ મળે,જ્યાં $R$ એ મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ નાના ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
જ્યારે $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા ટીપાને $n = 64$ સમાન નાના ટીપાંમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 64r^3 \Rightarrow R = 4r \Rightarrow \frac{R}{r} = 4$.
વેગના ગુણોત્તરમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (4)^2 = 16$.