समीकरणों sin x + sin y = sin (x + y) और |x| + | vedclass

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Question

(C) समीकरण $\sin x + \sin y = \sin (x + y)$ को $2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$ के रूप में लिखा जा

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(C) समीकरण $\sin x + \sin y = \sin (x + y)$ को $2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।इसका अर्थ है $\sin \frac{x+y}{2} = 0$ या $\cos \frac{x-y}{2} = \cos \frac{x+y}{2}$।स्थिति $1$: $\sin \frac{x+y}{2} = 0 \implies x+y = 0$। दिया गया है $|x| + |y| = 1$,यदि $x+y=0$ है,तो $y=-x$,इसलिए $|x| + |-x| = 2|x| = 1 \implies |x| = 1/2$। अतः,$(1/2, -1/2)$ और $(-1/2, 1/2)$ हल हैं।स्थिति $2$: $\cos \frac{x-y}{2} = \cos \frac{x+y}{2} \implies \frac{x-y}{2} = \pm \frac{x+y}{2} + 2n\pi$। $n=0$ के लिए,यह $x-y = x+y \implies y=0$ या $x-y = -(x+y) \implies x=0$ देता है।यदि $y=0$ है,तो $|x| + |0| = 1 \implies x = \pm 1$। अतः,$(1, 0)$ और $(-1, 0)$ हल हैं।यदि $x=0$ है,तो $|0| + |y| = 1 \implies y = \pm 1$। अतः,$(0, 1)$ और $(0, -1)$ हल हैं।इन सबको मिलाकर,हमारे पास $6$ युग्म हैं: $(1/2, -1/2), (-1/2, 1/2), (1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1)$।

समीकरणों $\sin x + \sin y = \sin (x + y)$ और $|x| + |y| = 1$ को संतुष्ट करने वाले $(x, y)$ युग्मों की संख्या है

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$\sum_{k=1}^3 \cos ^2\left((2 k-1) \frac{\pi}{12}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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