Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Hindi

(C) दिया गया है:
$m = a \cos^3 \alpha + 3a \cos \alpha \sin^2 \alpha$
$n = a \sin^3 \alpha + 3a \cos^2 \alpha \sin \alpha$
$m$ और $n$ को जोड़ने पर:
$m + n = a(\cos \alpha + \sin \alpha)^3$
$(m + n)^{2/3} = a^{2/3}(\cos \alpha + \sin \alpha)^2$
$m$ में से $n$ घटाने पर:
$m - n = a(\cos \alpha - \sin \alpha)^3$
$(m - n)^{2/3} = a^{2/3}(\cos \alpha - \sin \alpha)^2$
अब,दोनों परिणामों को जोड़ने पर:
$(m + n)^{2/3} + (m - n)^{2/3} = a^{2/3}[(\cos \alpha + \sin \alpha)^2 + (\cos \alpha - \sin \alpha)^2]$
$= a^{2/3}[1 + 1] = 2a^{2/3}$

(D) माना $E = \csc \frac{\pi}{18} - \sqrt{3} \sec \frac{\pi}{18} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{18}} - \frac{\sqrt{3}}{\cos \frac{\pi}{18}}$.
$E = \frac{\cos \frac{\pi}{18} - \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{18}}{\sin \frac{\pi}{18} \cos \frac{\pi}{18}}$.
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$E = \frac{2(\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{\pi}{18})}{\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4(\sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{18} - \cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{18})}{\sin \frac{\pi}{9}}$.
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = \frac{4 \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{18})}{\sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4 \sin(\frac{3\pi - \pi}{18})}{\sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4 \sin \frac{2\pi}{18}}{\sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4 \sin \frac{\pi}{9}}{\sin \frac{\pi}{9}} = 4$.
चूंकि $4$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए सही विकल्प $D$ है.

(B) माना समकोण शीर्ष से कर्ण पर खींचा गया लंब $p$ है।
कर्ण के दो खंड $x$ और $y$ हैं।
बने दो छोटे समकोण त्रिभुजों में,$x = p \tan \theta$ और $y = p \cot \theta$ है।
कर्ण $x + y = p(\tan \theta + \cot \theta) = \frac{p}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2p}{\sin 2\theta}$ है।
दिया गया है कि कर्ण $2\sqrt{2}p$ है,इसलिए $\frac{2p}{\sin 2\theta} = 2\sqrt{2}p$।
$\Rightarrow \sin 2\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$2\theta = \frac{\pi}{4}$ या $2\theta = \frac{3\pi}{4}$।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{8}$ या $\theta = \frac{3\pi}{8}$।
दो न्यून कोण $\frac{\pi}{8}$ और $\frac{3\pi}{8}$ हैं।

(A) माना $O$ लंबकेंद्र है और $C'$ $\triangle ABC$ का परिकेंद्र है।
भुजा $BC$ से लंबकेंद्र $O$ की दूरी $ON = 2R \cos B \cos C$ द्वारा दी जाती है।
भुजा $BC$ से परिकेंद्र $C'$ की दूरी $C'M = R \cos A$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $ON = C'M$,इसलिए:
$2R \cos B \cos C = R \cos A$
$2 \cos B \cos C = \cos A$
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,$\cos A = \cos(180^{\circ} - (B + C)) = -\cos(B + C)$.
अतः,$2 \cos B \cos C = -\cos(B + C)$.
$2 \cos B \cos C = -(\cos B \cos C - \sin B \sin C)$.
$2 \cos B \cos C = -\cos B \cos C + \sin B \sin C$.
$3 \cos B \cos C = \sin B \sin C$.
दोनों पक्षों को $\cos B \cos C$ से विभाजित करने पर:
$3 = \tan B \tan C$.
अतः,$\tan B \tan C = 3$.

(C) माना $E = \cos^2 73^\circ + \cos^2 47^\circ + \cos 73^\circ \cos 47^\circ$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ और $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1 + \cos 146^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 94^\circ}{2} + \frac{\cos 120^\circ + \cos 26^\circ}{2}$
$E = \frac{1}{2} + \frac{\cos 146^\circ}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\cos 94^\circ}{2} + \frac{-1/2}{2} + \frac{\cos 26^\circ}{2}$
$E = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} (\cos 146^\circ + \cos 94^\circ + \cos 26^\circ)$
चूंकि $\cos 146^\circ + \cos 94^\circ = 2 \cos(\frac{146+94}{2}) \cos(\frac{146-94}{2}) = 2 \cos 120^\circ \cos 26^\circ = 2(-1/2) \cos 26^\circ = -\cos 26^\circ$.
$E = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} (-\cos 26^\circ + \cos 26^\circ) = \frac{3}{4}$.

(C) माना $R$,$\Delta ABC$ की परिवृत्त त्रिज्या है। $\Delta OBC$ की भुजाएँ $a, R, R$ हैं। $\Delta OBC$ का क्षेत्रफल $\Delta_1$ है। $\Delta OBC$ की परिवृत्त त्रिज्या $R_1 = \frac{a \cdot R \cdot R}{4\Delta_1} = \frac{aR^2}{4\Delta_1}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$\frac{a}{R_1} = \frac{4\Delta_1}{R^2}$.
इसी प्रकार,$\frac{b}{R_2} = \frac{4\Delta_2}{R^2}$ और $\frac{c}{R_3} = \frac{4\Delta_3}{R^2}$.
इनका योग करने पर,हमें $\frac{a}{R_1} + \frac{b}{R_2} + \frac{c}{R_3} = \frac{4}{R^2}(\Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3 = \Delta$ ($\Delta ABC$ का क्षेत्रफल),इसलिए व्यंजक $\frac{4\Delta}{R^2}$ हो जाता है।

(A) माना $E = \left( 1 + \cos \frac{\pi}{9} \right) \left( 1 + \cos \frac{3\pi}{9} \right) \left( 1 + \cos \frac{5\pi}{9} \right) \left( 1 + \cos \frac{7\pi}{9} \right)$.
चूंकि $\cos \frac{3\pi}{9} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,इसलिए $1 + \cos \frac{3\pi}{9} = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$E = \frac{3}{2} \left( 1 + \cos 20^\circ \right) \left( 1 + \cos 100^\circ \right) \left( 1 + \cos 140^\circ \right)$.
$1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{3}{2} \left( 2 \cos^2 10^\circ \right) \left( 2 \cos^2 50^\circ \right) \left( 2 \cos^2 70^\circ \right) = 12 \left( \cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ \right)^2$.
सर्वसमिका $\cos \theta \cos(60^\circ - \theta) \cos(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ का उपयोग करने पर $(\theta = 10^\circ)$:
$\cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ = \frac{1}{4} \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}$.
अतः,$E = 12 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{8} \right)^2 = 12 \times \frac{3}{64} = \frac{9}{16}$.

(D) दिया गया समीकरण $a_1 + a_2 \cos 2x + a_3 \sin^2 x = 0$ है।
सर्वसमिका $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$a_1 + a_2 \cos 2x + a_3 \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\left( a_1 + \frac{a_3}{2} \right) + \left( a_2 - \frac{a_3}{2} \right) \cos 2x = 0$
चूंकि यह सभी $x$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$a_1 + \frac{a_3}{2} = 0$ और $a_2 - \frac{a_3}{2} = 0$
यहाँ $a_3$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है,इसलिए अनंत त्रिक संभव हैं।

(C) माना $E = \sqrt{3} \, \text{cosec} \, 20^\circ - \text{sec} \, 20^\circ = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^\circ} - \frac{1}{\cos 20^\circ}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^\circ - \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$E = \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ - \frac{1}{2} \sin 20^\circ)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ)}$
$E = \frac{4(\sin 60^\circ \cos 20^\circ - \cos 60^\circ \sin 20^\circ)}{\sin 40^\circ}$
$E = \frac{4 \sin(60^\circ - 20^\circ)}{\sin 40^\circ} = \frac{4 \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} = 4$

(B) दिए गए व्यंजक का विस्तार करें:
$(\sin x + cosecx)^2 = \sin ^2x + co\sec ^2x + 2\sin x \cdot cosecx = \sin ^2x + co\sec ^2x + 2$
$(cosx + \sec x)^2 = cos^2x + \sec ^2x + 2cosx \cdot \sec x = cos^2x + \sec ^2x + 2$
$(\tan x + \cot x)^2 = \tan ^2x + \cot ^2x + 2\tan x \cdot \cot x = \tan ^2x + \cot ^2x + 2$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sin ^2x + cosec ^2x + 2) + (cos^2x + \sec ^2x + 2) - (\tan ^2x + \cot ^2x + 2)$
$= (\sin ^2x + cos^2x) + cosec ^2x + \sec ^2x + 4 - \tan ^2x - \cot ^2x - 2$
$= 1 + (1 + \cot ^2x) + (1 + \tan ^2x) + 2 - \tan ^2x - \cot ^2x$
$= 1 + 1 + \cot ^2x + 1 + \tan ^2x + 2 - \tan ^2x - \cot ^2x$
$= 5$

(A) माना $t = x^2 - x$ है। तब $\tan \alpha = \frac{t}{t + 1}$ और $\tan \beta = \frac{1}{2t + 1}$ है।
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करते हुए,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{t}{t + 1} + \frac{1}{2t + 1}}{1 - \left(\frac{t}{t + 1}\right) \left(\frac{1}{2t + 1}\right)}$
$= \frac{\frac{t(2t + 1) + (t + 1)}{(t + 1)(2t + 1)}}{\frac{(t + 1)(2t + 1) - t}{(t + 1)(2t + 1)}}$
$= \frac{2t^2 + t + t + 1}{2t^2 + 2t + t + 1 - t}$
$= \frac{2t^2 + 2t + 1}{2t^2 + 2t + 1} = 1$
अतः,$\tan(\alpha + \beta) = 1$।

(B) दिए गए समीकरण $\frac{x}{a} = \cos(\theta - \alpha)$ और $\frac{y}{b} = \cos(\theta - \beta)$ हैं।
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta) = (\theta - \beta) - (\theta - \alpha)$.
कोसाइन के अंतर सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos(\alpha - \beta) = \cos((\theta - \beta) - (\theta - \alpha)) = \cos(\theta - \beta) \cos(\theta - \alpha) + \sin(\theta - \beta) \sin(\theta - \alpha)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\cos(\alpha - \beta) = \frac{y}{b} \cdot \frac{x}{a} + \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\cos(\alpha - \beta) - \frac{xy}{ab} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\cos^2(\alpha - \beta) + \frac{x^2y^2}{a^2b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos(\alpha - \beta) = (1 - \frac{x^2}{a^2})(1 - \frac{y^2}{b^2})$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$\cos^2(\alpha - \beta) + \frac{x^2y^2}{a^2b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos(\alpha - \beta) = 1 - \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2y^2}{a^2b^2}$.
दोनों पक्षों से $\frac{x^2y^2}{a^2b^2}$ को हटाने और पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos(\alpha - \beta) = 1 - \cos^2(\alpha - \beta)$.
अतः,यह व्यंजक $\sin^2(\alpha - \beta)$ के बराबर है।

(D) माना व्यंजक $E = \frac{\tan^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ}{\tan^2 20^\circ \cdot \sin^2 20^\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \cdot \sin^2 \theta$.
अतः,$E = \frac{\tan^2 20^\circ \cdot \sin^2 20^\circ}{\tan^2 20^\circ \cdot \sin^2 20^\circ} = 1$.
चूंकि $1$ एक प्राकृतिक संख्या है जो भाज्य नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) विकल्प $A$ के लिए: माना $x = \sin^2 \theta$। समीकरण $x^2 - x - 1 = 0$ है। हल $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ है। $\sin^2 \theta$ का मान $[0, 1]$ में होना चाहिए,लेकिन $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} > 1$ और $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0$ है। अतः,कोई वास्तविक $\theta$ संभव नहीं है। कथन $A$ गलत है।
विकल्प $B$ के लिए: $\tan(A - B) = \frac{3}{8}$ प्राप्त होता है,जो परिमेय है। अतः कथन $B$ गलत है।
विकल्प $C$ के लिए: $\sin(2)$ धनात्मक,$\sin(3)$ धनात्मक और $\sin(5)$ ऋणात्मक है। गुणनफल ऋणात्मक होगा। अतः कथन $C$ गलत है।
इस प्रकार,$A, B$ और $C$ तीनों गलत हैं,इसलिए $D$ सही विकल्प है।

(D) माना समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ $a = cos2\alpha + cos2\beta + 2cos(\alpha + \beta )$ और $b = sin2\alpha + sin2\beta + 2sin(\alpha + \beta )$ हैं।
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$a = 2cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) + 2cos(\alpha + \beta) = 2cos(\alpha + \beta)[cos(\alpha - \beta) + 1] = 4cos(\alpha + \beta)cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.
$b = 2sin(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) + 2sin(\alpha + \beta) = 2sin(\alpha + \beta)[cos(\alpha - \beta) + 1] = 4sin(\alpha + \beta)cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.
कर्ण $h = \sqrt{a^2 + b^2}$.
$h = \sqrt{[4cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)]^2 [cos^2(\alpha + \beta) + sin^2(\alpha + \beta)]}$.
चूँकि $cos^2(\alpha + \beta) + sin^2(\alpha + \beta) = 1$,इसलिए $h = 4cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.
साथ ही,सर्वसमिका $2cos^2\theta = 1 + cos2\theta$ का उपयोग करते हुए,$4cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 2[1 + cos(\alpha - \beta)]$.
अतः,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(D) दिया गया है $\sin \beta = \frac{4}{5}$ और $0 < \beta < \pi$. चूँकि $\cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,व्यंजक $E = \frac{\sqrt{3} \sin(\alpha + \beta) - \frac{4}{\sqrt{3}} \cos(\alpha + \beta)}{\sin \alpha}$ हो जाता है।
अंश और हर को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर,$E = \frac{3 \sin(\alpha + \beta) - 4 \cos(\alpha + \beta)}{\sqrt{3} \sin \alpha}$ प्राप्त होता है।
$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ और $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर:
यदि $0 < \beta < \pi/2$,तो $\cos \beta = \frac{3}{5}$. मान प्रतिस्थापित करने पर $E = \frac{5}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
यदि $\pi/2 < \beta < \pi$,तो $\cos \beta = -\frac{3}{5}$. मान प्रतिस्थापित करने पर $E = \frac{\sqrt{3}(7 + 24 \cot \alpha)}{15}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $x = \sec \phi - \tan \phi = \frac{1 - \sin \phi}{\cos \phi} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\phi}{2})$.
दिया गया है $y = \csc \phi + \cot \phi = \frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi} = \cot(\frac{\phi}{2})$.
अब,$x = \frac{1 - \tan(\frac{\phi}{2})}{1 + \tan(\frac{\phi}{2})}$.
चूंकि $y = \cot(\frac{\phi}{2})$,इसलिए $\tan(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{y}$ है।
अतः,$x = \frac{1 - \frac{1}{y}}{1 + \frac{1}{y}} = \frac{y - 1}{y + 1}$.
यह पुष्टि करता है कि विकल्प $C$ सही है।
$x = \frac{y - 1}{y + 1}$ से हमें $xy + x = y - 1 \Rightarrow xy + x - y + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $A$ है।
इसी प्रकार,$y = \frac{1 + x}{1 - x}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $B$ है।
अतः,सभी विकल्प सही हैं।

(C) हम सर्वसमिका $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करते हैं।
माना $S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^n} \tan \frac{\pi}{2^{n+1}}$ है।
सर्वसमिका $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{2^n} \tan \frac{\pi}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^n} \cot \frac{\pi}{2^{n+1}} - \frac{1}{2^{n-1}} \cot \frac{\pi}{2^n}$ प्राप्त होता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है।
$n=2$ से $N$ तक योग करने पर:
$S_N = \sum_{n=2}^{N} \left( \frac{1}{2^n} \cot \frac{\pi}{2^{n+1}} - \frac{1}{2^{n-1}} \cot \frac{\pi}{2^n} \right)$.
$S_N = \left( \frac{1}{2^N} \cot \frac{\pi}{2^{N+1}} - \frac{1}{2^1} \cot \frac{\pi}{2^2} \right)$.
जैसे $N \to \infty$,$\frac{1}{2^N} \cot \frac{\pi}{2^{N+1}} = \frac{1}{2^N} \frac{\cos(\pi/2^{N+1})}{\sin(\pi/2^{N+1})} \approx \frac{1}{2^N} \frac{1}{\pi/2^{N+1}} = \frac{2}{\pi}$.
अतः,$S = \frac{2}{\pi} - \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{4} = \frac{2}{\pi} - \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया व्यंजक $E = \prod_{r=1}^{59} \left( 1 - \frac{\cos(60^\circ + r^\circ)}{\cos r^\circ} \right)$ है।
सर्वसमिका $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर,$1 - \frac{\cos(60^\circ + r^\circ)}{\cos r^\circ} = \frac{\cos r^\circ - \cos(60^\circ + r^\circ)}{\cos r^\circ} = \frac{2 \sin(30^\circ + r^\circ) \sin 30^\circ}{\cos r^\circ} = \frac{\sin(30^\circ + r^\circ)}{\cos r^\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E = \prod_{r=1}^{59} \frac{\sin(30^\circ + r^\circ)}{\cos r^\circ} = \frac{\sin 31^\circ \cdot \sin 32^\circ \dots \sin 89^\circ}{\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \dots \cos 59^\circ}$ है।
चूंकि $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$,अंश $\cos 59^\circ \cdot \cos 58^\circ \dots \cos 1^\circ$ के बराबर है,जो हर के साथ पूरी तरह कट जाता है।
अतः,$E = 1$।

(B) दिया गया है: $\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^2 \beta} + \frac{\sin^4 \alpha}{\sin^2 \beta} = 1$.
माना $\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \beta} = \cos \theta$ और $\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \beta} = \sin \theta$.
तब $\cos^2 \alpha = \cos \beta \cos \theta$ और $\sin^2 \alpha = \sin \beta \sin \theta$.
जोड़ने पर,$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = \cos \beta \cos \theta + \sin \beta \sin \theta = \cos(\beta - \theta) = 1$.
इसका अर्थ है $\beta = \theta$.
$\theta = \beta$ को समीकरण में रखने पर,हमें $\cos^2 \alpha = \cos^2 \beta$ और $\sin^2 \alpha = \sin^2 \beta$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \beta} + \frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \beta} = \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1$.
महत्तम पूर्णांक मान $[1] = 1$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $|\cos x + \sin x| + |\cos x - \sin x| = 2 \sin x$.
दाहिनी ओर $2 \sin x$ के गैर-ऋणात्मक होने के लिए,$\sin x \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \in [0, \pi]$.
स्थिति $1$: $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$. यहाँ $\cos x \ge \sin x$,इसलिए $2 \cos x = 2 \sin x$ $\Rightarrow \tan x = 1$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$.
स्थिति $2$: $\frac{\pi}{4} < x \le \frac{3\pi}{4}$. यहाँ $(\cos x + \sin x) - (\cos x - \sin x) = 2 \sin x$,जो $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ के लिए सत्य है.
स्थिति $3$: $\frac{3\pi}{4} < x \le \pi$. यहाँ $-2 \cos x = 2 \sin x$ $\Rightarrow \tan x = -1$ $\Rightarrow x = \frac{3\pi}{4}$.
हल समुच्चय $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ है.
चूंकि $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ और $\frac{3\pi}{4} \approx 2.356$,इस अंतराल में $x$ के पूर्णांक मान $1$ और $2$ हैं.
अधिकतम पूर्णांक मान $2$ है.

(C) दिया गया है $\sin A + \sin B + \sin C = 0$।
हम जानते हैं कि $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$।
अतः,$\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C = 3(\sin A + \sin B + \sin C) - 4(\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C)$।
चूँकि $\sin A + \sin B + \sin C = 0$,इसलिए $\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C = -4(\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C)$।
सर्वसमिका $x+y+z=0 \implies x^3+y^3+z^3 = 3xyz$ का उपयोग करने पर,$\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C = 3 \sin A \sin B \sin C$।
इसका मान रखने पर,$\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C = -4(3 \sin A \sin B \sin C) = -12 \sin A \sin B \sin C$।
अतः,$\frac{\sin A \sin B \sin C}{\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C} = \frac{\sin A \sin B \sin C}{-12 \sin A \sin B \sin C} = -\frac{1}{12}$।

(C) दिया गया योग $S = \sum_{r=1}^{18} \cos^2(5r)^\circ = \cos^2 5^\circ + \cos^2 10^\circ + \dots + \cos^2 85^\circ + \cos^2 90^\circ$ है।
चूंकि $\cos 90^\circ = 0$,अंतिम पद $0$ है।
हम सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \cos^2(90^\circ - \theta) = 1$ का उपयोग करके पदों के जोड़े बना सकते हैं।
यहाँ $17$ गैर-शून्य पद हैं: $\cos^2 5^\circ, \cos^2 10^\circ, \dots, \cos^2 85^\circ$।
जोड़े बनाने पर: $(\cos^2 5^\circ + \cos^2 85^\circ) + \dots + (\cos^2 40^\circ + \cos^2 50^\circ) + \cos^2 45^\circ$।
ऐसे $8$ जोड़े हैं,जिनका योग $1$ है,और मध्य पद $\cos^2 45^\circ = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$S = 8(1) + \frac{1}{2} = \frac{17}{2}$।

(A) दिया गया है $\tan(\pi \sin \theta) = \cot(\pi \cos \theta)$.
$\cot(x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$ का उपयोग करने पर,$\tan(\pi \sin \theta) = \tan(\frac{\pi}{2} - \pi \cos \theta)$.
अतः $\pi \sin \theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - \pi \cos \theta$.
$\sin \theta + \cos \theta = n + \frac{1}{2}$.
चूंकि $- \sqrt{2} \le \sin \theta + \cos \theta \le \sqrt{2}$,इसलिए $n = 0$ या $n = -1$ है।
$n = 0$ के लिए,$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$.
$\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$\cos^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
$\cot^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = 7$.
अतः,$\left| \cot(\theta - \frac{\pi}{4}) \right| = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

(D) दिया गया है $\sin x + \cos x = a$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 + 2 \sin x \cos x = a^2$,अतः $\sin x \cos x = \frac{a^2 - 1}{2}$।
योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} \sin^n x + \sum_{n=1}^{\infty} \cos^n x = \frac{\sin x}{1 - \sin x} + \frac{\cos x}{1 - \cos x}$।
$S = \frac{\sin x(1 - \cos x) + \cos x(1 - \sin x)}{(1 - \sin x)(1 - \cos x)} = \frac{(\sin x + \cos x) - 2 \sin x \cos x}{1 - (\sin x + \cos x) + \sin x \cos x}$।
$\sin x + \cos x = a$ और $\sin x \cos x = \frac{a^2 - 1}{2}$ रखने पर:
$S = \frac{a - (a^2 - 1)}{1 - a + \frac{a^2 - 1}{2}} = \frac{a - a^2 + 1}{\frac{2 - 2a + a^2 - 1}{2}} = \frac{2(1 + a - a^2)}{a^2 - 2a + 1} = \frac{2(1 + a - a^2)}{(a - 1)^2}$।

(C) दिया गया व्यंजक: $S = \sin ^4 \frac{\pi}{8} + \sin ^4 \frac{3\pi}{8} + \sin ^4 \frac{5\pi}{8} + \sin ^4 \frac{7\pi}{8}$
चूंकि $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,इसलिए $\sin \frac{7\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8}$ और $\sin \frac{5\pi}{8} = \sin \frac{3\pi}{8}$।
अतः,$S = 2 \left( \sin ^4 \frac{\pi}{8} + \sin ^4 \frac{3\pi}{8} \right)$।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin^4 \theta = \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2\theta + \cos^2 2\theta)$।
$S = 2 \left[ \frac{1}{4} (1 - 2\cos \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{4} (1 - 2\cos \frac{3\pi}{4} + \cos^2 \frac{3\pi}{4}) \right]$
$S = \frac{1}{2} \left[ 1 - 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} + 1 - 2(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \right]$
$S = \frac{1}{2} \left[ 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right] = \frac{1}{2} [3] = \frac{3}{2}$।

(A) $\log a + \log b = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\log _{10} (\tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \dots \cdot \tan 89^{\circ})$
हम जानते हैं कि $\tan \theta \cdot \tan(90^{\circ} - \theta) = \tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ होता है।
पदों का युग्म बनाने पर:
$(\tan 1^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \tan 88^{\circ}) \cdot \dots \cdot (\tan 44^{\circ} \cdot \tan 46^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ}$
$= (1) \cdot (1) \cdot \dots \cdot (1) \cdot 1 = 1$
अतः,$\log _{10} (1) = 0$।

(C) माना प्रत्येक अनुपात $k$ के बराबर है,अर्थात $\frac{\cos x}{a} = \frac{\cos (x + \theta)}{b} = \frac{\cos (x + 2\theta)}{c} = \frac{\cos (x + 3\theta)}{d} = k$.
अतः $a = \frac{\cos x}{k}$,$b = \frac{\cos (x + \theta)}{k}$,$c = \frac{\cos (x + 2\theta)}{k}$,और $d = \frac{\cos (x + 3\theta)}{k}$.
व्यंजक $\frac{a + c}{b + d} = \frac{\frac{\cos x}{k} + \frac{\cos (x + 2\theta)}{k}}{\frac{\cos (x + \theta)}{k} + \frac{\cos (x + 3\theta)}{k}}$ पर विचार करें।
$= \frac{\cos x + \cos (x + 2\theta)}{\cos (x + \theta) + \cos (x + 3\theta)}$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
अंश: $\cos x + \cos (x + 2\theta) = 2 \cos (x + \theta) \cos \theta$.
हर: $\cos (x + \theta) + \cos (x + 3\theta) = 2 \cos (x + 2\theta) \cos \theta$.
इस प्रकार,$\frac{a + c}{b + d} = \frac{2 \cos (x + \theta) \cos \theta}{2 \cos (x + 2\theta) \cos \theta} = \frac{\cos (x + \theta)}{\cos (x + 2\theta)}$.
चूँकि $\frac{\cos (x + \theta)}{b} = \frac{\cos (x + 2\theta)}{c} = k$,इसलिए $\frac{\cos (x + \theta)}{\cos (x + 2\theta)} = \frac{b}{c}$.
अतः,$\frac{a + c}{b + d} = \frac{b}{c}$.

(B) दी गई असमिका: $\frac{8}{3\sin x - \sin 3x} + 3\sin^2 x \le 5$.
सर्वसमिका $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ का उपयोग करने पर,हर $3\sin x - (3\sin x - 4\sin^3 x) = 4\sin^3 x$ हो जाता है।
इसे असमिका में रखने पर: $\frac{8}{4\sin^3 x} + 3\sin^2 x \le 5 \Rightarrow \frac{2}{\sin^3 x} + 3\sin^2 x \le 5$.
माना $f(x) = \frac{2}{\sin^3 x} + 3\sin^2 x - 5$. हमें $x \in (0, \pi)$ के वे मान ज्ञात करने हैं जिनके लिए $f(x) \le 0$ हो।
माना $t = \sin x$. चूँकि $x \in (0, \pi)$,इसलिए $t \in (0, 1]$.
व्यंजक $g(t) = \frac{2}{t^3} + 3t^2 - 5$ बन जाता है।
$\frac{1}{t^3}, \frac{1}{t^3}, t^2, t^2, t^2$ के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{1}{t^3} + \frac{1}{t^3} + t^2 + t^2 + t^2}{5} \ge \sqrt[5]{\frac{1}{t^3} \cdot \frac{1}{t^3} \cdot t^2 \cdot t^2 \cdot t^2} = \sqrt[5]{1} = 1$.
अतः,$\frac{2}{t^3} + 3t^2 \ge 5$.
समानता तभी संभव है जब $\frac{1}{t^3} = t^2$,जिसका अर्थ है $t^5 = 1$,अर्थात $t = 1$.
चूँकि $x \in (0, \pi)$ के लिए $\sin x = 1$ केवल $x = \frac{\pi}{2}$ पर होता है,इसलिए असमिका $f(x) \le 0$ केवल $x = \frac{\pi}{2}$ के लिए सत्य है।
इस प्रकार,केवल $1$ वास्तविक मान प्राप्त होता है।

(B) माना मूल $\cos A, \cos B, \cos C$ हैं जहाँ $A, B, C$ एक न्यूनकोण त्रिभुज के कोण हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\cos A + \cos B + \cos C = -a$
$\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A = b$
$\cos A \cos B \cos C = -c$
हमें $a^2 - 2b - 2c$ का मान ज्ञात करना है।
$a^2 - 2b - 2c = (\cos A + \cos B + \cos C)^2 - 2(\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A) + 2c$
$= \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2(\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A) - 2(\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A) + 2(\cos A \cos B \cos C)$
$= \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \cos A \cos B \cos C = 1$.

(B) हम सर्वसमिका $\cot \alpha - \tan \alpha = 2 \cot 2\alpha$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\cot \alpha = \tan \alpha + 2 \cot 2\alpha$.
दी गई अभिव्यक्ति: $E = \tan 3^{\circ} + 2 \tan 6^{\circ} + 4 \tan 12^{\circ} + 8 \cot 24^{\circ}$.
$\tan \alpha = \cot \alpha - 2 \cot 2\alpha$ का उपयोग करने पर:
$E = (\cot 3^{\circ} - 2 \cot 6^{\circ}) + 2 \tan 6^{\circ} + 4 \tan 12^{\circ} + 8 \cot 24^{\circ}$.
चूंकि $2 \tan 6^{\circ} - 2 \cot 6^{\circ} = -2(2 \cot 12^{\circ}) = -4 \cot 12^{\circ}$:
$E = \cot 3^{\circ} - 4 \cot 12^{\circ} + 4 \tan 12^{\circ} + 8 \cot 24^{\circ}$.
चूंकि $4 \tan 12^{\circ} - 4 \cot 12^{\circ} = -4(2 \cot 24^{\circ}) = -8 \cot 24^{\circ}$:
$E = \cot 3^{\circ} - 8 \cot 24^{\circ} + 8 \cot 24^{\circ} = \cot 3^{\circ}$.
अतः,$\cot \theta^{\circ} = \cot 3^{\circ}$,इसलिए $\theta = 3$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $\cot (15 \times 3)^{\circ} = \cot 45^{\circ} = 1$.

(C) माना व्यंजक $E = \frac{(\sin 36^{\circ} + \cos 36^{\circ} - \sqrt{2} \sin 27^{\circ})^2}{2 \sin 54^{\circ}}$ है।
अंश का विस्तार करने पर: $(\sin 36^{\circ} + \cos 36^{\circ})^2 + 2 \sin^2 27^{\circ} - 2\sqrt{2} \sin 27^{\circ} (\sin 36^{\circ} + \cos 36^{\circ})$ प्राप्त होता है।
$\sin 36^{\circ} + \cos 36^{\circ} = \sqrt{2} \cos 9^{\circ}$ का उपयोग करने पर,व्यंजक का सरलीकरण $\cos 18^{\circ}$ होता है।
चूंकि $\cos 18^{\circ} < \cos 9^{\circ}$,इसलिए यह मान $\cos 9^{\circ}$ से कम है।

(C) माना $3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 5$ $(i)$
माना $3 \sin \theta - 4 \cos \theta = x$ $(ii)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3 \cos \theta + 4 \sin \theta)^2 + (3 \sin \theta - 4 \cos \theta)^2 = 5^2 + x^2$
$(9 \cos^2 \theta + 16 \sin^2 \theta + 24 \sin \theta \cos \theta) + (9 \sin^2 \theta + 16 \cos^2 \theta - 24 \sin \theta \cos \theta) = 25 + x^2$
$9(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 16(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 25 + x^2$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$9(1) + 16(1) = 25 + x^2$
$25 = 25 + x^2$
$x^2 = 0$
अतः,$x = 0$.

(B) दिया है: $\cos A + \cos B = \cos C$ और $\sin A + \sin B = \sin C$.
माना $z_1 = e^{iA}$,$z_2 = e^{iB}$,और $z_3 = e^{iC}$.
अतः $z_1 + z_2 = z_3$.
इसी प्रकार,संयुग्मी लेने पर $e^{-iA} + e^{-iB} = e^{-iC}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{e^{iA} + e^{iB}}{e^{-iA} + e^{-iB}} = \frac{e^{iC}}{e^{-iC}} = e^{2iC}$.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{e^{iA} + e^{iB}}{\frac{e^{iA} + e^{iB}}{e^{iA}e^{iB}}} = e^{i(A+B)}$.
अतः,$e^{i(A+B)} = e^{2iC}$.
काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$\sin(A+B) = \sin 2C$.
इसलिए,$\frac{\sin(A+B)}{\sin 2C} = 1$.

(A) दिया गया है $3 \tan A - 4 = 0$,इसलिए $\tan A = \frac{4}{3}$।
चूंकि $A$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\sin A$ और $\cos A$ दोनों ऋणात्मक हैं।
$\tan A = \frac{4}{3}$ का उपयोग करते हुए,$\sin A = -\frac{4}{5}$ और $\cos A = -\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों को व्यंजक $5 \sin 2A + 3 \sin A + 4 \cos A$ में प्रतिस्थापित करें।
$\sin 2A = 2 \sin A \cos A = 2 \times (-\frac{4}{5}) \times (-\frac{3}{5}) = \frac{24}{25}$ याद रखें।
अतः,$5 \sin 2A = 5 \times \frac{24}{25} = \frac{24}{5}$।
फिर,$3 \sin A = 3 \times (-\frac{4}{5}) = -\frac{12}{5}$।
और $4 \cos A = 4 \times (-\frac{3}{5}) = -\frac{12}{5}$।
उन्हें जोड़ने पर: $\frac{24}{5} - \frac{12}{5} - \frac{12}{5} = \frac{24 - 12 - 12}{5} = 0$।

(C) दिया गया समीकरण $\tan^4x - 2\sec^2x + [a]^2 = 0$ है।
सर्वसमिका $\sec^2x = 1 + \tan^2x$ का उपयोग करने पर:
$\tan^4x - 2(1 + \tan^2x) + [a]^2 = 0$
$\tan^4x - 2\tan^2x - 2 + [a]^2 = 0$
$(\tan^2x - 1)^2 - 1 - 2 + [a]^2 = 0$
$(\tan^2x - 1)^2 = 3 - [a]^2$
चूँकि $(\tan^2x - 1)^2 \geq 0$,इसलिए $3 - [a]^2 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $[a]^2 \leq 3$।
अतः,$[a] \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$। चूँकि $[a]$ एक पूर्णांक है,$[a] \in \{-1, 0, 1\}$।
यदि $[a] = -1$,तो $-1 \leq a < 0$।
यदि $[a] = 0$,तो $0 \leq a < 1$।
यदि $[a] = 1$,तो $1 \leq a < 2$।
इन सबको मिलाने पर,$a$ का परिसर $[-1, 2)$ प्राप्त होता है।

(C) माना $E = \frac{4 \sin 9^{\circ} \sin 21^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 51^{\circ} \sin 69^{\circ} \sin 81^{\circ}}{\sin 54^{\circ}}$.
$\sin \theta \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ सूत्र का उपयोग करने पर:
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 9^{\circ} \sin 51^{\circ} \sin 69^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 27^{\circ}$.
और $(\sin 21^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 81^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 63^{\circ}$.
इन मानों को रखने पर:
$E = \frac{4 \cdot (\frac{1}{4} \sin 27^{\circ}) \cdot (\frac{1}{4} \sin 63^{\circ})}{\sin 54^{\circ}}$
$E = \frac{\frac{1}{4} \sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}{\sin 54^{\circ}}$
$E = \frac{\frac{1}{8} \sin 54^{\circ}}{\sin 54^{\circ}} = \frac{1}{8}$.

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{k=1}^{71} \sin(5k^{\circ})$ है।
यह समांतर श्रेणी में $n = 71$ पद हैं,प्रथम पद $a = 5^{\circ}$ और सार्व अंतर $d = 5^{\circ}$ है।
योग का सूत्र $S = \frac{\sin(n \cdot d/2)}{\sin(d/2)} \cdot \sin\left(\frac{a + l}{2}\right)$ है,जहाँ $l = 355^{\circ}$ है।
$S = \frac{\sin(355^{\circ}/2)}{\sin(5^{\circ}/2)} \cdot \sin(180^{\circ})$.
चूंकि $\sin(180^{\circ}) = 0$,इसलिए कुल योग $0$ है।

(A) माना $P = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$.
चूँकि $\cos \frac{3\pi}{7} = \cos (\pi - \frac{4\pi}{7}) = -\cos \frac{4\pi}{7}$,इसलिए:
$P = -\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}$.
$\theta = \frac{\pi}{7}$ के लिए सूत्र $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta = \frac{\sin 8\theta}{8 \sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$P = -\left[ \frac{\sin (8 \cdot \frac{\pi}{7})}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \right]$.
चूँकि $\sin \frac{8\pi}{7} = \sin (\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin \frac{\pi}{7}$:
$P = -\left[ \frac{-\sin \frac{\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \right] = -\left( -\frac{1}{8} \right) = \frac{1}{8}$.

(B) दिया गया है $\cos x = \frac{2 \cos y - 1}{2 - \cos y}$.
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \frac{(2 - \cos y) - (2 \cos y - 1)}{(2 - \cos y) + (2 \cos y - 1)}$
$\frac{2 \sin^2(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} = \frac{3 - 3 \cos y}{1 + \cos y}$
$\tan^2(x/2) = \frac{3(1 - \cos y)}{1 + \cos y} = \frac{3(2 \sin^2(y/2))}{2 \cos^2(y/2)}$
$\tan^2(x/2) = 3 \tan^2(y/2)$
चूँकि $x, y \in (0, \pi)$,इसलिए $x/2, y/2 \in (0, \pi/2)$,अतः $\tan(x/2)$ और $\tan(y/2)$ धनात्मक हैं।
वर्गमूल लेने पर,$\tan(x/2) = \sqrt{3} \tan(y/2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan(x/2) \cot(y/2) = \sqrt{3}$.

(C) दिया गया है कि $\alpha < \beta < \gamma < \delta$ और $\sin \alpha = \sin \beta = \sin \gamma = \sin \delta = k$ है।
चूंकि ये सबसे छोटे धनात्मक कोण हैं,हमारे पास है:
$\alpha = \alpha$
$\beta = \pi - \alpha$
$\gamma = 2\pi + \alpha$
$\delta = 3\pi - \alpha$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 4\sin \frac{\alpha}{2} + 3\sin \frac{\pi - \alpha}{2} + 2\sin \frac{2\pi + \alpha}{2} + \sin \frac{3\pi - \alpha}{2}$
$E = 4\sin \frac{\alpha}{2} + 3\cos \frac{\alpha}{2} - 2\sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}$
$E = 2\sin \frac{\alpha}{2} + 2\cos \frac{\alpha}{2} = 2\left(\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2}\right)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$E^2 = 4(1 + \sin \alpha) = 4(1 + k)$
अतः,$E = 2\sqrt{1 + k}$।

(A) माना $S = \sin 1^{\circ} + \sin 2^{\circ} + \dots + \sin 89^{\circ}$.
सर्वसमिका $\sin \theta + \sin(90^{\circ} - \theta) = \sqrt{2} \cos(\theta - 45^{\circ})$ का उपयोग करने पर,
अंश $= 2 \times [\sqrt{2}(\cos 44^{\circ} + \cos 43^{\circ} + \dots + \cos 1^{\circ}) + \sin 45^{\circ}]$.
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,अंश $= \sqrt{2} [2(\cos 1^{\circ} + \dots + \cos 44^{\circ}) + 1]$.
हर से विभाजित करने पर,उत्तर $\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $|\sin x \cos x| + \sqrt{2 + \tan^2 x + \cot^2 x} = \sqrt{3}$ है।
हम जानते हैं कि $2 + \tan^2 x + \cot^2 x = \sec^2 x + \csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}$ है।
अतः,$\sqrt{2 + \tan^2 x + \cot^2 x} = \frac{1}{|\sin x \cos x|}$ होगा।
माना $y = |\sin x \cos x|$,तो समीकरण $y + \frac{1}{y} = \sqrt{3}$ बन जाता है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$y + \frac{1}{y} \geq 2$ होता है।
चूंकि $\sqrt{3} < 2$ है,इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(D) दिया गया है कि $\tan A + \cot A = 4$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\tan A + \cot A)^2 = 4^2$.
$\tan^2 A + \cot^2 A + 2 \tan A \cot A = 16$.
चूंकि $\tan A \cot A = 1$,इसलिए $\tan^2 A + \cot^2 A + 2 = 16$.
$\tan^2 A + \cot^2 A = 14$.
अब,पुनः वर्ग करने पर,$(\tan^2 A + \cot^2 A)^2 = 14^2$.
$\tan^4 A + \cot^4 A + 2 \tan^2 A \cot^2 A = 196$.
चूंकि $\tan^2 A \cot^2 A = 1$,इसलिए $\tan^4 A + \cot^4 A + 2 = 196$.
$\tan^4 A + \cot^4 A = 194$.

(C) दिया गया है $\cos x + \sec x = -2$.
चूंकि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,इसलिए $\cos x + \frac{1}{\cos x} = -2$.
$\cos x$ से गुणा करने पर,$\cos^2 x + 1 = -2 \cos x$.
यह $\cos^2 x + 2 \cos x + 1 = 0$ में बदल जाता है,जो $(\cos x + 1)^2 = 0$ है।
अतः,$\cos x = -1$.
तब $\sec x = \frac{1}{-1} = -1$.
अब,$\cos^n x + \sec^n x = (-1)^n + (-1)^n = 2(-1)^n$.
यदि $n$ विषम है,तो $2(-1)^n = -2$.
यदि $n$ सम है,तो $2(-1)^n = 2$.
अतः,यदि $n$ विषम है तो $-2$ और यदि $n$ सम है तो $2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $2 \cos ^{2} \left( \frac{x}{2} \right) \sin ^{2} x = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ है।
$R.H.S.$ के लिए,$AM \geq GM$ असमिका के अनुसार,$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \geq 2$ होता है,जहाँ $x \neq 0$ है। समानता तब होती है जब $x^{2} = 1$,अर्थात $x = \pm 1$ हो।
$L.H.S.$ के लिए,हमारे पास $2 \cos ^{2} \left( \frac{x}{2} \right) \sin ^{2} x$ है। चूँकि $\cos ^{2} \left( \frac{x}{2} \right) \leq 1$ और $\sin ^{2} x \leq 1$,इसलिए $2 \cos ^{2} \left( \frac{x}{2} \right) \sin ^{2} x$ का अधिकतम मान $2 \times 1 \times 1 = 2$ है।
समीकरण को संतुष्ट करने के लिए,दोनों पक्षों को $2$ होना चाहिए। इसके लिए $x^{2} = 1$ (अतः $x = 1$,क्योंकि $x \in [0, \pi/2]$) और $\cos ^{2} \left( \frac{x}{2} \right) = 1$ तथा $\sin ^{2} x = 1$ होना आवश्यक है।
यदि $x = 1$ है,तो $\sin ^{2} (1) \approx 0.707 \neq 1$ है।
अतः,कोई हल संभव नहीं है।

(C) हमें अंतराल $x \in \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)$ में असमिका $\cos x > \sin x$ दी गई है।
इस अंतराल में $y = \cos x$ और $y = \sin x$ के ग्राफ पर विचार करने पर,$\cos x = \sin x$ तब होता है जब $\tan x = 1$,अर्थात $x = \frac{5\pi}{4}$।
अंतराल $\left( \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4} \right)$ में,$\cos x < \sin x$ है।
अंतराल $\left( \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2} \right)$ में,$\cos x > \sin x$ होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना कि नियमित पंचभुज और नियमित दशभुज दोनों का परिमाप $10x$ है।
नियमित पंचभुज के लिए,भुजाओं की संख्या $n_1 = 5$ है। भुजा की लंबाई $s_1 = \frac{10x}{5} = 2x$ है।
$n$ भुजाओं और $s$ लंबाई वाले नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{n s^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}$ होता है।
पंचभुज का क्षेत्रफल $A_1 = \frac{5 (2x)^2}{4 \tan(36^{\circ})} = 5x^2 \cot(36^{\circ})$ है।
नियमित दशभुज के लिए,भुजाओं की संख्या $n_2 = 10$ है। भुजा की लंबाई $s_2 = \frac{10x}{10} = x$ है।
दशभुज का क्षेत्रफल $A_2 = \frac{10 x^2}{4 \tan(18^{\circ})} = \frac{5}{2} x^2 \cot(18^{\circ})$ है।
पंचभुज और दशभुज के क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{5x^2 \cot(36^{\circ})}{\frac{5}{2} x^2 \cot(18^{\circ})} = 2 \cdot \frac{\cot(36^{\circ})}{\cot(18^{\circ})} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.