Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Hindi

(A) कथन $p$ के लिए: $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $2\sin 120^\circ = \sqrt{3}$.
दाहिनी ओर $\theta = 240^\circ$ रखने पर: $\sqrt{1 + \sin 240^\circ} - \sqrt{1 - \sin 240^\circ} = \sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} - \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = -1 \neq \sqrt{3}$. अतः,कथन $p$ असत्य है।
कथन $q$ के लिए: किसी भी चतुर्भुज $ABCD$ में,$A + B + C + D = 360^\circ$,इसलिए $\frac{A+C}{2} + \frac{B+D}{2} = 180^\circ = \pi$.
मान लीजिए $\alpha = \frac{A+C}{2}$,तो $\frac{B+D}{2} = \pi - \alpha$.
अतः,$\cos(\alpha) + \cos(\pi - \alpha) = \cos(\alpha) - \cos(\alpha) = 0$. अतः,कथन $q$ सत्य है।
इसलिए,सत्यता मान $F, T$ हैं।

(D) माना $f(x) = \sqrt{2 \sin^4 x + 18 \cos^2 x} - \sqrt{2 \cos^4 x + 18 \sin^2 x}$ है।
हमें $|f(x)| = 1$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $f(x) = 1$ या $f(x) = -1$ है।
$u = \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने और समीकरण को हल करने पर,अंतराल $[0, 2\pi]$ में $x$ के $8$ हल प्राप्त होते हैं।

(C) समुच्चय $P$ के लिए,हमारे पास $\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\sin \theta = (\sqrt{2} + 1) \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$(\sqrt{2} - 1)$ से गुणा करने पर,$(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) \cos \theta$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = \cos \theta$ हो जाता है।
अतः,$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta$ प्राप्त होता है।
यह समुच्चय $Q$ के लिए निर्धारित शर्त है।
इसलिए,$P = Q$.

(B) दिया है $\cos \alpha + \cos \beta = \frac{3}{2}$ और $\sin \alpha + \sin \beta = \frac{1}{2}$।
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{3}{2}$ $(i)$
$2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{1}{2}$ $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर $\tan \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta = \frac{\alpha+\beta}{2}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{1}{3}$।
हमें $\sin 2\theta + \cos 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} + \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ ज्ञात करना है।
$\tan \theta = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$= \frac{2(1/3)}{1 + 1/9} + \frac{1 - 1/9}{1 + 1/9} = \frac{2/3}{10/9} + \frac{8/9}{10/9} = \frac{6}{10} + \frac{8}{10} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$।

(D) दिया गया है $2 \cos \theta + \sin \theta = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(2 \cos \theta + \sin \theta)^2 = 1^2$.
$4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ रखने पर,$4 \cos^2 \theta + (1 - \cos^2 \theta) + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$.
$3 \cos^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 0$.
$\cos \theta (3 \cos \theta + 4 \sin \theta) = 0$.
चूंकि $\theta \neq \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos \theta \neq 0$,अतः $3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = -\frac{3}{4}$.
दिए गए समीकरण में मान रखने पर,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ और $\sin \theta = -\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$7 \cos \theta + 6 \sin \theta = 7(\frac{4}{5}) + 6(-\frac{3}{5}) = \frac{28}{5} - \frac{18}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

(A) चूंकि $\sec(\theta - \phi)$,$\sec \theta$,और $\sec(\theta + \phi)$ $A.P.$ में हैं,इसलिए:
$2 \sec \theta = \sec(\theta - \phi) + \sec(\theta + \phi)$
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{\cos(\theta + \phi) + \cos(\theta - \phi)}{\cos(\theta - \phi) \cos(\theta + \phi)}$
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{2 \cos \theta \cos \phi}{\cos^2 \theta - \sin^2 \phi}$
$\cos^2 \theta - \sin^2 \phi = \cos^2 \theta \cos \phi$
$\cos^2 \theta (1 - \cos \phi) = \sin^2 \phi = 1 - \cos^2 \phi$
$\cos^2 \theta = 1 + \cos \phi = 2 \cos^2(\frac{\phi}{2})$
$\cos \theta = \pm \sqrt{2} \cos(\frac{\phi}{2})$
दिया गया है कि $\cos \theta = k \cos(\frac{\phi}{2})$,इसलिए $k = \pm \sqrt{2}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $E = 3(\sin \theta - \cos \theta)^4 + 6(\sin \theta + \cos \theta)^2 + 4\sin^6 \theta$
$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - \sin 2\theta$ और $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$E = 3(1 - \sin 2\theta)^2 + 6(1 + \sin 2\theta) + 4\sin^6 \theta$
$E = 3(1 - 2\sin 2\theta + \sin^2 2\theta) + 6 + 6\sin 2\theta + 4\sin^6 \theta$
$E = 9 + 3\sin^2 2\theta + 4\sin^6 \theta$
$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ रखने पर:
$E = 9 + 12\sin^2 \theta \cos^2 \theta + 4\sin^6 \theta$
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$:
$E = 9 + 12(1 - \cos^2 \theta)\cos^2 \theta + 4(1 - \cos^2 \theta)^3$
$E = 13 - 4\cos^6 \theta$

(A) $f_4(x) = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{4} = \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{4} = \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$
$f_6(x) = \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{6} = \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)}{6} = \frac{1 - 3\sin^2 x \cos^2 x}{6} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$
$f_4(x) - f_6(x) = (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x)$
$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12}$

(D) $AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin^4 \alpha + 4 \cos^4 \beta + 1 + 1}{4} \geq (\sin^4 \alpha \cdot 4 \cos^4 \beta \cdot 1 \cdot 1)^{1/4}$
$\sin^4 \alpha + 4 \cos^4 \beta + 2 \geq 4\sqrt{2} \sin \alpha \cos \beta$
समानता के लिए,$\sin^4 \alpha = 1$ और $4 \cos^4 \beta = 1$ होगा।
अतः,$\sin \alpha = 1$ और $\cos \beta = \pm 1/\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$\alpha = \pi/2$ और $\beta = \pi/4$ या $3\pi/4$ लेने पर,
$\cos(\alpha + \beta) = -1/\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $E = \cos^2 10^o - \cos 10^o \cos 50^o + \cos^2 50^o$.
$\frac{2}{2}$ से गुणा करने पर,$E = \frac{1}{2} (2 \cos^2 10^o - 2 \cos 10^o \cos 50^o + 2 \cos^2 50^o)$.
$2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ और $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{2} [(1 + \cos 20^o) - (\cos 60^o + \cos(-40^o)) + (1 + \cos 100^o)]$.
$E = \frac{1}{2} [2 + \cos 20^o - \frac{1}{2} - \cos 40^o + \cos 100^o]$.
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^o - 2 \sin 70^o \sin 30^o]$.
चूंकि $\sin 30^o = \frac{1}{2}$ और $\sin 70^o = \cos 20^o$:
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^o - \cos 20^o] = \frac{3}{4}$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin\theta \sin(60^o - \theta) \sin(60^o + \theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$।
दिया गया व्यंजक: $E = \sin\,10^o \sin\,30^o \sin\,50^o \sin\,70^o$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $E = \sin\,30^o \times [\sin\,10^o \sin(60^o - 10^o) \sin(60^o + 10^o)]$।
$\theta = 10^o$ के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $E = \sin\,30^o \times [\frac{1}{4} \sin(3 \times 10^o)]$।
$E = \sin\,30^o \times \frac{1}{4} \sin\,30^o$।
चूंकि $\sin\,30^o = \frac{1}{2}$,इसलिए $E = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$।

(C) दिया गया समीकरण: $y = \sin \,x \sin \,(x + 2) - \sin^2 \,(x + 1)$
$2$ से गुणा करने पर: $2y = 2 \sin \,x \sin \,(x + 2) - 2 \sin^2 \,(x + 1)$
सर्वसमिका $2 \sin \,A \sin \,B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \,x \sin \,(x + 2) = \cos(x - (x + 2)) - \cos(x + x + 2) = \cos(-2) - \cos(2x + 2) = \cos \,2 - \cos(2x + 2)$
सर्वसमिका $2 \sin^2 \,A = 1 - \cos(2A)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin^2 \,(x + 1) = 1 - \cos(2(x + 1)) = 1 - \cos(2x + 2)$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2y = (\cos \,2 - \cos(2x + 2)) - (1 - \cos(2x + 2))$
$2y = \cos \,2 - 1$
चूंकि $\cos \,2 < 1$,इसलिए $y < 0$ प्राप्त होता है।
यह एक क्षैतिज रेखा $y = k$ को दर्शाता है जहाँ $k < 0$,जो तृतीय और चतुर्थ चतुर्थांश से होकर गुजरती है।

(C) दिया गया समीकरण: $\cos 2x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$
$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$1 - 2 \sin^2 x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$
$2 \sin^2 x - \alpha \sin x + 2\alpha - 8 = 0$
यह $\sin x$ में एक द्विघात समीकरण है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sin x = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 16\alpha + 64}}{4} = \frac{\alpha \pm (\alpha - 8)}{4}$
स्थिति $1$: $\sin x = \frac{2\alpha - 8}{4} = \frac{\alpha - 4}{2}$
स्थिति $2$: $\sin x = 2$ (संभव नहीं है)
हल के अस्तित्व के लिए,$-1 \leq \frac{\alpha - 4}{2} \leq 1$
$-2 \leq \alpha - 4 \leq 2$
$2 \leq \alpha \leq 6$
अतः,$S = [2, 6]$.

(B) दिया गया समीकरण $(k+1) \tan^{2} x - (\sqrt{2} \lambda) \tan x + (k-1) = 0$ है।
माना $t = \tan x$,तब $(k+1) t^{2} - (\sqrt{2} \lambda) t + (k-1) = 0$.
चूँकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,$\tan \alpha$ और $\tan \beta$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
मूलों का योग: $\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1}$.
मूलों का गुणनफल: $\tan \alpha \tan \beta = \frac{k-1}{k+1}$.
सूत्र $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1}}{1 - \frac{k-1}{k+1}} = \frac{\sqrt{2} \lambda}{2} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$.
दिया है $\tan^{2}(\alpha+\beta) = 50$,इसलिए $\left(\frac{\lambda}{\sqrt{2}}\right)^{2} = 50$.
$\frac{\lambda^{2}}{2} = 50 \implies \lambda^{2} = 100 \implies \lambda = \pm 10$.
अतः,$\lambda$ का एक संभावित मान $10$ है।

(A) दिया गया है $\frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{1+\cos 2 \alpha}}=\frac{1}{7}$। चूंकि $1+\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha$,इसलिए $\frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} \cos \alpha} = \tan \alpha = \frac{1}{7}$।
दिया गया है $\sqrt{\frac{1-\cos 2 \beta}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$। चूंकि $1-\cos 2 \beta = 2 \sin^2 \beta$,इसलिए $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$।
$\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ होने पर,$\tan \beta = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan 2 \beta = \frac{2 \tan \beta}{1-\tan^2 \beta} = \frac{3}{4}$ का उपयोग करने पर।
अंत में,$\tan (\alpha+2 \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan 2 \beta}{1 - \tan \alpha \tan 2 \beta} = \frac{1/7 + 3/4}{1 - (1/7)(3/4)} = 1$।

(C) माना $\theta = \frac{\pi}{8}$। तब $\frac{3\pi}{8} = 3\theta$।
दिया गया व्यंजक $\cos^{3}(\theta) \cos(3\theta) + \sin^{3}(\theta) \sin(3\theta)$ है।
हम जानते हैं कि $\cos(\frac{3\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8})$ और $\sin(\frac{3\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$।
मान रखने पर: $\cos^{3}(\frac{\pi}{8}) \sin(\frac{\pi}{8}) + \sin^{3}(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8})$।
$\sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8})$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8}) [\cos^{2}(\frac{\pi}{8}) + \sin^{2}(\frac{\pi}{8})]$।
चूंकि $\cos^{2}(\theta) + \sin^{2}(\theta) = 1$,यह $\sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8})$ हो जाता है।
$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$।

(A) $L.H.S. = \cot x \cot 2x - \cot 2x \cot 3x - \cot 3x \cot x$
$= \cot x \cot 2x - \cot 3x(\cot 2x + \cot x)$
$= \cot x \cot 2x - \cot(2x + x)(\cot 2x + \cot x)$
$= \cot x \cot 2x - \left[ \frac{\cot 2x \cot x - 1}{\cot x + \cot 2x} \right](\cot 2x + \cot x)$
$\left[ \because \cot(A + B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B} \right]$
$= \cot x \cot 2x - (\cot 2x \cot x - 1) = 1 = R.H.S.$

(N/A) $L.H.S.$ $= (\sin 3x + \sin x) \sin x + (\cos 3x - \cos x) \cos x$
$= \sin 3x \sin x + \sin^2 x + \cos 3x \cos x - \cos^2 x$
$= (\cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x) - (\cos^2 x - \sin^2 x)$
$= \cos(3x - x) - \cos 2x$
$= \cos 2x - \cos 2x$
$= 0$
$= R.H.S.$

(A) मान लीजिए $A, B, C$ के निर्देशांक $(R\cos \alpha, R\sin \alpha), (R\cos \beta, R\sin \beta)$ और $(R\cos \gamma, R\sin \gamma)$ हैं।
परिकेंद्र मूलबिंदु पर होने के कारण,$A, B, C$ की मूलबिंदु से दूरी $R$ है।
$\Delta ABC$ का लंबकेंद्र $H$ $(R(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma), R(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma))$ है।
चूंकि लंबकेंद्र $y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक शून्य होगा:
$R(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) = 0 \implies \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$.
सर्वसमिका $\cos^3 \theta = \frac{1}{4}(\cos 3\theta + 3\cos \theta)$ का उपयोग करने पर,$\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma = 4(\cos^3 \alpha + \cos^3 \beta + \cos^3 \gamma) - 3(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma)$.
यदि $a+b+c=0$ है,तो $a^3+b^3+c^3 = 3abc$ होता है।
अतः,$\cos^3 \alpha + \cos^3 \beta + \cos^3 \gamma = 3 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.
इस मान को रखने पर:
$\frac{\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma} = \frac{4(3 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma) - 0}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma} = 12$.
अतः,अभीष्ट मान $12^2 = 144$ है।

(D) दिया गया है $15 \sin^{4} \alpha + 10 \cos^{4} \alpha = 6$.
हम जानते हैं कि $6 = 6(\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha)^{2} = 6(\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha + 2 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha)$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$15 \sin^{4} \alpha + 10 \cos^{4} \alpha = 6 \sin^{4} \alpha + 6 \cos^{4} \alpha + 12 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha$.
$9 \sin^{4} \alpha + 4 \cos^{4} \alpha - 12 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha = 0$.
$(3 \sin^{2} \alpha - 2 \cos^{2} \alpha)^{2} = 0$.
इससे $3 \sin^{2} \alpha = 2 \cos^{2} \alpha$ प्राप्त होता है,अतः $\tan^{2} \alpha = \frac{2}{3}$ और $\cot^{2} \alpha = \frac{3}{2}$.
अब,$27 \sec^{6} \alpha + 8 \operatorname{cosec}^{6} \alpha = 27(1 + \tan^{2} \alpha)^{3} + 8(1 + \cot^{2} \alpha)^{3}$.
$= 27(1 + \frac{2}{3})^{3} + 8(1 + \frac{3}{2})^{3}$.
$= 27(\frac{5}{3})^{3} + 8(\frac{5}{2})^{3}$.
$= 27 \times \frac{125}{27} + 8 \times \frac{125}{8}$.
$= 125 + 125 = 250$.

(B) दिया गया है कि $\cos x + \cos y - \cos(x + y) = \frac{3}{2}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = y$ और $\cos x = \frac{1}{2}$.
अतः,$x = \frac{\pi}{3}$ और $y = \frac{\pi}{3}$.
अब,$\sin x + \cos y = \sin(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$.

(D) हमें दिया गया है $p = \sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{1}{2 r^{2}}$.
सबसे पहले,$\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ सूत्र का उपयोग करने के लिए अंश और हर को $2$ से गुणा करें।
$p = \sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{2}{4 r^{2}} = \sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{(2r+1)-(2r-1)}{1+(2r+1)(2r-1)}$.
यह $\sum_{r=1}^{n} (\tan ^{-1}(a_{r+1}) - \tan ^{-1}(a_r))$ के रूप में एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है।
$p = (\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 1) + (\tan ^{-1} 5 - \tan ^{-1} 3) + \dots + (\tan ^{-1} 101 - \tan ^{-1} 99)$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,जिससे $p = \tan ^{-1} 101 - \tan ^{-1} 1$ बचेगा।
सूत्र $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करने पर,हमें $p = \tan ^{-1} \frac{101-1}{1+(101)(1)} = \tan ^{-1} \frac{100}{102} = \tan ^{-1} \frac{50}{51}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan p = \frac{50}{51}$।

(C) माना व्यंजक $E = 2 \sin(\frac{\pi}{8}) \sin(\frac{2\pi}{8}) \sin(\frac{3\pi}{8}) \sin(\frac{5\pi}{8}) \sin(\frac{6\pi}{8}) \sin(\frac{7\pi}{8})$ है।
गुणधर्म $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin(\frac{7\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8})$,$\sin(\frac{6\pi}{8}) = \sin(\frac{2\pi}{8})$,और $\sin(\frac{5\pi}{8}) = \sin(\frac{3\pi}{8})$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$E = 2 \sin^2(\frac{\pi}{8}) \sin^2(\frac{2\pi}{8}) \sin^2(\frac{3\pi}{8})$.
चूंकि $\sin(\frac{2\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\sin^2(\frac{2\pi}{8}) = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$E = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin^2(\frac{\pi}{8}) \sin^2(\frac{3\pi}{8}) = \sin^2(\frac{\pi}{8}) \cos^2(\frac{\pi}{8})$ (क्योंकि $\sin(\frac{3\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$)।
$E = (\sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8}))^2 = (\frac{1}{2} \sin(\frac{2\pi}{8}))^2 = (\frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{4}))^2 = (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}$।

(D) हम जानते हैं कि $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
अतः,$\operatorname{cosec} 18^{\circ} = \frac{1}{\sin 18^{\circ}} = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर,$\operatorname{cosec} 18^{\circ} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \sqrt{5}+1$ प्राप्त होता है।
माना $x = \sqrt{5}+1$.
तब $x-1 = \sqrt{5}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x-1)^{2} = 5$.
$x^{2}-2x+1 = 5$.
$x^{2}-2x-4 = 0$.

(B) दिया गया समीकरण: $32^{\tan^{2} x} + 32^{\sec^{2} x} = 81$
सर्वसमिका $\sec^{2} x = 1 + \tan^{2} x$ का उपयोग करने पर:
$32^{\tan^{2} x} + 32^{1 + \tan^{2} x} = 81$
माना $y = 32^{\tan^{2} x}$. तब समीकरण होगा:
$y + 32y = 81$
$33y = 81$
$y = \frac{81}{33} = \frac{27}{11}$
अतः,$32^{\tan^{2} x} = \frac{27}{11}$.
दोनों पक्षों में $\log_{32}$ लेने पर:
$\tan^{2} x = \log_{32} \left(\frac{27}{11}\right)$.
अंतराल $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए,$0 \leq \tan^{2} x \leq 1$ होता है।
चूंकि $1 < \frac{27}{11} < 32$,इसलिए $0 < \log_{32} \left(\frac{27}{11}\right) < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में $x$ का केवल एक ही मान संभव है।
इसलिए,हलों की संख्या $1$ है।

(C) दिया गया है $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$ $\Rightarrow 1 + \sin(2\theta) = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \sin(2\theta) = -\frac{3}{4}$.
तब $\cos^2(2\theta) = 1 - \sin^2(2\theta) = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.
हमें $16(\sin(2\theta) + \cos(4\theta) + \sin(6\theta))$ का मान ज्ञात करना है।
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: $\sin(2\theta) + \sin(6\theta) = 2\sin(4\theta)\cos(2\theta)$.
अतः व्यंजक $16(2\sin(4\theta)\cos(2\theta) + \cos(4\theta))$ है।
चूंकि $\sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta)$ और $\cos(4\theta) = 2\cos^2(2\theta) - 1$:
$16(4\sin(2\theta)\cos^2(2\theta) + 2\cos^2(2\theta) - 1)$.
मान रखने पर: $16(4(-\frac{3}{4})(\frac{7}{16}) + 2(\frac{7}{16}) - 1) = 16(-\frac{21}{16} + \frac{14}{16} - 1) = 16(-\frac{7}{16} - 1) = -7 - 16 = -23$.

(A) दिया गया है कि $\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), x, \tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right)$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2x = \tan \left(\frac{\pi}{9}\right) + \tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right)$,अर्थात $x = \frac{1}{2} \left(\tan \frac{\pi}{9} + \tan \frac{7 \pi}{18}\right)$.
इसी प्रकार,$\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), y, \tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right)$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2y = \tan \left(\frac{\pi}{9}\right) + \tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right)$.
अब,$|x - 2y|$ का मान ज्ञात करने पर:
$x - 2y = \frac{1}{2} \left(\tan \frac{\pi}{9} + \tan \frac{7 \pi}{18}\right) - \left(\tan \frac{\pi}{9} + \tan \frac{5 \pi}{18}\right)$.
सर्वसमिका $\tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right) = \cot \left(\frac{\pi}{9}\right)$ और $\tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right) = \cot \left(\frac{2 \pi}{9}\right)$ का उपयोग करने पर:
$x - 2y = \frac{1}{2} \left(\cot \frac{\pi}{9} - \tan \frac{\pi}{9}\right) - \cot \frac{2 \pi}{9} = \cot \frac{2 \pi}{9} - \cot \frac{2 \pi}{9} = 0$.
अतः,$|x - 2y| = 0$.

(D) हमारे पास व्यंजक $2 \sin(12^{\circ}) - \sin(72^{\circ})$ है।
सर्वसमिका $\sin(C) - \sin(D) = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$= \sin(12^{\circ}) + (\sin(12^{\circ}) - \sin(72^{\circ}))$
$= \sin(12^{\circ}) - 2 \cos(42^{\circ}) \sin(30^{\circ})$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$= \sin(12^{\circ}) - \cos(42^{\circ})$
$= \sin(12^{\circ}) - \sin(48^{\circ})$
पुनः सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= 2 \cos(30^{\circ}) \sin(-18^{\circ}) = -2 \cos(30^{\circ}) \sin(18^{\circ})$
मान रखने पर:
$= -2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{5})}{4}$

(B) हम सर्वसमिका $\sin(\theta) \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$ का उपयोग करेंगे।
दिया गया व्यंजक: $16 \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \sin(80^{\circ})$.
इसे $16 \sin(20^{\circ}) \sin(60^{\circ}-20^{\circ}) \sin(60^{\circ}+20^{\circ})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\theta = 20^{\circ}$ के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= 16 \times \left( \frac{1}{4} \sin(3 \times 20^{\circ}) \right)$.
$= 4 \sin(60^{\circ})$.
$= 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$.

(C) माना $S = \sin^{2}(10^{\circ}) \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \sin(50^{\circ}) \sin(70^{\circ})$ है।
सर्वसमिका $\sin(\theta) \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$ का उपयोग करने पर,$\sin(10^{\circ}) \sin(50^{\circ}) \sin(70^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$S = \sin(10^{\circ}) \cdot \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \cdot [\sin(10^{\circ}) \sin(50^{\circ}) \sin(70^{\circ})]$
$S = \sin(10^{\circ}) \cdot \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \cdot \frac{1}{8}$।
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{8} \sin(10^{\circ}) \cdot \frac{1}{2} [\cos(20^{\circ}) - \cos(60^{\circ})] = \frac{1}{16} \sin(10^{\circ}) [\cos(20^{\circ}) - \frac{1}{2}]$
$S = \frac{1}{16} \sin(10^{\circ}) \cos(20^{\circ}) - \frac{1}{32} \sin(10^{\circ})$।
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{32} [\sin(30^{\circ}) + \sin(-10^{\circ})] - \frac{1}{32} \sin(10^{\circ})$
$S = \frac{1}{32} [\frac{1}{2} - \sin(10^{\circ})] - \frac{1}{32} \sin(10^{\circ}) = \frac{1}{64} - \frac{1}{16} \sin(10^{\circ})$।
$\alpha - \frac{1}{16} \sin(10^{\circ})$ से तुलना करने पर,$\alpha = \frac{1}{64}$ प्राप्त होता है।
अतः,$16 + \alpha^{-1} = 16 + 64 = 80$।

(A) दिया गया समीकरण: $3 \cos^2 2\theta + 6 \cos 2\theta - 10 \cos^2 \theta + 5 = 0$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$3 \cos^2 2\theta + 6 \cos 2\theta - 10(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}) + 5 = 0$
$3 \cos^2 2\theta + 6 \cos 2\theta - 5 - 5 \cos 2\theta + 5 = 0$
$3 \cos^2 2\theta + \cos 2\theta = 0$
$\cos 2\theta(3 \cos 2\theta + 1) = 0$
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $\cos 2\theta = 0$
$\theta \in [-4\pi, 4\pi]$ के लिए,$2\theta \in [-8\pi, 8\pi]$.
$\cos 2\theta = 0 \implies 2\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,जहाँ $n \in \{-8, -7, \dots, 7\}$.
$[-8\pi, 8\pi]$ अंतराल में $2\theta$ के लिए $16$ मान हैं,इसलिए $\theta$ के लिए $16$ मान प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $\cos 2\theta = -\frac{1}{3}$
चूँकि $-1 < -\frac{1}{3} < 1$,$2\pi$ लंबाई के प्रत्येक अंतराल में $2\theta$ के लिए $2$ हल होते हैं।
$[-8\pi, 8\pi]$ अंतराल में (लंबाई $16\pi$),कुल $8 \times 2 = 16$ हल होते हैं।
अवयवों की कुल संख्या $= 16 + 16 = 32$.

(B) माना $S = 2 \sin \frac{\pi}{22} \sin \frac{3 \pi}{22} \sin \frac{5 \pi}{22} \sin \frac{7 \pi}{22} \sin \frac{9 \pi}{22}$.
$\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ का उपयोग करने पर:
$\sin \frac{\pi}{22} = \cos \frac{5 \pi}{11}, \sin \frac{3 \pi}{22} = \cos \frac{4 \pi}{11}, \sin \frac{5 \pi}{22} = \cos \frac{3 \pi}{11}, \sin \frac{7 \pi}{22} = \cos \frac{2 \pi}{11}, \sin \frac{9 \pi}{22} = \cos \frac{\pi}{11}$.
अतः,$S = 2 \cos \frac{\pi}{11} \cos \frac{2 \pi}{11} \cos \frac{3 \pi}{11} \cos \frac{4 \pi}{11} \cos \frac{5 \pi}{11}$.
सूत्र $\prod_{k=1}^{n} \cos \frac{k \pi}{2n+1} = \frac{1}{2^n}$ का उपयोग करने पर,$n=5$ के लिए,$\prod_{k=1}^{5} \cos \frac{k \pi}{11} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
अतः,$S = 2 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{16}$.

(C) माना $y = 8^{2 \sin^2 \theta}$ है। $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ के कारण,समीकरण $y + \frac{64}{y} = 16$ बन जाता है।
अतः $y^2 - 16y + 64 = 0$,अर्थात $(y - 8)^2 = 0$,जिससे $y = 8$ प्राप्त होता है।
अतः $8^{2 \sin^2 \theta} = 8^1$,जिसका अर्थ है $2 \sin^2 \theta = 1$,या $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$।
इससे $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ प्राप्त होते हैं,इसलिए $n(S) = 4$ है।
प्रत्येक $\theta \in S$ के लिए,$\frac{\pi}{4} + 2\theta \in \{\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}\}$ है।
व्यंजक $\sum \frac{2}{\sin(\frac{\pi}{2} + 4\theta)} = \sum \frac{2}{\cos(4\theta)}$ हो जाता है।
सभी $\theta \in S$ के लिए,$\cos(4\theta) = -1$ होता है।
अतः योग $4 \times (-2) = -8$ है।
अंत में,$n(S) + \text{योग} = 4 - 8 = -4$।

(C) मान लीजिए $\alpha = \theta + (m-1) \frac{\pi}{6}$ और $\beta = \theta + m \frac{\pi}{6}$.
तब $\beta - \alpha = \frac{\pi}{6}$.
योग $\sum_{m=1}^{9} \sec \alpha \sec \beta = \sum_{m=1}^{9} \frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}$ है।
$\sin(\beta - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ से गुणा और भाग करने पर,हमें मिलता है:
$2 \sum_{m=1}^{9} \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos \alpha \cos \beta} = 2 \sum_{m=1}^{9} (\tan \beta - \tan \alpha)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है: $2 \left( \tan \left( \theta + \frac{9\pi}{6} \right) - \tan \theta \right) = 2 (\tan(\theta + \frac{3\pi}{2}) - \tan \theta) = 2(-\cot \theta - \tan \theta)$.
दिया गया है कि $2(-\cot \theta - \tan \theta) = -\frac{8}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\tan \theta + \cot \theta = \frac{4}{\sqrt{3}}$.
मान लीजिए $x = \tan \theta$,तो $x + \frac{1}{x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \implies \sqrt{3}x^2 - 4x + \sqrt{3} = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(\sqrt{3}x - 1)(x - \sqrt{3}) = 0$,इसलिए $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ या $\tan \theta = \sqrt{3}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{6}$ या $\theta = \frac{\pi}{3}$.
$S = \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3} \right\}$,इसलिए $\sum_{\theta \in S} \theta = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.

(A) दिया गया समीकरण: $2 \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) = 4^{x} + 4^{-x}$
हम जानते हैं कि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $2 \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) \leq 2$.
$R$.$H$.$S$. के लिए,समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ के अनुसार,$\frac{4^{x} + 4^{-x}}{2} \geq \sqrt{4^{x} \cdot 4^{-x}} = 1$,जिसका अर्थ है $4^{x} + 4^{-x} \geq 2$.
समीकरण को संतुष्ट करने के लिए,दोनों पक्षों का मान $2$ होना चाहिए।
$2 \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) = 2 \implies \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) = 1$
$4^{x} + 4^{-x} = 2 \implies (2^{x} - 2^{-x})^{2} + 2 = 2 \implies 2^{x} = 2^{-x} \implies x = 0$.
$x = 0$ को कोसाइन भाग में रखने पर: $\cos \left(\frac{0^{2}+0}{6}\right) = \cos(0) = 1$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,समुच्चय $S$ में केवल $1$ अवयव है।

(B) दिया गया त्रिकोणमितीय संबंध:
$(\frac{1}{3} \sin \theta + \frac{2}{3} \cos \theta)^2 = \frac{1}{3} \sin^2 \theta + \frac{2}{3} \cos^2 \theta$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$\frac{1}{9} \sin^2 \theta + \frac{4}{9} \cos^2 \theta + \frac{4}{9} \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{3} \sin^2 \theta + \frac{2}{3} \cos^2 \theta$
$9$ से गुणा करने पर:
$\sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 3 \sin^2 \theta + 6 \cos^2 \theta$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta = 0$
$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 0$
$\sin \theta = \cos \theta \Rightarrow \tan \theta = 1$
$\theta \in [0, \pi]$ के लिए,$\tan \theta = 1$ का अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$A \cap [0, \pi] = \{\frac{\pi}{4}\}$,जिसमें केवल एक बिंदु है।

(D) हमें समुच्चय $S = \{x \in R : \cos(x) + \cos(\sqrt{2}x) < 2\}$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि कोसाइन फलन का अधिकतम मान $1$ होता है,जो तब प्राप्त होता है जब कोण $2\pi$ का पूर्णांक गुणज हो।
$\cos(x) + \cos(\sqrt{2}x) = 2$ होने के लिए,$\cos(x)$ और $\cos(\sqrt{2}x)$ दोनों का एक साथ $1$ होना आवश्यक है।
इसका अर्थ है कि $x = 2n\pi$ और $\sqrt{2}x = 2m\pi$ किसी पूर्णांक $n, m$ के लिए।
यदि $x = 0$ है,तो $n = 0$ और $m = 0$,जो शर्त $\cos(0) + \cos(0) = 1 + 1 = 2$ को संतुष्ट करता है।
यदि $x \neq 0$ है,तो $\frac{\sqrt{2}x}{x} = \frac{2m\pi}{2n\pi} \implies \sqrt{2} = \frac{m}{n}$,जो असंभव है क्योंकि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,योग $\cos(x) + \cos(\sqrt{2}x)$ केवल $x = 0$ के लिए $2$ के बराबर है,और शेष सभी $x \in R \setminus \{0\}$ के लिए यह $2$ से कम रहता है।
इसलिए,$S = R \setminus \{0\}$।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos^2(x \sin(2x)) + \frac{1}{1+x^2} = \cos^2 x + \sec^2 x$ है।
बायां पक्ष $(LHS)$ लें: $f(x) = \cos^2(x \sin(2x)) + \frac{1}{1+x^2}$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $\cos^2(\theta) \leq 1$ और $\frac{1}{1+x^2} \leq 1$ होता है,इसलिए $f(x) \leq 1 + 1 = 2$ है।
दायां पक्ष $(RHS)$ लें: $g(x) = \cos^2 x + \sec^2 x$ है।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ के अनुसार,$\cos^2 x + \sec^2 x \geq 2 \sqrt{\cos^2 x \cdot \sec^2 x} = 2 \sqrt{1} = 2$ है।
समीकरण को संतुष्ट करने के लिए,$f(x) = 2$ और $g(x) = 2$ होना चाहिए।
$g(x) = 2$ तब होता है जब $\cos^2 x = \sec^2 x$,जिसका अर्थ है $\cos^4 x = 1$,यानी $\cos x = \pm 1$,जिसका अर्थ है $x = n\pi$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = \cos^2(0) + \frac{1}{1+0} = 1 + 1 = 2$ और $g(0) = \cos^2(0) + \sec^2(0) = 1 + 1 = 2$ है।
यदि $x = n\pi$ जहाँ $n \neq 0$ है,तो $\frac{1}{1+x^2} < 1$ होगा,इसलिए $f(x) < 2$,जो $f(x) = 2$ का विरोधाभास करता है।
अतः,केवल एक वास्तविक हल $x = 0$ है।

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण: $x(\theta) = |\cos 4\theta| \cos \theta$ और $y(\theta) = |\cos 4\theta| \sin \theta$ हैं।
हम इसे ध्रुवीय रूप में व्यक्त कर सकते हैं,जहाँ $r^2 = x^2 + y^2 = |\cos 4\theta|^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \cos^2 4\theta$ है। अतः,$r = |\cos 4\theta|$ है।
वक्र $r = |\cos 4\theta|$ एक $8$ पंखुड़ियों वाला गुलाब वक्र है क्योंकि $\theta$ का गुणांक $4$ है (सम संख्या होने के कारण,$2n = 8$ पंखुड़ियाँ)।
बिंदुओं का मूल्यांकन:

$\theta$	$x(\theta)$	$y(\theta)$
$0$	$1$	$0$
$45^{\circ}$	$0$	$0$
$90^{\circ}$	$0$	$-1$
$180^{\circ}$	$-1$	$0$

ग्राफ $8$ पंखुड़ियाँ दिखाता है जो अक्षों के सापेक्ष सममित हैं,जो पहले विकल्प से मेल खाता है।

(C) माना $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\cos k^{\circ} \cos (k+1)^{\circ}}$.
$\sin 1^{\circ}$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} \frac{\sin((k+1)^{\circ} - k^{\circ})}{\cos k^{\circ} \cos (k+1)^{\circ}}$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} (\tan (k+1)^{\circ} - \tan k^{\circ})$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\tan 1^{\circ} - \tan 0^{\circ}) + (\tan 2^{\circ} - \tan 1^{\circ}) + \dots + (\tan 45^{\circ} - \tan 44^{\circ})]$.
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\tan 45^{\circ} - \tan 0^{\circ}) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (1 - 0) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 1^{\circ} \approx 0.01745$,इसलिए $S \approx \frac{1}{0.01745} \approx 57.299$.
$57.299$ का पूर्णांक भाग $57$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{\sin (\lambda \alpha) \cos (\lambda \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = \lambda - 1$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{\sin (2 \lambda \alpha)}{\sin (2 \alpha)} = \lambda - 1$
$\Rightarrow \sin (2 \lambda \alpha) = (\lambda - 1) \sin (2 \alpha)$.
यह समीकरण $\lambda = 1$ और $\lambda = 2$ के लिए सत्य है।
अतः,$\lambda$ के दो मान संभव हैं।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\sin(x-a) + \sin(x+a)}{\cos(x-a) - \cos(x+a)}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2\sin A \cos B$ और $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{2\sin x \cos a}{2\sin x \sin a}$
यदि $\sin x \neq 0$ है,तो हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं:
$f(x) = \frac{\cos a}{\sin a} = \cot a$
चूंकि $a$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\cot a$ भी एक स्थिरांक है।
अतः,$f(x)$ एक अचर फलन है।

(D) हमारे पास है,$\tan 81^{\circ} - \tan 63^{\circ} - \tan 27^{\circ} + \tan 9^{\circ}$
$= (\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ}) - (\tan 63^{\circ} + \tan 27^{\circ})$
$= (\cot 9^{\circ} + \tan 9^{\circ}) - (\cot 27^{\circ} + \tan 27^{\circ})$
$= \left(\frac{\cos 9^{\circ}}{\sin 9^{\circ}} + \frac{\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}}\right) - \left(\frac{\cos 27^{\circ}}{\sin 27^{\circ}} + \frac{\sin 27^{\circ}}{\cos 27^{\circ}}\right)$
$= \left(\frac{\cos^2 9^{\circ} + \sin^2 9^{\circ}}{\sin 9^{\circ} \cos 9^{\circ}}\right) - \left(\frac{\cos^2 27^{\circ} + \sin^2 27^{\circ}}{\sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}\right)$
$= \left(\frac{2}{2 \sin 9^{\circ} \cos 9^{\circ}}\right) - \left(\frac{2}{2 \sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}\right)$
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
$= 2 \left(\frac{1}{\sin 18^{\circ}} - \frac{1}{\cos 36^{\circ}}\right)$
$= 2 \left(\frac{4}{\sqrt{5} - 1} - \frac{4}{\sqrt{5} + 1}\right)$
$= 8 \left(\frac{\sqrt{5} + 1 - (\sqrt{5} - 1)}{5 - 1}\right)$
$= 8 \left(\frac{2}{4}\right) = 4$

(C) माना $P = (1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 2^{\circ}) \dots (1+\tan 44^{\circ})(1+\tan 45^{\circ})$.
हम सर्वसमिका $(1+\tan \theta)(1+\tan(45^{\circ}-\theta)) = 2$ का उपयोग करते हैं।
पदों के जोड़े बनाने पर: $(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ}) = 2$,$(1+\tan 2^{\circ})(1+\tan 43^{\circ}) = 2$,...,$(1+\tan 22^{\circ})(1+\tan 23^{\circ}) = 2$.
ऐसे $22$ जोड़े हैं,इसलिए उनका गुणनफल $2^{22}$ है।
अंत में,$(1+\tan 45^{\circ}) = 1+1 = 2$ शेष रहता है।
अतः,कुल गुणनफल $2^{22} \times 2 = 2^{23}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\operatorname{cosec}^2(\alpha+\beta)-\sin^2(\beta-\alpha)+\sin^2(2\alpha-\beta)=\cos^2(\alpha-\beta)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\operatorname{cosec}^2(\alpha+\beta)+\sin^2(2\alpha-\beta)=\cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta)$.
सर्वसमिका $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ का उपयोग करने पर: $\operatorname{cosec}^2(\alpha+\beta)+\sin^2(2\alpha-\beta)=1$.
यह समीकरण तभी संभव है जब $\operatorname{cosec}^2(\alpha+\beta)=1$ और $\sin^2(2\alpha-\beta)=0$ हो।
अतः,$\alpha+\beta = \frac{\pi}{2}$ और $2\alpha-\beta = 0$.
समीकरणों को हल करने पर: $\alpha = \frac{\pi}{6}$ और $\beta = \frac{\pi}{3}$.
इस प्रकार,$\sin(\alpha-\beta) = \sin(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है: $\sin x + \sin y = \frac{7}{5}$ $(i)$
और: $\cos x + \cos y = \frac{1}{5}$ $(ii)$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{7}{5}$ $(iii)$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{5}$ $(iv)$
$(iii)$ को $(iv)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = 7$
सर्वसमिका $\sin(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)}$ का उपयोग करने पर:
$\sin(x+y) = \frac{2(7)}{1 + 7^2} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$

(C) मान लीजिए $a, b, c$ एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
चूंकि $a^2+b^2 \geq 2ab$,$b^2+c^2 \geq 2bc$,और $c^2+a^2 \geq 2ac$,इन असमिकाओं को जोड़ने पर $2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ca)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \geq 1$। अतः $t \geq 1$।
त्रिभुज के लिए,त्रिभुज असमिका के अनुसार $a < b+c$,$b < a+c$,और $c < a+b$।
अतः $a^2 < a(b+c) = ab+ac$,$b^2 < ab+bc$,और $c^2 < ac+bc$।
योग करने पर $a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t < 2$।
अतः,$t$ के संभावित मानों का समुच्चय $\{x \in \mathbb{R} \mid 1 \leq x < 2\}$ है।

(D) $1$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित $n$ भुजाओं वाले नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल $A_n = \frac{n}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ होता है।
पंचभुज $(n=5)$ के लिए,$X = \frac{5}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$।
षट्भुज $(n=6)$ के लिए,$Y = \frac{6}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)$।
सप्तभुज $(n=7)$ के लिए,$Z = \frac{7}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$।
$n$ से विभाजित करने पर,$\frac{X}{5} = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$,$\frac{Y}{6} = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)$,और $\frac{Z}{7} = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,अंतर्निहित बहुभुज का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल $(\pi)$ के करीब पहुंचता है,इसलिए $X < Y < Z$ होता है।
साथ ही,चूंकि $\frac{2\pi}{5} > \frac{2\pi}{6} > \frac{2\pi}{7}$,इसलिए $\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) > \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) > \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ होता है।
अतः,$\frac{X}{5} > \frac{Y}{6} > \frac{Z}{7}$।

(A) $H:M$ पर घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच का कोण $\theta = |30H - 5.5M|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$H = 6$ और $M = 15$ के लिए:
$\theta = |30(6) - 5.5(15)| = |180 - 82.5| = 97.5^{\circ}$.
मान लीजिए कि दो कोण $\alpha$ और $\beta$ हैं। हमारे पास $\alpha = 97.5^{\circ}$ और $\alpha + \beta = 360^{\circ}$ है।
तब $\beta = 360^{\circ} - 97.5^{\circ} = 262.5^{\circ}$.
इन दो कोणों के बीच का अंतर $\beta - \alpha = 262.5^{\circ} - 97.5^{\circ} = 165^{\circ}$ है।