Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Hindi

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\tan 15^{\circ} + \cot 75^{\circ} + \cot 105^{\circ} + \tan 195^{\circ} = 2a$.
हम जानते हैं कि $\tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.
$\cot 75^{\circ} = \tan(90^{\circ}-75^{\circ}) = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.
$\cot 105^{\circ} = \cot(180^{\circ}-75^{\circ}) = -\cot 75^{\circ} = -(2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$.
$\tan 195^{\circ} = \tan(180^{\circ}+15^{\circ}) = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.
इन मानों को अभिव्यक्ति में रखने पर:
$(2-\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-2) + (2-\sqrt{3}) = 2a$.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर:
$2-\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} + \sqrt{3}-2 + 2-\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} = 2a$.
अतः,$a = 2-\sqrt{3}$.
अब,$a + \frac{1}{a}$ का मान ज्ञात करें:
$a + \frac{1}{a} = (2-\sqrt{3}) + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$.
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$.
इसलिए,$a + \frac{1}{a} = (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 4$.

(C) दिया गया व्यंजक: $E = \tan 9^{\circ} - \tan 27^{\circ} - \tan 63^{\circ} + \tan 81^{\circ}$
$\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करने पर,$\tan 81^{\circ} = \cot 9^{\circ}$ और $\tan 63^{\circ} = \cot 27^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E = (\tan 9^{\circ} + \cot 9^{\circ}) - (\tan 27^{\circ} + \cot 27^{\circ})$.
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$.
हम जानते हैं कि $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
$E = \frac{8}{\sqrt{5}-1} - \frac{8}{\sqrt{5}+1} = 8 \left( \frac{\sqrt{5}+1 - \sqrt{5} + 1}{5-1} \right) = 8 \left( \frac{2}{4} \right) = 4$.

(D) सर्वसमिका $4 \cos^2 \theta - 1 = \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करते हुए,हम गुणनफल के प्रत्येक पद को सरल बना सकते हैं।
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$36 \times \left( \frac{\sin 27^{\circ}}{\sin 9^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\sin 81^{\circ}}{\sin 27^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\sin 243^{\circ}}{\sin 81^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\sin 729^{\circ}}{\sin 243^{\circ}} \right)$
अंश और हर में समान पदों को काटने पर,हमें प्राप्त होता है:
$36 \times \frac{\sin 729^{\circ}}{\sin 9^{\circ}}$
चूंकि $\sin 729^{\circ} = \sin(2 \times 360^{\circ} + 9^{\circ}) = \sin 9^{\circ}$,इसलिए व्यंजक सरल होकर हो जाता है:
$36 \times \frac{\sin 9^{\circ}}{\sin 9^{\circ}} = 36$

(A) मान लीजिए $9^{\tan^2 x} = P$.
दिया गया समीकरण: $\frac{9}{P} + P = 10$.
$P^2 - 10P + 9 = 0$.
$(P - 9)(P - 1) = 0$.
अतः,$P = 1$ या $P = 9$.
स्थिति $1$: $9^{\tan^2 x} = 1 \implies \tan^2 x = 0 \implies x = 0$.
स्थिति $2$: $9^{\tan^2 x} = 9 \implies \tan^2 x = 1 \implies x = \pm \frac{\pi}{4}$.
इस प्रकार,$S = \{0, \frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}\}$.
$\beta = \tan^2(0) + \tan^2\left(\frac{\pi}{12}\right) + \tan^2\left(-\frac{\pi}{12}\right) = 0 + 2\tan^2(15^{\circ})$.
चूंकि $\tan(15^{\circ}) = 2 - \sqrt{3}$,इसलिए $\tan^2(15^{\circ}) = (2 - \sqrt{3})^2 = 7 - 4\sqrt{3}$.
$\beta = 2(7 - 4\sqrt{3}) = 14 - 8\sqrt{3}$.
तब $\frac{1}{6}(\beta - 14)^2 = \frac{1}{6}(14 - 8\sqrt{3} - 14)^2 = \frac{1}{6}(-8\sqrt{3})^2 = \frac{1}{6}(64 \times 3) = \frac{192}{6} = 32$.

(C) दिया गया समीकरण: $\cos 2x + a \sin x = 2a - 7$
$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर: $1 - 2 \sin^2 x + a \sin x = 2a - 7$
$2 \sin^2 x - a \sin x + 2a - 8 = 0$
$2(\sin^2 x - 4) - a(\sin x - 2) = 0$
$(\sin x - 2)(2 \sin x + 4 - a) = 0$
चूंकि $\sin x \neq 2$,इसलिए $a = 2 \sin x + 4$ होगा।
$-1 \leq \sin x \leq 1$ के लिए,$a \in [2, 6]$ प्राप्त होता है।
अतः,$p = 2$ और $q = 6$ है।
अब,$r = \tan 9^{\circ} + \cot 9^{\circ} - (\tan 27^{\circ} + \cot 27^{\circ}) = \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$।
$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ रखने पर,$r = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$pqr = 2 \times 6 \times 4 = 48$।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{3 \cos 2x + \cos^3 2x}{\cos^6 x - \sin^6 x} = x^3 - x^2 + 6$
हर का सरलीकरण: $\cos^6 x - \sin^6 x = \cos 2x (\frac{3 + \cos^2 2x}{4})$
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{\cos 2x (3 + \cos^2 2x)}{\cos 2x (\frac{3 + \cos^2 2x}{4})} = x^3 - x^2 + 6$
$\cos 2x \neq 0$ मानते हुए: $4 = x^3 - x^2 + 6$
$x^3 - x^2 + 2 = 0$
गुणनखंड करने पर: $(x + 1)(x^2 - 2x + 2) = 0$
चूंकि $x^2 - 2x + 2 > 0$ है,इसलिए एकमात्र वास्तविक हल $x = -1$ है।
अतः,वास्तविक हलों का योग $-1$ है।

(C) हम जानते हैं कि: $\cos \theta \cos (60^{\circ} - \theta) \cos (60^{\circ} + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$.
दी गई असमिका इस प्रकार है: $|\frac{1}{4} \cos 3\theta| \leq \frac{1}{8}$.
इसका अर्थ है: $|\cos 3\theta| \leq \frac{1}{2}$, या $-\frac{1}{2} \leq \cos 3\theta \leq \frac{1}{2}$.
इस सीमा में $\cos 3\theta$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ है।
$3\theta \in [0, 6\pi]$ के लिए $\cos 3\theta = \frac{1}{2}$ को हल करने पर:
$3\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$n=0$ के लिए: $3\theta = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{9}$.
$n=1$ के लिए: $3\theta = 2\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$.
$n=2$ के लिए: $3\theta = 4\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{11\pi}{9}, \frac{13\pi}{9}$.
$n=3$ के लिए: $3\theta = 6\pi - \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{17\pi}{9}$.
इन मानों का योग: $\frac{\pi}{9} + \frac{5\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} + \frac{11\pi}{9} + \frac{13\pi}{9} + \frac{17\pi}{9} = \frac{54\pi}{9} = 6\pi$.

(B) दिया गया है $\frac{\sin ^4 x}{2}+\frac{\cos ^4 x}{3}=\frac{1}{5}$।
माना $\sin ^2 x = t$,तो $\cos ^2 x = 1-t$,जहाँ $t \in [0, 1]$।
समीकरण $\frac{t^2}{2} + \frac{(1-t)^2}{3} = \frac{1}{5}$ हो जाता है।
$30$ से गुणा करने पर: $15t^2 + 10(1-2t+t^2) = 6$।
$25t^2 - 20t + 4 = 0$।
$(5t-2)^2 = 0$,जिससे $t = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin ^2 x = \frac{2}{5}$ और $\cos ^2 x = \frac{3}{5}$।
इसलिए,$\tan ^2 x = \frac{2/5}{3/5} = \frac{2}{3}$। अतः $(A)$ सही है।
अब $(B)$ की जाँच करें: $\frac{\sin ^8 x}{8} + \frac{\cos ^8 x}{27} = \frac{(2/5)^4}{8} + \frac{(3/5)^4}{27} = \frac{2}{625} + \frac{3}{625} = \frac{5}{625} = \frac{1}{125}$। अतः $(B)$ सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(B)$ हैं।

(A,C) दिया गया है $2(\cos \beta - \cos \alpha) + \cos \alpha \cos \beta = 1$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\cos \beta(2 + \cos \alpha) = 1 + 2 \cos \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos \beta = \frac{1 + 2 \cos \alpha}{2 + \cos \alpha}$।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर,$\frac{\cos \beta - 1}{\cos \beta + 1} = \frac{(1 + 2 \cos \alpha) - (2 + \cos \alpha)}{(1 + 2 \cos \alpha) + (2 + \cos \alpha)} = \frac{\cos \alpha - 1}{3(1 + \cos \alpha)}$।
सर्वसमिकाओं $\cos \theta - 1 = -2 \sin^2(\theta/2)$ और $\cos \theta + 1 = 2 \cos^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{-2 \sin^2(\beta/2)}{2 \cos^2(\beta/2)} = \frac{-2 \sin^2(\alpha/2)}{3(2 \cos^2(\alpha/2))}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $-\tan^2(\beta/2) = -\frac{1}{3} \tan^2(\alpha/2)$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\tan^2(\alpha/2) = 3 \tan^2(\beta/2)$।
वर्गमूल लेने पर,$\tan(\alpha/2) = \pm \sqrt{3} \tan(\beta/2)$।
अतः,$\tan(\alpha/2) - \sqrt{3} \tan(\beta/2) = 0$ या $\tan(\alpha/2) + \sqrt{3} \tan(\beta/2) = 0$।

(B) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए दिया गया समीकरण:
$\sum_{m=1}^6 \operatorname{cosec}\left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) \operatorname{cosec}\left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right) = 4 \sqrt{2}$
सर्वसमिका $\operatorname{cosec} A \operatorname{cosec} B = \frac{\cot A - \cot B}{\sin(B-A)}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $B-A = \frac{\pi}{4}$:
$\sum_{m=1}^6 \frac{\cot \left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) - \cot \left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right)}{\sin(\pi/4)} = 4 \sqrt{2}$
चूँकि $\sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$\sqrt{2} \sum_{m=1}^6 \left[ \cot \left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) - \cot \left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right) \right] = 4 \sqrt{2}$
$\sum_{m=1}^6 \left[ \cot \left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) - \cot \left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right) \right] = 4$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है:
$\cot \theta - \cot \left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = 4$
$\cot \theta + \tan \theta = 4$
$\tan^2 \theta - 4 \tan \theta + 1 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $\tan \theta = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = 2 - \sqrt{3} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{12}$
$\tan \theta = 2 + \sqrt{3} \Rightarrow \theta = \frac{5\pi}{12}$
दोनों मान $(0, \frac{\pi}{2})$ अंतराल में स्थित हैं।

(B) दी गई समीकरण प्रणाली से:
$y \sin 3\theta = -z \cos 3\theta$ और $\tan 3\theta = 1$ प्राप्त होता है।
अतः $3\theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$ होगा।
$\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{12}$ के लिए $0 < \theta < \pi$ की सीमा में $n=0, 1, 2$ लेने पर $\theta$ के $3$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})} + \frac{1}{\sin(\frac{3\pi}{n})}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{n})} - \frac{1}{\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
सूत्र $\sin(A) - \sin(B) = 2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(\frac{3\pi}{n}) - \sin(\frac{\pi}{n})}{\sin(\frac{\pi}{n})\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
$\frac{2\cos(\frac{2\pi}{n})\sin(\frac{\pi}{n})}{\sin(\frac{\pi}{n})\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
$\frac{2\cos(\frac{2\pi}{n})}{\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
$2\sin(\frac{2\pi}{n})\cos(\frac{2\pi}{n}) = \sin(\frac{3\pi}{n})$
$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\frac{4\pi}{n}) = \sin(\frac{3\pi}{n})$
चूंकि $\sin(A) = \sin(B)$ का अर्थ है $A = \pi - B$:
$\frac{4\pi}{n} = \pi - \frac{3\pi}{n}$
$\frac{4\pi}{n} + \frac{3\pi}{n} = \pi$
$\frac{7\pi}{n} = \pi$
$n = 7$

(C) दिया है $\tan (2\pi - \theta) > 0 \Rightarrow \tan \theta < 0$.
साथ ही,$-1 < \sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ का अर्थ है $\theta \in (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$.
सर्वसमिका $\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2} = \frac{2}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर,समीकरण $2 \cos \theta + 1 = 2 \sin(\theta + \phi)$ हो जाता है।
$\theta \in (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$ के लिए,$2 \cos \theta + 1 \in (1, 2)$,अतः $\frac{1}{2} < \sin(\theta + \phi) < 1$.
इससे $\phi \in (\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\phi$ विकल्प $(A), (C), (D)$ को संतुष्ट नहीं कर सकता है।

(C) दिया गया समीकरण $\sqrt{3} a \cos x + 2 b \sin x = c$ है।
$a$ से भाग देने पर,$\sqrt{3} \cos x + \frac{2b}{a} \sin x = \frac{c}{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं:
$\sqrt{3} \cos \alpha + \frac{2b}{a} \sin \alpha = \frac{c}{a} \quad (1)$
$\sqrt{3} \cos \beta + \frac{2b}{a} \sin \beta = \frac{c}{a} \quad (2)$
$(1) - (2)$ करने पर:
$\sqrt{3}(\cos \alpha - \cos \beta) + \frac{2b}{a}(\sin \alpha - \sin \beta) = 0$
सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sqrt{3} \left( -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \right) + \frac{2b}{a} \left( 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = 0$
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{6}$।
$\sin \frac{\alpha - \beta}{2} \neq 0$ से भाग देने पर:
$-\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{6} + \frac{2b}{a} \cos \frac{\pi}{6} = 0$
$-\sqrt{3} \left( \frac{1}{2} \right) + \frac{2b}{a} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 0$
$\frac{b}{a} = \frac{1}{2} = 0.5$।

(B) सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ और $2 \sin^2 A = 1 - \cos(2A)$ का उपयोग करते हुए:
$f(n) = \frac{\sum_{k=0}^n [\cos(\frac{\pi}{n+2}) - \cos(\frac{2k+3}{n+2}\pi)]}{\sum_{k=0}^n [1 - \cos(\frac{2k+2}{n+2}\pi)]}$
चूंकि $\sum_{k=0}^n \cos(\frac{2k+2}{n+2}\pi) = 0$ और $\sum_{k=0}^n \cos(\frac{2k+3}{n+2}\pi) = -\cos(\frac{\pi}{n+2})$,व्यंजक का सरलीकरण:
$f(n) = \frac{(n+1) \cos(\frac{\pi}{n+2}) + \cos(\frac{\pi}{n+2})}{n+1} = \cos(\frac{\pi}{n+2})$.
$(1)$ $f(5) = \cos(\frac{\pi}{7}) \implies \sin(7 \cos^{-1} f(5)) = \sin(7 \cdot \frac{\pi}{7}) = \sin(\pi) = 0$. (सही)
$(2)$ $f(4) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. (सही)
$(3)$ $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \cos(\frac{\pi}{n+2}) = \cos(0) = 1 \neq \frac{1}{2}$. (गलत)
$(4)$ $f(6) = \cos(\frac{\pi}{8}) \implies \alpha = \tan(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2}-1$. तब $\alpha^2 + 2\alpha - 1 = (\sqrt{2}-1)^2 + 2(\sqrt{2}-1) - 1 = (2 - 2\sqrt{2} + 1) + (2\sqrt{2} - 2) - 1 = 0$. (सही)
अतः,विकल्प $1, 2, 4$ सही हैं।

(C) हमारे पास $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \tan^{-1}\left(\frac{x}{1+k(k+1)x^2}\right)$ है।
सर्वसमिका $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करके,हम सामान्य पद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\tan^{-1}\left(\frac{(k+1)x - kx}{1 + ((k+1)x)(kx)}\right) = \tan^{-1}((k+1)x) - \tan^{-1}(kx)$.
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग योग प्राप्त होता है:
$S_n(x) = (\tan^{-1}(2x) - \tan^{-1}(x)) + (\tan^{-1}(3x) - \tan^{-1}(2x)) + \dots + (\tan^{-1}((n+1)x) - \tan^{-1}(nx))$
$S_n(x) = \tan^{-1}((n+1)x) - \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{(n+1)x - x}{1 + (n+1)x^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{nx}{1+(n+1)x^2}\right)$.
$(A)$ $n=10$ के लिए,$S_{10}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{10x}{1+11x^2}\right)$. चूँकि $y > 0$ के लिए $\tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(1/y)$,इसलिए $S_{10}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1+11x^2}{10x}\right)$. अतः,$(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ $\cot(S_n(x)) = \frac{1}{\tan(S_n(x))} = \frac{1+(n+1)x^2}{nx} = \frac{1}{nx} + \frac{n+1}{n}x$. जैसे $n \rightarrow \infty$,$\cot(S_n(x)) \rightarrow 0 + 1 \cdot x = x$. अतः,$(B)$ $TRUE$ है।
$(C)$ $S_3(x) = \tan^{-1}\left(\frac{3x}{1+4x^2}\right) = \frac{\pi}{4} \implies \frac{3x}{1+4x^2} = 1 \implies 4x^2 - 3x + 1 = 0$. विविक्तकर $D = (-3)^2 - 4(4)(1) = 9 - 16 = -7 < 0$. कोई वास्तविक मूल मौजूद नहीं है। अतः,$(C)$ $FALSE$ है।
$(D)$ मान लीजिए $f(x) = \tan(S_n(x)) = \frac{nx}{1+(n+1)x^2}$. अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = \frac{n(1+(n+1)x^2) - nx(2(n+1)x)}{(1+(n+1)x^2)^2} = \frac{n - n(n+1)x^2}{(1+(n+1)x^2)^2}$. $f'(x)=0$ रखने पर,$x^2 = \frac{1}{n+1}$,इसलिए $x = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. अधिकतम मान $f\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) = \frac{n/\sqrt{n+1}}{1+(n+1)/(n+1)} = \frac{n}{2\sqrt{n+1}}$ है। $n=3$ के लिए,मान $3/(2\sqrt{4}) = 3/4 > 1/2$ है। अतः,$(D)$ $FALSE$ है।

(A) दिया गया है कि $\sin(\alpha+\beta) = \frac{1}{3}$ और $\cos(\alpha-\beta) = \frac{2}{3}$ है।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें मान $1$ प्राप्त होता है।
अतः,महत्तम पूर्णांक $1$ है।

(B) दी गई व्यंजक: $E = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$
चूंकि $\cot x = \frac{-5}{\sqrt{11}}$,हमें $\tan(x/2) = \sqrt{11}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin(x/2) = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}$ और $\cos(x/2) = \frac{1}{2\sqrt{3}}$।
परिणामस्वरूप,$E = \frac{\sqrt{11}+1}{2\sqrt{3}}$।

(A) माना $E = \sin 70^{\circ} (\cot 10^{\circ} \cot 70^{\circ} - 1)$ है।
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos 10^{\circ} \cos 70^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} - 1 \right)$
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos 10^{\circ} \cos 70^{\circ} - \sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right)$
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos(10^{\circ} + 70^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right)$
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos 80^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right)$
चूँकि $\cos 80^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 80^{\circ}) = \sin 10^{\circ}$ है:
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right) = 1$।

(A) सर्वसमिका $\cos \theta \cos(\frac{\pi}{3} - \theta) \cos(\frac{\pi}{3} + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 6 + 16 \left(\frac{1}{4} \cos 3x\right) \sin 3x \cdot \cos 6x$
$f(x) = 6 + 4 \cos 3x \sin 3x \cos 6x$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर,$4 \cos 3x \sin 3x = 2 \sin 6x$ प्राप्त होता है:
$f(x) = 6 + 2 \sin 6x \cos 6x$
पुनः $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 6 + \sin 12x$
चूंकि $-1 \le \sin 12x \le 1$,इसलिए $f(x)$ का परिसर $[5, 7]$ है।
अतः,$\alpha = 5$ और $\beta = 7$ है।
बिंदु $(5, 7)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ की रेखा $Ax + By + C = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|3(5) + 4(7) + 12|}{\sqrt{25}} = \frac{55}{5} = 11$.

(C) माना $T_r = \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4} + (r-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{r\pi}{6}\right)}$.
$\sin \frac{\pi}{6}$ से गुणा और भाग करने पर:
$T_r = 2 \left[ \cot \left(\frac{\pi}{4} + (r-1) \frac{\pi}{6}\right) - \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{r\pi}{6}\right) \right]$.
$r=1$ से $13$ तक का योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = 2 \left[ \cot \left(\frac{\pi}{4}\right) - \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{13\pi}{6}\right) \right] = 2 [1 - (2 - \sqrt{3})] = 2\sqrt{3} - 2$.
यहाँ $a = 2$ और $b = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a^2 + b^2 = 2^2 + (-2)^2 = 8$.

(C) दिया है $\sin x+\sin ^2 x=1$,अतः $\sin x=1-\sin ^2 x=\cos ^2 x$ है।
चूँकि $\sin x=\cos ^2 x$,इसलिए $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos ^2 x}{\cos x} = \cos x$ होगा।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$= 2\cos ^{12} x + 6\cos ^{10} x + 6\cos ^8 x + 2\cos ^6 x$
$= 2(\cos ^{12} x + 3\cos ^{10} x + 3\cos ^8 x + \cos ^6 x)$
$= 2(\cos ^4 x + \cos ^2 x)^3$
चूँकि $\cos ^4 x + \cos ^2 x = \sin ^2 x + \sin x = 1$,अतः उत्तर $2(1)^3 = 2$ होगा।

(A) दिया गया है $10 \sin^4 \theta + 15 \cos^4 \theta = 6$.
माना $\sin^2 \theta = t$,तो $\cos^2 \theta = 1 - t$.
समीकरण $10t^2 + 15(1 - t)^2 = 6$ हो जाता है।
$10t^2 + 15(1 - 2t + t^2) = 6$.
$10t^2 + 15 - 30t + 15t^2 = 6$.
$25t^2 - 30t + 9 = 0$.
$(5t - 3)^2 = 0$,अतः $t = \frac{3}{5}$.
इस प्रकार,$\sin^2 \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
अब,$\operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{5}{3}$ और $\sec^2 \theta = \frac{5}{2}$.
व्यंजक $\frac{27 \operatorname{cosec}^6 \theta + 8 \sec^6 \theta}{16 \sec^8 \theta} = \frac{27(\frac{5}{3})^3 + 8(\frac{5}{2})^3}{16(\frac{5}{2})^4}$.
$= \frac{27 \times \frac{125}{27} + 8 \times \frac{125}{8}}{16 \times \frac{625}{16}} = \frac{125 + 125}{625} = \frac{250}{625} = \frac{2}{5}$.

(C) दिया गया है $\alpha = \sum_{k=0}^{29} \frac{1}{\sin(60+2k)^{\circ} \sin(61+2k)^{\circ}}$.
$\sin 1^{\circ}$ से गुणा और भाग करने पर:
$\alpha = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{29} (\cot(60+2k)^{\circ} - \cot(61+2k)^{\circ})$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है:
$\alpha \sin 1^{\circ} = \cot 60^{\circ} - \cot 119^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\left(\frac{\operatorname{cosec} 1^{\circ}}{\alpha}\right)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

(C) हमें योग $p = \sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{1}{2 r^2}$ दिया गया है।
$\tan^{-1}$ के अंदर अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर हमें $\tan ^{-1} \frac{2}{4 r^2}$ प्राप्त होता है।
हम इस पद को $\tan ^{-1} \left[ \frac{(2r+1) - (2r-1)}{1 + (2r+1)(2r-1)} \right]$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करने पर,यह $\tan^{-1}(2r+1) - \tan^{-1}(2r-1)$ बन जाता है।
अब,यह योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$p = \sum_{r=1}^{50} [\tan^{-1}(2r+1) - \tan^{-1}(2r-1)]$
$p = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1} 101 - \tan^{-1} 99)$
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $p = \tan^{-1} 101 - \tan^{-1} 1$ शेष रहता है।
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करने पर:
$p = \tan^{-1} \left( \frac{101 - 1}{1 + 101 \times 1} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{100}{102} \right)$.
अतः,$\tan p = \frac{100}{102} = \frac{50}{51}$.

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{6} \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ $G.P.$ में हैं।
अतः,$(\cos \theta)^2 = (\frac{1}{6} \sin \theta) \times (\tan \theta)$
$\cos^2 \theta = \frac{1}{6} \sin \theta \times \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$\cos^3 \theta = \frac{1}{6} \sin^2 \theta$
$\cos^3 \theta = \frac{1}{6} (1 - \cos^2 \theta)$
$6 \cos^3 \theta + \cos^2 \theta - 1 = 0$
माना $x = \cos \theta$ है। तब $6x^3 + x^2 - 1 = 0$ है।
निरीक्षण द्वारा,$x = \frac{1}{2}$ एक मूल है: $6(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - 1 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - 1 = 0$।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ है।
व्यापक हल $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$1) x \cos \theta + y \sin \theta = 5$
$2) x \sin \theta - y \cos \theta = 3$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(x \cos \theta + y \sin \theta)^{2} = 5^{2} \implies x^{2} \cos^{2} \theta + y^{2} \sin^{2} \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta = 25$
$(x \sin \theta - y \cos \theta)^{2} = 3^{2} \implies x^{2} \sin^{2} \theta + y^{2} \cos^{2} \theta - 2xy \sin \theta \cos \theta = 9$
दोनों वर्ग समीकरणों को जोड़ने पर:
$(x^{2} \cos^{2} \theta + x^{2} \sin^{2} \theta) + (y^{2} \sin^{2} \theta + y^{2} \cos^{2} \theta) = 25 + 9$
$x^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) + y^{2}(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = 34$
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,इसलिए:
$x^{2}(1) + y^{2}(1) = 34$
$x^{2} + y^{2} = 34$

(D) दिया गया है $\tan (\pi \cos \theta) = \cot (\pi \sin \theta)$.
हम जानते हैं कि $\cot x = \tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.
अतः,$\tan (\pi \cos \theta) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta\right)$.
इसका अर्थ है $\pi \cos \theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$\pi$ से विभाजित करने पर,$\cos \theta + \sin \theta = n + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ से गुणा करने पर,$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{n + 0.5}{\sqrt{2}}$.
$\sin \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = \frac{n + 0.5}{\sqrt{2}}$.
चूँकि साइन फलन $[-1, 1]$ के बीच होता है,$n=0$ लेने पर: $\sin \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = \frac{0.5}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.

(C) माना $E = \cos ^2 10^{\circ}-\cos 10^{\circ} \cos 50^{\circ}+\cos ^2 50^{\circ}$ है।
सर्वसमिका $\cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1+\cos 20^{\circ}}{2} - \cos 10^{\circ} \cos 50^{\circ} + \frac{1+\cos 100^{\circ}}{2}$
$E = 1 + \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} [\cos 60^{\circ} + \cos 40^{\circ}] + \frac{1}{2} \cos 100^{\circ}$
$E = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} + \frac{1}{2} [\cos 100^{\circ} - \cos 40^{\circ}]$
$\cos C - \cos D$ के सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} = \frac{3}{4}$.

(A) माना $u = 81^{\sin^2 x}$ है। चूँकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,इसलिए $81^{\cos^2 x} = \frac{81}{u}$ होगा।
समीकरण: $u + \frac{81}{u} = 30 \implies u^2 - 30u + 81 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(u - 27)(u - 3) = 0$,अतः $u = 27$ या $u = 3$ है।
स्थिति $1$: $81^{\sin^2 x} = 27 \implies 4\sin^2 x = 3 \implies \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$0 \leqslant x \leqslant \pi$ के लिए,$x = \frac{\pi}{3}$ या $x = \frac{2\pi}{3}$ है।
स्थिति $2$: $81^{\sin^2 x} = 3 \implies 4\sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm \frac{1}{2}$।
$0 \leqslant x \leqslant \pi$ के लिए,$x = \frac{\pi}{6}$ या $x = \frac{5\pi}{6}$ है।
अतः सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $\sqrt{3} a \cos x + 2 b \sin x = c$ के मूल हैं।
अतः,$\sqrt{3} a \cos \alpha + 2 b \sin \alpha = c$ $(i)$
और $\sqrt{3} a \cos \beta + 2 b \sin \beta = c$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$\sqrt{3} a (\cos \alpha - \cos \beta) + 2 b (\sin \alpha - \sin \beta) = 0$
त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sqrt{3} a [-2 \sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] + 2 b [2 \cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] = 0$
चूँकि $\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{6}$।
मान रखने पर:
$-\sqrt{3} a [2 \sin(\frac{\pi}{6}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] + 4 b [\cos(\frac{\pi}{6}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] = 0$
चूँकि $\alpha \neq \beta$,इसलिए $\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \neq 0$,अतः:
$-\sqrt{3} a (1) + 4 b (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$
$-\sqrt{3} a + 2 \sqrt{3} b = 0$
$\frac{b}{a} = \frac{1}{2} = 0.5$

(C) दिया गया है: $\cos x + \cos y - \cos (x + y) = \frac{3}{2}$
सूत्र $\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ और $\cos (x+y) = 2 \cos^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) - 1$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) - (2 \cos^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) - 1) = \frac{3}{2}$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) - 2 \cos^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}$
$2$ से गुणा करने पर:
$4 \cos^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) - 4 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) + 1 = 0$
माना $t = \cos \left(\frac{x+y}{2}\right)$। तब $4t^2 - 4t \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) + 1 = 0$।
चूंकि $t$ वास्तविक है,विविक्तकर $D \geq 0$:
$(-4 \cos \left(\frac{x-y}{2}\right))^2 - 4(4)(1) \geq 0$
$16 \cos^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) - 16 \geq 0$
$\cos^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) \geq 1$
चूंकि $\cos^2 \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\cos^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) = 1$ होना चाहिए।
अतः $\frac{x-y}{2} = 0$,जिसका अर्थ है $x = y$।

(B) सर्वसमिका $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2 x - \sin^2 y$ का उपयोग करने पर:
$\cos(18^{\circ}-A)\cos(18^{\circ}+A) = \cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A$
$\cos(72^{\circ}-A)\cos(72^{\circ}+A) = \cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A$
घटाने पर:
$(\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A) - (\cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A) = \cos^2 18^{\circ} - \cos^2 72^{\circ}$
चूँकि $\cos 72^{\circ} = \sin 18^{\circ}$,यह $\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 18^{\circ} = \cos(2 \times 18^{\circ}) = \cos 36^{\circ}$ हो जाता है।
$\cos 36^{\circ} = \sin 54^{\circ}$ होता है,अतः उत्तर $\sin 54^{\circ}$ है।

(B) दिया गया है कि $\sin (\theta-\alpha), \sin \theta, \sin (\theta+\alpha)$ $H.P.$ में हैं।
$\Rightarrow \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)}, \frac{1}{\sin \theta}, \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$ $A.P.$ में हैं।
$\therefore \frac{2}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)} + \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{\sin (\theta+\alpha) + \sin (\theta-\alpha)}{\sin (\theta-\alpha) \sin (\theta+\alpha)}$
सूत्र $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ और $\sin(A+B) \sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{2 \sin \theta \cos \alpha}{\sin^2 \theta - \sin^2 \alpha}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta - \sin^2 \alpha = \sin^2 \theta \cos \alpha$
$\Rightarrow \sin^2 \theta (1 - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$
$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ और $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \sin^2 \theta (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow 1 - \cos^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \cos^2 \theta = 1 - 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ प्राप्त करने के लिए $2$ से गुणा करके $1$ घटाने पर:
$\Rightarrow 2 \cos^2 \theta - 1 = 2(1 - 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) - 1$
$\Rightarrow \cos 2 \theta = 2 - 4 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1 = 1 - 4 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$

(D) दिया गया है: $\frac{\cos (A+B)}{\cos (A-B)}=\frac{\sin (C+D)}{\sin (C-D)}$
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos (A+B) + \cos (A-B)}{\cos (A+B) - \cos (A-B)} = \frac{\sin (C+D) + \sin (C-D)}{\sin (C+D) - \sin (C-D)}$
सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \cos A \cos B}{-2 \sin A \sin B} = \frac{2 \sin C \cos D}{2 \cos C \sin D}$
$-\cot A \cot B = \tan C \cot D$
$-\frac{1}{\tan A \tan B} = \frac{\tan C}{\tan D}$
अतः,$\tan A \tan B \tan C = -\tan D$

(D) दिया गया है: $\frac{\sin (A+B)}{\sin (A-B)}=\frac{\cos (C+D)}{\cos (C-D)}$
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin (A+B)+\sin (A-B)}{\sin (A+B)-\sin (A-B)}=\frac{\cos (C+D)+\cos (C-D)}{\cos (C+D)-\cos (C-D)}$
सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \sin A \cos B}{2 \cos A \sin B} = \frac{2 \cos C \cos D}{-2 \sin C \sin D}$
$\tan A \cot B = -\cot C \cot D$

(C) दिया गया है $\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = 5$ $(1)$
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot^{2} \theta = 1$
सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,$(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) = 1$
$(1)$ का मान रखने पर,$(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(5) = 1 \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = \frac{1}{5}$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,$2 \operatorname{cosec} \theta = 5 + \frac{1}{5} = \frac{26}{5}$
अतः,$\operatorname{cosec} \theta = \frac{13}{5}$
चूँकि $\sin \theta = \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{5}{13}$

(C) दिया गया है कि $\sin x + \sin^{2} x = 1$.
इसका अर्थ है $\sin x = 1 - \sin^{2} x$,अतः $\sin x = \cos^{2} x$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sin^{2} x = \cos^{4} x$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\cos^{8} x + 2 \cos^{6} x + \cos^{4} x$ पर विचार करें।
इसे $(\cos^{4} x + \cos^{2} x)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\cos^{4} x = \sin^{2} x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\sin^{2} x + \cos^{2} x)^{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$,इसलिए व्यंजक का मान $(1)^{2} = 1$ होगा।

(C) दिया गया समीकरण $3 \sin^{2} x - 8 \sin x + 4 = 0$ है।
माना $u = \sin x$,तो $3u^{2} - 8u + 4 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(3u - 2)(u - 2) = 0$।
इससे $u = \frac{2}{3}$ या $u = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin x = 2$ संभव नहीं है।
अतः,$\sin x = \frac{2}{3}$।
चूंकि $x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$,$x$ दूसरे चतुर्थांश में है जहाँ $\cos x$ ऋणात्मक होता है।
$\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$।
इसलिए,$\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$।
अतः,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2/3}{-\sqrt{5}/3} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$।

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\cos ^2 A - \sin ^2 B = \cos(A+B) \cdot \cos(A-B)$.
यहाँ $A = 48^{\circ}$ और $B = 12^{\circ}$ रखने पर:
$\cos ^2 48^{\circ} - \sin ^2 12^{\circ} = \cos(60^{\circ}) \cdot \cos(36^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \cdot (1 - 2\sin ^2 18^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \left[ 1 - 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 \right]$
$= \frac{1 + \sqrt{5}}{8}$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sin^2 5^{\circ} + \sin^2 10^{\circ} + \ldots + \sin^2 85^{\circ} + \sin^2 90^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \sin^2(90^{\circ} - \theta) = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है।
$5^{\circ}$ से $85^{\circ}$ तक $5^{\circ}$ के अंतराल पर कुल $17$ पद हैं।
इन्हें $(\sin^2 5^{\circ} + \sin^2 85^{\circ}) + (\sin^2 10^{\circ} + \sin^2 80^{\circ}) + \ldots + (\sin^2 40^{\circ} + \sin^2 50^{\circ}) + \sin^2 45^{\circ}$ के रूप में जोड़ा जा सकता है।
ऐसी $8$ जोड़ियाँ हैं,जिनका योग $1$ है,और एक मध्य पद $\sin^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,इन $17$ पदों का योग $8 \times 1 + \frac{1}{2} = 8.5$ है।
अंतिम पद $\sin^2 90^{\circ} = 1$ जोड़ने पर,कुल योग $8.5 + 1 = 9.5 = \frac{19}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना दिया गया व्यंजक $E = \cos ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{8}\right)+\sin ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin \left(\frac{3 \pi}{8}\right)$ है।
सर्वसमिका $\cos \left(\frac{3 \pi}{8}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right)$ और $\sin \left(\frac{3 \pi}{8}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$E = \cos ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$
$\sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$E = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right) \left[ \cos ^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin ^2\left(\frac{\pi}{8}\right) \right]$
पाइथागोरस सर्वसमिका $\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1$ का उपयोग करते हुए:
$E = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot (1) = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$
द्विगुण कोण सूत्र $\sin (2A) = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $\cos 20^{\circ} + 2 \sin^2 55^{\circ} - \sqrt{2} \sin 65^{\circ}$
सर्वसमिका $2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ का उपयोग करने पर,$2 \sin^2 55^{\circ} = 1 - \cos 110^{\circ}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक में मान रखने पर:
$\cos 20^{\circ} + 1 - \cos 110^{\circ} - \sqrt{2} \sin 65^{\circ}$
सूत्र $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 20^{\circ} - \cos 110^{\circ} = 2 \sin 65^{\circ} \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \sin 65^{\circ}$
अतः,$\sqrt{2} \sin 65^{\circ} - \sqrt{2} \sin 65^{\circ} + 1 = 1$

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$\tan \theta + \sin \theta = a$ $(1)$
$\tan \theta - \sin \theta = b$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2 \tan \theta = a + b$ $\Rightarrow \tan \theta = \frac{a+b}{2}$ $\Rightarrow \cot \theta = \frac{2}{a+b}$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$2 \sin \theta = a - b$ $\Rightarrow \sin \theta = \frac{a-b}{2}$ $\Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = \frac{2}{a-b}$
अतः,मान $\frac{2}{a+b}$ और $\frac{2}{a-b}$ हैं।

(C) दिया है: $x = 3 \sin \theta$,$y = 3 \cos \theta \cos \phi$,$z = 3 \cos \theta \sin \phi$
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (3 \sin \theta)^{2} + (3 \cos \theta \cos \phi)^{2} + (3 \cos \theta \sin \phi)^{2}$
$= 9 \sin^{2} \theta + 9 \cos^{2} \theta \cos^{2} \phi + 9 \cos^{2} \theta \sin^{2} \phi$
$= 9 \sin^{2} \theta + 9 \cos^{2} \theta (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi)$
चूंकि $\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi = 1$:
$= 9 \sin^{2} \theta + 9 \cos^{2} \theta (1)$
$= 9 (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)$
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$:
$= 9 \times 1 = 9$

(A) दिया है: $\tan \theta + \cot \theta = 4$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\tan \theta + \cot \theta)^{2} = 4^{2}$
$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta + 2 \tan \theta \cot \theta = 16$
चूंकि $\tan \theta \cot \theta = 1$,इसलिए:
$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta + 2(1) = 16$
$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta = 14$
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta)^{2} = 14^{2}$
$\tan^{4} \theta + \cot^{4} \theta + 2 \tan^{2} \theta \cot^{2} \theta = 196$
$\tan^{4} \theta + \cot^{4} \theta + 2(1)^{2} = 196$
$\tan^{4} \theta + \cot^{4} \theta = 196 - 2 = 194$

(B) दिया गया है कि $\sin x + \operatorname{cosec} x = 3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin x + \operatorname{cosec} x)^{2} = 3^{2}$
$\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x + 2 \sin x \operatorname{cosec} x = 9$
चूंकि $\sin x \operatorname{cosec} x = 1$ है,इसलिए:
$\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x + 2(1) = 9$
$\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x = 7$
अब,पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x)^{2} = 7^{2}$
$\sin^{4} x + \operatorname{cosec}^{4} x + 2 \sin^{2} x \operatorname{cosec}^{2} x = 49$
$\sin^{4} x + \operatorname{cosec}^{4} x + 2(1)^{2} = 49$
$\sin^{4} x + \operatorname{cosec}^{4} x = 49 - 2 = 47$

(D) दिया गया है कि $3 \sin \alpha = 5 \sin \beta$,इसलिए हम लिख सकते हैं $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{5}{3}$.
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\sin \alpha - \sin \beta} = \frac{5 + 3}{5 - 3} = \frac{8}{2} = 4$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{2 \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)} = 4$
$\tan \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cot \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4$
चूंकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,इसलिए $\tan \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \div \tan \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4$.

(A) माना $E = \sqrt{3} \cot 20^{\circ} - 4 \cos 20^{\circ}$.
$E = \sqrt{3} \frac{\cos 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} - 4 \cos 20^{\circ}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 4 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर,$4 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ} = 2 \sin 40^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 \sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sqrt{3} \cos 20^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} = 1$.

(A) माना $x = \tan 20^{\circ} \tan 80^{\circ} \cot 50^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\cot 50^{\circ} = \frac{1}{\tan 50^{\circ}}$ होता है।
अतः,$x = \frac{\tan 20^{\circ} \tan 80^{\circ}}{\tan 50^{\circ}}$.
$\tan \theta \tan(60^{\circ} - \theta) \tan(60^{\circ} + \theta) = \tan 3\theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।