Viscosity and Stoke's Law and Terminal Velocity Questions in Gujarati

(A) પદાર્થનો પ્રવેગ સમીકરણ $a = g - bv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પદાર્થ અચળ ઝડપ (જેને ટર્મિનલ વેલોસિટી પણ કહેવાય છે) સાથે પડે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આપેલ સમીકરણમાં $a = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$0 = g - bv_c$
અચળ ઝડપ $v_c$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$bv_c = g$
$v_c = \frac{g}{b}$
આમ,પદાર્થની અચળ ઝડપ $\frac{g}{b}$ છે.

(C) પ્રવાહીમાં ઉપર તરફ ગતિ કરતા હવાના પરપોટાનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho_l - \rho_a)}{\eta}$
હવાની ઘનતા $\rho_a$ ને અવગણતા,સૂત્ર આ મુજબ બનશે:
$v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g \rho_l}{\eta}$
આપેલ કિંમતો:
ત્રિજ્યા $r = 1\, cm$
ટર્મિનલ વેગ $v_T = 2.00\, mm/sec = 0.2\, cm/sec$
પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l = 1.5\, g/cm^3$
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 1000\, cm/sec^2$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$0.2 = \frac{2}{9} \times (1)^2 \times \frac{1000 \times 1.5}{\eta}$
$0.2 = \frac{2 \times 1500}{9 \times \eta}$
$0.2 = \frac{3000}{9 \eta}$
$0.2 = \frac{1000}{3 \eta}$
$\eta = \frac{1000}{3 \times 0.2} = \frac{1000}{0.6} = \frac{10000}{6} \approx 1666.67\, \text{poise}$
$\eta \approx 1.66 \times 10^3\, \text{poise}$

(A) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યાના $n$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે.
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \right)$
$R^3 = n r^3$
અહીં $n = 2$ આપેલ છે,તેથી $R^3 = 2r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = 2^{1/3} r$.
સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v$ એ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ $v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $v \propto r^2$.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \left( \frac{R}{r} \right)^2$.
$v_1 = 5\,cm/s$ આપેલ હોવાથી,$R = 2^{1/3} r$ મૂકતા:
$v_2 = v_1 \left( \frac{2^{1/3} r}{r} \right)^2 = 5 \times (2^{1/3})^2 = 5 \times 2^{2/3} = 5 \times 4^{1/3}\,cm/s$.

(C) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$
જ્યાં $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_T \propto r^2$.
શરૂઆતની ત્રિજ્યા $r$ અને શરૂઆતની ઝડપ $v$ આપેલ છે,તેથી $v \propto r^2$.
જ્યારે ત્રિજ્યા બદલીને $2r$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ટર્મિનલ વેગ $v'$ નીચે મુજબ થશે:
$v' \propto (2r)^2 = 4r^2$
તેથી,$v' = 4v$.

(C) $1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F_g = mg)$ ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે। તેથી, આલેખ $P$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દર્શાવે છે।
$2$. સ્નિગ્ધતા બળ $(F_v = 6\pi\eta rv)$ જેમ દડાનો વેગ વધે છે તેમ વધે છે, જે $t=0$ સમયે શૂન્યથી શરૂ થાય છે અને જ્યારે દડો ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે ત્યારે તે અચળ મૂલ્ય તરફ જાય છે। તેથી, આલેખ $Q$ સ્નિગ્ધતા બળ દર્શાવે છે।
$3$. પરિણામી બળ $(F_{net} = mg - F_b - F_v)$ જેમ દડો પ્રવેગિત થાય છે અને સ્નિગ્ધતા બળ વધે છે તેમ ઘટતું જાય છે, અને અંતે જ્યારે દડો ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે ત્યારે તે શૂન્ય થઈ જાય છે। તેથી, આલેખ $R$ પરિણામી બળ દર્શાવે છે।
તેથી, $(i), (ii), (iii)$ માટે સાચો ક્રમ $P, Q, R$ છે।

(D) શ્યાન માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર પદાર્થ માટે ગતિનું સમીકરણ $m \frac{dv}{dt} = mg - 6\pi\eta rv$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dv}{dt} = g - \frac{6\pi\eta r}{m} v$ મળે છે.
આ $\frac{dv}{dt} + \frac{6\pi\eta r}{m} v = g$ સ્વરૂપનું રેખીય વિકલન સમીકરણ છે.
આવી સિસ્ટમ માટે ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ એ $v$ ના સહગુણકનો વ્યસ્ત છે,જે $\tau = \frac{m}{6\pi\eta r}$ છે.
હવે,આપેલા વિકલ્પોના પરિમાણો તપાસીએ:
$1$. $\frac{mr^2}{6\pi\eta}$ નું પરિમાણ $= \frac{[M][L^2]}{[ML^{-1}T^{-1}]} = [L^3T]$.
$2$. $\sqrt{\frac{6\pi mr\eta}{g^2}}$ નું પરિમાણ $= \sqrt{\frac{[M][L][ML^{-1}T^{-1}]}{[LT^{-2}]^2}} = \sqrt{\frac{M^2T^{-1}}{L^2T^{-4}}} = [ML^{-1}T^{1.5}]$.
$3$. $\frac{m}{6\pi\eta rv}$ નું પરિમાણ $= \frac{[M]}{[ML^{-1}T^{-1}][L][LT^{-1}]} = [L^{-1}T]$.
આમ,આપેલ કોઈ પણ પદ સમય $[T]$ નું પરિમાણ ધરાવતું નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,જ્યારે ઉત્પ્લાવક બળને અવગણવામાં આવે ત્યારે સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર ટીપાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{2}{9} \frac{r^2 \rho g}{\eta}$
આપેલ કિંમતો:
ત્રિજ્યા $r = 0.0015 \, mm = 1.5 \times 10^{-6} \, m$
પાણીની ઘનતા $\rho = 1.0 \times 10^3 \, kg/m^3$
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta = 1.8 \times 10^{-5} \, kg/(m \cdot s)$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \frac{2}{9} \times \frac{(1.5 \times 10^{-6})^2 \times (1.0 \times 10^3) \times 9.8}{1.8 \times 10^{-5}}$
$v = \frac{2}{9} \times \frac{2.25 \times 10^{-12} \times 10^3 \times 9.8}{1.8 \times 10^{-5}}$
$v = \frac{2}{9} \times \frac{2.205 \times 10^{-8}}{1.8 \times 10^{-5}}$
$v = \frac{2}{9} \times 1.225 \times 10^{-3}$
$v \approx 2.72 \times 10^{-4} \, m/s$

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ટર્મિનલ વેગ $v_t = 5\, cm/s$ છે.
જ્યારે બે ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$2 \times (\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$
$R^3 = 2r^3 \implies R = 2^{1/3}r$.
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v_t \propto r^2$.
ધારો કે મોટા ટીપાનો ટર્મિનલ વેગ $V_T$ છે:
$\frac{V_T}{v_t} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2^{1/3}r)^2}{r^2} = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$.
તેથી,$V_T = 5 \times 4^{1/3}\, cm/s$.

(C) જ્યારે પથ્થર ઉપર જાય છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$ અને પાણીનો અવરોધક બળ $(F_{drag})$ બંને નીચેની તરફ લાગે છે. તેથી,કુલ અવરોધક બળ $F_{up} = mg + F_{drag}$ થાય છે અને પ્રવેગ $a_{up} = g + (F_{drag}/m)$ થાય છે.
જ્યારે પથ્થર નીચે આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ નીચેની તરફ અને પાણીનો અવરોધક બળ ઉપરની તરફ લાગે છે. તેથી,કુલ પ્રવેગક બળ $F_{down} = mg - F_{drag}$ થાય છે અને પ્રવેગ $a_{down} = g - (F_{drag}/m)$ થાય છે.
અહીં $a_{up} > a_{down}$ હોવાથી,પથ્થર ઉપર જતી વખતે વધુ મંદન અનુભવે છે અને નીચે આવતી વખતે ઓછો પ્રવેગ અનુભવે છે.
સમાન સ્થાનાંતર $h$ માટે,$h = \frac{1}{2}at^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t = \sqrt{\frac{2h}{a}}$ મળે છે.
આમ,$a_{up} > a_{down}$ હોવાથી,$t_{up} < t_{down}$ સાબિત થાય છે.

(A) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,જ્યારે $R$ ત્રિજ્યાનો ગોળો $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં પડે છે,ત્યારે તે અવરોધક બળ અનુભવે છે. જ્યારે ગોળા પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય ત્યારે તે ટર્મિનલ વેગ $v_T$ પ્રાપ્ત કરે છે.
ટર્મિનલ વેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_T = \frac{2}{9} \frac{R^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$
જ્યાં:
$\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે,
$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,
$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,
$\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_T \propto R^2$.

(C) તે સાચું છે કે પડતા વરસાદના ટીપાં ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે. તેમની ગતિ દરમિયાન,ટીપાં વેગ પર આધારિત સ્નિગ્ધ બળ (વિસ્કસ ફોર્સ) અનુભવે છે જે વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. જેમ જેમ વેગ વધે છે તેમ આ બળ વધે છે. અંતે,આ સ્નિગ્ધ બળ અને ઉત્પ્લાવક બળ મળીને ટીપાં પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) ને સંતુલિત કરે છે. જ્યારે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થાય છે,ત્યારે પ્રવેગ શૂન્ય થાય છે અને ટીપું અચળ વેગથી નીચે પડે છે જેને ટર્મિનલ વેગ કહેવામાં આવે છે. $Reason$ વિધાન ખોટું છે કારણ કે તે દાવો કરે છે કે ગતિની દિશામાં અચળ બળ જરૂરી છે; જોકે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અચળ છે,પરંતુ ટર્મિનલ વેગ માટેની શરત એ બળોનું સંતુલન છે,માત્ર આ ચોક્કસ બળોની હાજરી નથી.

(D) ત્રિજ્યા $r$ અને ઘનતા $\sigma$ ધરાવતા ગોળાકાર દડાનો $\rho$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા માધ્યમમાં ટર્મિનલ વેગ $v_{T} = \frac{2 r^{2}(\sigma - \rho) g}{9 \eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને દડાના દળ સમાન છે,$m_{1} = m_{2}$.
દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi r^{3} \sigma$ હોવાથી,$\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} \rho_{1} = \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3} \rho_{2}$ થાય.
અહીં $r_{1} = 1 \; mm$,$r_{2} = 2 \; mm$,અને $\rho_{1} = 8 \rho_{2}$ છે,તેથી દળની શરત સંતોષાય છે: $1^{3} \times 8 \rho_{2} = 8 \rho_{2}$ અને $2^{3} \times \rho_{2} = 8 \rho_{2}$.
ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} \frac{(\rho_{1} - \rho_{medium})}{(\rho_{2} - \rho_{medium})}$ છે.
અહીં,$\rho_{medium} = 0.1 \rho_{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \frac{(8 \rho_{2} - 0.1 \rho_{2})}{(\rho_{2} - 0.1 \rho_{2})} = \frac{1}{4} \times \frac{7.9 \rho_{2}}{0.9 \rho_{2}} = \frac{1}{4} \times \frac{79}{9} = \frac{79}{36}$.

(B) ટર્મિનલ વેગ $v_t$ માટેનું સૂત્ર સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ છે: $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,$\rho$ એ દડાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ તેલની ઘનતા છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
$\eta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\eta = \frac{2 r^2 g (\rho - \sigma)}{9 v_t}$.
આપેલ કિંમતો: $r = 2.0 \times 10^{-3} \; m$,$v_t = 6.5 \times 10^{-2} \; m \; s^{-1}$,$g = 9.8 \; m \; s^{-2}$,$\rho = 8.9 \times 10^{3} \; kg \; m^{-3}$,$\sigma = 1.5 \times 10^{3} \; kg \; m^{-3}$.
$\rho - \sigma = (8.9 - 1.5) \times 10^{3} = 7.4 \times 10^{3} \; kg \; m^{-3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = \frac{2 \times (2.0 \times 10^{-3})^2 \times 9.8 \times 7.4 \times 10^{3}}{9 \times 6.5 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2 \times 4.0 \times 10^{-6} \times 9.8 \times 7.4 \times 10^{3}}{58.5 \times 10^{-2}} = \frac{579.04 \times 10^{-3}}{58.5 \times 10^{-2}} \approx 9.9 \times 10^{-1} \; kg \; m^{-1} \; s^{-1}$.

(N/A) આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 2.0 \times 10^{-5} \; m$
ઘનતા $\rho = 1.2 \times 10^{3} \; kg \; m^{-3}$
હવાની સ્નિગ્ધતા $\eta = 1.8 \times 10^{-5} \; Pa \; s$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 9.8 \; m \; s^{-2}$
ટર્મિનલ વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{2r^2(\rho - \rho_0)g}{9\eta}$
ઉત્પ્લાવક બળને અવગણતા,$\rho_0 = 0$ લેતા.
$v = \frac{2 \times (2.0 \times 10^{-5})^2 \times (1.2 \times 10^3) \times 9.8}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}$
$v = 5.8 \times 10^{-2} \; m \; s^{-1} = 5.8 \; cm \; s^{-1}$
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ સ્નિગ્ધ બળ $F$:
$F = 6 \pi \eta r v$
$F = 6 \times 3.14 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 2.0 \times 10^{-5} \times 5.8 \times 10^{-2}$
$F \approx 3.9 \times 10^{-10} \; N$

(A) જ્યારે ઝડપ અચળ બને છે,ત્યારે પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = 0$ થાય છે.
આપેલ પ્રવેગનું સમીકરણ: $a = g - bv$.
જેમ પદાર્થ નીચે પડે છે,તેમ તેની ઝડપ $v$ વધે છે,જેના કારણે પ્રવેગ $a$ ઘટે છે.
એક ચોક્કસ ટર્મિનલ ઝડપ,ધારો કે $v_0$ પર,પ્રવેગ શૂન્ય થઈ જાય છે અને ત્યારબાદ ઝડપ અચળ રહે છે.
આપેલ સમીકરણમાં $a = 0$ મૂકતા:
$0 = g - bv_0$
$v_0$ માટે ઉકેલતા:
$bv_0 = g$
$v_0 = \frac{g}{b}$
આમ,અચળ ઝડપ $\frac{g}{b}$ છે.

(N/A) સ્નિગ્ધતા વિવિધ વ્યવહારુ ઉપયોગોમાં મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે:
$1$. લ્યુબ્રિકેશન: ભારે મશીનરીમાં ગતિશીલ ભાગો વચ્ચે ઘર્ષણ અને ઘસારો ઘટાડવા માટે ઉચ્ચ સ્નિગ્ધતાવાળા તેલનો ઉપયોગ થાય છે,જ્યારે નાજુક સાધનોમાં ઓછી સ્નિગ્ધતાવાળા તેલનો ઉપયોગ થાય છે.
$2$. પ્રવાહીનું વહન: ક્રૂડ ઓઈલ અથવા પાણી જેવા પ્રવાહીના વહન માટે પાઈપલાઈન ડિઝાઇન કરવા માટે સ્નિગ્ધતા સમજવી જરૂરી છે,કારણ કે તે પ્રવાહ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી દબાણ નક્કી કરે છે.
$3$. તબીબી ઉપયોગો: રક્તની સ્નિગ્ધતા એક મહત્વપૂર્ણ નિદાન પરિમાણ છે; રક્તની ઉચ્ચ સ્નિગ્ધતા હાયપરટેન્શન અથવા ગંઠાઈ જવાનું જોખમ જેવી સ્વાસ્થ્ય સમસ્યાઓ સૂચવી શકે છે.
$4$. ઓટોમોટિવ ઉદ્યોગ: શોક એબ્સોર્બર અને હાઇડ્રોલિક બ્રેકિંગ સિસ્ટમનું પ્રદર્શન વપરાતા હાઇડ્રોલિક પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા પર આધાર રાખે છે.
$5$. ખાદ્ય ઉદ્યોગ: મધ,સીરપ અને સોસ જેવા ખાદ્ય ઉત્પાદનોની રચના અને તેનો અનુભવ તેમની સ્નિગ્ધતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

(N/A) સ્ટોક્સનો નિયમ જણાવે છે કે,$\eta$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક ધરાવતા અનંત વિસ્તરણવાળા સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $r$ ત્રિજ્યાના નાના ગોળાકાર પદાર્થ પર લાગતું સ્નિગ્ધતા બળ $F_v = 6 \pi \eta r v$ છે.
ધારો કે $\rho$ ઘનતા ધરાવતો $r$ ત્રિજ્યાનો નાનો ગોળો $\sigma$ ઘનતા ધરાવતા સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડે છે. તેના પર લાગતા બળો:
$(i)$ વજન $F_1 = mg = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$ (નીચેની તરફ).
$(ii)$ ઉત્પ્લાવક બળ $F_2 = \frac{4}{3} \pi r^3 \sigma g$ (ઉપરની તરફ).
$(iii)$ સ્નિગ્ધતા બળ $F_v = 6 \pi \eta r v$ (ઉપરની તરફ).
$(i)$ પ્રારંભિક પ્રવેગ: $t=0$ સમયે,$v=0$,તેથી $F_v=0$. પરિણામી બળ $F_{net} = F_1 - F_2 = \frac{4}{3} \pi r^3 g(\rho - \sigma)$. તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = g(1 - \frac{\sigma}{\rho})$.
$(ii)$ ટર્મિનલ વેગ: ટર્મિનલ વેગ $v_t$ પર,પ્રવેગ શૂન્ય થાય છે,તેથી $F_1 = F_2 + F_v$. આમ,$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho g = \frac{4}{3} \pi r^3 \sigma g + 6 \pi \eta r v_t$. $v_t$ માટે ઉકેલતા,$v_t = \frac{2r^2 g(\rho - \sigma)}{9 \eta}$ મળે છે.
$(iii)$ પરપોટાની ઉપરની તરફની ગતિ: વાયુના પરપોટા માટે,વાયુની ઘનતા $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા $\sigma$ કરતા ઘણી ઓછી હોય છે $(\rho < \sigma)$. ઉત્પ્લાવક બળ વજન કરતા વધી જાય છે,જેના કારણે પરપોટો ઉપરની તરફ પ્રવેગિત થાય છે. જેમ તે ગતિ કરે છે,સ્નિગ્ધતા બળ નીચેની તરફ લાગે છે,જે અંતે અચળ ટર્મિનલ વેગ તરફ દોરી જાય છે.

(D) આપેલ છે:
વરસાદના ટીપાંનું દળ,$m_d = 3.0 \times 10^{-5} \ kg$
ટર્મિનલ વેગ,$v = 9 \ m/s$
વરસાદની ઊંડાઈ,$h = 100 \ cm = 1 \ m$
ક્ષેત્રફળ,$A = 1 \ m^2$
પાણીની ઘનતા,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$
પગલું $1$: $1 \ m^2$ ક્ષેત્રફળ પર પડતા પાણીનું કુલ કદ શોધો.
$V = A \times h = 1 \ m^2 \times 1 \ m = 1 \ m^3$
પગલું $2$: $1 \ m^2$ ક્ષેત્રફળ પર પડતા પાણીનું કુલ દળ $(M)$ શોધો.
$M = V \times \rho = 1 \ m^3 \times 10^3 \ kg/m^3 = 10^3 \ kg$
પગલું $3$: સપાટી પર સ્થાનાંતરિત થતી ગતિ ઉર્જા $(E)$ શોધો.
વરસાદના ટીપાં ટર્મિનલ વેગથી પડતા હોવાથી,સ્થાનાંતરિત ઉર્જા એ પાણીના કુલ દળની ગતિ ઉર્જા છે.
$E = \frac{1}{2} M v^2$
$E = \frac{1}{2} \times 10^3 \times (9)^2$
$E = 0.5 \times 1000 \times 81$
$E = 40500 \ J = 4.05 \times 10^4 \ J$

(D) ઇલેક્ટ્રોનિક ડિજિટલ ઘડિયાળ ક્વાર્ટઝ ક્રિસ્ટલના દોલનો પર આધારિત છે,જે પીઝોઇલેક્ટ્રિક અસર દ્વારા સંચાલિત થાય છે.
આ પદ્ધતિ બાહ્ય ગુરુત્વાકર્ષણ બળો અથવા પાણીમાં ગતિ કરતી વ્યક્તિ પર લાગતા ઉત્પ્લાવક બળથી સ્વતંત્ર છે.
ઘડિયાળ વોટરપ્રૂફ હોવાથી,પાણી તેની આંતરિક ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટમાં દખલ કરતું નથી.
તેથી,દરિયાના પાણીમાં વ્યક્તિની ગતિની સમયના માપન પર કોઈ અસર થતી નથી.

(B) $CGS$ પદ્ધતિમાં સ્નિગ્ધતા ગુણાંકનો એકમ પોઈઝ $(P)$ છે.
$SI$ પદ્ધતિમાં સ્નિગ્ધતા ગુણાંકનો એકમ $N \cdot s/m^2$ અથવા $Pa \cdot s$ છે, જેને પોઈઝ્યુઈલ $(Pl)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ poiseuille} = 1 \text{ Pa} \cdot \text{s} = 1 \text{ N} \cdot \text{s/m}^2$.
કારણ કે $1 \text{ N} = 10^5 \text{ dynes}$ અને $1 \text{ m}^2 = 10^4 \text{ cm}^2$,
$1 \text{ poiseuille} = \frac{10^5 \text{ dynes} \cdot \text{s}}{10^4 \text{ cm}^2} = 10 \text{ dynes} \cdot \text{s/cm}^2$.
કારણ કે $1 \text{ poise} = 1 \text{ dyne} \cdot \text{s/cm}^2$,
તેથી, $1 \text{ poiseuille} = 10 \text{ poise}$.

(N/A) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતો ગોળાકાર પદાર્થ $\sigma$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં પડે છે,ત્યારે તેનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
જ્યાં:
$r$ = ગોળાની ત્રિજ્યા
$\rho$ = ગોળાની ઘનતા
$\sigma$ = પ્રવાહીની ઘનતા
$g$ = ગુરુત્વપ્રવેગ
$\eta$ = પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક

(N/A) ટર્મિનલ વેગ $(v_t)$ એ સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતી વસ્તુ દ્વારા પ્રાપ્ત થતો અચળ વેગ છે જ્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે. સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$\eta$ સ્નિગ્ધતા અને $\sigma$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં પડતા $r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ નીચે મુજબ છે: $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$.
આ સૂત્રના આધારે,ટર્મિનલ વેગ નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પદાર્થની ત્રિજ્યા $(r)$: ટર્મિનલ વેગ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(v_t \propto r^2)$. મોટી વસ્તુઓ ઝડપથી નીચે પડે છે.
$2$. ઘનતાનો તફાવત $((\rho - \sigma))$: તે પદાર્થની ઘનતા અને પ્રવાહીની ઘનતા વચ્ચેના તફાવત પર આધાર રાખે છે. જો પદાર્થ પ્રવાહી કરતા વધુ ઘન હોય,તો તે નીચે પડે છે.
$3$. પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા $(\eta)$: ટર્મિનલ વેગ એ સ્નિગ્ધતાના ગુણાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(v_t \propto 1/\eta)$. વધુ સ્નિગ્ધ પ્રવાહી વધુ અવરોધક બળ લગાડે છે,જે ટર્મિનલ વેગ ઘટાડે છે.
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$: ટર્મિનલ વેગ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(v_t \propto g)$.

(N/A) જ્યારે દૂધને હલાવવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીના સ્તરો અલગ-અલગ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. આ સ્તરો વચ્ચે સ્નિગ્ધતા બળ (આંતરિક ઘર્ષણ) ઉદભવે છે,જે તેમની વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે. આ બળ પ્રવાહીની ગતિ ઊર્જાને ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત કરે છે. પરિણામે,સ્તરોનો વેગ ક્રમશઃ ઘટતો જાય છે અને અંતે દૂધ સ્થિર થઈ જાય છે.

(N/A) જો પ્રવાહીના બે સમાંતર સ્તરો,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ $1 \text{ cm}^{2}$ છે,તેમની વચ્ચે $1 \text{ cm s}^{-1} / \text{cm}$ નો વેગ પ્રચલન જાળવી રાખવા માટે $1$ ડાઇન સ્પર્શક બળની જરૂર પડે,તો તે પ્રવાહીના સ્નિગ્ધતા ગુણાંકને $1$ પોઈઝ કહેવામાં આવે છે.

(A) $CGS$ પદ્ધતિમાં સ્નિગ્ધતા ગુણાંકનો એકમ પોઈઝ $(P)$ છે.
$SI$ પદ્ધતિમાં સ્નિગ્ધતા ગુણાંકનો એકમ $\text{N} \cdot \text{s/m}^2$ અથવા $\text{Pa} \cdot \text{s}$ છે.
$1 \text{ ડેકાપોઈઝ}$ ને $1 \text{ Pa} \cdot \text{s}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ Pa} \cdot \text{s} = 10 \text{ પોઈઝ}$,તેથી $1 \text{ ડેકાપોઈઝ} = 10 \text{ પોઈઝ}$ થાય છે.

(N/A) સ્ટોક્સના નિયમનો ઉપયોગ નીચે મુજબના હેતુઓ માટે થાય છે:
$(1)$ તેનો ઉપયોગ સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા નાના ગોળાકાર પદાર્થ (જેમ કે વરસાદનું ટીપું) ની ત્રિજ્યા નક્કી કરવા માટે થાય છે.
$(2)$ તેનો ઉપયોગ અત્યંત સ્નિગ્ધ પ્રવાહીના સ્નિગ્ધતા ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે થાય છે.

(A) વરસાદના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $(v_{t})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{t} = \frac{2}{9} r^{2} g \left( \frac{\rho - \sigma}{\eta} \right)$
જ્યાં $r$ એ ટીપાંની ત્રિજ્યા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$\rho$ એ ટીપાંની ઘનતા છે,$\sigma$ એ હવાની ઘનતા છે,અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
$v_{t} \propto r^{2}$ હોવાથી,ટર્મિનલ વેગ એ ટીપાંની ત્રિજ્યાના વર્ગના સીધા પ્રમાણમાં છે.
તેથી,મોટા વરસાદના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ વધારે હોય છે અને તે નાના ટીપાં કરતા ઝડપથી નીચે પડે છે.

(C) વરસાદના ટીપાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે. જેમ જેમ તે નીચે પડે છે,તેમ તેમ તે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં હવાના અવરોધ (શ્યાનતા બળ) નો અનુભવ કરે છે.
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,શ્યાનતા બળ એ ટીપાંના વેગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
જેમ જેમ ટીપાંનો વેગ વધે છે,તેમ હવાના અવરોધનું બળ પણ વધે છે.
અંતે,એક એવી સ્થિતિ આવે છે જ્યાં ટીપાં પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય થઈ જાય છે,એટલે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ ઉત્પ્લાવક બળ અને શ્યાનતા બળના સરવાળા દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
આ બિંદુએ,પ્રવેગ શૂન્ય થઈ જાય છે અને ટીપું એક અચળ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે જેને ટર્મિનલ વેગ (અંતિમ વેગ) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,વરસાદના ટીપાંનો વેગ આ ટર્મિનલ વેગથી આગળ વધતો નથી.

(N/A) ધૂળના રજકણોને હવામાં ગતિ કરતા નાના ગોળાઓ તરીકે ગણી શકાય। $Stoke's$ $Law$ મુજબ, ગોળાકાર કણ પર લાગતું સ્નિગ્ધતાનું બળ $F = 6\pi\eta rv$ છે। જેમ કણ નીચે પડે છે, તેમ તે $terminal$ $velocity$ $(v_t)$ પ્રાપ્ત કરે છે, જેનું સૂત્ર $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ છે। ધૂળના રજકણોની ત્રિજ્યા $(r)$ ખૂબ જ નાની હોવાથી, તેમનો ટર્મિનલ વેગ અત્યંત ઓછો હોય છે। જોકે, આ વેગ શૂન્ય નથી અને નીચેની તરફ હોવાથી, કણો સતત જમીન તરફ ગતિ કરે છે। સમય જતાં, ખૂબ જ ઓછા ટર્મિનલ વેગ હોવા છતાં, આ કણો અંતે જમીન પર બેસી જાય છે।

(B) હવામાં $h$ અંતર કાપ્યા પછી દડાનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાકાર દડાનો $\rho_{\ell}$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $v_t$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ છે:
$v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \rho_{\ell})$.
પ્રશ્ન મુજબ,પાણીમાં પ્રવેશતા પહેલાનો વેગ પાણીની અંદરના ટર્મિનલ વેગ જેટલો છે:
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \rho_{\ell})$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$2gh = \left( \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \rho_{\ell}) \right)^2$
$2gh = \frac{4}{81} \frac{r^4 g^2}{\eta^2} (\rho - \rho_{\ell})^2$
$h$ માટે ઉકેલતા:
$h = \frac{2}{81} \frac{r^4 g}{\eta^2} (\rho - \rho_{\ell})^2$.
આપેલ પ્રયોગ માટે $g$,$\eta$,$\rho$,અને $\rho_{\ell}$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$h \propto r^4$.

(B) ટર્મિનલ વેગથી નીચે પડતા વિદ્યુતભાર રહિત તેલના ટીપાં માટે,જ્યારે ઉત્પ્લાવક બળને અવગણવામાં આવે ત્યારે સ્નિગ્ધતા બળ $(F_v)$ એ ટીપાંના વજન $(W)$ જેટલું હોય છે.
$W = m \cdot g = \rho \cdot V \cdot g = \rho \cdot (\frac{4}{3} \pi r^3) \cdot g$
આપેલ છે:
$\rho = 1.2 \times 10^3 \, kg/m^3$
$r = 2.0 \times 10^{-5} \, m$
$g = 9.8 \, m/s^2$
$F_v = (1.2 \times 10^3) \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2.0 \times 10^{-5})^3 \times 9.8$
$F_v = 1.2 \times 10^3 \times 4.1867 \times 8.0 \times 10^{-15} \times 9.8$
$F_v \approx 3.9 \times 10^{-10} \, N$

(A) જ્યારે દડો અચળ ટર્મિનલ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
દડા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દડાનું વજન $(W = Mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધતા બળ $(F_v)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
ઉત્પ્લાવક બળનું સૂત્ર $F_B = V \rho_{liquid} g$ છે,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
દડાની ઘનતા $d$ હોવાથી,તેનું કદ $V = \frac{M}{d}$ થાય.
ગ્લિસરીનની ઘનતા $\frac{d}{2}$ આપેલ હોવાથી,ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \left(\frac{d}{2}\right) g = \left(\frac{M}{d}\right) \left(\frac{d}{2}\right) g = \frac{Mg}{2}$ થાય.
અચળ વેગ માટે,બળોનું સંતુલન થવું જોઈએ:
$F_v + F_B = W$
$F_v + \frac{Mg}{2} = Mg$
$F_v = Mg - \frac{Mg}{2} = \frac{Mg}{2}$.

(D) ટર્મિનલ વેગ પર,વરસાદના ટીપાં પરનું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે.
$Mg = F_{v} = 6 \pi \eta R v$
અહીં,$M$ એ વરસાદના ટીપાંનું દળ છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,$R$ એ ત્રિજ્યા છે અને $v$ એ ટર્મિનલ વેગ છે.
$M = \rho_{w} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ મૂકતા:
$\rho_{w} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 g = 6 \pi \eta R v$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v = \frac{2 \rho_{w} R^2 g}{9 \eta}$
આપેલ કિંમતો: $\rho_{w} = 1000 \, kg/m^3$,$R = 0.2 \times 10^{-3} \, m$,$g = 10 \, m/s^2$,$\eta = 1.8 \times 10^{-5} \, Ns/m^2$.
$v = \frac{2 \times 1000 \times (0.2 \times 10^{-3})^2 \times 10}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}$
$v = \frac{20000 \times 0.04 \times 10^{-6}}{16.2 \times 10^{-5}}$
$v = \frac{800 \times 10^{-6}}{16.2 \times 10^{-5}} = \frac{80}{16.2} \approx 4.94 \, m/s$

(B) જ્યારે એક ગોળાકાર દડાને અત્યંત સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં મુક્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે ત્રણ બળો અનુભવે છે: નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ, અને ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ અને સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ.
દડા પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = mg - F_B - F_v$ છે, જ્યાં $F_v = 6\pi\eta rv$ એ સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ છે.
શરૂઆતમાં, ઝડપ $(v)$ શૂન્ય છે, તેથી સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ શૂન્ય છે, અને દડો નીચેની તરફ પ્રવેગિત થાય છે। જેમ ઝડપ વધે છે, તેમ સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ વધે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ, $ma = mg - F_B - 6\pi\eta rv$. જેમ $v$ વધે છે, તેમ પ્રવેગ $a$ ઘટે છે.
અંતે, જ્યારે પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે $(a = 0)$, ત્યારે દડો અચળ ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
આ વર્તણૂક એવા વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જે ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે, જેનો ઢાળ ઘટતો જાય છે (પ્રવેગ ઘટે છે), અને સમય વધવાની સાથે તે આડો (અચળ વેગ) થઈ જાય છે। વક્ર $B$ આ વર્ણન સાથે મેળ ખાય છે।

(C) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $(v_{t})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{t} = \frac{2}{9} \frac{gr^{2}(\rho_{p} - \rho_{l})}{\eta}$
જ્યાં:
$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,
$r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે,
$\rho_{p}$ એ કણની ઘનતા છે,
$\rho_{l}$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,
$\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{t} \propto r^{2}$.
તેથી,ટર્મિનલ વેગ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) જ્યારે દડો અચળ વેગ (ટર્મિનલ વેલોસિટી) થી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
દડા પર લાગતા બળો:
$1$. દડાનું વજન $(W = m g)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_{B})$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધતા બળ $(F_{V})$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
અચળ વેગ પર,બળો સંતુલિત થાય છે:
$F_{V} + F_{B} = m g$
$F_{V} = m g - F_{B}$
ઉત્પ્લાવક બળ એ સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે:
$F_{B} = V \times d_{2} \times g$,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
$V = \frac{m}{d_{1}}$ હોવાથી,$F_{B} = \frac{m}{d_{1}} \times d_{2} \times g$ મળે.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_{V} = m g - (\frac{m}{d_{1}} \times d_{2} \times g)$
$F_{V} = m g (1 - \frac{d_{2}}{d_{1}})$

(D) ટર્મિનલ વેગ પર,સ્નિગ્ધતા બળ એ પાણીના ટીપાના વજન જેટલું હોય છે (કારણ કે ઉત્પ્લાવક બળ અવગણવામાં આવે છે).
$6 \pi \eta r v_t = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$
ટર્મિનલ વેગ $v_t$ માટે સૂત્ર:
$v_t = \frac{2 r^2 \rho g}{9 \eta}$
આપેલ કિંમતો:
$r = 1\,\mu m = 10^{-6}\,m$
$\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,Nsm^{-2}$
$\rho = 10^3\,kgm^{-3}$
$g = 10\,ms^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_t = \frac{2 \times (10^{-6})^2 \times 10^3 \times 10}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}$
$v_t = \frac{2 \times 10^{-12} \times 10^4}{16.2 \times 10^{-5}}$
$v_t = \frac{2 \times 10^{-8}}{16.2 \times 10^{-5}} = \frac{2}{16.2} \times 10^{-3} \approx 0.1234 \times 10^{-3} = 123.4 \times 10^{-6}\,ms^{-1}$

(D) $h$ ઊંચાઈ પરથી પડ્યા પછી દડાનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણીની અંદર વેગ અચળ રહેતો હોવાથી,આ વેગ પાણીમાં દડાના ટર્મિનલ વેગ $v_t$ જેટલો હોવો જોઈએ.
ટર્મિનલ વેગનું સૂત્ર $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho - \rho_w) g}{\eta}$ છે.
આપેલ છે: $r = 0.1 \,mm = 10^{-4} \,m$,$\rho = 10^4 \,kg \,m^{-3}$,$\rho_w = 10^3 \,kg \,m^{-3}$,$\eta = 1.0 \times 10^{-5} \,N \,s \,m^{-2}$,$g = 10 \,m \,s^{-2}$.
$v = v_t$ ને સરખાવતા:
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \frac{(10^{-4})^2 (10^4 - 10^3) \times 10}{10^{-5}}$
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \frac{10^{-8} \times 9 \times 10^3 \times 10}{10^{-5}}$
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \times 9 \times 10^{-8+4+5} = 2 \times 10^1 = 20 \,m/s$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2gh = 400$.
$2 \times 10 \times h = 400$.
$20h = 400 \implies h = 20 \,m$.

(B) જેમ કે પરપોટો સ્થિર ગતિથી ઉપર જઈ રહ્યો છે,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
પરપોટો ઉપર જઈ રહ્યો હોવાથી,ઉત્પ્લાવક બળ $(B)$ ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યારે સ્નિગ્ધતા બળ $(F)$ અને વજન $(mg)$ નીચેની તરફ લાગે છે. હવાની ઘનતા અવગણ્ય હોવાથી,$mg \approx 0$.
તેથી,$B = F$.
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$F = 6 \pi \eta R v$ અને ઉત્પ્લાવક બળ $B = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi R^3 \rho g = 6 \pi \eta R v$.
$\eta$ માટે સૂત્ર: $\eta = \frac{2 R^2 \rho g}{9 v}$.
આપેલ છે: $R = 1\,mm = 10^{-3}\,m$,$\rho = 1750\,kg\,m^{-3}$,$g = 10\,m\,s^{-2}$,$v = 0.35 \times 10^{-2}\,m\,s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = \frac{2 \times (10^{-3})^2 \times 1750 \times 10}{9 \times 0.35 \times 10^{-2}} = 1.11\,Pa\,s$.
$1\,Pa\,s = 10\,poise$ હોવાથી,$\eta = 1.11 \times 10 = 11.1\,poise$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $11$ છે.

(C) જ્યારે દડાનો વેગ અચળ બને છે,ત્યારે તેને ટર્મિનલ વેગ કહેવામાં આવે છે. આ સ્થિતિમાં,દડા પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે.
$F_V + F_B = mg$
જ્યાં $F_V$ એ સ્નિગ્ધ બળ છે,$F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે,અને $mg$ એ દડાનું વજન છે.
$F_V = mg - F_B = V \rho_B g - V \rho_L g = V g (\rho_B - \rho_L)$
આપેલ છે: દળ $m = 0.3 \, g = 0.3 \times 10^{-3} \, kg$,દડાની ઘનતા $\rho_B = 8 \, g/cc = 8000 \, kg/m^3$,ગ્લિસરીનની ઘનતા $\rho_L = 1.3 \, g/cc = 1300 \, kg/m^3$.
કદ $V = \frac{m}{\rho_B} = \frac{0.3 \times 10^{-3} \, kg}{8000 \, kg/m^3} = \frac{0.3}{8} \times 10^{-6} \, m^3$.
$F_V = (8000 - 1300) \times (\frac{0.3}{8} \times 10^{-6}) \times 10$
$F_V = 6700 \times \frac{0.3}{8} \times 10^{-5} = 67 \times \frac{0.3}{8} \times 10^{-3} = \frac{20.1}{8} \times 10^{-3} = 2.5125 \times 10^{-3} = 25.125 \times 10^{-4} \, N$.
આમ,$x = 25.125$.

(A) જ્યારે કોઈ કણ પ્રવાહીમાં પડે છે,ત્યારે તેના પર ત્રણ બળો કાર્ય કરે છે: નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$,ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$,અને ઉપરની તરફ અવરોધક બળ $(F_R)$.
કણ પરનું કુલ બળ $F_{net} = mg - F_B - F_R$ છે.
આપેલ છે કે અવરોધક બળ તેની ઝડપના વર્ગના પ્રમાણમાં છે,તેથી $F_R = kv^2$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
શરૂઆતમાં,$t = 0$ સમયે,ઝડપ $v = 0$ છે,તેથી અવરોધક બળ $F_R = 0$ છે. પ્રવેગ મહત્તમ હોય છે,અને ઝડપ વધવાનું શરૂ થાય છે.
જેમ જેમ ઝડપ $v$ વધે છે,તેમ અવરોધક બળ $F_R = kv^2$ પણ વધે છે. પરિણામે,કુલ બળ $F_{net} = mg - F_B - kv^2$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ $(a = F_{net}/m)$ ઘટે છે.
અંતે,અવરોધક બળ એટલું વધે છે કે કુલ બળ શૂન્ય થઈ જાય છે $(mg - F_B - kv^2 = 0)$. આ બિંદુએ,પ્રવેગ શૂન્ય થઈ જાય છે,અને કણ અચળ ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
સમય $t$ વિરુદ્ધ ઝડપ $v$ નો આલેખ ઝડપમાં શરૂઆતનો વધારો અને ઘટતો ઢાળ દર્શાવવો જોઈએ,જે અંતે અચળ મૂલ્ય (એસીમ્પ્ટોટ) તરફ જાય છે. આલેખ $(a)$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(B) દડાનો વેગ એ અંતર-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખનો છેલ્લો ભાગ એક સીધી રેખા છે,જે સૂચવે છે કે વેગ અચળ છે,એટલે કે ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત થઈ ગયો છે.
આલેખના ડેટા પરથી,આપણે રેખીય ભાગ પર બે બિંદુઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ: $(t_1 = 1.6 \, s, x_1 = 0.3 \, m)$ અને $(t_2 = 1.9 \, s, x_2 = 0.4 \, m)$.
ટર્મિનલ વેગ $v$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$v = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$
$v = \frac{0.4 - 0.3}{1.9 - 1.6}$
$v = \frac{0.1}{0.3} \approx 0.33 \, m/s$.
આમ,ટર્મિનલ વેગ $0.33 \, m/s$ ની સૌથી નજીક છે.

(B) જ્યારે કોઈ દડાને તેના ટર્મિનલ વેગ $v_t$ કરતા વધારે પ્રારંભિક વેગ $v_0$ સાથે સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં નીચેની તરફ ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે દડા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ), ઉત્પ્લાવક બળ ($F_B$ ઉપરની તરફ) અને સ્નિગ્ધ ખેંચાણ બળ ($F_v = 6\pi\eta rv$ ઉપરની તરફ) છે.
ચોખ્ખું બળ $F_{net} = mg - F_B - 6\pi\eta rv = ma$ છે.
જેમ જેમ વેગ $v$ ઘટે છે, તેમ સ્નિગ્ધ ખેંચાણ બળ ઘટે છે જ્યાં સુધી ચોખ્ખું બળ શૂન્ય ન થાય, જે બિંદુએ દડો તેના ટર્મિનલ વેગ $v_t$ સુધી પહોંચે છે.
પ્રારંભિક વેગ ટર્મિનલ વેગ કરતા વધારે હોવાથી, વેગ ટર્મિનલ વેગના મૂલ્ય તરફ ઘટશે.
વક્ર $B$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે વેગ શૂન્ય ન હોય તેવા પ્રારંભિક મૂલ્યથી શરૂ થઈને અચળ ટર્મિનલ વેગ તરફ જાય છે.

(A) જ્યારે પ્રવાહીનું ટીપું હવામાંથી નીચે પડે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,ઉત્પ્લાવક બળ અને સ્નિગ્ધતા બળ વચ્ચેના સંતુલનને કારણે તે અંતે અચળ ટર્મિનલ વેગ $V_t$ પ્રાપ્ત કરે છે.
ટીપાં પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: $F_g = mg$
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ: $F_b = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_{air} g$
$3$. સ્નિગ્ધતા બળ (સ્ટોક્સનો નિયમ): $F_v = 6 \pi \eta r V_t$
ટર્મિનલ વેગ પર,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે:
$mg - F_b = F_v$
$mg - \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_{air} g = 6 \pi \eta r V_t$
$V_t$ માટે ઉકેલતા:
$V_t = \frac{mg - \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_{air} g}{6 \pi \eta r}$
હવાની ઘનતા $\rho_{air}$ પ્રવાહીની ઘનતાની સરખામણીમાં ખૂબ ઓછી હોવાથી,ઉત્પ્લાવક બળ અવગણ્ય છે. તેથી:
$V_t \approx \frac{mg}{6 \pi \eta r}$
આમ,$V_t \propto \frac{m}{r}$.

(A) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V_T = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$V_T \propto r^2$.
ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને નવા બનેલા મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદના સંરક્ષણ મુજબ,નવા ટીપાંનું કદ બે નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 2r^3 \Rightarrow R = 2^{1/3}r$.
હવે,નવા ટર્મિનલ વેગ $V'$ અને પ્રારંભિક ટર્મિનલ વેગ $V$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{V'}{V} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2^{1/3}r)^2}{r^2} = (2^{1/3})^2 = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$.
અહીં $V = 5 \, cm/s$ આપેલ છે,તેથી નવો ટર્મિનલ વેગ $V'$:
$V' = 5 \times 4^{1/3} \, cm/s$.

(D) જ્યારે પાણીનું એક નાનું ટીપું હવા જેવા સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડે છે,ત્યારે તે ત્રણ બળો અનુભવે છે: નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,અને ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ અને સ્નિગ્ધતાનું ઘર્ષણ બળ.
જેમ જેમ ટીપાનો વેગ વધે છે,તેમ સ્નિગ્ધતાનું ઘર્ષણ બળ વધે છે.
અંતે,જ્યારે સ્નિગ્ધતાનું ઘર્ષણ બળ અને ઉત્પ્લાવક બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે,ત્યારે ટીપા પરનું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આ બિંદુએ,ટીપું અચળ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે જેને ટર્મિનલ વેગ કહેવામાં આવે છે,જે $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ટર્મિનલ વેગ માત્ર પ્રવાહી અને ટીપાના ગુણધર્મો પર આધાર રાખે છે,અને તે ઊંચાઈ $h$ પર આધાર રાખતું નથી (જો $h$ એટલું મોટું હોય કે ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત થઈ શકે),તેથી અંતિમ વેગ $h$ થી લગભગ સ્વતંત્ર છે.

(B) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$\eta$ સ્નિગ્ધતા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં પડતા $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_T = \frac{2 r^2}{9 \eta} (\sigma - \rho) g$
જ્યાં $\sigma$ એ ગોળાકાર પદાર્થની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ટર્મિનલ વેગ એ ગોળાની ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$v_T \propto r^2$.

(B) જ્યારે એક પ્રવાહીનું ગોળાકાર ટીપું બીજા પ્રવાહીમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે સ્નિગ્ધ ઘર્ષણ બળ અનુભવે છે. સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $r$ ત્રિજ્યાના ગોળા પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $F_v = 6 \pi \eta r v$ છે.
આ કિસ્સામાં,તેલનું ટીપું આસપાસના પ્રવાહીમાંથી ગતિ કરી રહ્યું છે. તેલના ટીપાની આંતરિક સ્નિગ્ધતા $(\eta_0)$ બાહ્ય ઘર્ષણ બળને અસર કરતી નથી કારણ કે ટીપાની અંદરનું તેલ ટીપાની સપાટીની સાપેક્ષમાં એક સખત પદાર્થ તરીકે ગતિ કરે છે. ગતિ સામેનો અવરોધ આસપાસના પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા $(\eta_L)$ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે.
તેથી,ઉપર આવતા તેલના ટીપાનો અંતિમ વેગ માત્ર આસપાસના પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા $\eta_L$ પર આધાર રાખે છે.

(C) જ્યારે દડો ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે,ત્યારે તેના પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,સ્નિગ્ધ બળ $F_v$ એ દડાના અસરકારક વજન જેટલું હોય છે.
$F_v = W - F_B = V(\sigma - \rho)g$
જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ છે,$\sigma$ એ દડાની ઘનતા છે,અને $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (10^{-3} \ m)^3 = \frac{88}{21} \times 10^{-9} \ m^3$.
ઘનતાનો તફાવત $(\sigma - \rho) = (10.5 - 1.5) \ g/cc = 9 \ g/cc = 9000 \ kg/m^3$.
$F_v = \left( \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 10^{-9} \right) \times 9000 \times 9.8 = 36960 \times 10^{-9} = 3696 \times 10^{-8} \ N$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$x=7$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં $v$ ટર્મિનલ વેગથી ગતિ કરતા $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર પદાર્થ પર લાગતું સ્નિગ્ધ ડ્રેગ બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = 6 \pi \eta r v$
આપેલ કિંમતો:
ત્રિજ્યા $r = 5\,mm = 5 \times 10^{-3}\,m$
વેગ $v = 10\,cm\,s^{-1} = 10 \times 10^{-2}\,m\,s^{-1} = 0.1\,m\,s^{-1}$
સ્નિગ્ધતા $\eta = 0.9\,kg\,m^{-1}s^{-1}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F = 6 \times 3.14 \times 0.9 \times (5 \times 10^{-3}) \times (0.1)$
$F = 6 \times 3.14 \times 0.9 \times 5 \times 10^{-4}$
$F = 84.78 \times 10^{-4}\,N$
$F = 8.478 \times 10^{-3}\,N \approx 8.48 \times 10^{-3}\,N$