nth term of special series, Sum to n terms and Infinite number of terms Questions in Hindi

(C) हम जानते हैं कि $\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}$,$\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$,और $\sum_{n=1}^{k} n^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$.
दिया गया योग $\frac{1}{4} \sum_{n=1}^{7} (2n^3 + 3n^2 + n)$ है।
$k=7$ के लिए सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{7} n = \frac{7 \times 8}{2} = 28$.
$\sum_{n=1}^{7} n^2 = \frac{7 \times 8 \times 15}{6} = 140$.
$\sum_{n=1}^{7} n^3 = (28)^2 = 784$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
योग $= \frac{1}{4} [2(784) + 3(140) + 28] = \frac{1}{4} [1568 + 420 + 28] = \frac{2016}{4} = 504$.

(C) योग $\sum_{k=1}^{20} \frac{k(k+1)}{2}$ द्वारा दिया गया है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$1+2+\ldots+k = \frac{k(k+1)}{2}$।
हमें $\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{20} (k^2 + k)$ की गणना करनी है।
$n=20$ के लिए योग के सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(21)(41)}{6} = 2870$।
$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20(21)}{2} = 210$।
अतः,कुल योग $\frac{1}{2} (2870 + 210) = \frac{1}{2} (3080) = 1540$ है।

(A) $20$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए सूत्र में $n = 20$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$a_{20} = (20-1)(2-20)(3+20)$
$a_{20} = (19) \times (-18) \times (23)$
$a_{20} = -342 \times 23$
$a_{20} = -7866$

(A) दिया गया है कि $n^{th}$ पद $a_{n} = n(n+2)$ है।
$n = 1, 2, 3, 4, 5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$n = 1$ के लिए: $a_{1} = 1(1+2) = 3$
$n = 2$ के लिए: $a_{2} = 2(2+2) = 8$
$n = 3$ के लिए: $a_{3} = 3(3+2) = 15$
$n = 4$ के लिए: $a_{4} = 4(4+2) = 24$
$n = 5$ के लिए: $a_{5} = 5(5+2) = 35$
अतः,प्रथम पाँच पद $3, 8, 15, 24, 35$ हैं।

(A) दिया गया $n^{th}$ पद $a_{n} = \frac{n}{n+1}$ है।
$n = 1, 2, 3, 4, 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$
$a_{2} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$
$a_{3} = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$
$a_{4} = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$
$a_{5} = \frac{5}{5+1} = \frac{5}{6}$
अतः,प्रथम पाँच पद $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}$ हैं।

(A) प्रथम पाँच पद ज्ञात करने के लिए,हम $n = 1, 2, 3, 4, 5$ को सूत्र $a_{n} = n \frac{n^{2}+5}{4}$ में प्रतिस्थापित करते हैं।
$n=1$ के लिए: $a_{1} = 1 \cdot \frac{1^{2}+5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
$n=2$ के लिए: $a_{2} = 2 \cdot \frac{2^{2}+5}{4} = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$.
$n=3$ के लिए: $a_{3} = 3 \cdot \frac{3^{2}+5}{4} = 3 \cdot \frac{14}{4} = \frac{42}{4} = \frac{21}{2}$.
$n=4$ के लिए: $a_{4} = 4 \cdot \frac{4^{2}+5}{4} = 4 \cdot \frac{21}{4} = 21$.
$n=5$ के लिए: $a_{5} = 5 \cdot \frac{5^{2}+5}{4} = 5 \cdot \frac{30}{4} = \frac{150}{4} = \frac{75}{2}$.
अतः,प्रथम पाँच पद $\frac{3}{2}, \frac{9}{2}, \frac{21}{2}, 21, \frac{75}{2}$ हैं।

(A) अनुक्रम का $n$वाँ पद $a_{n} = (-1)^{n-1} n^{3}$ है।
$9$वाँ पद ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र में $n = 9$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$a_{9} = (-1)^{9-1} (9)^{3}$
$a_{9} = (-1)^{8} (729)$
चूँकि $(-1)^{8} = 1$,इसलिए:
$a_{9} = 1 \times 729 = 729$.

(A) $20$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए,हम $n$ वें पद के दिए गए सूत्र में $n = 20$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$a_{n} = \frac{n(n-2)}{n+3}$
$n = 20$ रखने पर:
$a_{20} = \frac{20(20-2)}{20+3}$
$a_{20} = \frac{20(18)}{23}$
$a_{20} = \frac{360}{23}$

(A) दिया गया है $a_1 = 1, a_2 = 1$ और $n > 2$ के लिए $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$।
प्रथम कुछ पदों की गणना:
$a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2$
$a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3$
$a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5$
$a_6 = a_5 + a_4 = 5 + 3 = 8$
अब,$n = 1, 2, 3, 4, 5$ के लिए अनुपात $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ की गणना:
$n = 1$ के लिए: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{1} = 1$
$n = 2$ के लिए: $\frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$
$n = 3$ के लिए: $\frac{a_4}{a_3} = \frac{3}{2}$
$n = 4$ के लिए: $\frac{a_5}{a_4} = \frac{5}{3}$
$n = 5$ के लिए: $\frac{a_6}{a_5} = \frac{8}{5}$
अतः,अनुपातों का अनुक्रम $1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}$ है।

(A) माना योग $S_n = 7 + 77 + 777 + 7777 + \ldots$ $n$ पदों तक है।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$S_n = \frac{7}{9} [9 + 99 + 999 + 9999 + \ldots n \text{ पदों तक}]$
$S_n = \frac{7}{9} [(10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \ldots + (10^n - 1)]$
$S_n = \frac{7}{9} [(10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \ldots + 1 n \text{ पदों तक})]$
पहला भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 10$ और सार्व अनुपात $r = 10$ है।
योग सूत्र $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ का उपयोग करते हुए:
$S_n = \frac{7}{9} [\frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n]$
$S_n = \frac{7}{9} [\frac{10(10^n - 1)}{9} - n]$
$S_n = \frac{7}{81} [10(10^n - 1) - 9n]$

(B) दिया गया अनुक्रम $8, 88, 888, 8888, \ldots$ $n$ पदों तक है।
माना $S_n = 8 + 88 + 888 + 8888 + \ldots$ $n$ पदों तक।
$S_n = 8(1 + 11 + 111 + 1111 + \ldots n \text{ पदों तक})$.
$S_n = \frac{8}{9}(9 + 99 + 999 + 9999 + \ldots n \text{ पदों तक})$.
$S_n = \frac{8}{9}[(10-1) + (10^2-1) + (10^3-1) + \ldots + (10^n-1)]$.
$S_n = \frac{8}{9}[(10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \ldots + 1, n \text{ बार})]$.
गुणोत्तर श्रेणी $10 + 10^2 + \ldots + 10^n$ का योग $\frac{10(10^n-1)}{10-1} = \frac{10}{9}(10^n-1)$ है।
अतः,$S_n = \frac{8}{9} [\frac{10}{9}(10^n-1) - n]$.
$S_n = \frac{80}{81}(10^n-1) - \frac{8}{9}n$.

(D) माना $n$ वां पद $a_n$ है। श्रेणी $5, 11, 19, 29, 41, \ldots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $6, 8, 10, 12, \ldots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाता है।
अतः,$a_n = n^2 + 3n + 1$.
अब,$S_n = \sum_{k=1}^n (k^2 + 3k + 1) = \sum_{k=1}^n k^2 + 3\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$.
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+2)(n+4)}{3}$.

(B) दिया गया है कि $n$-वाँ पद $a_n = n(n+3) = n^2 + 3n$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + 3k)$ द्वारा दिया जाता है।
मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \times \frac{n(n+1)}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} + 3 \right] = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1+9}{3} \right] = \frac{n(n+1)(2n+10)}{6}$.
$S_n = \frac{n(n+1) \times 2(n+5)}{6} = \frac{n(n+1)(n+5)}{3}$.

(A) श्रेणी का $n$ वां पद $a_n = n(n+1) = n^2 + n$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n (k^2 + k)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$
$\frac{n(n+1)}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+1}{3} + 1 \right) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(A) श्रेणी का $n$ वां पद $a_{n} = (2n+1)n^{2} = 2n^{3} + n^{2}$ है।
$n$ पदों का योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} = \sum_{k=1}^{n} (2k^{3} + k^{2})$ है।
$S_{n} = 2 \sum_{k=1}^{n} k^{3} + \sum_{k=1}^{n} k^{2}$ है।
सूत्रों $\sum k^{3} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2}$ और $\sum k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$S_{n} = 2 [\frac{n(n+1)}{2}]^{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।
$S_{n} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।
$S_{n} = \frac{n(n+1)}{2} [n(n+1) + \frac{2n+1}{3}]$ है।
$S_{n} = \frac{n(n+1)}{2} [\frac{3n^{2} + 3n + 2n + 1}{3}]$ है।
$S_{n} = \frac{n(n+1)(3n^{2} + 5n + 1)}{6}$ है।

(A) दी गई श्रेणी $5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + \ldots + 20^{2}$ है।
इसे दो वर्गों के योग के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है: $\sum_{k=1}^{20} k^{2} - \sum_{k=1}^{4} k^{2}$।
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$n=20$ के लिए: $\sum_{k=1}^{20} k^{2} = \frac{20(21)(41)}{6} = 2870$।
$n=4$ के लिए: $\sum_{k=1}^{4} k^{2} = \frac{4(5)(9)}{6} = 30$।
अतः,योग $2870 - 30 = 2840$ है।

(C) श्रेणी का $n$ वाँ पद $a_n$ दो अनुक्रमों $(3, 6, 9, \dots)$ और $(8, 11, 14, \dots)$ के $n$ वें पदों का गुणनफल है।
$a_n = (3n) \times (3n + 5) = 9n^2 + 15n$.
योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ ज्ञात करने के लिए:
$S_n = \sum_{k=1}^n (9k^2 + 15k) = 9 \sum_{k=1}^n k^2 + 15 \sum_{k=1}^n k$.
मानक योग सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$S_n = 9 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 15 \times \frac{n(n+1)}{2}$.
$S_n = \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{15n(n+1)}{2}$.
$S_n = \frac{3n(n+1)}{2} (2n + 1 + 5) = \frac{3n(n+1)}{2} (2n + 6)$.
$S_n = 3n(n+1)(n+3)$.

(A) श्रेणी का $k$-वां पद $a_{k} = \sum_{i=1}^{k} i^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ है।
इसका विस्तार करने पर,$a_{k} = \frac{2k^{3} + 3k^{2} + k}{6} = \frac{1}{3}k^{3} + \frac{1}{2}k^{2} + \frac{1}{6}k$ प्राप्त होता है।
$n$ पदों का योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{3}k^{3} + \frac{1}{2}k^{2} + \frac{1}{6}k)$ है।
मानक योग सूत्रों $\sum k^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$,$\sum k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_{n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{12}$ को कॉमन लेने पर:
$S_{n} = \frac{n(n+1)}{12} [n(n+1) + (2n+1) + 1] = \frac{n(n+1)}{12} [n^{2} + n + 2n + 2] = \frac{n(n+1)}{12} [n(n+1) + 2(n+1)]$.
$S_{n} = \frac{n(n+1)(n+1)(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)^{2}(n+2)}{12}$.

(A) $a_n = n(n+1)(n+4) = n(n^2 + 5n + 4) = n^3 + 5n^2 + 4n$
$\therefore S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n k^3 + 5\sum_{k=1}^n k^2 + 4\sum_{k=1}^n k$
$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{5n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{4n(n+1)}{2}$
$= \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n(n+1)}{2} + \frac{5(2n+1)}{3} + 4 \right]$
$= \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{3n^2 + 3n + 20n + 10 + 24}{6} \right]$
$= \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{3n^2 + 23n + 34}{6} \right]$
$= \frac{n(n+1)(3n^2 + 23n + 34)}{12}$

(A) दिया गया $n^{th}$ पद $a_n = n^2 + 2^n$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2^k)$ है।
इसे दो अलग-अलग योगों में विभाजित किया जा सकता है: $S_n = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n 2^k$.
प्रथम $n$ वर्गों का योग सूत्र $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ द्वारा दिया जाता है।
दूसरा भाग एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है: $\sum_{k=1}^n 2^k = 2^1 + 2^2 + \dots + 2^n$.
प्रथम पद $a=2$ और सार्व अनुपात $r=2$ के साथ $G.P.$ के योग सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $\frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को जोड़ने पर,$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2(2^n - 1)$।

(A) $n^{th}$ पद $a_n = (2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1)$ है।
योग के सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$,और $\sum 1 = n$ का उपयोग करते हुए:
$S_n = 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] + n$
$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$
$S_n = n \left[ \frac{2(2n^2+3n+1) - 6(n+1) + 3}{3} \right]$
$S_n = n \left[ \frac{4n^2 + 6n + 2 - 6n - 6 + 3}{3} \right]$
$S_n = n \left[ \frac{4n^2 - 1}{3} \right] = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$.

(B) माना $S_n = 5 + 55 + 555 + \ldots$ $n$ पदों तक।
$S_n = 5(1 + 11 + 111 + \ldots \text{ to } n \text{ terms})$
$S_n = \frac{5}{9}(9 + 99 + 999 + \ldots \text{ to } n \text{ terms})$
$S_n = \frac{5}{9}((10-1) + (10^2-1) + (10^3-1) + \ldots + (10^n-1))$
$S_n = \frac{5}{9}((10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \ldots + 1))$
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र $a(r^n-1)/(r-1)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=10$ और $r=10$:
$S_n = \frac{5}{9}\left(\frac{10(10^n-1)}{10-1} - n\right)$
$S_n = \frac{5}{9}\left(\frac{10(10^n-1)}{9} - n\right)$
$S_n = \frac{50}{81}(10^n-1) - \frac{5n}{9}$

(A) $S_n = 0.6 + 0.66 + 0.666 + \dots$ $n$ पदों तक।
$S_n = 6 [0.1 + 0.11 + 0.111 + \dots \text{ } n \text{ पदों तक}]$
$S_n = \frac{6}{9} [0.9 + 0.99 + 0.999 + \dots \text{ } n \text{ पदों तक}]$
$S_n = \frac{2}{3} [(1 - 0.1) + (1 - 0.01) + (1 - 0.001) + \dots \text{ } n \text{ पदों तक}]$
$S_n = \frac{2}{3} [n - (0.1 + 0.01 + 0.001 + \dots \text{ } n \text{ पदों तक})]$
कोष्ठक में दिया गया पद $a = 0.1$ और $r = 0.1$ वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।
$S_n = \frac{2}{3} [n - \frac{0.1(1 - (0.1)^n)}{1 - 0.1}]$
$S_n = \frac{2}{3} [n - \frac{0.1(1 - 10^{-n})}{0.9}]$
$S_n = \frac{2}{3} [n - \frac{1}{9}(1 - 10^{-n})]$
$S_n = \frac{2}{3} n - \frac{2}{27}(1 - 10^{-n})$

(A) दी गई श्रेणी $2 \times 4 + 4 \times 6 + 6 \times 8 + \dots$ $n$ पदों तक है।
श्रेणी का $n$ वाँ पद $a_n = (2n) \times (2n + 2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a_n = 4n^2 + 4n$.
$20$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए,सूत्र में $n = 20$ प्रतिस्थापित करें:
$a_{20} = 4(20)^2 + 4(20)$.
$a_{20} = 4(400) + 80$.
$a_{20} = 1600 + 80 = 1680$.
अतः,श्रेणी का $20$ वाँ पद $1680$ है।

(A) दी गई श्रेणी $3+7+13+21+31+\ldots$ है।
माना $a_n$ श्रेणी का $n$ वां पद है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $4, 6, 8, 10, \ldots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाता है।
अतः,$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4 + (k-1)2) = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) = 3 + 2\frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1) = 3 + n^2 - n + 2n - 2 = n^2 + n + 1$.
अब,प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + k + 1)$ है।
$S_n = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$.
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} + n$.
$S_n = \frac{n}{6} [ (n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 6 ]$.
$S_n = \frac{n}{6} [ 2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 + 6 ]$.
$S_n = \frac{n}{6} [ 2n^2 + 6n + 10 ]$.
$S_n = \frac{n}{3} [ n^2 + 3n + 5 ]$.

(N/A) दी गई जानकारी के अनुसार:
$S_{1} = \frac{n(n+1)}{2}$
$S_{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$S_{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$
दायां पक्ष $(RHS)$ लेने पर: $S_{3}(1 + 8 S_{1})$
$= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} \left(1 + 8 \cdot \frac{n(n+1)}{2}\right)$
$= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} (1 + 4n^{2} + 4n)$
$= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} (2n+1)^{2}$
$= \frac{[n(n+1)(2n+1)]^{2}}{4} \quad \dots (1)$
बायां पक्ष $(LHS)$ लेने पर: $9 S_{2}^{2}$
$= 9 \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)^{2}$
$= \frac{9}{36} [n(n+1)(2n+1)]^{2}$
$= \frac{[n(n+1)(2n+1)]^{2}}{4} \quad \dots (2)$
अतः,$(1)$ और $(2)$ से,$9 S_{2}^{2} = S_{3}(1 + 8 S_{1})$ सिद्ध होता है।

दी गई श्रेणी का $n^{th}$ पद
$a_n = \frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}}{1+3+5+\ldots+(2 n-1)} = \frac{[\frac{n(n+1)}{2}]^{2}}{n^2}$
यहाँ $1+3+5+\ldots+(2 n-1)$ एक $A.P.$ है जिसमें $n$ पद हैं,इसलिए इसका योग $n^2$ है।
$a_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{1}{4}(n^2 + 2n + 1)$
अब,$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n (k^2 + 2k + 1)$
$S_n = \frac{1}{4} [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \frac{n(n+1)}{2} + n]$
$S_n = \frac{1}{4} [\frac{n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1) + 6n}{6}]$
$S_n = \frac{n}{24} [2n^2 + 3n + 1 + 6n + 6 + 6] = \frac{n(2n^2 + 9n + 13)}{24}$

अंश का $n$-वाँ पद $= n(n+1)^{2} = n^{3}+2n^{2}+n$
हर का $n$-वाँ पद $= n^{2}(n+1) = n^{3}+n^{2}$
माना $S_N = \sum_{k=1}^{n} (k^{3}+2k^{2}+k)$ और $S_D = \sum_{k=1}^{n} (k^{3}+k^{2})$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sum k^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$,$\sum k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$.
$S_N = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} + 2 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{12} [3n(n+1) + 4(2n+1) + 6] = \frac{n(n+1)}{12} [3n^{2}+11n+10] = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$.
$S_D = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)}{12} [3n(n+1) + 2(2n+1)] = \frac{n(n+1)}{12} [3n^{2}+7n+2] = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$.
$S_N$ को $S_D$ से विभाजित करने पर:
$\frac{S_N}{S_D} = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{n(n+1)(n+2)(3n+1)} = \frac{3n+5}{3n+1}$.
इस प्रकार,परिणाम सिद्ध हुआ।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} (1 - (2n)^2(2n-1))$ है।
इसे $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} 1 - \sum_{n=1}^{10} (4n^2)(2n-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$S = 1 + 10 - 4 \sum_{n=1}^{10} (2n^3 - n^2)$।
$S = 11 - 4 [2 \sum_{n=1}^{10} n^3 - \sum_{n=1}^{10} n^2]$।
सूत्रों $\sum n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ और $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$S = 11 - 4 [2 \cdot (55)^2 - \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6}]$।
$S = 11 - 4 [2 \cdot 3025 - 385] = 11 - 4 [6050 - 385] = 11 - 4 [5665]$।
$S = 11 - 22660 = 11 - 220(103)$।
$\alpha - 220 \beta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 11$ और $\beta = 103$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(11, 103)$ है।

(B) माना योग $S = \sum_{k=0}^{99} (100-k)(100+k)$ है।
$S = \sum_{k=0}^{99} (100^2 - k^2) = \sum_{k=0}^{99} 100^2 - \sum_{k=0}^{99} k^2$.
यहाँ $100$ पद हैं ($k=0$ से $99$ तक):
$S = 100(100^2) - \frac{99(99+1)(2 \times 99 + 1)}{6} = 100^3 - \frac{99 \times 100 \times 199}{6}$.
$S = 1000000 - 33 \times 50 \times 199 = 1000000 - 328350 = 671650$.
दिया गया है $100^{\alpha} - 199\beta = 671650$.
यदि $\alpha = 3$ लें,तो $100^3 - 199\beta = 671650 \implies 1000000 - 671650 = 199\beta$.
$328350 = 199\beta \implies \beta = \frac{328350}{199} = 1650$.
अतः,बिंदु $(3, 1650)$ प्राप्त होता है।
$(3, 1650)$ और $(0, 0)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{1650 - 0}{3 - 0} = 550$ है।

(C) योगफल के अंदर के पद को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$r^3 + 6r^2 + 2r + 5 = (r+1)(r+2)(r+3) - 9(r+1) + 8$.
अतः,योगफल होगा:
$\sum_{r=1}^{10} [(r+3)! - 9(r+1)! + 8r!]$.
इसे विस्तारित करने पर:
$= (13! + 12! - 2! - 3!) - 8(11! - 1!)$.
$= (156 + 12 - 8) \times 11!$.
$= 160 \times 11!$.
अतः,$\alpha = 160$.

(D) दिया गया है $x = \sum_{n=0}^{\infty} (\cos^2 \theta)^n = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}$ $\Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{1}{x}$.
इसी प्रकार,$y = \sum_{n=0}^{\infty} (\sin^2 \phi)^n = \frac{1}{1 - \sin^2 \phi} = \frac{1}{\cos^2 \phi}$ $\Rightarrow \cos^2 \phi = \frac{1}{y}$.
और $z = \sum_{n=0}^{\infty} (\cos^2 \theta \sin^2 \phi)^n = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta \sin^2 \phi}$ $\Rightarrow 1 - \cos^2 \theta \sin^2 \phi = \frac{1}{z}$.
चूँकि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$ और $\sin^2 \phi = 1 - \cos^2 \phi = 1 - \frac{1}{y} = \frac{y-1}{y}$,इसलिए:
$1 - \left(\frac{x-1}{x}\right) \left(\frac{y-1}{y}\right) = \frac{1}{z}$.
$1 - \frac{xy - x - y + 1}{xy} = \frac{1}{z}$ $\Rightarrow \frac{xy - xy + x + y - 1}{xy} = \frac{1}{z}$ $\Rightarrow \frac{x + y - 1}{xy} = \frac{1}{z}$.
$z(x + y - 1) = xy$ $\Rightarrow z(x + y) - z = xy$ $\Rightarrow xy + z = z(x + y)$.

(A) माना योग $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{7}{3^{2}} + \frac{12}{3^{3}} + \frac{17}{3^{4}} + \frac{22}{3^{5}} + \ldots$ है।
$\frac{1}{3}$ से गुणा करने पर: $\frac{S}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{7}{3^{3}} + \frac{12}{3^{4}} + \frac{17}{3^{5}} + \ldots$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - \frac{S}{3} = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{7}{3^{2}} - \frac{2}{3^{2}}) + (\frac{12}{3^{3}} - \frac{7}{3^{3}}) + \ldots$
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{5}{3^{2}} + \frac{5}{3^{3}} + \frac{5}{3^{4}} + \ldots$
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{\frac{5}{3^{2}}}{1 - \frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{5}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{4}{3} + \frac{5}{6} = \frac{13}{6}$
$S = \frac{13}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{13}{4}$

(D) दी गई श्रेणी $n = 1, 2, \ldots, 10$ के लिए $T_n = (3n+4)(2n+6)$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $T_n = 6n^2 + 18n + 8n + 24 = 6n^2 + 26n + 24$।
प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} (6n^2 + 26n + 24)$ है।
योग के सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_{10} = 6 \sum_{n=1}^{10} n^2 + 26 \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} 24$।
$S_{10} = 6 \left( \frac{10(11)(21)}{6} \right) + 26 \left( \frac{10(11)}{2} \right) + 24(10)$।
$S_{10} = 2310 + 1430 + 240 = 3980$।
माध्य $\frac{S_{10}}{10} = \frac{3980}{10} = 398$ है।

(B) मान लीजिए $P = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}}$.
दिया गया पुनरावृत्ति संबंध $a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_{n}$ है।
$8^{n+2}$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $\frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = \frac{2a_{n+1}}{8^{n+2}} + \frac{a_{n}}{8^{n+2}}$.
$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = \frac{2}{8} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{8^{n+1}} + \frac{1}{64} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}}$.
मान लीजिए $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}} = P$. तो $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{8^{n+1}} = P - \frac{a_{1}}{8} = P - \frac{1}{8}$.
और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = P - \frac{a_{1}}{8} - \frac{a_{2}}{64} = P - \frac{1}{8} - \frac{1}{64}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$P - \frac{1}{8} - \frac{1}{64} = \frac{1}{4}(P - \frac{1}{8}) + \frac{1}{64}P$.
$64$ से गुणा करने पर:
$64P - 8 - 1 = 16(P - \frac{1}{8}) + P$.
$64P - 9 = 16P - 2 + P$.
$64P - 9 = 17P - 2$.
$47P = 7$.

(B) माना $S = \sum_{n=8}^{100} \left[ \frac{(-1)^{n} n}{2} \right]$.
योग का विस्तार करने पर:
$S = \left[ \frac{8}{2} \right] + \left[ \frac{-9}{2} \right] + \left[ \frac{10}{2} \right] + \left[ \frac{-11}{2} \right] + \dots + \left[ \frac{-99}{2} \right] + \left[ \frac{100}{2} \right]$.
$[x]$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$S = 4 + [-4.5] + 5 + [-5.5] + 6 + [-6.5] + \dots + [-49.5] + 50$.
$S = 4 + (-5) + 5 + (-6) + 6 + (-7) + \dots + (-50) + 50$.
यहाँ पद युग्मों में कट जाते हैं: $(-5+5) + (-6+6) + \dots + (-50+50) = 0$.
अतः,$S = 4 + 0 = 4$.

(B) अनुक्रम का $n$-वाँ पद $a_n = \frac{3^n - 2^n}{3^n} = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$ है।
प्रथम $100$ पदों का योग $S_{100} = \sum_{n=1}^{100} \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right)$ है।
$S_{100} = \sum_{n=1}^{100} 1 - \sum_{n=1}^{100} \left(\frac{2}{3}\right)^n$.
$S_{100} = 100 - \left[ \frac{2}{3} \frac{(1 - (2/3)^{100})}{1 - 2/3} \right]$.
$S_{100} = 100 - 2 \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{100}\right) = 100 - 2 + 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100} = 98 + 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100}$.
चूँकि $0 < 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100} < 1$,इसलिए $S_{100}$ का मान $98$ और $99$ के बीच है।
अतः,$S_{100}$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $[S_{100}] = 98$ है।

(C) विषम $n$ के लिए,$3+(-1)^n = 3-1 = 2$. सम $n$ के लिए,$3+(-1)^n = 3+1 = 4$.
$A = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^{2k}} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} + \dots) + (\frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^4} + \dots)$
$A = \frac{1/2}{1-1/4} + \frac{1/16}{1-1/16} = \frac{1/2}{3/4} + \frac{1/16}{15/16} = \frac{2}{3} + \frac{1}{15} = \frac{10+1}{15} = \frac{11}{15}$.
$B = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{2^{2k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^{2k}} = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2^3} - \dots) + (\frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^4} + \dots)$
$B = \frac{-1/2}{1-1/4} + \frac{1/16}{1-1/16} = -\frac{2}{3} + \frac{1}{15} = \frac{-10+1}{15} = -\frac{9}{15} = -\frac{3}{5}$.
$\frac{A}{B} = \frac{11/15}{-9/15} = -\frac{11}{9}$.

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो संख्याओं $i$ और $j$ के लिए,$\min \{i, j\} + \max \{i, j\} = i + j$ होता है।
इसलिए,$A + B = \sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} (\min \{i, j\} + \max \{i, j\}) = \sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} (i + j)$।
योग का विस्तार करने पर: $A + B = \sum_{i=1}^{10} (\sum_{j=1}^{10} i + \sum_{j=1}^{10} j) = \sum_{i=1}^{10} (10i + \frac{10 \times 11}{2}) = \sum_{i=1}^{10} (10i + 55)$।
$A + B = 10 \sum_{i=1}^{10} i + \sum_{i=1}^{10} 55 = 10 \times \frac{10 \times 11}{2} + 10 \times 55$।
$A + B = 10 \times 55 + 550 = 550 + 550 = 1100$।

(C) माना $S = 1 + \frac{5}{6} + \frac{12}{6^{2}} + \frac{22}{6^{3}} + \frac{35}{6^{4}} + \ldots$
$\frac{1}{6}S = \frac{1}{6} + \frac{5}{6^{2}} + \frac{12}{6^{3}} + \frac{22}{6^{4}} + \ldots$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$\frac{5}{6}S = 1 + \frac{4}{6} + \frac{7}{6^{2}} + \frac{10}{6^{3}} + \frac{13}{6^{4}} + \ldots$
$\frac{5}{36}S = \frac{1}{6} + \frac{4}{6^{2}} + \frac{7}{6^{3}} + \frac{10}{6^{4}} + \ldots$
पुनः घटाने पर:
$(\frac{5}{6} - \frac{5}{36})S = 1 + \frac{3}{6} + \frac{3}{6^{2}} + \frac{3}{6^{3}} + \ldots$
$\frac{25}{36}S = 1 + \frac{\frac{3}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = 1 + \frac{3}{6} \times \frac{6}{5} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$
$S = \frac{8}{5} \times \frac{36}{25} = \frac{288}{125}$

(B) दिया गया संबंध $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=1$ है,जहाँ $a_{0}=0, a_{1}=0$ है।
शुरुआती पद: $a_{2}=1, a_{3}=3, a_{4}=6$ हैं।
सामान्य पद $a_{n}=\frac{n(n-1)}{2}$ है।
माना $S=\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{2 \cdot 7^{n}}$ है।
श्रेणी के योग की विधि का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{7^{2}} + \frac{3}{7^{3}} + \frac{6}{7^{4}} + \dots$
$\frac{6}{7}S = \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{(1-1/7)^{2}} = \frac{1}{36}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = \frac{7}{216}$।

(C) दिया गया है $a_{1}=1$ और $a_{n}=a_{n-1}+2$,यह एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $1$ और सार्व अंतर $2$ है। अतः,$a_{n} = 2n-1$.
दिया गया है $b_{1}=1$ और $b_{n}=a_{n}+b_{n-1}$,इसलिए $b_{n} = (2n-1) + b_{n-1}$.
प्रथम कुछ पदों की गणना करने पर: $b_{1}=1$,$b_{2}=4$,$b_{3}=9$,$b_{4}=16$. अतः $b_{n} = n^{2}$.
हमें $\sum_{n=1}^{15} a_{n} b_{n} = \sum_{n=1}^{15} (2n^{3}-n^{2})$ की गणना करनी है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$N=15$ के लिए:
$2 \times \frac{15^{2} \times 16^{2}}{4} - \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = 28800 - 1240 = 27560$.

(C) माना $n$-वां पद $T_n$ है। $n$-वें पद का अंश $S_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} k^3 = 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + \ldots + (2n)^3$ है।
इसे $S_n = \sum_{k=1}^{n} ((2k)^3 - (2k-1)^3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करने पर,$(2k)^3 - (2k-1)^3 = 12k^2 - 6k + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$S_n = \sum_{k=1}^{n} (12k^2 - 6k + 1) = n^2(4n+3)$।
$n$-वें पद का हर $n(4n+3)$ है।
इसलिए,$T_n = \frac{n^2(4n+3)}{n(4n+3)} = n$।
श्रेणी का योग $\sum_{n=1}^{15} T_n = \sum_{n=1}^{15} n = \frac{15 \times 16}{2} = 120$ है।

(B) मान लीजिए $S = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{a_{r}}{2^{r}} = \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \ldots = 4$
$\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर:
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2^{2}} + \frac{a_{2}}{2^{3}} + \frac{a_{3}}{2^{4}} + \ldots$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - \frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}-a_{1}}{2^{2}} + \frac{a_{3}-a_{2}}{2^{3}} + \ldots$
चूंकि $a_{r}$ एक $A.P.$ है,$a_{r} - a_{r-1} = d$:
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2} + \frac{d}{2^{2}} + \frac{d}{2^{3}} + \frac{d}{2^{4}} + \ldots$
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2} + d \left( \frac{1/4}{1 - 1/2} \right) = \frac{a_{1}}{2} + \frac{d}{2}$
$S = a_{1} + d = a_{2}$
दिया गया है $S = 4$,इसलिए $a_{2} = 4$।
अतः,$4 a_{2} = 4 \times 4 = 16$।

(D) अनुक्रम $n \geq 2$ के लिए $a_n = 20a_{n-1} - 108a_{n-2}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $a_0 = 1, a_1 = 1$ है।
दोनों पक्षों को $\frac{1}{10^{2n}}$ से गुणा करके $n=2$ से $\infty$ तक योग करने पर:
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_n}{10^{2n}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{20a_{n-1}}{10^{2n}} - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{108a_{n-2}}{10^{2n}}$
$S - a_0 - \frac{a_1}{100} = \frac{20}{100} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n-1}}{10^{2(n-1)}} - \frac{108}{10000} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n-2}}{10^{2(n-2)}}$
$S - 1 - \frac{1}{100} = \frac{1}{5} (S - 1) - \frac{27}{2500} S$
$S - \frac{1}{5} S + \frac{27}{2500} S = 1 + \frac{1}{100} - \frac{1}{5}$
$S \left( \frac{2027}{2500} \right) = \frac{81}{100}$
$S = \frac{2025}{2027}$
अतः,$a = 2025$।

(A) हार्मोनिक श्रेणी $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ को $\ln(n) + \gamma$ द्वारा अनुमानित किया जा सकता है,जहाँ $\gamma \approx 0.577$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।
हमें $H_n \geq 4$ चाहिए,इसलिए $\ln(n) + 0.577 \approx 4$,जिससे $\ln(n) \approx 3.423$ प्राप्त होता है।
गणना करने पर $n \approx e^{3.423} \approx 30.66$ मिलता है।
अधिक सटीकता के लिए,असमिका $\ln(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} < 1 + \ln(n)$ का उपयोग करते हुए:
$H_n \geq 4$ के लिए,हमारे पास $1 + \ln(n) > 4$ है,इसलिए $\ln(n) > 3$,जिसका अर्थ है $n > e^3 \approx 20.08$।
सटीक रूप से,वह $n$ मान जिसके लिए हार्मोनिक योग $4$ तक पहुँचता है,$31$ है।
चूँकि $31$ सीमा $20 < n \leq 60$ में आता है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।

(C) माना $S = 2014^3 - 2013^3 + 2012^3 - 2011^3 + \ldots + 2^3 - 1^3$.
पदों को युग्मों में व्यवस्थित करने पर: $(2014^3 - 2013^3) + (2012^3 - 2011^3) + \ldots + (2^3 - 1^3)$.
सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रत्येक युग्म के लिए $a - b = 1$ है:
$S = (2014^2 + 2014 \times 2013 + 2013^2) + (2012^2 + 2012 \times 2011 + 2011^2) + \ldots + (2^2 + 2 \times 1 + 1^2)$.
ऐसे कुल $1007$ युग्म हैं।
गणना करने पर $S = 1007^2 \times 4031$ प्राप्त होता है।
अतः,$S$ को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या $1007^2$ है।

(A) दिया गया है कि $\sum_{k=1}^n (a k^3+b k^2+c k+d)=n^4$.
$n=1$ के लिए,$a+b+c+d=1^4=1$.
$n=2$ के लिए,$(a+b+c+d) + (8a+4b+2c+d)=2^4=16 \Rightarrow 9a+5b+3c+2d=16$.
$n=3$ के लिए,$(9a+5b+3c+2d) + (27a+9b+3c+d)=3^4=81 \Rightarrow 36a+14b+6c+3d=81$.
$n=4$ के लिए,$(36a+14b+6c+3d) + (64a+16b+4c+d)=4^4=256 \Rightarrow 100a+30b+10c+4d=256$.
इन समीकरणों को हल करने पर:
$a=4, b=-6, c=4, d=-1$.
अतः,$|a|+|b|+|c|+|d| = |4|+|-6|+|4|+|-1| = 4+6+4+1 = 15$.

(B) माना सामान्य पद $T_r = (r^2 - r + 1)(r!)$ है।
इस श्रेणी का योग $S_n = (n-1)(n+1)! + 1$ होता है।

(C) माना $S = \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2n)^2}{1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2}$ है।
अंश $\sum_{k=1}^{n} (2k)^2 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$ है।
हर $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}$ है।
अतः,$S = \frac{2(n+1)}{2n-1}$ है।
हमें दिया गया है $S < 1.01$,इसलिए $\frac{2n+2}{2n-1} < \frac{101}{100}$ है।
$200n + 200 < 202n - 101$ $\Rightarrow 2n > 301$ $\Rightarrow n > 150.5$ है।
अतः,$n$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $151$ है।