x + y = 0,x - y = 0 और lx + my = 1 रेखाओं द्व | vedclass

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Question

(A) रेखाएँ $L_1: x+y=0$,$L_2: x-y=0$,और $L_3: lx+my=1$ हैं।चूंकि $L_1$ और $L_2$ परस्पर लंबवत हैं और मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरती हैं,इसलिए यह त्रिभुज म

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$(x^2 - y^2)^2 = x^2 + y^2$

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(A) रेखाएँ $L_1: x+y=0$,$L_2: x-y=0$,और $L_3: lx+my=1$ हैं।चूंकि $L_1$ और $L_2$ परस्पर लंबवत हैं और मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरती हैं,इसलिए यह त्रिभुज मूल बिंदु पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है।शीर्ष $O(0,0)$,$A = \left(\frac{1}{l+m}, \frac{1}{l+m}\right)$,और $B = \left(\frac{1}{l-m}, \frac{1}{m-l}\right)$ हैं।समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण $AB$ का मध्य बिंदु होता है।माना परिकेंद्र $(h, k)$ है।$h = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{l+m} + \frac{1}{l-m}\right) = \frac{l}{l^2-m^2}$$k = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{l+m} + \frac{1}{m-l}\right) = -\frac{m}{l^2-m^2}$अब,$h^2 + k^2 = \frac{l^2+m^2}{(l^2-m^2)^2} = \frac{1}{(l^2-m^2)^2}$ (चूंकि $l^2+m^2=1$)।साथ ही,$h^2 - k^2 = \frac{l^2-m^2}{(l^2-m^2)^2} = \frac{1}{l^2-m^2}$।अतः,$h^2 + k^2 = (h^2 - k^2)^2$।बिंदुपथ $x^2 + y^2 = (x^2 - y^2)^2$ है।

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