Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ $2 \sec 2\alpha = \tan \beta + \cot \beta$ છે.
જમણી બાજુને આ રીતે લખી શકાય:
$\tan \beta + \cot \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{\sin^2 \beta + \cos^2 \beta}{\sin \beta \cos \beta} = \frac{1}{\sin \beta \cos \beta}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{2}{2 \sin \beta \cos \beta} = \frac{2}{\sin 2\beta}$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $\frac{2}{\cos 2\alpha} = \frac{2}{\sin 2\beta}$ બને છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos 2\alpha = \sin 2\beta$.
નિત્યસમ $\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos 2\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - 2\beta)$.
તેથી,$2\alpha = \frac{\pi}{2} - 2\beta$,જેનું સાદું રૂપ $2\alpha + 2\beta = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $S = {\sin ^4}\frac{\pi }{8} + {\sin ^4}\frac{{3\pi }}{8} + {\sin ^4}\frac{{5\pi }}{8} + {\sin ^4}\frac{{7\pi }}{8}$
$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ હોવાથી,$\sin \frac{{7\pi }}{8} = \sin \frac{\pi }{8}$ અને $\sin \frac{{5\pi }}{8} = \sin \frac{{3\pi }}{8}$ મળે.
તેથી,$S = 2\left( {\sin ^4}\frac{\pi }{8} + {\sin ^4}\frac{{3\pi }}{8} \right)$.
$2\sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = 2 \left[ \frac{1}{4} (1 - \cos \frac{\pi }{4})^2 + \frac{1}{4} (1 - \cos \frac{{3\pi }}{4})^2 \right]$.
$S = \frac{1}{2} \left[ (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (1 - (- \frac{1}{\sqrt{2}}))^2 \right]$.
$S = \frac{1}{2} \left[ (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (1 + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 \right]$.
$(a-b)^2 + (a+b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \left[ 1^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 \right]$.
$S = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$.
તેથી,$\cos \frac{{7\pi }}{8} = \cos(\pi - \frac{\pi }{8}) = -\cos \frac{\pi }{8}$ અને $\cos \frac{{5\pi }}{8} = \cos(\pi - \frac{{3\pi }}{8}) = -\cos \frac{{3\pi }}{8}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{\pi }{8}} \right)$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$E = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)$
નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \left( {1 - \cos^2 \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 - \cos^2 \frac{{3\pi }}{8}} \right)$
$E = \sin^2 \frac{\pi }{8} \sin^2 \frac{{3\pi }}{8}$
નિત્યસમ $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \left( \sin \frac{\pi }{8} \sin \frac{{3\pi }}{8} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \frac{{2\pi }}{8} - \cos \frac{{4\pi }}{8} \right) \right)^2$
$E = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{2} \right) \right)^2$
કારણ કે $\cos \frac{\pi }{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos \frac{\pi }{2} = 0$:
$E = \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 \right) \right)^2 = \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{8}$.

(A) આપેલ છે કે $3 \tan A - 4 = 0 \Rightarrow \tan A = \frac{4}{3}$.
$A$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sin A$ અને $\cos A$ બંને ઋણ છે.
$\tan A = \frac{4}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin A = -\frac{4}{5}$ અને $\cos A = -\frac{3}{5}$ મળે.
હવે,$5 \sin 2A + 3 \sin A + 4 \cos A = 5(2 \sin A \cos A) + 3 \sin A + 4 \cos A$.
કિંમતો મૂકતા: $10 \left(-\frac{4}{5}\right) \left(-\frac{3}{5}\right) + 3 \left(-\frac{4}{5}\right) + 4 \left(-\frac{3}{5}\right)$.
$= 10 \left(\frac{12}{25}\right) - \frac{12}{5} - \frac{12}{5}$.
$= \frac{24}{5} - \frac{24}{5} = 0$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $E = 2 \sin^2 \beta + 4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta + \cos 2(\alpha + \beta)$
નિત્યસમ $2 \sin^2 \beta = 1 - \cos 2\beta$ અને $\cos 2(\alpha + \beta) = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = (1 - \cos 2\beta) + 4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta + (2 \cos^2(\alpha + \beta) - 1)$
$E = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta$
$2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 2 \cos(\alpha + \beta) [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$
$E = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) - 2 \cos^2(\alpha + \beta)$
$E = 2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) - \cos 2\beta$
$2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = (\cos 2\alpha + \cos 2\beta) - \cos 2\beta$
$E = \cos 2\alpha$

(D) આપેલ સમીકરણ $\sin x \cos x = 2$ છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 \sin x \cos x = 4$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin 2x = 4$ મળે છે.
સાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin 2x$ ની કિંમત $4$ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આ સમીકરણને કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) ધારો કે $f(x) = \cos x - x + \frac{1}{2}$.
અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2}]$ ની સીમાઓ પર વિધેયનું મૂલ્ય શોધો:
$f(0) = \cos(0) - 0 + \frac{1}{2} = 1.5 > 0$.
$f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 - \pi}{2} < 0$.
ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$f(0) > 0$ અને $f(\frac{\pi}{2}) < 0$ હોવાથી,અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2}]$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = (1 + \tan x + \tan^2 x)(1 - \cot x + \cot^2 x)$ છે.
$\cot x = \frac{1}{\tan x}$ મૂકતા,$E = (1 + \tan x + \tan^2 x)(1 - \frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\tan^2 x})$.
$E = (1 + \tan x + \tan^2 x) \left( \frac{\tan^2 x - \tan x + 1}{\tan^2 x} \right)$.
$E = \frac{(1 + \tan^2 x + \tan x)(1 + \tan^2 x - \tan x)}{\tan^2 x}$.
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1 + \tan^2 x$ અને $b = \tan x$:
$E = \frac{(1 + \tan^2 x)^2 - \tan^2 x}{\tan^2 x}$.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ $1 + \tan^2 x \ge 2|\tan x|$ હોવાથી,$(1 + \tan^2 x)^2 > \tan^2 x$ થાય.
આમ,$x$ ની તમામ કિંમતો માટે પદાવલિ ધન છે જ્યાં $\tan x$ વ્યાખ્યાયિત છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $81^{\sin^2 x} + 81^{\cos^2 x} = 30$.
ધારો કે $u = 81^{\sin^2 x}$. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ હોવાથી,સમીકરણ $u + \frac{81}{u} = 30$ બને છે.
$u^2 - 30u + 81 = 0$ ને ઉકેલતા,$(u - 27)(u - 3) = 0$ મળે.
તેથી,$u = 27$ અથવા $u = 3$.
કિસ્સો $1$: $81^{\sin^2 x} = 27 \implies 4 \sin^2 x = 3 \implies \sin^2 x = 3/4 \implies x = \pi/3$ અથવા $2\pi/3$.
કિસ્સો $2$: $81^{\sin^2 x} = 3 \implies 4 \sin^2 x = 1 \implies \sin^2 x = 1/4 \implies x = \pi/6$ અથવા $5\pi/6$.
વિકલ્પો તપાસતા,$\pi/6$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે,$A.M. \ge G.M.$ અસમતા મુજબ,$\frac{5^x + 5^{-x}}{2} \ge \sqrt{5^x \cdot 5^{-x}} = 1$ થાય.
આથી $5^x + 5^{-x} \ge 2$ મળે.
વળી,કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\cos(e^x) \le 1$ થાય.
આથી $2 \cos(e^x) \le 2$ મળે.
સમીકરણ $2 \cos(e^x) = 5^x + 5^{-x}$ સંતોષાય તે માટે બંને બાજુ $2$ હોવી જોઈએ.
આ માટે $5^x + 5^{-x} = 2$ હોવું જરૂરી છે,જે ફક્ત $x = 0$ માટે શક્ય છે.
$x = 0$ મૂકતા,ડાબી બાજુ $2 \cos(e^0) = 2 \cos(1)$ મળે.
$\cos(1) \approx 0.54$ હોવાથી,$2 \cos(1) \approx 1.08 \neq 2$ થાય.
તેથી,આપેલ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણો $r \sin \theta = 3$ અને $r = 4(1 + \sin \theta)$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $r = \frac{3}{\sin \theta}$ મૂકતા:
$\frac{3}{\sin \theta} = 4(1 + \sin \theta)$
$3 = 4 \sin \theta + 4 \sin^2 \theta$
$4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta - 3 = 0$
ધારો કે $x = \sin \theta$,તો $4x^2 + 4x - 3 = 0$.
$(2x - 1)(2x + 3) = 0$
તેથી,$x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -\frac{3}{2}$.
કારણ કે $-1 \le \sin \theta \le 1$,આપણે $x = -\frac{3}{2}$ ને સ્વીકારીશું નહીં.
આમ,$\sin \theta = \frac{1}{2}$.
$0 \le \theta \le 2\pi$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{6}$ અથવા $\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

(A) આપેલ છે કે $\tan (\pi \cos \theta ) = \cot (\pi \sin \theta )$.
$\cot(x) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan (\pi \cos \theta ) = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta \right)$.
આથી $\pi \cos \theta = \frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta$ મળે.
$\cos \theta + \sin \theta = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$\cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(B) $A, B, C$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$A + C = 2B$ થાય.
$A + B + C = 180^o$ આપેલ હોવાથી,$A + C = 2B$ મૂકતા $3B = 180^o$ મળે,તેથી $B = 60^o$.
$\sin(2A + B) = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,તેથી $2A + 60^o = 30^o$ અથવા $150^o$ થાય.
$A$ ધન હોવાથી,$2A + 60^o = 150^o$ લેતા $2A = 90^o$ મળે,તેથી $A = 45^o$.
$A + C = 2B$ નો ઉપયોગ કરતા,$45^o + C = 120^o$ મળે,જે $C = 75^o$ આપે છે.
આમ,ખૂણાઓ $45^o, 60^o, 75^o$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળના સૂત્ર $\frac{1}{2}bc \sin A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}(AB)(AC) \sin A = \frac{1}{2}(DE)(EF) \sin E$.
$AB = DE$ અને $AC = EF$ હોવાથી,આ સમીકરણ આ મુજબ થાય:
$\sin A = \sin E$.
$\angle A = 2\angle E$ આપેલ હોવાથી,$A = 2E$ મૂકતા:
$\sin(2E) = \sin E$.
$2 \sin E \cos E = \sin E$.
$\sin E \neq 0$ હોવાથી,$\sin E$ વડે ભાગતા:
$2 \cos E = 1 \Rightarrow \cos E = \frac{1}{2}$.
તેથી,$E = \frac{\pi}{3}$.
આમ,$A = 2E = 2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(D) ધારો કે બે રસ્તાઓનું છેદબિંદુ $A$ છે. બસનું સ્થાન $B$ અને કારનું સ્થાન $C$ છે.
આપેલ છે કે $AB = 2 \, km$,$AC = 3 \, km$,અને ખૂણો $\angle BAC = 60^o$.
$\triangle ABC$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC) \cos(60^o)$
$BC^2 = 2^2 + 3^2 - 2(2)(3) \left(\frac{1}{2}\right)$
$BC^2 = 4 + 9 - 6$
$BC^2 = 7$
$BC = \sqrt{7} \, km$.
આમ,બંને વાહનો વચ્ચેનું સીધું અંતર $\sqrt{7} \, km$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos \theta + \cos 7\theta + \cos 3\theta + \cos 5\theta = 0$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\cos 7\theta + \cos \theta) + (\cos 5\theta + \cos 3\theta) = 0$
$2 \cos 4\theta \cos 3\theta + 2 \cos 4\theta \cos \theta = 0$
$2 \cos 4\theta (\cos 3\theta + \cos \theta) = 0$
$\cos 3\theta + \cos \theta = 2 \cos 2\theta \cos \theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$4 \cos 4\theta \cos 2\theta \cos \theta = 0$
આથી,$\theta = \frac{n\pi}{8}$ મળે છે.

(C) સમીકરણ $\sin x + \sin y = \sin (x + y)$ ને $2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin \frac{x+y}{2} = 0$ અથવા $\cos \frac{x-y}{2} = \cos \frac{x+y}{2}$.
કિસ્સો $1$: $\sin \frac{x+y}{2} = 0 \implies x+y = 0$. આપેલ છે કે $|x| + |y| = 1$,જો $x+y=0$ હોય,તો $y=-x$,તેથી $|x| + |-x| = 2|x| = 1 \implies |x| = 1/2$. આમ,$(1/2, -1/2)$ અને $(-1/2, 1/2)$ ઉકેલો છે.
કિસ્સો $2$: $\cos \frac{x-y}{2} = \cos \frac{x+y}{2} \implies \frac{x-y}{2} = \pm \frac{x+y}{2} + 2n\pi$. $n=0$ માટે,આ $x-y = x+y \implies y=0$ અથવા $x-y = -(x+y) \implies x=0$ આપે છે.
જો $y=0$ હોય,તો $|x| + |0| = 1 \implies x = \pm 1$. આમ,$(1, 0)$ અને $(-1, 0)$ ઉકેલો છે.
જો $x=0$ હોય,તો $|0| + |y| = 1 \implies y = \pm 1$. આમ,$(0, 1)$ અને $(0, -1)$ ઉકેલો છે.
આ બધાને ભેગા કરતા,આપણી પાસે $6$ જોડીઓ છે: $(1/2, -1/2), (-1/2, 1/2), (1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1)$.

(D) ધારો કે $y = \cos x \cos(x + 2) - \cos^2(x + 1)$.
નિત્યસમ $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) + \cos(A + B)]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{1}{2}[\cos(x - (x + 2)) + \cos(x + x + 2)] - \cos^2(x + 1)$
$y = \frac{1}{2}[\cos(-2) + \cos(2x + 2)] - \cos^2(x + 1)$
$\cos(-2) = \cos 2$ હોવાથી:
$y = \frac{1}{2}\cos 2 + \frac{1}{2}\cos(2(x + 1)) - \cos^2(x + 1)$
$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{1}{2}\cos 2 + \frac{1}{2}(2\cos^2(x + 1) - 1) - \cos^2(x + 1)$
$y = \frac{1}{2}\cos 2 + \cos^2(x + 1) - \frac{1}{2} - \cos^2(x + 1)$
$y = \frac{1}{2}(\cos 2 - 1)$
$1 - \cos 2 = 2\sin^2 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = -\sin^2 1$ મળે છે.
આ $x$-અક્ષને સમાંતર એક સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે $(\frac{\pi}{2}, -\sin^2 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) ધારો કે $f(x) = 5x^2 + 2x + 3 - 2\sin x$.
આપણે $f(x) = 5(x^2 + \frac{2}{5}x) + 3 - 2\sin x = 5(x + \frac{1}{5})^2 + 3 - \frac{1}{5} - 2\sin x = 5(x + \frac{1}{5})^2 + 2.8 - 2\sin x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત તપાસીએ.
કારણ કે $-1 \le \sin x \le 1$,પદ $-2\sin x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-2$ છે.
આમ,$f(x) \ge 5(x + \frac{1}{5})^2 + 2.8 - 2 = 5(x + \frac{1}{5})^2 + 0.8$.
કારણ કે $5(x + \frac{1}{5})^2 \ge 0$,તેથી તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) \ge 0.8 > 0$ થાય છે.
તેથી,$f(x)$ ક્યારેય $0$ ને સમાન નથી,જેનો અર્થ છે કે વક્રો ક્યારેય છેદતા નથી.
છેદબિંદુઓની સંખ્યા $0$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(\theta) = \sin \theta (\sin \theta + \sin 3\theta)$.
નિત્યસમ $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = \sin \theta (\sin \theta + 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta)$
$f(\theta) = \sin \theta (4\sin \theta - 4\sin^3 \theta)$
$f(\theta) = 4\sin^2 \theta (1 - \sin^2 \theta)$
કારણ કે $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$,તેથી:
$f(\theta) = 4\sin^2 \theta \cos^2 \theta$
$f(\theta) = (2 \sin \theta \cos \theta)^2$
$f(\theta) = (\sin 2\theta)^2$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી $(\sin 2\theta)^2 \ge 0$ તમામ વાસ્તવિક $\theta$ માટે.
તેથી,$f(\theta) \ge 0$ તમામ વાસ્તવિક $\theta$ માટે.

(A) ધારો કે $e^{\sin x} = y$. કારણ કે $\sin x \in [-1, 1]$,તેથી $y \in [e^{-1}, e^1]$,એટલે કે $y \in [1/e, e]$.
સમીકરણ $y - \frac{1}{y} - 4 = 0$ બને છે.
$y$ વડે ગુણતા,$y^2 - 4y - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ મળે.
$y > 0$ હોવાથી,આપણે $y = 2 + \sqrt{5} \approx 4.236$ લઈએ.
પરંતુ,$y = e^{\sin x}$ ની મહત્તમ કિંમત $e^1 \approx 2.718$ છે.
$4.236 > 2.718$ હોવાથી,$x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જેના માટે $e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$ થાય.
તેથી,વાસ્તવિક બીજોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\cos x + \sin x)^2 = \frac{1}{4}$ મળે.
$1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4} \Rightarrow 2 \sin x \cos x = -\frac{3}{4}$.
$\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = -\frac{3}{4}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$3 \tan^2 x + 8 \tan x + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર મુજબ,$\tan x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}$.
$x$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\tan x < 0$ થાય,તેથી $\tan x = \frac{-4 - \sqrt{7}}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha) = -\frac{3}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,$2[\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha)] = -3$ મળે.
બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા: $2[\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha)] + 3 = 0$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + (\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma)$ લખી શકાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma)^2 = 0$ મળે.
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ અને $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$.
તેથી,વિધાન $A$ અને $B$ બંને સાચા છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\tan A}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \tan A}$
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ અને $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ મૂકતા:
$= \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{1 - \frac{\cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{1 - \frac{\sin A}{\cos A}}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} + \frac{\cos^2 A}{\sin A(\cos A - \sin A)}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} - \frac{\cos^2 A}{\sin A(\sin A - \cos A)}$
$= \frac{1}{\sin A - \cos A} \left( \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A \cos A} \right)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{(\sin A - \cos A)(\sin A \cos A)}$
$= \frac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A} = \frac{1}{\sin A \cos A} + 1 = \sec A \csc A + 1$

(B) આપણને $f_k(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$ આપેલ છે.
આપણે $f_4(x) - f_6(x)$ શોધવાનું છે.
$f_4(x) = \frac{1}{4}(\sin^4 x + \cos^4 x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x)$.
$f_6(x) = \frac{1}{6}(\sin^6 x + \cos^6 x) = \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
તેથી,$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
$= (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})\sin^2 x \cos^2 x$.
$= \frac{1}{12} - 0 = \frac{1}{12}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $5(\tan^2 x - \cos^2 x) = 2\cos 2x + 9$
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5\tan^2 x - 5\cos^2 x = 2(2\cos^2 x - 1) + 9$
$5\tan^2 x - 5\cos^2 x = 4\cos^2 x - 2 + 9$
$5\tan^2 x = 9\cos^2 x + 7$
$\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ અને $t = \cos^2 x$ લેતા:
$5(\frac{1}{t} - 1) = 9t + 7$
$9t^2 + 12t - 5 = 0$
$(3t - 1)(3t + 5) = 0$
$t = \cos^2 x$ ધન હોવાથી,$t = \frac{1}{3}$.
હવે,$\cos 2x = 2(\frac{1}{3}) - 1 = -\frac{1}{3}$.
તેથી,$\cos 4x = 2(-\frac{1}{3})^2 - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $e^{\sin x} - e^{-\sin x} - 4 = 0$ છે.
ધારો કે $e^{\sin x} = t$. $e^{\sin x} > 0$ હોવાથી,$t > 0$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણ $t - \frac{1}{t} - 4 = 0$ બને છે.
$t$ વડે ગુણતા,$t^2 - 4t - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ મળે છે.
$t > 0$ હોવાથી,$t = 2 - \sqrt{5}$ ને નકારીએ છીએ (કારણ કે $2 - \sqrt{5} < 0$).
આમ,$e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$.
$\ln(2 + \sqrt{5}) > 1$ હોવાથી અને $\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,કોઈ વાસ્તવિક $x$ શક્ય નથી.
તેથી,સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ છે કે $f_k(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$.
આપણે $f_4(x) - f_6(x)$ શોધવાનું છે.
$f_4(x) = \frac{1}{4}(\sin^4 x + \cos^4 x) = \frac{1}{4}((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x)$.
$f_6(x) = \frac{1}{6}(\sin^6 x + \cos^6 x) = \frac{1}{6}((\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)) = \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
હવે,$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
$= (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) - (\frac{2}{4} - \frac{3}{6})\sin^2 x \cos^2 x$.
$= (\frac{3-2}{12}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})\sin^2 x \cos^2 x$.
$= \frac{1}{12} - 0 = \frac{1}{12}$.

(D) ધારો કે $S = \sum\limits_{r = 1}^{89} {{\log _3}(\tan {r^\circ})}$.
$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$S = \log_3 (\tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \dots \cdot \tan 89^\circ)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$,તેથી $\tan 89^\circ = \cot 1^\circ$,$\tan 88^\circ = \cot 2^\circ$,વગેરે.
ગુણાકાર $P = \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \dots \cdot \tan 44^\circ \cdot \tan 45^\circ \cdot \tan 46^\circ \cdot \dots \cdot \tan 89^\circ$.
$\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ હોવાથી,$r = 1$ થી $44$ માટે $\tan r^\circ \cdot \tan(90^\circ - r^\circ) = 1$ થાય.
આમ,$P = (1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1) \cdot \tan 45^\circ = 1 \cdot 1 = 1$.
તેથી,$S = \log_3 (1) = 0$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sec \theta = \frac{2\cos^2(\theta/2)}{\cos \theta}$.
આપેલ ${f_n}(\theta ) = \tan(\theta/2) \cdot (1 + \sec \theta) \cdot (1 + \sec 2\theta) \dots (1 + \sec 2^n \theta)$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: ${f_n}(\theta ) = \tan(2^n \theta)$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$1$) ${f_2}(\pi/16) = \tan(\pi/4) = 1$.
$2$) ${f_3}(\pi/32) = \tan(\pi/4) = 1$.
$3$) ${f_4}(\pi/64) = \tan(\pi/4) = 1$.
તેથી,ઉપરોક્ત તમામ સાચા છે.

(B) આપેલ છે $\sin \frac{\pi }{2^n} + \cos \frac{\pi }{2^n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$.
બંને બાજુ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ વડે ગુણતા:
$\sin \left( \frac{\pi }{2^n} + \frac{\pi }{4} \right) = \frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{2}}$.
$\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,$\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{2}} \le 1$ $\Rightarrow \sqrt{n} \le 2\sqrt{2}$ $\Rightarrow n \le 8$.
આમ,$4 < n \le 8$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin x + \sin^2 x = 1$.
આથી $\sin x = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.
ધારો કે પદાવલિ $E = \cos^{12} x + 3\cos^{10} x + 3\cos^8 x + \cos^6 x - 1$ છે.
આ પદાવલિને $E = \cos^6 x (\cos^6 x + 3\cos^4 x + 3\cos^2 x + 1) - 1$ તરીકે લખી શકાય.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^6 x + 3\cos^4 x + 3\cos^2 x + 1 = (\cos^2 x + 1)^3$ મળે.
તેથી,$E = \cos^6 x (\cos^2 x + 1)^3 - 1$.
$\cos^2 x = \sin x$ હોવાથી,આપણે તેને પદાવલિમાં મૂકીએ:
$E = (\cos^2 x)^3 (\sin x + 1)^3 - 1 = (\sin x)^3 (\sin x + 1)^3 - 1 = (\sin^2 x + \sin x)^3 - 1$.
$\sin x + \sin^2 x = 1$ હોવાથી,$E = (1)^3 - 1 = 1 - 1 = 0$.

(D) ધારો કે $L = (\sec A + \tan A)(\sec B + \tan B)(\sec C + \tan C)$ અને $M = (\sec A - \tan A)(\sec B - \tan B)(\sec C - \tan C)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$.
$L$ અને $M$ નો ગુણાકાર કરતા,$LM = (\sec^2 A - \tan^2 A)(\sec^2 B - \tan^2 B)(\sec^2 C - \tan^2 C) = 1 \times 1 \times 1 = 1$.
આપેલ છે કે $L = M$,તેથી $LM = 1$ માં $M = L$ મૂકતા,$L^2 = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $L = 1$ અથવા $L = -1$.
$L = M$ હોવાથી,દરેક બાજુ $1$ અથવા $-1$ ને સમાન છે.

(C) એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત નિયમિત ષટ્કોણમાં,બાજુની લંબાઈ ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે,તેથી $A_0 A_1 = 1$.
નિયમિત ષટ્કોણનો આંતરિક ખૂણો $120^\circ$ હોવાથી,$\triangle A_0 A_1 A_2$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$A_0 A_2^2 = A_0 A_1^2 + A_1 A_2^2 - 2(A_0 A_1)(A_1 A_2) \cos(120^\circ)$
$A_0 A_2^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$
આમ,$A_0 A_2 = \sqrt{3}$.
સમપ્રમાણતા દ્વારા,$A_0 A_4 = A_0 A_2 = \sqrt{3}$.
લંબાઈનો ગુણાકાર $A_0 A_1 \times A_0 A_2 \times A_0 A_4 = 1 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ થાય.

(B) આપેલ પદાવલિ: $3\left[ \sin^4\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) + \sin^4(3\pi + \alpha) \right] - 2\left[ \sin^6\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) + \sin^6(5\pi - \alpha) \right]$
ત્રિકોણમિતીય રિડક્શન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha$,$\sin(3\pi + \alpha) = -\sin \alpha$,$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$,$\sin(5\pi - \alpha) = \sin \alpha$
આ કિંમતો મૂકતા:
$= 3\left[ (-\cos \alpha)^4 + (-\sin \alpha)^4 \right] - 2\left[ (\cos \alpha)^6 + (\sin \alpha)^6 \right]$
$= 3(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) - 2(\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha)$
નિત્યસમ $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ અને $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 3(1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 2(1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)$
$= 3 - 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2 + 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
$= 3 - 2 = 1$

(D) ધારો કે $S = \sum\limits_{r = 1}^{89} {{\log _3}(\tan {r^o})}$.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\sum \log a = \log (\prod a)$,આપણને મળે છે:
$S = {\log _3}(\tan {1^o} \cdot \tan {2^o} \cdot \tan {3^o} \cdots \tan {89^o})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan {r^o} \cdot \tan {(90 - r)^o} = 1$.
ગુણાકારના પદોની જોડી બનાવતા: $(\tan {1^o} \cdot \tan {89^o}) \cdot (\tan {2^o} \cdot \tan {88^o}) \cdots (\tan {44^o} \cdot \tan {46^o}) \cdot \tan {45^o}$.
દરેક જોડી $1$ થાય છે અને $\tan {45^o} = 1$ હોવાથી,ગુણાકાર $1 \cdot 1 \cdots 1 = 1$ થાય છે.
તેથી,$S = {\log _3}(1) = 0$.

(A) ધારો કે પદાવલિ $S = \frac{1}{1 + x^{a-b} + x^{a-c}} + \frac{1}{1 + x^{b-a} + x^{b-c}} + \frac{1}{1 + x^{c-a} + x^{c-b}}$ છે.
પ્રથમ પદને ધ્યાનમાં લેતા: $\frac{1}{1 + \frac{x^a}{x^b} + \frac{x^a}{x^c}} = \frac{x^b x^c}{x^b x^c + x^a x^c + x^a x^b}$.
તે જ રીતે,બીજું પદ $\frac{x^a x^c}{x^b x^c + x^a x^c + x^a x^b}$ અને ત્રીજું પદ $\frac{x^a x^b}{x^b x^c + x^a x^c + x^a x^b}$ બને છે.
આ ત્રણેય પદોનો સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{x^b x^c + x^a x^c + x^a x^b}{x^b x^c + x^a x^c + x^a x^b} = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણોને નીચે મુજબ લખી શકાય છે:
$1) 2x \cos^2 \theta + y \sin 2\theta = 2 \sin \theta$
$2) x \sin 2\theta + 2y \sin^2 \theta = -2 \cos \theta$
$3) x \sin \theta - y \cos \theta = 0$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$x \sin \theta = y \cos \theta$,જેનો અર્થ છે કે $y = x \tan \theta$ (ધારો કે $\cos \theta \neq 0$).
આ કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x \cos^2 \theta + (x \tan \theta)(2 \sin \theta \cos \theta) = 2 \sin \theta$
$2x \cos^2 \theta + 2x \sin^2 \theta = 2 \sin \theta$
$2x(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 2 \sin \theta \Rightarrow 2x = 2 \sin \theta \Rightarrow x = \sin \theta$.
તેથી $y = \sin \theta \cdot \tan \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$(\sin \theta)(2 \sin \theta \cos \theta) + 2(\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta})(\sin^2 \theta) = -2 \cos \theta$
$2 \sin^2 \theta \cos \theta + \frac{2 \sin^4 \theta}{\cos \theta} = -2 \cos \theta$
$\cos \theta$ વડે ગુણતા:
$2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + 2 \sin^4 \theta = -2 \cos^2 \theta$
$2 \sin^2 \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = -2 \cos^2 \theta$
$2 \sin^2 \theta = -2 \cos^2 \theta \Rightarrow \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 0 \Rightarrow 1 = 0$.
આ એક વિરોધાભાસ છે. તેથી,સમીકરણોની આ પ્રણાલીનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) ધારો કે $f(x) = \cos x \cos(x + 2) - \cos^2(x + 1)$.
સૂત્ર $2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{1}{2} [\cos(2x + 2) + \cos(-2)] - \cos^2(x + 1)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos(2\theta)$,તેથી $\cos^2(x + 1) = \frac{1 + \cos(2x + 2)}{2}$.
આ કિંમત $f(x)$ માં મૂકતા:
$f(x) = \frac{1}{2} \cos(2x + 2) + \frac{1}{2} \cos 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(2x + 2)$.
$f(x) = \frac{1}{2} \cos 2 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} (1 - \cos 2)$.
$1 - \cos 2\theta = 2 \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos 2 = 2 \sin^2 1$.
આમ,$f(x) = -\frac{1}{2} (2 \sin^2 1) = -\sin^2 1$.
$f(x) = -\sin^2 1$ એ અચળ હોવાથી,આલેખ એ $x$-અક્ષને સમાંતર એક આડી સીધી રેખા છે જે $(\frac{\pi}{2}, -\sin^2 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$x + y = 3 - \cos 4\theta = 3 - (1 - 2\sin^2 2\theta) = 2 + 2\sin^2 2\theta$
$x - y = 4\sin 2\theta$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2x = 2 + 2\sin^2 2\theta + 4\sin 2\theta = 2(1 + \sin 2\theta)^2$
$x = (1 + \sin 2\theta)^2 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 + \sin 2\theta$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$2y = 2 + 2\sin^2 2\theta - 4\sin 2\theta = 2(1 - \sin 2\theta)^2$
$y = (1 - \sin 2\theta)^2 \Rightarrow \sqrt{y} = 1 - \sin 2\theta$
$\sqrt{x}$ અને $\sqrt{y}$ નો સરવાળો કરતા:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = (1 + \sin 2\theta) + (1 - \sin 2\theta) = 2$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
$\tan B = \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}$ મૂકતા:
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}}{1 - \tan A \cdot \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}}$
$= \frac{\sin A(1 - n \cos^2 A) + n \sin A \cos^2 A}{\cos A(1 - n \cos^2 A) - n \sin^2 A \cos A}$
$= \frac{\sin A}{\cos A(1 - n(\cos^2 A + \sin^2 A))}$
$= \frac{\sin A}{(1 - n) \cos A}$.

(D) ધારો કે $x = \frac{\pi}{28}$. પદાવલિ $S = \cos(2x) \csc(3x) + \cos(6x) \csc(9x) + \cos(18x) \csc(27x)$ છે.
સામાન્ય પદ $T_k = \frac{\cos(2 \cdot 3^{k-1} x)}{\sin(3^k x)}$ લો.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$T_k = \frac{1}{2} (\csc(3^{k-1} x) - \csc(3^k x))$ મળે.
$k=1, 2, 3$ માટે સરવાળો કરતા:
$S = \frac{1}{2} (\csc x - \csc 27x)$ મળે.
અહીં $27x = \pi - x$ હોવાથી,$\csc 27x = \csc x$ થાય.
તેથી,$S = \frac{1}{2} (\csc x - \csc x) = 0$.

(D) ધારો કે પદાવલિ $E = \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\tan^2 \theta - 1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^2 \theta - 1 = \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}{\cos^2 \theta}$.
બીજા પદમાં આ કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{(\sin \theta + \cos \theta) \cdot \cos^2 \theta}{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}$.
$\sin \theta + \cos \theta \neq 0$ લેતા,સાદું રૂપ આપતા:
$E = \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = \sin \theta + \cos \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(\theta) = \sin \theta + \cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ છે.
તેથી,કિંમત $-\sqrt{2}$ અને $\sqrt{2}$ ની વચ્ચે રહેલી છે.

(A) ધારો કે $CD = l = 6$. $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\Delta ACD$ અને $\Delta BCD$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\text{Area}(\Delta ABC) = \text{Area}(\Delta ACD) + \text{Area}(\Delta BCD)$
$\frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} b l \sin \frac{C}{2} + \frac{1}{2} a l \sin \frac{C}{2}$
$\sin C = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$ab \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} = \frac{1}{2} l (a + b) \sin \frac{C}{2}$
$ab \cos \frac{C}{2} = \frac{1}{2} l (a + b)$
આપેલ છે કે $\cos \frac{C}{2} = \frac{1}{3}$ અને $l = 6$:
$ab \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} (6) (a + b)$
$\frac{ab}{3} = 3(a + b)$
$\frac{a + b}{ab} = \frac{1}{9}$
$\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{9}$

(A) આપેલ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $1 + \sin \theta \cos \theta - \cos \theta |\sin \theta| - 2 = -1$ મળે છે.
જેનું સાદું રૂપ $\sin \theta \cos \theta - \cos \theta |\sin \theta| = 0$ થાય છે.
આ શરત $\theta \in (0, \pi)$ માટે સાચી છે,તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $\cos \alpha = \frac{2 \cos \beta - 1}{2 - \cos \beta}$.
યોગ-વિયોગ પ્રમાણ (Componendo and Dividendo) લેતા:
$\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{(2 - \cos \beta) - (2 \cos \beta - 1)}{(2 - \cos \beta) + (2 \cos \beta - 1)}$
$\frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{3 - 3 \cos \beta}{1 + \cos \beta}$
$\tan^2 \frac{\alpha}{2} = 3 \tan^2 \frac{\beta}{2}$
$\tan^2 \frac{\alpha}{2} \cot^2 \frac{\beta}{2} = 3$
વર્ગમૂળ લેતા,$\tan \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} = \sqrt{3}$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ પાસેનો ખૂણો $\theta$ ના ચાર સમાન ભાગોમાં વહેંચાયેલ છે. તેથી,$\angle A = 4\theta$.
આકૃતિ પરથી,વેધ $AN$ એ $\angle BAN = \frac{\pi}{2} - B = \theta$ બનાવે છે,તેથી $B = \frac{\pi}{2} - \theta$.
તે જ રીતે,$\angle CAM = \frac{\pi}{2} - C = \theta$,તેથી $C = \frac{\pi}{2} - 3\theta$.
ગણતરી કરતા,$\theta = \frac{\pi}{8}$ મળે છે.
તેથી,$A = 4\theta = \frac{\pi}{2}$,$B = \frac{3\pi}{8}$,અને $C = \frac{\pi}{8}$.
આમ,ખૂણાઓ $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8}$ છે.

(B) ધારો કે $x \sin \theta = y \sin \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) = z \sin \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right) = k$.
તેથી $x = \frac{k}{\sin \theta}$,$y = \frac{k}{\sin(\theta + 2\pi/3)}$,અને $z = \frac{k}{\sin(\theta + 4\pi/3)}$.
સરવાળો $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{k} [\sin \theta + \sin(\theta + 2\pi/3) + \sin(\theta + 4\pi/3)]$ ધ્યાનમાં લો.
નિત્યસમ $\sin A + \sin(A + 120^\circ) + \sin(A + 240^\circ) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{yz + zx + xy}{xyz} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $xy + yz + zx = 0$.