Viscosity and Stoke's Law and Terminal Velocity Questions in Gujarati

(A) જ્યારે દડો અચળ ટર્મિનલ વેગથી નીચે પડે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
દડા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દડાનું વજન નીચેની તરફ: $W = Mg = \rho Vg$ (જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે).
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ ઉપરની તરફ: $F_B = \rho_0 Vg$.
$3$. સ્નિગ્ધ બળ ઉપરની તરફ: $F_{vis}$.
સંતુલન માટે,નીચેની તરફ લાગતું બળ ઉપરની તરફ લાગતા બળોના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ:
$Mg = F_{vis} + F_B$
$F_{vis} = Mg - F_B$
$F_{vis} = \rho Vg - \rho_0 Vg$
$F_{vis} = \rho Vg \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)$
કારણ કે $M = \rho V$,તેથી આપણે સમીકરણમાં $M$ મૂકતા:
$F_{vis} = Mg \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)$

(B) પરપોટો અચળ ટર્મિનલ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $B$ એ નીચેની તરફ લાગતા સ્નિગ્ધતા બળ $F_v$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$B = F_v$
ઉત્પ્લાવક બળ માટે આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત અને સ્નિગ્ધતા બળ માટે સ્ટોક્સનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{4}{3} \pi R^3 \rho g = 6 \pi \eta R v$
જ્યાં $R$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ દ્રાવણની ઘનતા છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,અને $v$ એ ટર્મિનલ વેગ છે.
આપેલ છે:
વ્યાસ $d = 6\,mm \implies R = 3\,mm = 3 \times 10^{-3}\,m$
ઘનતા $\rho = 1750\,kg/m^3$
વેગ $v = 0.35\,cm/s = 0.35 \times 10^{-2}\,m/s$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$
$\eta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\eta = \frac{2 R^2 \rho g}{9 v}$
કિંમતો મૂકતા:
$\eta = \frac{2 \times (3 \times 10^{-3})^2 \times 1750 \times 10}{9 \times 0.35 \times 10^{-2}}$
$\eta = \frac{2 \times 9 \times 10^{-6} \times 17500}{9 \times 0.35 \times 10^{-2}}$
$\eta = \frac{2 \times 10^{-6} \times 17500}{0.35 \times 10^{-2}}$
$\eta = \frac{0.035}{0.0035} = 10\,Pa\cdot s$

(B) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં ટર્મિનલ વેગથી નીચે પડતા નાના ટીપાં માટે,ટર્મિનલ વેગ $v$ એ $v = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $v \propto r^2$.
ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને $8$ નાના ટીપાં ભેગા થઈને બનતા મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$,જે આપણને $R^3 = 8r^3$ આપે છે,તેથી $R = 2r$.
પ્રમાણસરતા $v \propto r^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{v_1}{v_2} = (\frac{r}{R})^2$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{10}{v_2} = (\frac{r}{2r})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
તેથી,$v_2 = 10 \times 4 = 40\,cm/s$.

(D) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $V_t$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_t \propto r^2$.
તેથી,સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V_t}{V_t} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 5 \ mm$ અને $\Delta r = 0.1 \ mm$ આપેલ છે,તેથી પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta V_t}{V_t} \times 100\% = 2 \times \left( \frac{0.1}{5} \right) \times 100\% = 4\,\%$ થાય છે.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
કારણ $R$ જણાવે છે કે $V_t$ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,જે ખોટું છે કારણ કે $V_t \propto r^2$. તેથી,કારણ $R$ ખોટું છે.

(B) જ્યારે સ્ટીલના દડાને ગ્લિસરીન જેવા ચીકણા પ્રવાહીમાં નાખવામાં આવે છે,ત્યારે તે ત્રણ બળો અનુભવે છે: નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$,ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$,અને ઉપરની તરફ સ્નિગ્ધતા બળ $(F_v = 6 \pi \eta r v)$.
ગતિનું સમીકરણ છે: $mg - F_B - F_v = ma$
બળોના સૂત્રો મૂકતા: $(\rho \frac{4}{3} \pi r^3) g - (\rho_L \frac{4}{3} \pi r^3) g - 6 \pi \eta r v = m \frac{dv}{dt}$
ધારો કે $K_1 = \frac{4}{3} \pi r^3 g (\rho - \rho_L) / m$ અને $K_2 = \frac{6 \pi \eta r}{m}$. તેથી સમીકરણ બને છે: $\frac{dv}{dt} = K_1 - K_2 v$
શરૂઆતની શરતો ($t=0$ સમયે $v=0$) સાથે આ વિકલ સમીકરણનું સંકલન કરતા: $\int_0^v \frac{dv}{K_1 - K_2 v} = \int_0^t dt$
આનાથી મળે છે: $v = \frac{K_1}{K_2} (1 - e^{-K_2 t})$
જેમ $t \to \infty$,તેમ વેગ અચળ ટર્મિનલ વેગ $v_T = \frac{K_1}{K_2}$ તરફ જાય છે. $v$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ એક ઘાતાંકીય વક્ર છે જે ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે અને અનંતસ્પર્શી રીતે ટર્મિનલ વેગની નજીક પહોંચે છે,જે આલેખ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(A) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર દડાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F_{drag} = 6 \pi \eta r v$.
માધ્યમની ઘનતા અવગણ્ય હોવાથી,ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) અવગણ્ય છે. ટર્મિનલ વેગ પર,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સ્નિગ્ધ અવરોધક બળ જેટલું હોય છે:
$Mg = 6 \pi \eta r v$
આપેલ છે કે દડાનું દળ $M$ અચળ છે,તેથી:
$v \propto \frac{1}{r}$
ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા માટે ટર્મિનલ વેગ $v$ છે અને $r' = 2r$ ત્રિજ્યા માટે ટર્મિનલ વેગ $v'$ છે.
તેથી,$\frac{v'}{v} = \frac{r}{r'} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$.
આમ,$v' = \frac{v}{2}$.

(D) જ્યારે દડો અચળ વેગ (ટર્મિનલ વેગ) થી નીચે પડે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
દડા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દડાનું વજન $(W = mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધ બળ $(F_v)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
અચળ વેગની શરત મુજબ,પ્રવેગ $a = 0$ છે.
તેથી,$mg - F_B - F_v = 0$,જેનો અર્થ છે કે $F_v = mg - F_B$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે: $F_B = V \rho_0 g$,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
કદ $V = \frac{m}{\rho}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $F_B = \frac{m}{\rho} \rho_0 g$.
આ કિંમતને $F_v$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_v = mg - \frac{m}{\rho} \rho_0 g$
$F_v = mg \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)$.

(B) ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V_t$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_t = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$.
આ સૂત્ર પરથી, $V_t \propto r^2$, જ્યાં $r$ એ ટીપાંની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે $r$ એ નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ $8$ નાના ટીપાં જોડાઈને બનતા મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા છે.
કદનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી, મોટા ટીપાંનું કદ $8$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
$R^3 = 8r^3 \Rightarrow R = 2r$.
હવે, નવા ટર્મિનલ વેગ $V_t'$ અને પ્રારંભિક ટર્મિનલ વેગ $V_t$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{V_t'}{V_t} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$.
તેથી, $V_t' = 4 \times V_t = 4 \times 10 \,cm/s = 40 \,cm/s$.

(C) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં ગોળાકાર દડાનો ટર્મિનલ વેગ $V_T$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_T = \frac{2}{9} \frac{R^2 g (\rho_B - \rho_L)}{\eta}$.
આપેલ છે: $R = 10^{-4} \,m$, $\rho_B = 10^5 \,kg/m^3$, $\rho_L = 10^3 \,kg/m^3$, $\eta = 9.8 \times 10^{-6} \,N s/m^2$, અને $g = 9.8 \,m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $V_T = \frac{2}{9} \times \frac{(10^{-4})^2 \times 9.8 \times (10^5 - 10^3)}{9.8 \times 10^{-6}}$.
$V_T = \frac{2}{9} \times \frac{10^{-8} \times 9.8 \times 99000}{9.8 \times 10^{-6}} = \frac{2}{9} \times 10^{-2} \times 99000 = 220 \,m/s$.
પાણીમાં પ્રવેશ્યા પછી વેગ અચળ રહેતો હોવાથી, $h$ ઊંચાઈએથી પડ્યા પછીનો વેગ ટર્મિનલ વેગ જેટલો હોવો જોઈએ: $V = \sqrt{2gh} = V_T$.
$h = \frac{V_T^2}{2g} = \frac{(220)^2}{2 \times 9.8} = \frac{48400}{19.6} \approx 2469 \,m$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સૌથી નજીકની કિંમત $2518 \,m$ છે.

(D) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \frac{2gr^2(\rho - \sigma)}{9\eta}$,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{r_P^2(\rho_P - \sigma_1) \eta_2}{r_Q^2(\rho_Q - \sigma_2) \eta_1}$.
આપેલ કિંમતો:
$\rho_P = \rho_Q = 8 \ g \ cm^{-3}$
$r_P = 0.5 \ cm$,$r_Q = 0.25 \ cm$
$\sigma_1 = 0.8 \ g \ cm^{-3}$,$\sigma_2 = 1.6 \ g \ cm^{-3}$
$\eta_1 = 3 \ \text{poiseuille}$,$\eta_2 = 2 \ \text{poiseuille}$
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{(0.5)^2 \times (8 - 0.8) \times 2}{(0.25)^2 \times (8 - 1.6) \times 3}$
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{0.25 \times 7.2 \times 2}{0.0625 \times 6.4 \times 3}$
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{3.6}{1.2} = 3$.
આમ,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $3$ છે.

(D) ધારો કે દરેક ગોળાનું કદ $V$ છે. તંત્ર સંતુલનમાં રહે અને દોરી ખેંચાયેલી રહે તે માટે,તંત્ર પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$P$ એ $L_1$ માં છે અને $Q$ એ $L_2$ માં છે,અને દોરી ખેંચાયેલી હોવાથી,$P$ એ $L_1$ કરતા હલકો હોવો જોઈએ $(\rho_1 < \sigma_1)$ અને $Q$ એ $L_2$ કરતા ભારે હોવો જોઈએ $(\rho_2 > \sigma_2)$.
સંતુલનની શરત છે: $(V\rho_1 g + V\rho_2 g) = (V\sigma_1 g + V\sigma_2 g)$,જે સૂચવે છે કે $\rho_1 + \rho_2 = \sigma_1 + \sigma_2$.
ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2g}{9\eta}(\rho_{sphere} - \sigma_{liquid})$.
$L_2$ માં ગોળા $P$ માટે: $\overrightarrow{V}_{P} = \frac{2r^2g}{9\eta_2}(\rho_1 - \sigma_2)$. કારણ કે $\rho_1 < \sigma_1 < \sigma_2$,$\overrightarrow{V}_{P}$ ઉપરની તરફ (ઋણ) છે.
$L_1$ માં ગોળા $Q$ માટે: $\overrightarrow{V}_{Q} = \frac{2r^2g}{9\eta_1}(\rho_2 - \sigma_1)$. કારણ કે $\rho_2 > \sigma_2 > \sigma_1$,$\overrightarrow{V}_{Q}$ નીચેની તરફ (ધન) છે.
આમ,$|\overrightarrow{V}_{P}| = \frac{2r^2g}{9\eta_2}(\sigma_2 - \rho_1)$ અને $|\overrightarrow{V}_{Q}| = \frac{2r^2g}{9\eta_1}(\rho_2 - \sigma_1)$.
$\rho_2 - \sigma_1 = \sigma_2 - \rho_1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|} = \frac{\eta_1}{\eta_2}$ મળે છે.
કારણ કે $\overrightarrow{V}_{P}$ ઉપરની તરફ છે અને $\overrightarrow{V}_{Q}$ નીચેની તરફ છે,તેથી $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} < 0$.

(B) જ્યારે દડો અચળ ટર્મિનલ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય $(a = 0)$ હોય છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,દડા પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય છે.
દડા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દડાનું વજન $(Mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધ બળ $(f)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
બળોને સંતુલિત કરતા:
$Mg = F_B + f$
$f = Mg - F_B$
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_{glycerine} g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
કારણ કે $M = V \rho_{ball}$,તેથી $V = \frac{M}{\rho_{ball}}$.
આપેલ છે કે $\rho_{glycerine} = \frac{1}{2} \rho_{ball}$,તેથી:
$F_B = V (\frac{1}{2} \rho_{ball}) g = \frac{1}{2} (V \rho_{ball}) g = \frac{Mg}{2}$.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f = Mg - \frac{Mg}{2} = \frac{Mg}{2}$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $d$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાકાર દડાનો $\rho$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $V_T = \frac{2}{9} R^2 \frac{g}{\eta} (d - \rho)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે $V_T \propto R^2$,જે પરવલય દર્શાવે છે.
વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે $V_T$ એ $R^2$ પર આધાર રાખે છે; તેથી,અલગ-અલગ વ્યાસના કારણે ટર્મિનલ વેગ અલગ-અલગ હોય છે.
વિધાન $C$ સાચું છે કારણ કે સ્નિગ્ધતા $\eta$ તાપમાન પર ખૂબ આધાર રાખે છે.
વિધાન $D$ સાચું છે કારણ કે $V_T$ માપીને અને $\eta$ જાણીને,પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ નક્કી કરી શકાય છે.
વિધાન $E$ ખોટું છે કારણ કે $\eta$ એ પ્રવાહીનો ગુણધર્મ છે અને તે દડાની પ્રારંભિક ઝડપના આધારે બદલાતું નથી.
તેથી,વિધાનો $A, C$ અને $D$ સાચા છે.

(D) ટર્મિનલ વેગ $v_T$ માટેનું સૂત્ર સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ છે: $v_T = \frac{2}{9} \frac{(\rho_s - \rho_o) r^2 g}{\eta}$,જ્યાં $\rho_s$ એ સ્ટીલની ઘનતા છે,$\rho_o$ એ તેલની ઘનતા છે,$r$ એ દડાની ત્રિજ્યા છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
આપેલ છે:
વ્યાસ $d = 3.6 \ mm = 3.6 \times 10^{-3} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 1.8 \times 10^{-3} \ m$.
$v_T = 2.45 \times 10^{-2} \ m/s$.
$\rho_s = 7825 \ kg/m^3$.
$\rho_o = 925 \ kg/m^3$.
$g = 9.8 \ m/s^2$.
$\eta$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\eta = \frac{2}{9} \frac{(\rho_s - \rho_o) r^2 g}{v_T}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{(7825 - 925) \times (1.8 \times 10^{-3})^2 \times 9.8}{2.45 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{6900 \times 3.24 \times 10^{-6} \times 9.8}{2.45 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{21902.4 \times 10^{-6}}{2.45 \times 10^{-2}} \approx 1.99 \ Pa \cdot s$.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. જ્યારે ટીપાં ભળી જાય ત્યારે કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$ થાય.
આનું સાદું રૂપ આપતા $R^3 = 8r^3$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $R = 2r$.
ટીપાનો ટર્મિનલ વેગ $V_T$ એ $V_T = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે દર્શાવે છે કે $V_T \propto r^2$.
તેથી,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = (\frac{R}{r})^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{V_2}{6} = (\frac{2r}{r})^2 = 4$.
આમ,$V_2 = 6 \times 4 = 24 \ cm/s$.

(C) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $V_T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $V_T \propto r^2$,જ્યાં $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $r_1 = 3 \ mm$,$V_{T1} = 10 \ cm/s$,અને $r_2 = 6 \ mm$.
ગુણોત્તરની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{V_{T2}}{V_{T1}} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_{T2}}{10} = \left( \frac{6}{3} \right)^2$.
$\frac{V_{T2}}{10} = (2)^2 = 4$.
$V_{T2} = 4 \times 10 = 40 \ cm/s$.

(A) ટર્મિનલ વેગ $v_T$ માટેનું સૂત્ર $v_T = \frac{2}{9} \frac{g(\rho - \sigma)r^2}{\eta}$ છે.
સ્નિગ્ધતા $\eta$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $\eta = \frac{2}{9} \frac{g(\rho - \sigma)r^2}{v_T}$.
આપેલ કિંમતો: $g = 980 \ cm \ s^{-2}$,$\rho = 8 \ g \ cm^{-3}$,$\sigma = 1.3 \ g \ cm^{-3}$,$r = 2 \ mm = 0.2 \ cm$,અને $v_T = 4 \ cm \ s^{-1}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{980 \times (8 - 1.3) \times (0.2)^2}{4}$.
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{980 \times 6.7 \times 0.04}{4}$.
$\eta = \frac{2}{9} \times 980 \times 6.7 \times 0.01$.
$\eta = \frac{131.32}{9} \approx 14.59 \ \text{Poise} \approx 14.6 \ \text{Poise}$.

(C) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_t \propto r^2$.
ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
જ્યારે $8$ નાના ટીપાં જોડાઈને એક મોટું ટીપું બનાવે છે ત્યારે કદ અચળ રહે છે:
$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 8r^3 \Rightarrow R = 2r$.
હવે,$v_t \propto r^2$ ના પ્રમાણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{v_{big}}{v_{small}} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$.
આપેલ છે કે $v_{small} = 16 \ cm/s$,તેથી મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ:
$v_{big} = 4 \times 16 \ cm/s = 64 \ cm/s$.

(B) દડાની ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{\pi/2}{\frac{4}{3}\pi(0.5)^3} = \frac{3}{8 \times 0.125} = 3 \ gm/cc$ છે.
ટર્મિનલ વેગ $V_T = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{50 \ cm}{5 \ s} = 10 \ cm/s$ છે.
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ, ટર્મિનલ વેગ $V_T = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ છે, જ્યાં $\sigma = 1.2 \ gm/cc$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g = 980 \ cm/s^2$ છે.
સ્નિગ્ધતા $\eta$ માટે સૂત્ર: $\eta = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{V_T}$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = \frac{2}{9} \times \frac{(0.5)^2 \times (3 - 1.2) \times 980}{10}$.
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{0.25 \times 1.8 \times 980}{10} = \frac{2}{9} \times \frac{0.45 \times 980}{10} = \frac{2}{9} \times 44.1 = 9.8 \ \text{poise}$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થનો $\sigma$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $V_t = \frac{2}{9} \frac{R^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\eta$ એ પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
બંને ગોળાઓ સમાન વેગથી નીચે પડતા હોવાથી,$V_{t1} = V_{t2}$ થાય.
તેથી,$R_1^2(\rho_1 - \sigma) = R_2^2(\rho_2 - \sigma)$.
ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર માટે સૂત્ર: $\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}$.
અહીં $\rho_1 = 8 \times 10^3 \ kg/m^3$,$\rho_2 = 11 \times 10^3 \ kg/m^3$,અને $\sigma = 3 \times 10^3 \ kg/m^3$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{11 \times 10^3 - 3 \times 10^3}{8 \times 10^3 - 3 \times 10^3} = \frac{8 \times 10^3}{5 \times 10^3} = \frac{8}{5}$.
તેથી,$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{8}{5}}$.

(A) ધારો કે દડાનું કદ $V$ છે,દડાની ઘનતા $\rho_1$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_2$ છે. આપેલ છે કે $\rho_2 = 4\rho_1$.
અચળ વેગથી ગતિ કરતા દડા પર લાગતા બળો ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$,દડાનું વજન $(W)$ અને સ્નિગ્ધતાનું ઘર્ષણ બળ $(F_v)$ છે.
વેગ અચળ હોવાથી,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થાય: $F_B = W + F_v$.
તેથી,ઘર્ષણ બળ $F_v = F_B - W$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_2 g = V(4\rho_1)g = 4V\rho_1 g$.
વજન $W = V \rho_1 g$.
આમ,$F_v = 4V\rho_1 g - V\rho_1 g = 3V\rho_1 g$.
ઘર્ષણ બળ અને વજનનો ગુણોત્તર $\frac{F_v}{W} = \frac{3V\rho_1 g}{V\rho_1 g} = \frac{3}{1} = 3:1$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનો $\sigma$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $V_T$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$V_T = \frac{2}{9} \frac{R^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$
અહીં $R$,$g$ અને $\eta$ બંને ગોળાઓ માટે અચળ હોવાથી,ટર્મિનલ વેગ એ ઘનતાના તફાવતના સમપ્રમાણમાં છે:
$V \propto (\rho - \sigma)$
તેથી,પ્રથમ ગોળા માટે: $V \propto (\rho_1 - \sigma)$
બીજા ગોળા માટે જેનો ટર્મિનલ વેગ $V'$ છે: $V' \propto (\rho_2 - \sigma)$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{V'}{V} = \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}$
$V' = V \left[ \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma} \right]$

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V \propto r^2$ હોવાથી,$\frac{V_{big}}{V_{small}} = \frac{R^2}{r^2}$ મળે.
આપેલ છે કે $n$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,તેથી કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R^3 = nr^3$ અથવા $R = n^{1/3}r$.
વેગના ગુણોત્તરમાં $R^2 = n^{2/3}r^2$ મૂકતા,આપણને $V_{big} = V \cdot \frac{R^2}{r^2}$ મળે છે.

(D) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર વરસાદના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$,જ્યાં $\rho$ એ ટીપાંની ઘનતા છે,$\sigma$ એ હવાની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
બંને ટીપાં માટે આ તમામ પરિમાણો અચળ હોવાથી,આપણને $v_t \propto r^2$ મળે છે.
ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{t1}}{v_{t2}} = \frac{9}{4}$ આપેલ છે,તેથી આપણે લખી શકીએ: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{4}$.
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
ગોળાકાર ટીપાંનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $V \propto r^3$.
તેમના કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8}$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) જ્યારે દડો અચળ ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
દડા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજનબળ $(W = mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધતા બળ $(F_v)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,$F_v + F_B = W$,તેથી $F_v = W - F_B$.
વજનબળ $W = mg$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત ગ્લિસરીનના વજન જેટલું હોય છે: $F_B = V d_2 g$,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
$m = V d_1$ હોવાથી,$V = m/d_1$ મળે.
$V$ ની કિંમત ઉત્પ્લાવક બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F_B = (m/d_1) d_2 g = mg(d_2/d_1)$.
તેથી,સ્નિગ્ધતા બળ $F_v = mg - mg(d_2/d_1) = mg(1 - d_2/d_1)$.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી, મોટા ટીપાંનું કદ $125$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 125 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 125 r^3 \implies R = 5r$.
ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે દર્શાવે છે કે $v_t \propto r^2$.
ધારો કે નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v$ છે અને મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V$ છે.
$\frac{V}{v} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (5)^2 = 25$.
આપેલ છે કે $v = 4 \,cm/s$, તેથી $V = 25 \times 4 \,cm/s = 100 \,cm/s$.
મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં રૂપાંતર કરતા: $100 \,cm/s = 1 \,m/s$.

(C) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$\rho$ ઘનતા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતો ગોળો જ્યારે $\rho_L$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં પડે છે,ત્યારે તેનો ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \rho_L)$ થાય છે.
અહીં બંને ગોળાઓ સમાન ટર્મિનલ ઝડપથી પડે છે,તેથી: $r_1^2 (\rho_1 - \rho_L) = r_2^2 (\rho_2 - \rho_L)$.
ત્રિજ્યાઓના ગુણોત્તર માટે: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\rho_2 - \rho_L}{\rho_1 - \rho_L}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{11 \times 10^3 - 2 \times 10^3}{8 \times 10^3 - 2 \times 10^3} = \frac{9 \times 10^3}{6 \times 10^3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
તેથી,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ થાય.

(A) જ્યારે દડો પાણીની સપાટીને અથડાય ત્યારે તેનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પાણીમાં દડાનો ટર્મિનલ વેગ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ: $v = \frac{2}{9} r^2 g \frac{(\rho - \sigma)}{\eta}$,જ્યાં $\rho$ એ દડાની ઘનતા,$\sigma$ એ પાણીની ઘનતા અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
વેગ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \sigma)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$2gh = \left( \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \sigma) \right)^2$
$h = \frac{2}{81} \frac{r^4 g}{\eta^2} (\rho - \sigma)^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$r = 9 \times 10^{-4} \ m$,$\rho = 10^4 \ kg/m^3$,$\sigma = 10^3 \ kg/m^3$,$\eta = 8.1 \times 10^{-4} \ Pa \cdot s$,$g = 10 \ m/s^2$.
ગણતરી કરતા $h = 20 \ m$ મળે છે.

(D) ટર્મિનલ વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \frac{2r^2g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ દડાની ત્રિજ્યા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,$\rho$ એ દડાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
દડાનું દ્રવ્ય અને પ્રવાહી સમાન હોવાથી,$v \propto r^2$ થાય.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$.
અહીં $r_1 = 6 \ mm$,$v_1 = 12 \ cm s^{-1}$,અને $r_2 = 3 \ mm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{12} = \left(\frac{3}{6}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,$v_2 = \frac{12}{4} = 3 \ cm s^{-1}$.

(C) ધારો કે બે સમાન પાણીના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે.
જ્યારે તેઓ જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે.
તેથી,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^3$,જે આપણને $R^3 = 2r^3$ અથવા $R = 2^{1/3} r$ આપે છે.
સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V \propto r^2$.
જો નવા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V'$ હોય,તો $\frac{V'}{V} = \frac{R^2}{r^2}$.
$R = 2^{1/3} r$ મૂકતા,આપણને $\frac{V'}{V} = \frac{(2^{1/3} r)^2}{r^2} = \frac{2^{2/3} r^2}{r^2} = 2^{2/3}$ મળે છે.
તેથી,નવો ટર્મિનલ વેગ $V' = 2^{2/3} V$ થશે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનો $\sigma$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ મળે છે:
$v = \frac{2}{9} \frac{(\rho - \sigma) R^2 g}{\eta}$
પ્રથમ ગોળા માટે જેની ઘનતા $\rho_1$ અને ટર્મિનલ વેગ $V_1$ છે:
$V_1 = \frac{2}{9} \frac{(\rho_1 - \sigma) R^2 g}{\eta}$
બીજા ગોળા માટે જેની ઘનતા $\rho_2$ અને ટર્મિનલ વેગ $V_2$ છે:
$V_2 = \frac{2}{9} \frac{(\rho_2 - \sigma) R^2 g}{\eta}$
$V_1$ અને $V_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{2}{9} \frac{(\rho_1 - \sigma) R^2 g}{\eta}}{\frac{2}{9} \frac{(\rho_2 - \sigma) R^2 g}{\eta}}$
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\rho_1 - \sigma}{\rho_2 - \sigma}$
તેથી,$V_1 : V_2$ નો ગુણોત્તર $(\rho_1 - \sigma) : (\rho_2 - \sigma)$ થાય છે.

(B) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
જ્યાં $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
બંને ગોળાઓ સમાન અચળ ઝડપથી પડતા હોવાથી,તેમના ટર્મિનલ વેગ સમાન છે:
$v_1 = v_2$
$\frac{2r_1^2(\rho_1 - \sigma)g}{9\eta} = \frac{2r_2^2(\rho_2 - \sigma)g}{9\eta}$
$r_1^2(\rho_1 - \sigma) = r_2^2(\rho_2 - \sigma)$
$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}$
$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}}$
આપેલ છે: $\rho_1 = 11.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,$\rho_2 = 8.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,અને $\sigma = 2.5 \times 10^3 \ kg/m^3$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{8.5 \times 10^3 - 2.5 \times 10^3}{11.5 \times 10^3 - 2.5 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{6.0 \times 10^3}{9.0 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

(C) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{2g(\rho - \sigma)r^2}{9\eta}$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ઘનતા $\rho$ અચળ છે. ટર્મિનલ વેગ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $V \propto r^2$.
આપેલ છે કે દળ $m$ વધીને $8m$ થાય છે,અને ઘનતા અચળ હોવાથી,કદ $V_{ol} = \frac{m}{\rho}$ પણ $8$ ગણું વધે છે.
$V_{ol} = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,જો કદ $8$ ગણું થાય,તો ત્રિજ્યા $r$ એ $2$ ગણી થાય $(r_2 = 2r_1)$.
તેથી,નવો ટર્મિનલ વેગ $V_2$ આ મુજબ મળે: $\frac{V_2}{V_0} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
આમ,$V_2 = 4V_0$.

(D) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$v \propto r^2$.
ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
જ્યારે બે ટીપાં જોડાય છે ત્યારે કદ જળવાઈ રહે છે,તેથી $\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R^3 = 2r^3$ અથવા $R = 2^{1/3}r$.
પ્રારંભિક ટર્મિનલ વેગ $v_1 = 5 \,cm/s$ આપેલ છે,તેથી નવો ટર્મિનલ વેગ $v_2$ નીચે મુજબ મળે:
$v_2 = v_1 \times \left(\frac{R}{r}\right)^2$
$v_2 = 5 \times \left(\frac{2^{1/3}r}{r}\right)^2$
$v_2 = 5 \times (2^{1/3})^2 = 5 \times 2^{2/3} = 5 \times 4^{1/3} \,cm/s$.

(C) આપેલ છે: ગોળાનું દળ $= m$,ગોળાની ઘનતા $= \sigma_1$,પ્રવાહીની ઘનતા $= \sigma_2$.
ટર્મિનલ વેગ $v_t$ પર,ગોળા પર લાગતા બળો સંતુલિત હોય છે.
નીચેની તરફ લાગતું બળ એ વજન $W = mg$ છે.
ઉપરની તરફ લાગતા બળો સ્નિગ્ધતા બળ $F_V$ અને ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ છે.
$W = F_V + F_B$
$mg = F_V + (\text{કદ} \times \sigma_2 \times g)$
કારણ કે $m = \sigma_1 \times \text{કદ}$,તેથી $\text{કદ} = \frac{m}{\sigma_1}$.
$mg = F_V + \left(\frac{m}{\sigma_1} \times \sigma_2 \times g\right)$
$F_V = mg - \frac{m \sigma_2 g}{\sigma_1}$
$F_V = mg \left(1 - \frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right)$

(D) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર દડાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
જ્યાં $\rho$ એ દડાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
દ્રવ્ય અને પ્રવાહી સમાન હોવાથી,$\rho$,$\sigma$ અને $\eta$ અચળ છે.
તેથી,$v \propto r^2$.
અહીં $r_1 = r$ અને $r_2 = \frac{r}{3}$ આપેલ છે,તેથી ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{r^2}{(\frac{r}{3})^2} = \frac{r^2}{\frac{r^2}{9}} = 9$.
આમ,$v_2 = \frac{v_1}{9} = \frac{V}{9}$.

(C) જ્યારે દડો ટર્મિનલ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે. દડા પર નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) અને ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) તથા સ્નિગ્ધ બળ (viscous force) લાગે છે.
$Mg = F_v + F_b$
જ્યાં $Mg$ એ વજન છે,$F_v$ એ સ્નિગ્ધ બળ છે,અને $F_b$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
દડાનું વજન $Mg = V \rho g$ છે,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = V \sigma g$ છે.
આ કિંમતોને બળ સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$V \rho g = F_v + V \sigma g$
$F_v = V \rho g - V \sigma g = V g (\rho - \sigma)$
કારણ કે $V = \frac{M}{\rho}$,તેથી $F_v$ ના સમીકરણમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$F_v = \frac{M}{\rho} g (\rho - \sigma) = M g \left( \frac{\rho - \sigma}{\rho} \right) = M g \left( 1 - \frac{\sigma}{\rho} \right)$.

(D) ધારો કે મોટા અને નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $R$ અને $r$ છે. મોટા ટીપાંનું કદ $= 8 \times$ એક નાના ટીપાંનું કદ.
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v_t \propto r^2$.
ધારો કે મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V$ છે.
$\frac{V}{v} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = \frac{4r^2}{r^2} = 4$
તેથી,$V = 4v$.

(D) ટર્મિનલ વેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V_{T} = \frac{2}{9} r^2 \frac{(\rho-\sigma)g}{\eta}$
અહીં,$V_{T} \propto r^2$ છે.
દળ અને ત્રિજ્યા વચ્ચેનો સંબંધ:
$m \propto \text{volume} \propto r^3$
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ થાય.
અહીં $m_1 = m$ અને $m_2 = 8m$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{m}{8m} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 \Rightarrow \frac{1}{8} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow r_2 = 2r_1$ મળે.
હવે,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_{T2}}{V_{T1}} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = (2)^2 = 4$ થાય.
આમ,$V_{T2} = 4V_{T1} = 4V$.

(A) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે ટર્મિનલ વેગ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $v \propto r^2$.
ધારો કે $r$ ત્રિજ્યાના નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V$ છે અને $R$ ત્રિજ્યાના મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V'$ છે.
સમપ્રમાણતાના સંબંધ મુજબ:
$\frac{V'}{V} = \frac{R^2}{r^2}$
તેથી,મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V' = \frac{V R^2}{r^2}$ થશે.

(B) ટર્મિનલ વેગ $v_{T}$ માટેની શરત એ છે કે દડા પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે. ટર્મિનલ વેગ પર,દડાનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ અને સ્નિગ્ધ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
વજન $(W) = \rho V g$
ઉત્પ્લાવક બળ $(f) = \sigma V g$
સ્નિગ્ધ બળ $(F) = K v_{T}^2$
બળોને સરખાવતા: $W = f + F$
$\rho V g = \sigma V g + K v_{T}^2$
$K v_{T}^2 = V g (\rho - \sigma)$
$v_{T}^2 = \frac{V g (\rho - \sigma)}{K}$
$v_{T} = \sqrt{\frac{V g (\rho - \sigma)}{K}}$

(D) દડાનો વેગ અચળ હોવાથી,તેનો અર્થ એ છે કે દડો ટર્મિનલ વેગ (terminal velocity) પ્રાપ્ત કરી ચૂક્યો છે. આ સ્થિતિમાં,દડા પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
દડા પર નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(Mg)$,ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ અને ઉપરની તરફ સ્નિગ્ધતા બળ $(F_V)$ લાગે છે.
સંતુલનની સ્થિતિ મુજબ:
$F_V + F_B = Mg$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V d_2 g$,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
દડાનું દળ $M = V d_1$ હોવાથી,કદ $V = \frac{M}{d_1}$ થાય.
ઉત્પ્લાવક બળના સમીકરણમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$F_B = \frac{M}{d_1} d_2 g$
હવે,સંતુલનના સમીકરણમાં $F_B$ ની કિંમત મૂકતા:
$F_V + \frac{M}{d_1} d_2 g = Mg$
$F_V = Mg - \frac{M d_2 g}{d_1}$
$F_V = Mg(1 - \frac{d_2}{d_1})$

(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાની $\rho_L$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \rho_L)}{\eta}$
ગોળાઓ સમાન કદના હોવાથી ($r$ અચળ છે) અને સમાન પ્રવાહીમાં હોવાથી ($\eta$ અને $\rho_L$ અચળ છે),ટર્મિનલ વેગ ઘનતાના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$V \propto (\rho - \rho_L)$
તેથી,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_A}{V_B} = \frac{\rho_A - \rho_L}{\rho_B - \rho_L}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.4}{V_B} = \frac{7.5 - 1.5}{3 - 1.5} = \frac{6.0}{1.5} = 4$
$V_B = \frac{0.4}{4} = 0.1 \ ms^{-1}$

(B) દડો અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,તેથી તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
ધારો કે દડાની ઘનતા $\rho_{b}$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_{\ell}$ છે.
આપેલ છે કે $\rho_{\ell} = 4\rho_{b}$.
દડાનું વજન $W = V \rho_{b} g$ છે,જે નીચેની તરફ લાગે છે.
પ્લવન બળ (buoyant force) $F_{B} = V \rho_{\ell} g$ છે,જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
દડો અચળ વેગથી ઉપર આવતો હોવાથી,સ્નિગ્ધતા બળ $F_{v}$ નીચેની તરફ લાગે છે.
બળોને સંતુલિત કરતા: $F_{B} = W + F_{v}$.
તેથી,$F_{v} = F_{B} - W = V \rho_{\ell} g - V \rho_{b} g = V g (4\rho_{b} - \rho_{b}) = 3 V \rho_{b} g$.
કારણ કે $W = V \rho_{b} g$,તેથી $F_{v} = 3W$.
આમ,સ્નિગ્ધતા બળ એ દડાના વજન કરતાં $3$ ગણું વધારે છે.

(C) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ, સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $V$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $V = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ટર્મિનલ વેગ એ દડાની ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $V \propto r^2$.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \,cm$, વેગ $V_1 = 20 \,cm / s$.
ત્રિજ્યા $r_2 = 1 \,cm$, વેગ $V_2 = ?$.
સમપ્રમાણતા $V \propto r^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$
$\frac{V_2}{20} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$\frac{V_2}{20} = \frac{1}{4}$
$V_2 = \frac{20}{4} = 5 \,cm / s$.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
સંયોજન દરમિયાન કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = n r^3 \implies R = n^{1/3} r$
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ છે.
આમ,$v_t \propto r^2$.
ધારો કે $v_1 = 5 \ cm/s$ એ નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે અને $v_2$ એ મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે.
$\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (n^{1/3})^2 = n^{2/3}$.
$v_2 = v_1 \times n^{2/3} = 5 n^{2/3} \ cm/s$.

(C) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $v_{t}$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ $v_{t} = \frac{2r^{2}(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ટીપાંની ઘનતા $\rho$,હવાની ઘનતા $\sigma$,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અને સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ બંને ટીપાં માટે અચળ હોવાથી,$v_{t} \propto r^{2}$ થાય છે.
આપેલ ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,તેમના ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{t1}}{v_{t2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(A) જ્યારે ગોળો ટર્મિનલ વેગથી નીચે પડે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજન બળ $(W = mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_{B})$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધતા બળ $(F_{v})$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
ટર્મિનલ વેગ પર: $W = F_{B} + F_{v}$.
તેથી,$F_{v} = W - F_{B}$.
ગોળાનું વજન $W = V \sigma_{1} g$ છે,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ છે.
$m = V \sigma_{1}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{\sigma_{1}}$ મળે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B} = V \sigma_{2} g = (\frac{m}{\sigma_{1}}) \sigma_{2} g = mg(\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}})$ થાય.
આ કિંમતોને સ્નિગ્ધતા બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_{v} = mg - mg(\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}) = mg(1 - \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}})$.

(A) જ્યારે ગોળો ટર્મિનલ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
ગોળા પર લાગતા બળો: નીચેની તરફ વજન $(W)$,ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $(F_{B})$ અને ઉપરની તરફ સ્નિગ્ધતા બળ $(F_{v})$.
$W = F_{B} + F_{v}$
$F_{v} = W - F_{B}$
વજન $W = Mg = V d_{1} g$,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B} = V d_{2} g$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_{v} = V d_{1} g - V d_{2} g = V d_{1} g (1 - \frac{d_{2}}{d_{1}})$.
$M = V d_{1}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$F_{v} = Mg (1 - \frac{d_{2}}{d_{1}})$.

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતો ગોળો જ્યારે $\sigma$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ગતિ કરે ત્યારે તેનો ટર્મિનલ વેગ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ: $6 \pi \eta R v = \frac{4}{3} \pi R^{3} g (\rho - \sigma)$ થાય.
આમ,$v \propto (\rho - \sigma)$ મળે.
પ્રથમ ગોળા માટે: $v_{1} \propto (\varrho_{1} - \sigma)$.
બીજા ગોળા માટે: $v_{2} \propto (\varrho_{2} - \sigma)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{\varrho_{2} - \sigma}{\varrho_{1} - \sigma}$.
તેથી,$v_{2} = \left[\frac{\varrho_{2} - \sigma}{\varrho_{1} - \sigma}\right] v_{1}$ થાય.