Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Hindi

(A) दिया गया है $\sin A = n \sin (A + 2B)$.
हम इसे $\frac{\sin A}{\sin (A + 2B)} = n$ के रूप में लिख सकते हैं।
योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{\sin (A + 2B) + \sin A}{\sin (A + 2B) - \sin A} = \frac{1 + n}{1 - n}$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \sin(A + B) \cos B}{2 \cos(A + B) \sin B} = \frac{1 + n}{1 - n}$.
$\tan (A + B) \cot B = \frac{1 + n}{1 - n}$.
अतः,$\tan (A + B) = \frac{1 + n}{1 - n} \tan B$.

(A) दिया है: $\sin A + \sin B = x$ $(1)$ और $\cos A + \cos B = y$ $(2)$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) = x$ $(3)$
$2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) = y$ $(4)$
$(3)$ को $(4)$ से विभाजित करने पर:
$\tan(\frac{A+B}{2}) = \frac{x}{y}$.
हम जानते हैं कि $\sin(A+B) = \frac{2 \tan(\frac{A+B}{2})}{1 + \tan^2(\frac{A+B}{2})}$.
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(A+B) = \frac{2(x/y)}{1 + (x/y)^2} = \frac{2x/y}{(y^2 + x^2)/y^2} = \frac{2xy}{x^2 + y^2}$.

(A) दिया गया है $\sin \theta = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{x})$.
चूंकि $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,और किसी भी वास्तविक $x \neq 0$ के लिए,$|x + \frac{1}{x}| \geq 2$,इसलिए $|\sin \theta| = \frac{1}{2} |x + \frac{1}{x}| \geq 1$ होता है।
अतः,$\sin \theta$ का मान केवल $1$ या $-1$ हो सकता है।
यदि $\sin \theta = 1$ है,तो $x + \frac{1}{x} = 2$,जिसका अर्थ है $x = 1$ है।
तब $\sin 3 \theta = \sin(3 \times 90^\circ) = \sin 270^\circ = -1$ है।
साथ ही,$\frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = \frac{1}{2} (1^3 + \frac{1}{1^3}) = \frac{1}{2} (2) = 1$ है।
इसलिए,$\sin 3 \theta + \frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = -1 + 1 = 0$ है।
यदि $\sin \theta = -1$ है,तो $x + \frac{1}{x} = -2$,जिसका अर्थ है $x = -1$ है।
तब $\sin 3 \theta = \sin(3 \times 270^\circ) = \sin 810^\circ = \sin 90^\circ = 1$ है।
साथ ही,$\frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = \frac{1}{2} ((-1)^3 + \frac{1}{(-1)^3}) = \frac{1}{2} (-2) = -1$ है।
इसलिए,$\sin 3 \theta + \frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = 1 - 1 = 0$ है।

(A) दिया गया है $\sin(\alpha+\beta)=1$. चूँकि $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$,$\alpha+\beta = \frac{\pi}{2}$.
दिया गया है $\sin(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}$. चूँकि $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$,$\alpha-\beta = \frac{\pi}{6}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2\alpha = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \implies \alpha = \frac{\pi}{3}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2\beta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \implies \beta = \frac{\pi}{6}$.
अब,$\tan(\alpha+2\beta) \cdot \tan(2\alpha+\beta)$ की गणना करने पर:
$\alpha+2\beta = \frac{2\pi}{3}$ और $2\alpha+\beta = \frac{5\pi}{6}$.
$\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ और $\tan(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
गुणनफल $= (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1$.

(C) दिया गया है $\tan \theta = k \tan \phi$ और $\theta + \phi = \alpha$.
$\frac{\tan \theta}{\tan \phi} = \frac{k}{1}$
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan \theta + \tan \phi}{\tan \theta - \tan \phi} = \frac{k+1}{k-1}$
sin और cos में बदलने पर:
$\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\sin \phi}{\cos \phi}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\sin \phi}{\cos \phi}} = \frac{k+1}{k-1}$
$\frac{\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi}{\sin \theta \cos \phi - \cos \theta \sin \phi} = \frac{k+1}{k-1}$
सर्वसमिका $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(\theta + \phi)}{\sin(\theta - \phi)} = \frac{k+1}{k-1}$
$\theta + \phi = \alpha$ रखने पर:
$\frac{\sin \alpha}{\sin(\theta - \phi)} = \frac{k+1}{k-1}$
अतः,$\sin(\theta - \phi) = \left(\frac{k-1}{k+1}\right) \sin \alpha$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$\cos x + \cos y = -\cos \alpha$ ... $(1)$
$\sin x + \sin y = -\sin \alpha$ ... $(2)$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\cos \alpha$ ... $(3)$
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sin \alpha$ ... $(4)$
समीकरण $(4)$ को समीकरण $(3)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{-\sin \alpha}{-\cos \alpha}$
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \tan \alpha$
अतः,$\cot \left(\frac{x+y}{2}\right) = \cot \alpha$.

(A) दिया गया समीकरण: $(1+\sqrt{1+x}) \tan x = 1+\sqrt{1-x}$
$\tan x = \frac{1+\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1+x}}$
माना $x = \sin \theta$.
$\tan x = \frac{1+\sqrt{1-\sin \theta}}{1+\sqrt{1+\sin \theta}} = \frac{1+\sqrt{(\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})^2}}{1+\sqrt{(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})^2}}$
$= \frac{1+\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}}{1+\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}$
$= \frac{2\cos^2 \frac{\theta}{4} - 2\sin \frac{\theta}{4}\cos \frac{\theta}{4}}{2\cos^2 \frac{\theta}{4} + 2\sin \frac{\theta}{4}\cos \frac{\theta}{4}}$
$= \frac{2\cos \frac{\theta}{4}(\cos \frac{\theta}{4} - \sin \frac{\theta}{4})}{2\cos \frac{\theta}{4}(\cos \frac{\theta}{4} + \sin \frac{\theta}{4})} = \frac{1 - \tan \frac{\theta}{4}}{1 + \tan \frac{\theta}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{4})$
अतः,$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{4} \Rightarrow 4x = \pi - \theta$.
$\sin 4x = \sin(\pi - \theta) = \sin \theta = x$.

(B) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{\cos 12^{\circ}-\sin 12^{\circ}}{\cos 12^{\circ}+\sin 12^{\circ}} + \tan 147^{\circ}$
पहले पद के अंश और हर को $\cos 12^{\circ}$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{1-\tan 12^{\circ}}{1+\tan 12^{\circ}} + \tan(180^{\circ}-33^{\circ})$
$E = \tan(45^{\circ}-12^{\circ}) - \tan 33^{\circ}$
$E = \tan 33^{\circ} - \tan 33^{\circ} = 0$

(C) दिया गया है कि $\sin (y+z-x), \sin (z+x-y)$ और $\sin (x+y-z)$ समांतर श्रेणी में हैं।
$\therefore 2 \sin (z+x-y) = \sin (y+z-x) + \sin (x+y-z)$
सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin (z+x-y) = 2 \sin y \cos (z-x)$
इस स्थिति को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\tan x, \tan y, \tan z$ समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$2 \tan y = \tan x + \tan z$.

(C) दिया गया व्यंजक: $\sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ}-\sec 20^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}}-\frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ}-\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ}-\frac{1}{2} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर,जहाँ $A=60^{\circ}$ और $B=20^{\circ}$:
$= \frac{2(\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ}-\cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2}(2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} = \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$

(A) दिया गया व्यंजक: $\left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{7 \pi}{8}\right)$
चूंकि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए $\cos \frac{7\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{8}$ और $\cos \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{3\pi}{8}$।
अतः व्यंजक: $\left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{3 \pi}{8}\right)$
$= \left(1-\cos^2 \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos^2 \frac{3 \pi}{8}\right)$
$= \sin^2 \frac{\pi}{8} \sin^2 \frac{3 \pi}{8}$
$= \frac{1}{4} \left(2 \sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{3 \pi}{8}\right)^2$
सूत्र $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{4} \left(\cos \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{2}\right)^2$
$= \frac{1}{4} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - 0\right)^2 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

(A) दिया है $\cos 2B = \frac{\cos(A+C)}{\cos(A-C)}$.
$\cos 2B = \frac{1-\tan^2 B}{1+\tan^2 B}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1-\tan^2 B}{1+\tan^2 B} = \frac{\cos A \cos C - \sin A \sin C}{\cos A \cos C + \sin A \sin C}$.
अंश और हर को $\cos A \cos C$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1-\tan^2 B}{1+\tan^2 B} = \frac{1-\tan A \tan C}{1+\tan A \tan C}$.
वज्र गुणन करने पर:
$(1-\tan^2 B)(1+\tan A \tan C) = (1+\tan^2 B)(1-\tan A \tan C)$.
सरल करने पर:
$2 \tan A \tan C = 2 \tan^2 B$.
$\tan^2 B = \tan A \tan C$.
अतः,$\tan A, \tan B, \tan C$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(A) दिया है,$\tan A + \cot A = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\tan A + \cot A)^{2} = 2^{2}$
$\tan^{2} A + \cot^{2} A + 2 \tan A \cot A = 4$
चूंकि $\tan A \cot A = 1$,इसलिए:
$\tan^{2} A + \cot^{2} A + 2 = 4$
$\tan^{2} A + \cot^{2} A = 2$
अब,पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\tan^{2} A + \cot^{2} A)^{2} = 2^{2}$
$\tan^{4} A + \cot^{4} A + 2 \tan^{2} A \cot^{2} A = 4$
$\tan^{4} A + \cot^{4} A + 2(1)^{2} = 4$
$\tan^{4} A + \cot^{4} A = 4 - 2 = 2$।

(B) दिया गया है कि $\cos x + \cos^2 x = 1$ है।
इससे,$\cos x = 1 - \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 x = \cos x$ मिलता है।
अब,हमें $\sin^2 x + \sin^4 x$ का मान ज्ञात करना है।
$\sin^2 x = \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sin^2 x + \sin^4 x = \cos x + (\cos x)^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos x + \cos^2 x = 1$ है,इसलिए इसका मान $1$ है।

(C) माना $S = \log _{10} \tan 1^{\circ} + \log _{10} \tan 2^{\circ} + \ldots + \log _{10} \tan 89^{\circ}$ है।
$\log a + \log b = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$S = \log _{10} (\tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \tan 3^{\circ} \cdot \ldots \cdot \tan 89^{\circ})$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\tan \theta \cdot \tan(90^{\circ} - \theta) = \tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ होता है।
पदों का युग्म बनाने पर: $(\tan 1^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ}) = 1, (\tan 2^{\circ} \cdot \tan 88^{\circ}) = 1, \ldots, (\tan 44^{\circ} \cdot \tan 46^{\circ}) = 1$ प्राप्त होता है।
मध्य पद $\tan 45^{\circ} = 1$ है।
अतः,गुणनफल $1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 1$ है।
इसलिए,$S = \log _{10} (1) = 0$ है।
अतः,$e^S = e^0 = 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना व्यंजक $E = \cot 12^{\circ} \cot 102^{\circ} + \cot 102^{\circ} \cot 66^{\circ} + \cot 66^{\circ} \cot 12^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\cot 102^{\circ} = \cot(90^{\circ} + 12^{\circ}) = -\tan 12^{\circ}$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$E = \cot 12^{\circ} (-\tan 12^{\circ}) + (-\tan 12^{\circ}) \cot 66^{\circ} + \cot 66^{\circ} \cot 12^{\circ}$
$E = -1 - \tan 12^{\circ} \cot 66^{\circ} + \cot 66^{\circ} \cot 12^{\circ}$
$E = -1 + \cot 66^{\circ} (\cot 12^{\circ} - \tan 12^{\circ})$
सर्वसमिका $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$E = -1 + \cot 66^{\circ} (2 \cot 24^{\circ})$
चूंकि $\cot 24^{\circ} = \cot(90^{\circ} - 66^{\circ}) = \tan 66^{\circ}$:
$E = -1 + 2 \cot 66^{\circ} \tan 66^{\circ}$
$E = -1 + 2(1) = 1$.

(B) माना $f(x) = 3(\sin x-\cos x)^{4}+6(\sin x+\cos x)^{2}+4(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x)$.
प्रत्येक पद को सरल करने पर:
$3(\sin x-\cos x)^{4} = 3(1-2\sin x\cos x)^{2} = 3+12\sin^{2}x\cos^{2}x-12\sin x\cos x$.
$6(\sin x+\cos x)^{2} = 6+12\sin x\cos x$.
$4(\sin^{6}x+\cos^{6}x) = 4(1-3\sin^{2}x\cos^{2}x) = 4-12\sin^{2}x\cos^{2}x$.
सभी का योग करने पर:
$f(x) = 3+6+4 + (12\sin^{2}x\cos^{2}x-12\sin^{2}x\cos^{2}x) + (-12\sin x\cos x+12\sin x\cos x) = 13$.

(D) दिया गया व्यंजक: $\sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ} - \sec 20^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ} \right)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ और $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} = 4$

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sin 1^{\circ} + \sin 2^{\circ} + \ldots + \sin 359^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin(360^{\circ} - \theta) = -\sin \theta$.
अतः,$\sin 359^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 1^{\circ}) = -\sin 1^{\circ}$.
इसी प्रकार,$\sin 358^{\circ} = -\sin 2^{\circ}$,आदि।
हम पदों को इस प्रकार जोड़ सकते हैं: $(\sin 1^{\circ} + \sin 359^{\circ}) + (\sin 2^{\circ} + \sin 358^{\circ}) + \ldots + (\sin 179^{\circ} + \sin 181^{\circ}) + \sin 180^{\circ}$.
चूंकि $\sin(180^{\circ} + \theta) = -\sin \theta$,इसलिए $\sin 181^{\circ} = -\sin 1^{\circ}$,$\sin 182^{\circ} = -\sin 2^{\circ}$ आदि।
प्रत्येक युग्म का योग $0$ है और $\sin 180^{\circ} = 0$ है।
अतः,कुल योग $0$ है।

(B) दिया गया है $a = \frac{x}{y-z}$,$b = \frac{y}{z-x}$,$c = \frac{z}{x-y}$.
मान लीजिए $x=1, y=2, z=4$ है।
$a = \frac{1}{2-4} = -\frac{1}{2}$
$b = \frac{2}{4-1} = \frac{2}{3}$
$c = \frac{4}{1-2} = -4$
अब $ab + bc + ca + abc$ की गणना करने पर:
$ab = -\frac{1}{3}$,$bc = -\frac{8}{3}$,$ca = 2$,$abc = \frac{4}{3}$.
योग $= -\frac{1}{3} - \frac{8}{3} + 2 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$.

(D) दिया गया है कि $\tan A$ और $\tan B$ द्विघात समीकरण $x^2-px+q=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$\tan A + \tan B = p$
$\tan A \tan B = q$
$\tan(A+B)$ के त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{p}{1-q}$
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ होता है।
$\tan(A+B) = \frac{p}{1-q}$ रखने पर:
$\sin^2(A+B) = \frac{(\frac{p}{1-q})^2}{1 + (\frac{p}{1-q})^2} = \frac{p^2}{p^2+(1-q)^2}$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$y^2+z^2=3yz \Rightarrow \frac{y}{z}+\frac{z}{y}=3$ $(i)$
$z^2+x^2=8zx \Rightarrow \frac{z}{x}+\frac{x}{z}=8$ $(ii)$
$x^2+y^2=4xy \Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=4$ $(iii)$
$(i)$ और $(iii)$ का गुणा करने पर:
$\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) = \frac{x}{z} + \frac{y^2}{xz} + \frac{xz}{y^2} + \frac{z}{x} = 12$
$\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right) + \left(\frac{y^2}{xz}+\frac{xz}{y^2}\right) = 12$
$(ii)$ से मान रखने पर:
$8 + \left(\frac{y^2}{xz}+\frac{xz}{y^2}\right) = 12$
$\frac{y^2}{xz}+\frac{xz}{y^2} = 12 - 8 = 4$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$y^2+z^2=a y z \Rightarrow \frac{y}{z}+\frac{z}{y}=a$ $(i)$
$z^2+x^2=b z x \Rightarrow \frac{z}{x}+\frac{x}{z}=b$ $(ii)$
$x^2+y^2=c x y \Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=c$ $(iii)$
$(i)$ और $(iii)$ का गुणा करने पर:
$(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}) = ac$
$\frac{x}{z} + \frac{y^2}{zx} + \frac{zx}{y^2} + \frac{z}{x} = ac$
$(ii)$ से,हम जानते हैं कि $\frac{z}{x}+\frac{x}{z}=b$. इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$b + \frac{y^2}{zx} + \frac{zx}{y^2} = ac$
$\frac{y^2}{zx} + \frac{zx}{y^2} = ac-b$

(B) माना $P = \tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \ldots \cdot \tan 89^{\circ}$.
गुणधर्म $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करने पर:
$P = (\tan 1^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \tan 88^{\circ}) \cdot \ldots \cdot (\tan 44^{\circ} \cdot \tan 46^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ}$.
चूंकि $\tan \theta \cdot \tan(90^{\circ} - \theta) = 1$,प्रत्येक युग्म का मान $1$ होगा।
अतः,$P = 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot \tan 45^{\circ} = 1$.
$n$ पदों का गुणोत्तर माध्य $(a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n)^{1/n}$ होता है।
यहाँ $n = 89$ है,इसलिए गुणोत्तर माध्य $(P)^{1/89} = (1)^{1/89} = 1$.
अतः,विकल्प $B$ सही है.

(D) हम जानते हैं कि $\cot 18^{\circ} \cot 36^{\circ}+1 = \frac{\cos 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ}} \cdot \frac{\cos 36^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}+1$.
$\cos 36^{\circ} = 1-2\sin^2 18^{\circ}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos 18^{\circ}(1-2\sin^2 18^{\circ})}{\sin 18^{\circ} \cdot 2 \sin 18^{\circ} \cos 18^{\circ}}+1 = \frac{1-2\sin^2 18^{\circ}}{2\sin^2 18^{\circ}}+1 = \frac{1}{2\sin^2 18^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$,इसलिए $\sin^2 18^{\circ} = \frac{5+1-2\sqrt{5}}{16} = \frac{6-2\sqrt{5}}{16} = \frac{3-\sqrt{5}}{8}$.
यह मान रखने पर:
$\frac{1}{2(\frac{3-\sqrt{5}}{8})} = \frac{4}{3-\sqrt{5}} = \frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{4(3+\sqrt{5})}{4} = 3+\sqrt{5}$.

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\cos^3 x + \cos^3(120^{\circ} - x) + \cos^3(120^{\circ} + x) = \frac{3}{4} \cos(3x)$.
दी गई व्यंजक $\cos^3 10^{\circ} + \cos^3 110^{\circ} + \cos^3 130^{\circ}$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\cos^3 10^{\circ} + \cos^3(120^{\circ} - 10^{\circ}) + \cos^3(120^{\circ} + 10^{\circ})$.
यहाँ,$x = 10^{\circ}$.
सर्वसमिका लागू करने पर:
$= \frac{3}{4} \cos(3 \times 10^{\circ})$
$= \frac{3}{4} \cos 30^{\circ}$
$= \frac{3}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{3\sqrt{3}}{8}$.

(A) हम जानते हैं कि $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ होता है।
$\tan 60^{\circ} = \tan(40^{\circ} + 20^{\circ}) = \sqrt{3}$ का उपयोग करने पर,$\tan 40^{\circ} + \tan 20^{\circ} + \sqrt{3} \tan 40^{\circ} \tan 20^{\circ} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\tan(56^{\circ} - 11^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$ का उपयोग करने पर,$\tan 56^{\circ} - \tan 11^{\circ} - \tan 56^{\circ} \tan 11^{\circ} = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर,उत्तर $\sqrt{3} - 1$ प्राप्त होता है।

(C) माना $E = \cos^2 76^{\circ} + \cos^2 16^{\circ} - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1 + \cos 152^{\circ}}{2} + \frac{1 + \cos 32^{\circ}}{2} - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$
$E = 1 + \frac{1}{2} (\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ}) - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ} = 2 \cos 92^{\circ} \cos 60^{\circ} = \cos 92^{\circ}$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ} = \frac{1}{2} (\cos 92^{\circ} + \cos 60^{\circ}) = \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} + \frac{1}{4}$
मान रखने पर:
$E = 1 + \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} - (\frac{1}{2} \cos 92^{\circ} + \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(A) दिया है: $\sin \alpha = \frac{6}{5} \sin \beta$ और $\cos \alpha = \frac{9}{5 \sqrt{5}} \cos \beta$.
सर्वसमिका $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{6}{5} \sin \beta)^2 + (\frac{9}{5 \sqrt{5}} \cos \beta)^2 = 1$
$\frac{36}{25} \sin^2 \beta + \frac{81}{125} \cos^2 \beta = 1$
$125$ से गुणा करने पर:
$180 \sin^2 \beta + 81 \cos^2 \beta = 125$
चूंकि $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$:
$180 \sin^2 \beta + 81(1 - \sin^2 \beta) = 125$
$180 \sin^2 \beta + 81 - 81 \sin^2 \beta = 125$
$99 \sin^2 \beta = 44$
$\sin^2 \beta = \frac{44}{99} = \frac{4}{9}$
$\sin \beta = \frac{2}{3}$ (चूंकि $\beta$ न्यून कोण है)।
अब,$\sin \alpha = \frac{6}{5} \sin \beta = \frac{6}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{5}$.

(C) दिया गया है $\sec \theta + \tan \theta = \frac{1}{3}$ . . . . . . $(i)$
चूंकि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,इसलिए $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ है।
अतः,$\sec \theta - \tan \theta = 3$ . . . . . . $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$2 \sec \theta = \frac{10}{3} \Rightarrow \sec \theta = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर,$2 \tan \theta = \frac{-8}{3} \Rightarrow \tan \theta = \frac{-4}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sec \theta > 0$ और $\tan \theta < 0$ है,इसलिए $\theta$ चौथे चतुर्थांश में स्थित है।
अब,$\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{24}{7} > 0$ है।
चूंकि $\theta$ चौथे चतुर्थांश में है,$270^{\circ} < \theta < 360^{\circ}$,इसलिए $540^{\circ} < 2 \theta < 720^{\circ}$ है।
$\tan 2 \theta > 0$ और $\sin 2 \theta < 0$ होने के कारण,$2 \theta$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।

(C) दिया गया है $\sinh x = \frac{\sqrt{21}}{2}$.
हम जानते हैं कि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,इसलिए $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + \frac{21}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
सर्वसमिकाओं $\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x$ और $\cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\sinh 2x = 2 \times \frac{\sqrt{21}}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{5\sqrt{21}}{2}$.
$\cosh 2x = (\frac{5}{2})^2 + (\frac{\sqrt{21}}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{21}{4} = \frac{46}{4} = \frac{23}{2}$.
अतः,$\cosh 2x + \sinh 2x = \frac{23}{2} + \frac{5\sqrt{21}}{2} = \frac{23 + 5\sqrt{21}}{2}$.

(B) दी गई व्यंजक: $\frac{\cot A}{1-\tan A}+\frac{\tan A}{1-\cot A}$
$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ और $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ रखने पर:
$= \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{1-\frac{\sin A}{\cos A}} + \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{1-\frac{\cos A}{\sin A}}$
$= \frac{\cos^2 A}{\sin A(\cos A-\sin A)} + \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A-\cos A)}$
$= \frac{\cos^2 A}{\sin A(\cos A-\sin A)} - \frac{\sin^2 A}{\cos A(\cos A-\sin A)}$
$= \frac{1}{(\cos A-\sin A)} \left[ \frac{\cos^3 A - \sin^3 A}{\sin A \cos A} \right]$
सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\cos A-\sin A)(\cos^2 A + \sin^2 A + \sin A \cos A)}{(\cos A-\sin A) \sin A \cos A}$
$= \frac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A}$
$= \frac{1}{\sin A \cos A} + 1$
$= \operatorname{cosec} A \sec A + 1$

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{\tan A}{1-\cot A} + \frac{\cot A}{1-\tan A}$
$\tan A$ और $\cot A$ को $\sin A$ और $\cos A$ के पदों में बदलने पर:
$= \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{1-\frac{\cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{1-\frac{\sin A}{\cos A}}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} + \frac{\cos^2 A}{\sin A(\cos A - \sin A)}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} - \frac{\cos^2 A}{\sin A(\sin A - \cos A)}$
$= \frac{1}{\sin A - \cos A} \left[ \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A \cos A} \right]$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + b^2 + ab)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \cos^2 A + \sin A \cos A)}{(\sin A - \cos A)(\sin A \cos A)}$
$= \frac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A} = \frac{1}{\sin A \cos A} + 1 = \sec A \operatorname{cosec} A + 1$

(C) दिया गया है,$P = \tan 15^{\circ} + \cot 15^{\circ}$,$Q = \tan 22 \frac{1}{2}^{\circ} + \cot 22 \frac{1}{2}^{\circ}$ और $R = \sin 54^{\circ} + \sin 18^{\circ}$.
$P$ के लिए: $P = \frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}} + \frac{\cos 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ}} = \frac{1}{\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}} = \frac{2}{\sin 30^{\circ}} = 4$.
$Q$ के लिए: $Q = \frac{1}{\sin 22.5^{\circ} \cos 22.5^{\circ}} = \frac{2}{\sin 45^{\circ}} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$.
$R$ के लिए: $R = \sin 54^{\circ} + \sin 18^{\circ} = \cos 36^{\circ} + \sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4} + \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.118$.
मानों की तुलना करने पर: $R < Q < P$.

(A) $(I)$ श्रेणी $\sin^2 5^{\circ} + \sin^2 10^{\circ} + \dots + \sin^2 90^{\circ}$ है। $5^{\circ}$ से $85^{\circ}$ तक $18$ पद हैं और $\sin^2 90^{\circ} = 1$ है। $\sin^2 \theta + \sin^2(90^{\circ}-\theta) = 1$ का उपयोग करने पर,$8$ जोड़े मिलते हैं,साथ ही $\sin^2 45^{\circ} = 0.5$ और $\sin^2 90^{\circ} = 1$। कुल $= 8 + 0.5 + 1 = 9.5 = \frac{19}{2}$। अतः,$(I)$-$B$।
$(II)$ $\tan^2 5^{\circ} \cdot \tan^2 85^{\circ} = \tan^2 5^{\circ} \cdot \cot^2 5^{\circ} = 1$। ऐसे $8$ जोड़े हैं और $\tan^2 45^{\circ} = 1$। कुल $= 1^8 \cdot 1 = 1$। अतः,$(II)$-$D$।
$(III)$ $\cos^2 5^{\circ} + \dots + \cos^2 180^{\circ}$। चूंकि $\cos(180^{\circ}-\theta) = -\cos \theta$,इसलिए $\cos^2(180^{\circ}-\theta) = \cos^2 \theta$। योग $18$ है। अतः,$(III)$-$C$।
$(IV)$ $\cot \theta + \cot(180^{\circ}-\theta) = 0$। $5^{\circ}$ से $175^{\circ}$ तक के जोड़े $0$ हो जाते हैं। $\cot 90^{\circ} = 0$। कुल $= 0$। अतः,$(IV)$-$A$।

(D) दिया है,$\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta = 4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta)^2 = 4^2$
$\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta + 2 \sin \theta \operatorname{cosec} \theta = 16$
चूंकि $\sin \theta \operatorname{cosec} \theta = 1$,इसलिए:
$\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta + 2(1) = 16$
$\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta = 16 - 2 = 14$.

(D) दिया गया व्यंजक: $\sqrt{\sin ^4 x+4 \cos ^2 x}-\sqrt{\cos ^4 x+4 \sin ^2 x}$
सर्वसमिका $\cos ^2 x = 1-\sin ^2 x$ और $\sin ^2 x = 1-\cos ^2 x$ का उपयोग करने पर:
$= \sqrt{\sin ^4 x-4 \sin ^2 x+4}-\sqrt{\cos ^4 x-4 \cos ^2 x+4}$
$= \sqrt{(\sin ^2 x-2)^2}-\sqrt{(\cos ^2 x-2)^2}$
$= |\sin ^2 x-2|-|\cos ^2 x-2|$
$= (2-\sin ^2 x)-(2-\cos ^2 x)$
$= \cos ^2 x-\sin ^2 x$
$= \cos 2 x$

(D) दिया गया समीकरण: $\cosh x - \frac{4}{5} \sinh x = 1$
$5$ से गुणा करने पर: $5 \cosh x - 4 \sinh x = 5$
$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ और $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$5 \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) - 4 \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = 5$
$2$ से गुणा करने पर: $5(e^x + e^{-x}) - 4(e^x - e^{-x}) = 10$
$5e^x + 5e^{-x} - 4e^x + 4e^{-x} = 10$
$e^x + 9e^{-x} = 10$
$e^x$ से गुणा करने पर: $(e^x)^2 - 10e^x + 9 = 0$
$(e^x - 1)(e^x - 9) = 0$
स्थिति $1$: $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$
स्थिति $2$: $e^x = 9 \Rightarrow x = \ln 9 = \ln(3^2) = 2 \ln 3$
अतः,दूसरा हल $x = 2 \log 3$ है।

(B) हम जानते हैं कि हाइपरबोलिक फलनों के लिए मूल सर्वसमिका: $\cosh^2 u - \sinh^2 u = 1$ है।
दिया गया है कि $\sinh u = \tan \theta$ है।
इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: $\cosh^2 u - (\tan \theta)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$\cosh^2 u = 1 + \tan^2 \theta$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ का उपयोग करने पर: $\cosh^2 u = \sec^2 \theta$।
अतः,$\cosh u = \sec \theta$ (क्योंकि $\cosh u$ हमेशा धनात्मक होता है)।

(B) दिया गया है $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$। चूँकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित होगा।
दूसरे चतुर्थांश में,$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\cot \theta = -\sqrt{3}$।
अतः,$\cot^2 \theta = (-\sqrt{3})^2 = 3$।
दिया गया है $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$। चूँकि $\sin \alpha < 0$,इसलिए $\alpha$ तीसरे या चौथे चतुर्थांश में स्थित होगा।
स्थिति $1$: यदि $\alpha$ तीसरे चतुर्थांश में है,तो $\tan \alpha = \frac{3}{4}$ और $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$।
व्यंजक का मान $\frac{2(\frac{3}{4}) + \sqrt{3}(-\frac{1}{\sqrt{3}})}{3 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{3}{2} - 1}{\frac{11}{5}} = \frac{5}{22}$ होगा।
अतः सही विकल्प $\frac{5}{22}$ है।

(A) दिया गया है,$\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta = 2$।
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$।
अतः,$\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} = 2$।
मान लीजिए $\sin \theta = x$,तो $x + \frac{1}{x} = 2$,जिसका अर्थ है $x^2 - 2x + 1 = 0$,या $(x - 1)^2 = 0$।
इस प्रकार,$x = 1$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = 1$।
परिणामस्वरूप,$\operatorname{cosec} \theta = 1$।
इसलिए,$\sin^{10} \theta + \operatorname{cosec}^{10} \theta = (1)^{10} + (1)^{10} = 1 + 1 = 2$।

(B) दिया गया है कि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ और $\sin \theta \cos \theta = \frac{12}{25}$ है।
हमें $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ का उपयोग करने पर:
$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta)^2 + (\cos^2 \theta)^2$
$= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ है,इसलिए:
$= (1)^2 - 2(\sin \theta \cos \theta)^2$
$= 1 - 2 \left(\frac{12}{25}\right)^2$
$= 1 - 2 \left(\frac{144}{625}\right)$
$= 1 - \frac{288}{625}$
$= \frac{625 - 288}{625} = \frac{337}{625}$.

(D) दिया गया है $\sin(\theta) + \operatorname{cosec}(\theta) = 2$।
चूंकि $\operatorname{cosec}(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$,हमारे पास $\sin(\theta) + \frac{1}{\sin(\theta)} = 2$ है।
माना $x = \sin(\theta)$,तो $x + \frac{1}{x} = 2$,जिसका अर्थ है $x^2 - 2x + 1 = 0$,अतः $(x - 1)^2 = 0$।
इस प्रकार,$\sin(\theta) = 1$।
इसलिए,$\sin^{2020}(\theta) + \operatorname{cosec}^{2020}(\theta) = (1)^{2020} + (1)^{2020} = 1 + 1 = 2$।

(B) दिया है,$\sec \theta = m$ और $\tan \theta = n$।
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,इसलिए $m^2 - n^2 = 1$,जिसका अर्थ है $(m - n)(m + n) = 1$।
अतः,$\frac{1}{m + n} = m - n$।
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{m} [m + n + (m - n)] = \frac{1}{m} [2m] = 2$।

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{1-\cos(2x)+\sin(x)}{\sin(2x)+\cos(x)}$
सर्वसमिका $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$ का उपयोग करने पर,अंश: $1 - (1 - 2\sin^2(x)) + \sin(x) = 2\sin^2(x) + \sin(x) = \sin(x)(2\sin(x) + 1)$
सर्वसमिका $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ का उपयोग करने पर,हर: $2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = \cos(x)(2\sin(x) + 1)$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\frac{\sin(x)(2\sin(x) + 1)}{\cos(x)(2\sin(x) + 1)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$

(A) दिया गया है,$4 \cos x + 3 \sin x = 5$।
दोनों पक्षों को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$4 + 3 \tan x = 5 \sec x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(4 + 3 \tan x)^2 = (5 \sec x)^2$।
$16 + 9 \tan^2 x + 24 \tan x = 25 \sec^2 x$।
सर्वसमिका $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करने पर:
$16 + 9 \tan^2 x + 24 \tan x = 25(1 + \tan^2 x)$।
$16 + 9 \tan^2 x + 24 \tan x = 25 + 25 \tan^2 x$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$16 \tan^2 x - 24 \tan x + 9 = 0$।
$(4 \tan x - 3)^2 = 0$।
अतः,$4 \tan x = 3$,जिससे $\tan x = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\sec \theta + \tan \theta = 2/3$ $(i)$
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,जिसका अर्थ है $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$.
$(i)$ से मान रखने पर,हमें $\sec \theta - \tan \theta = 3/2$ प्राप्त होता है (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $2 \sec \theta = 2/3 + 3/2 = (4 + 9)/6 = 13/6$,अतः $\sec \theta = 13/12$.
$(i)$ में से (ii) घटाने पर: $2 \tan \theta = 2/3 - 3/2 = (4 - 9)/6 = -5/6$,अतः $\tan \theta = -5/12$.
चूँकि $\sec \theta > 0$ और $\tan \theta < 0$,इसलिए $\theta$ चतुर्थ $(IV)$ चतुर्थांश में स्थित है.