nth term of special series, Sum to n terms and Infinite number of terms Questions in Hindi

(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = n + 2n + 3n + \ldots + 99n$ है।
इसे $S = n(1 + 2 + 3 + \ldots + 99)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रथम $k$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$S = n \times \frac{99 \times 100}{2} = n \times 99 \times 50 = n \times 4950$.
$4950$ का अभाज्य गुणनखंड $4950 = 2 \times 3^2 \times 5^2 \times 11$ है।
$S$ को पूर्ण वर्ग होने के लिए $n \times 2 \times 3^2 \times 5^2 \times 11$ को एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
इसके लिए $n$ को $2 \times 11 \times k^2 = 22k^2$ के रूप में होना चाहिए।
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $n$ प्राप्त करने के लिए $k=1$ रखने पर,$n = 22$ प्राप्त होता है।
अतः $n^2 = 22^2 = 484$.
$484$ में $3$ अंक हैं।

(A) दिया गया व्यंजक $S = \frac{\sum_{k=1}^{2n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ है।
सूत्रों $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$ और $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{\left(\frac{2n(2n+1)}{2}\right)^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6n(2n+1)}{n+1} = 12n - 6 + \frac{6}{n+1}$.
$S$ के पूर्णांक होने के लिए,$n+1$ को $6$ का भाजक होना चाहिए।
$6$ के भाजक $1, 2, 3, 6$ हैं।
अतः $n+1 \in \{1, 2, 3, 6\}$,जिससे $n \in \{0, 1, 2, 5\}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $n \in \{1, 2, 5\}$।
इन मानों का योग $1+2+5 = 8$ है।

(D) माना $S = \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2n)^2}{1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2}$.
हम जानते हैं कि अंश $4(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2) = 4 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$ है।
हर प्रथम $n$ विषम संख्याओं के वर्गों का योग है,जो $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ है।
अतः,$S = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{n(2n-1)(2n+1)} = \frac{2(n+1)}{2n-1}$.
हमें $S > 1.01$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2n+2}{2n-1} > \frac{101}{100}$.
वज्र-गुणन करने पर,हमें $200n + 200 > 202n - 101$ प्राप्त होता है।
$301 > 2n$,जिसका अर्थ है कि $n < 150.5$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n$ का अधिकतम मान $150$ है।

(B) पिरामिड में $18$ परतें हैं,जिसमें शीर्ष परत के प्रत्येक तरफ $13$ गेंदें हैं। वर्गाकार आधार वाले पिरामिड के लिए,परतों में गेंदों की संख्या $13^2, 14^2, 15^2, \dots, 30^2$ है।
गेंदों की कुल संख्या $N = \sum_{k=13}^{30} k^2 = \sum_{k=1}^{30} k^2 - \sum_{k=1}^{12} k^2$ है।
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum_{k=1}^{30} k^2 = 9455$ और $\sum_{k=1}^{12} k^2 = 650$।
अतः,$N = 9455 - 650 = 8805$।
चूंकि $8000 < 8805 < 9000$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) हमारे पास व्यंजक $\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{1+2+3+\ldots+n}$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर,अंश $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है और हर $\frac{n(n+1)}{2}$ है।
इनका भाग देने पर,हमें $\frac{2n+1}{3}$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक के पूर्णांक होने के लिए,मान लीजिए $\frac{2n+1}{3} = k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
इसका अर्थ है $2n+1 = 3k$,या $2n = 3k-1$।
चूँकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,$3k-1$ सम संख्या होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि $k$ एक विषम संख्या होनी चाहिए।
$1 \leq n \leq 100$ दिया गया है,इसलिए $1 \leq \frac{3k-1}{2} \leq 100$।
$2 \leq 3k-1 \leq 200$ $\Rightarrow 3 \leq 3k \leq 201$ $\Rightarrow 1 \leq k \leq 67$।
हमें $[1, 67]$ अंतराल में विषम पूर्णांकों $k$ की संख्या ज्ञात करनी है।
विषम पूर्णांक $1, 3, 5, \ldots, 67$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a=1$,$d=2$,और $l=67$ है।
$l = a + (m-1)d$ सूत्र का उपयोग करने पर,$67 = 1 + (m-1)2$ $\Rightarrow 66 = 2(m-1)$ $\Rightarrow 33 = m-1$ $\Rightarrow m = 34$।
अतः,ऐसे $34$ पूर्णांक $n$ हैं।

(D) अंश का योग $\sum_{r=1}^n r^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ है।
हर $\sum_{r=1}^n r(2r+1) = \sum_{r=1}^n (2r^2+r) = 2\sum r^2 + \sum r$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$।
दिया गया अनुपात: $\frac{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}{\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}} = \frac{9}{5}$।
सरल करने पर: $\frac{3n(n+1)}{2(4n+5)} = \frac{9}{5}$।
$\frac{n(n+1)}{2(4n+5)} = \frac{3}{5} \Rightarrow 5n^2 + 5n = 24n + 30$।
$5n^2 - 19n - 30 = 0$।
$(n-5)(5n+6) = 0$।
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $n = 5$।

(D) दी गई श्रेणी $5, 11, 19, 29, 41, \ldots$ है।
माना $n$-वाँ पद $T_n = an^2 + bn + c$ है।
$n=1$ के लिए,$T_1 = a + b + c = 5$.
$n=2$ के लिए,$T_2 = 4a + 2b + c = 11$.
$n=3$ के लिए,$T_3 = 9a + 3b + c = 19$.
समीकरणों को घटाने पर: $(T_2 - T_1) = 3a + b = 6$ और $(T_3 - T_2) = 5a + b = 8$.
इन्हें हल करने पर,$2a = 2 \implies a = 1$,$b = 3$,और $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_n = n^2 + 3n + 1$.
योग $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (n^2 + 3n + 1) = \sum_{n=1}^{20} n^2 + 3 \sum_{n=1}^{20} n + \sum_{n=1}^{20} 1$.
सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$.
$S_{20} = \frac{20(21)(41)}{6} + 3 \times \frac{20(21)}{2} + 20 = 2870 + 630 + 20 = 3520$.

(B) दी गई व्यंजक $S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \ldots + (2021^2 - 2022^2) + 2023^2$ है।
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$S = (1 - 2)(1 + 2) + (3 - 4)(3 + 4) + \ldots + (2021 - 2022)(2021 + 2022) + 2023^2$.
$S = -1(1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + 2022) + 2023^2$.
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है,अतः:
$S = -\frac{2022 \times 2023}{2} + 2023^2$.
$S = -1011 \times 2023 + 2023^2$.
$S = 2023(2023 - 1011) = 2023 \times 1012$.
दिया गया है $1012 m^2 n = 2023 \times 1012$,जिससे $m^2 n = 2023$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2023 = 17^2 \times 7$,इसलिए $m = 17$ और $n = 7$ है।
अतः,$m^2 - n^2 = 17^2 - 7^2 = 289 - 49 = 240$.

(A) दिया गया है $S_{k} = \frac{k(k+1)}{2k} = \frac{k+1}{2}$.
अतः $S_{j}^2 = \frac{(j+1)^2}{4} = \frac{j^2 + 2j + 1}{4}$.
$j=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$\sum_{j=1}^n S_j^2 = \frac{1}{4} \left[ \sum_{j=1}^n j^2 + 2 \sum_{j=1}^n j + \sum_{j=1}^n 1 \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \frac{n(n+1)}{2} + n \right]$
$= \frac{n}{4} \left[ \frac{(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1) + 1 \right]$
$= \frac{n}{24} \left[ (2n^2 + 3n + 1) + 6n + 6 + 6 \right]$
$= \frac{n}{24} [2n^2 + 9n + 13]$.
$\frac{n}{A}(Bn^2 + Cn + D)$ के साथ तुलना करने पर,$A=24, B=2, C=9, D=13$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A+B = 26$,$D=13$,$26$,$13$ से विभाज्य है।
अतः विकल्प $A$ सही है।

(C) श्रेणी $5, 8, 14, 23, 35, 50, \ldots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $d_n = a_{n+1} - a_n$ है।
अंतर $3, 6, 9, 12, 15, \ldots$ हैं,जो एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जहाँ $n^{\text{th}}$ अंतर $3n$ है।
अतः,$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 5 + 3 \frac{(n-1)n}{2} = \frac{3n^2 - 3n + 10}{2}$.
$n=40$ के लिए,$a_{40} = \frac{3(40)^2 - 3(40) + 10}{2} = 2345$.
अब,$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{3k^2 - 3k + 10}{2} = \frac{3}{2} \sum k^2 - \frac{3}{2} \sum k + 5 \sum 1$.
$S_{30} = \frac{3}{2} \left( \frac{30(31)(61)}{6} \right) - \frac{3}{2} \left( \frac{30(31)}{2} \right) + 5(30) = 13635$.
अंत में,$S_{30} - a_{40} = 13635 - 2345 = 11290$.

(C) अनुक्रम $4, 11, 21, 34, 50, \ldots$ है। क्रमागत पदों के बीच का अंतर $7, 10, 13, 16, \ldots$ है,जो $3$ के सार्व अंतर के साथ एक $A.P.$ बनाता है।
माना $n$ वां पद $T_{n} = an^2 + bn + c$ है।
$n=1, 2, 3$ के लिए:
$a + b + c = 4$
$4a + 2b + c = 11$
$9a + 3b + c = 21$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $a = \frac{3}{2}, b = \frac{5}{2}, c = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_{n} = \frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n = \frac{n(3n+5)}{2}$.
$S_{n} = \sum_{k=1}^{n} T_{k} = \frac{n(n+1)(n+3)}{2}$.
अब,$S_{29} = \frac{29 \times 30 \times 32}{2} = 13920$.
$S_{9} = \frac{9 \times 10 \times 12}{2} = 540$.
$\frac{1}{60}(S_{29} - S_{9}) = \frac{1}{60}(13920 - 540) = \frac{13380}{60} = 223$.

(B) मान लीजिए $S_n = \frac{n^2+3n}{(n+1)(n+2)}$।
$n=1$ के लिए,$a_1 = S_1 = \frac{2}{3}$।
$n > 1$ के लिए,$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{4}{n(n+1)(n+2)}$।
अतः,$\frac{1}{a_k} = \frac{k(k+1)(k+2)}{4}$।
अब,$28 \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k} = 28 \sum_{k=1}^{10} \frac{k(k+1)(k+2)}{4} = 7 \sum_{k=1}^{10} k(k+1)(k+2)$।
सूत्र $\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$ का उपयोग करने पर:
$7 \times \frac{10 \times 11 \times 12 \times 13}{4} = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13$।
यह प्रथम $6$ अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है।
अतः,$m = 6$।

(C) दी गई श्रेणी $2^2-3^2+4^2-5^2+6^2-\ldots$ के $20$ पद हैं।
इसे दो श्रेणियों के योग के रूप में लिखा जा सकता है: $S = (2^2+4^2+6^2+\ldots \text{ } 10 \text{ पदों तक}) - (3^2+5^2+7^2+\ldots \text{ } 10 \text{ पदों तक})$.
$S = \sum_{n=1}^{10} (2n)^2 - \sum_{n=1}^{10} (2n+1)^2$.
$S = \sum_{n=1}^{10} [ (2n)^2 - (2n+1)^2 ]$.
सर्वसमिका $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$S = \sum_{n=1}^{10} (2n - 2n - 1)(2n + 2n + 1) = \sum_{n=1}^{10} (-1)(4n+1)$.
$S = -[ 4 \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} 1 ]$.
$S = -[ 4 \times \frac{10 \times 11}{2} + 10 ]$.
$S = -[ 220 + 10 ] = -230$.

(B) हमें $S = \sum_{n=1}^{120} [\sqrt{n}]$ की गणना करनी है।
किसी पूर्णांक $k$ के लिए,$[\sqrt{n}] = k$ तब होता है जब $k^2 \leq n < (k+1)^2$ हो।
ऐसे पूर्णांकों $n$ की संख्या $(k+1)^2 - k^2 = 2k+1$ है।
यहाँ $k=1, 2, \ldots, 10$ के लिए,$n$ का मान $1$ से $120$ तक है क्योंकि $10^2 = 100$ और $11^2 = 121$ है।
$k=1, 2, \ldots, 9$ के लिए,पदों की संख्या $2k+1$ है।
$k=10$ के लिए,सीमा $100 \leq n \leq 120$ है,जो $120 - 100 + 1 = 21$ पद देती है।
योग $S = \sum_{k=1}^{9} k(2k+1) + 10(21)$ है।
$S = \sum_{k=1}^{9} (2k^2 + k) + 210$.
$S = 2 \times \frac{9(10)(19)}{6} + \frac{9(10)}{2} + 210$.
$S = 570 + 45 + 210 = 825$.

(A) दी गई श्रेणी का योग $P = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{2}$ है।
अतः $\alpha = 1$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
$\alpha + 3\beta = 1 + 3(2) = 1 + 6 = 7$.

(B) अनुक्रम $1, 4, 8, 13, 19, 26, \ldots$ का $n$-वां पद $a_n = \frac{n^2+3n-2}{2}$ है।
अतः,$\alpha = \sum_{n=1}^{10} \left(\frac{n^2+3n-2}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{10} (n^2+3n-2)^2$.
इसलिए $4\alpha = \sum_{n=1}^{10} (n^4 + 6n^3 + 5n^2 - 12n + 4)$.
दिया है $\beta = \sum_{n=1}^{10} n^4$,इसलिए $4\alpha - \beta = \sum_{n=1}^{10} (6n^3 + 5n^2 - 12n + 4)$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sum_{n=1}^{10} n^3 = 3025$,$\sum_{n=1}^{10} n^2 = 385$,$\sum_{n=1}^{10} n = 55$.
$4\alpha - \beta = 6(3025) + 5(385) - 12(55) + 4(10) = 19455$.
दिया है $4\alpha - \beta = 55k + 40$,इसलिए $55k = 19415$.
$k = 353$.

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \frac{r}{1-3r^2+r^4}$ है।
हर को $(r^2-r-1)(r^2+r-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$T_r = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{r^2-r-1} - \frac{1}{r^2+r-1} \right]$।
$10$ पदों का योग $\sum_{r=1}^{10} T_r = \frac{1}{2} [f(1) - f(11)] = \frac{1}{2} [-1 - \frac{1}{109}] = -\frac{55}{109}$।

(B) माना व्यंजक $S = \frac{\sum_{r=1}^{n} r(r+1)^2}{\sum_{r=1}^{n} r^2(r+1)}$ है,जहाँ $n=100$ है।
अंश: $\sum_{r=1}^{n} (r^3 + 2r^2 + r) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{2n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$.
हर: $\sum_{r=1}^{n} (r^3 + r^2) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{\frac{n^2+n}{2} + \frac{4n+2}{3} + 1}{\frac{n^2+n}{2} + \frac{2n+1}{3}}$.
$n=100$ के लिए: $\frac{5050 + 134 + 1}{5050 + 67} = \frac{5185}{5117} = \frac{305}{301}$.

(A) पहले त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a$ है। दूसरे त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a/2$,तीसरे की $a/4$ है,और इसी प्रकार आगे भी।
परिमापों का योग $P = 3a + 3(a/2) + 3(a/4) + \dots = 3a(1 + 1/2 + 1/4 + \dots) = 3a \times \frac{1}{1 - 1/2} = 3a \times 2 = 6a$.
अतः,$a = P/6$.
क्षेत्रफलों का योग $Q = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}(a/2)^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}(a/4)^2 + \dots = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2(1 + 1/4 + 1/16 + \dots) = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{3}a^2}{3} = \frac{a^2}{\sqrt{3}}$.
$Q$ के व्यंजक में $a = P/6$ रखने पर:
$Q = \frac{(P/6)^2}{\sqrt{3}} = \frac{P^2}{36\sqrt{3}}$.
इसलिए,$P^2 = 36\sqrt{3}Q$.

(D) दूसरा पद $\sum_{k=1}^{1012} \frac{1}{(2k)(2k-1)} = \sum_{k=1}^{1012} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k}\right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}$ है।
दिया गया समीकरण: $\sum_{k=1}^{1012} \frac{1}{\alpha+k} - \sum_{k=1}^{1012} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k}\right) = \frac{1}{2024}$ है।
अतः,$\sum_{k=1}^{1012} \frac{1}{\alpha+k} = \alpha = 1011$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $k$-वां पद $T_k = 75 \ldots 57$ है।
$9S = 75 \ldots 57 + 1210$ प्राप्त होता है।
यहाँ $m = 1210$ और $n = 9$ है।
अतः $m + n = 1210 + 9 = 1219$.

(A) बिना किसी क्रमागत $0$ वाले $n$-अंकीय पूर्णांक के लिए:
यदि यह $1$ पर समाप्त होता है,तो पिछला अंक $0$ या $1$ हो सकता है। अतः,$b_n = b_{n-1} + c_{n-1} = a_{n-1}$।
यदि यह $0$ पर समाप्त होता है,तो पिछला अंक $1$ होना चाहिए। अतः,$c_n = b_{n-1}$।
चूंकि $a_n = b_n + c_n$,हमारे पास $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ है।
$1.$ $(A)$ के लिए,पुनरावृत्ति संबंध के अनुसार $a_{17} = a_{16} + a_{15}$ सही है।
$(B)$ के लिए,$c_{17} = c_{16} + c_{15}$ सही है,इसलिए $c_{17} \neq c_{16} + c_{15}$ गलत है।
$(C)$ के लिए,$b_{17} = b_{16} + c_{16}$ सही है,इसलिए $b_{17} \neq b_{16} + c_{16}$ गलत है।
$(D)$ के लिए,$a_{17} = b_{17} + c_{17} = (b_{16} + c_{16}) + c_{17} = a_{16} + c_{17}$। चूंकि $a_{16} = b_{16} + c_{16}$,यह $a_{17} = c_{17} + b_{16}$ में सरल नहीं होता है।
अतः,केवल $(A)$ सही है।
$2.$ हमारे पास $b_n = a_{n-1}$ है।
$a_1 = 1$ $(1)$
$a_2 = 2$ $(10, 11)$
$a_3 = 3$ $(101, 110, 111)$
$a_4 = 5$ $(1010, 1011, 1101, 1110, 1111)$
$a_5 = 8$
इसलिए,$b_6 = a_5 = 8$।
सही विकल्प $(B)$ है।

(A,D) दिया गया योग $S_n = \sum_{k=1}^{4n} (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} k^2$ है।
पदों का विस्तार करने पर:
$S_n = -1^2 - 2^2 + 3^2 + 4^2 - 5^2 - 6^2 + 7^2 + 8^2 + \dots + (-1)^{\frac{4n(4n+1)}{2}} (4n)^2$.
चार-चार पदों के समूह बनाने पर:
$S_n = (3^2 - 1^2) + (4^2 - 2^2) + (7^2 - 5^2) + (8^2 - 6^2) + \dots + ((4n-1)^2 - (4n-3)^2) + ((4n)^2 - (4n-2)^2)$.
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$S_n = 2(4) + 2(6) + 2(12) + 2(14) + \dots + 2(8n-4) + 2(8n-2)$.
$S_n = 2 [ (4 + 12 + \dots + 8n-4) + (6 + 14 + \dots + 8n-2) ]$.
दोनों श्रेणियाँ समांतर श्रेणी हैं जिनमें $n$ पद हैं।
प्रथम श्रेणी का योग $= 4n^2$.
दूसरी श्रेणी का योग $= 4n^2 + 2n$.
$S_n = 2 [ 8n^2 + 2n ] = 4n(4n+1)$.
$n=8$ के लिए,$S_8 = 1056$.
$n=9$ के लिए,$S_9 = 1332$.
अतः,$S_n$ के मान $1056$ और $1332$ हो सकते हैं।

(B) दिया गया है $a_1=7$ और $d=8$। समांतर श्रेणी का $n$-वाँ पद $a_n = a_1 + (n-1)d = 7 + (n-1)8 = 8n-1$ है।
हमें $T_{n+1} - T_n = a_n$ दिया गया है। $k=1$ से $n-1$ तक योग करने पर,हमें $T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k$ प्राप्त होता है।
$T_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (8k-1) = 3 + 8 \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 3 + 4n^2 - 4n - n + 1 = 4n^2 - 5n + 4$.
$n=20$ के लिए,$T_{20} = 4(20)^2 - 5(20) + 4 = 1600 - 100 + 4 = 1504$। (विकल्प $A$ गलत है)।
$n=30$ के लिए,$T_{30} = 4(30)^2 - 5(30) + 4 = 3600 - 150 + 4 = 3454$। (विकल्प $C$ सही है)।
अब,$\sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 5k + 4) = 4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 5 \frac{n(n+1)}{2} + 4n$.
$n=20$ के लिए,$\sum_{k=1}^{20} T_k = 4 \frac{20(21)(41)}{6} - 5 \frac{20(21)}{2} + 4(20) = 2(2870) - 1050 + 80 = 11480 - 1050 + 80 = 10510$। (विकल्प $B$ सही है)।
$n=30$ के लिए,$\sum_{k=1}^{30} T_k = 4 \frac{30(31)(61)}{6} - 5 \frac{30(31)}{2} + 4(30) = 2(18920) - 2325 + 120 = 37840 - 2325 + 120 = 35635$। (विकल्प $D$ गलत है)।
अतः,विकल्प $B$ और $C$ सही हैं।

(A) माना दी गई श्रेणी $S_{20} = 1+3+11+25+45+71+\ldots+T_{20}$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $2, 8, 14, 20, 26, \ldots$ है,जो $6$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) बनाता है।
चूंकि प्रथम-क्रम का अंतर $A$.$P$. में है,इसलिए सामान्य पद $T_n$ एक द्विघात व्यंजक $T_n = an^2 + bn + c$ के रूप में है।
प्रथम तीन पदों का उपयोग करके:
$T_1 = a + b + c = 1$
$T_2 = 4a + 2b + c = 3$
$T_3 = 9a + 3b + c = 11$
समीकरणों को घटाने पर:
$(T_2 - T_1) \implies 3a + b = 2$
$(T_3 - T_2) \implies 5a + b = 8$
इन परिणामों को घटाने पर: $2a = 6 \implies a = 3$ प्राप्त होता है।
$3a+b=2$ में $a=3$ रखने पर,$9+b=2 \implies b = -7$ प्राप्त होता है।
$a+b+c=1$ में $a=3, b=-7$ रखने पर,$3-7+c=1 \implies c = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,सामान्य पद $T_n = 3n^2 - 7n + 5$ है।
$20$ पदों का योग $\sum_{n=1}^{20} (3n^2 - 7n + 5) = 3 \sum_{n=1}^{20} n^2 - 7 \sum_{n=1}^{20} n + \sum_{n=1}^{20} 5$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$= 3 \left( \frac{20(21)(41)}{6} \right) - 7 \left( \frac{20(21)}{2} \right) + 5(20)$
$= 3(2870) - 7(210) + 100$
$= 8610 - 1470 + 100 = 7240$.

(B) श्रेणी $1, 3, 5^2, 7, 9^2, 11, 13^2, \ldots$ $40$ पदों तक है।
इसे दो श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:
श्रेणी $1$: $1, 5^2, 9^2, \ldots$ ($20$ पद) जहाँ $r$-वाँ पद $(4r-3)^2$ है।
श्रेणी $2$: $3, 7, 11, \ldots$ ($20$ पद) जहाँ $r$-वाँ पद $(4r-1)$ है।
योग $= \sum_{r=1}^{20} (4r-3)^2 + \sum_{r=1}^{20} (4r-1)$
$= \sum_{r=1}^{20} (16r^2 - 24r + 9 + 4r - 1)$
$= \sum_{r=1}^{20} (16r^2 - 20r + 8)$
$= 16 \sum_{r=1}^{20} r^2 - 20 \sum_{r=1}^{20} r + 8 \sum_{r=1}^{20} 1$
$= 16 \left( \frac{20 \times 21 \times 41}{6} \right) - 20 \left( \frac{20 \times 21}{2} \right) + 8(20)$
$= 16(2870) - 20(210) + 160$
$= 45920 - 4200 + 160 = 41880$.

(C) दिया गया है $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\ldots = \frac{\pi^4}{90}$.
$\beta = \frac{1}{2^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{6^4}+\ldots = \frac{1}{2^4} \left( \frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\ldots \right) = \frac{1}{16} \times \frac{\pi^4}{90}$.
$\alpha = \frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\ldots = \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \right) - \beta = \frac{\pi^4}{90} - \frac{1}{16} \times \frac{\pi^4}{90} = \frac{15}{16} \times \frac{\pi^4}{90}$.
अतः,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\frac{15}{16} \times \frac{\pi^4}{90}}{\frac{1}{16} \times \frac{\pi^4}{90}} = 15$.

(A) प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{5^{n} - 2^{n}}{2^{n}} = (\frac{5}{2})^{n} - 1$ दिया गया है।
$n$ वां पद $T_{n}$ सूत्र $T_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $n > 1$ है।
$n = 4$ के लिए,$T_{4} = S_{4} - S_{3}$।
$S_{4} = (\frac{5}{2})^{4} - 1 = \frac{625}{16} - 1 = \frac{609}{16}$।
$S_{3} = (\frac{5}{2})^{3} - 1 = \frac{125}{8} - 1 = \frac{117}{8} = \frac{234}{16}$।
$T_{4} = \frac{609}{16} - \frac{234}{16} = \frac{375}{16}$।

(A) प्रथम $n$ सम प्राकृतिक संख्याओं का योग $S_e = n(n+1)$ होता है।
प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग $S_o = n^2$ होता है।
दिया गया अनुपात: $\frac{n(n+1)}{n^2} = \frac{37}{36}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{n+1}{n} = \frac{37}{36}$.
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर: $36(n+1) = 37n$.
$36n + 36 = 37n$.
$37n - 36n = 36$.
अतः,$n = 36$.

(B) हमें $S = 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + \ldots + 20^{2}$ का योग ज्ञात करना है।
इसे वर्गों के दो योगों के अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$S = \sum_{k=1}^{20} k^{2} - \sum_{k=1}^{4} k^{2}$.
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$n=20$ के लिए: $\sum_{k=1}^{20} k^{2} = \frac{20(21)(41)}{6} = 10 \times 7 \times 41 = 2870$.
$n=4$ के लिए: $\sum_{k=1}^{4} k^{2} = \frac{4(5)(9)}{6} = 2 \times 5 \times 3 = 30$.
अतः,$S = 2870 - 30 = 2840$.

(B) श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n+1}$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$T_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n+1)} = \frac{n(2n+1)}{6} = \frac{2n^2 + n}{6}$.
हमें पहले $8$ पदों का योग ज्ञात करना है,$S_8 = \sum_{n=1}^{8} T_n = \sum_{n=1}^{8} \frac{2n^2 + n}{6}$.
$S_8 = \frac{1}{6} \left[ 2 \sum_{n=1}^{8} n^2 + \sum_{n=1}^{8} n \right]$.
$\sum_{n=1}^{8} n^2 = \frac{8(9)(17)}{6} = 204$ और $\sum_{n=1}^{8} n = \frac{8(9)}{2} = 36$ का उपयोग करते हुए।
$S_8 = \frac{1}{6} [2(204) + 36] = \frac{1}{6} [408 + 36] = \frac{444}{6} = 74$.

(D) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n(2n+1)^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।
$10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} (4n^3 + 4n^2 + n)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{10} n^3 = \left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^2 = 3025$.
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$.
$\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
अतः,$S_{10} = 4(3025) + 4(385) + 55 = 13695$.

(B) दी गई श्रेणी $S_{10} = 9 + 99 + 999 + \ldots$ है जो $10$ पदों तक है।
इसे $S_{10} = (10-1) + (10^2-1) + (10^3-1) + \ldots + (10^{10}-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$S_{10} = (10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + 10^{10}) - (1 + 1 + 1 + \ldots + 1 \text{ (10 बार)})$।
पहला भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a=10$,$r=10$,और $n=10$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $= a\frac{r^n-1}{r-1} = 10\frac{10^{10}-1}{10-1} = \frac{10}{9}(10^{10}-1)$।
$1$ के योग को घटाने पर (जो $10$ है):
$S_{10} = \frac{10}{9}(10^{10}-1) - 10 = \frac{10(10^{10}-1) - 90}{9} = \frac{10^{11}-10-90}{9} = \frac{10^{11}-100}{9} = \frac{100}{9}(10^9-1)$।

(C) दिया गया समीकरण $2^{1+|\cos x|+|\cos x|^2+\ldots} = 4$ है।
चूंकि घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = |\cos x|$ है,जहाँ $|\cos x| < 1$,योग $\frac{1}{1-|\cos x|}$ है।
अतः,$2^{\frac{1}{1-|\cos x|}} = 2^2$.
घातांकों की तुलना करने पर,$\frac{1}{1-|\cos x|} = 2$.
$1 - |\cos x| = \frac{1}{2} \Rightarrow |\cos x| = \frac{1}{2}$.
इसका अर्थ है $\cos x = \frac{1}{2}$ या $\cos x = -\frac{1}{2}$।
अंतराल $(-\pi, \pi)$ में,$\cos x = \frac{1}{2}$ के लिए हल $x = \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}$ हैं।
$\cos x = -\frac{1}{2}$ के लिए हल $x = \frac{2\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$ हैं।
इसलिए,हलों की कुल संख्या $4$ है।

(C) दी गई अनंत गुणोत्तर श्रेणी: $1+\sin \theta+\sin ^{2} \theta+\ldots \infty = 2 \sqrt{3}+4$.
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ होता है,जहाँ $a = 1$ और $r = \sin \theta$ है।
अतः,$\frac{1}{1-\sin \theta} = 2 \sqrt{3}+4$.
व्युत्क्रम लेने पर: $1-\sin \theta = \frac{1}{2 \sqrt{3}+4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $1-\sin \theta = \frac{2 \sqrt{3}-4}{(2 \sqrt{3}+4)(2 \sqrt{3}-4)} = \frac{2 \sqrt{3}-4}{12-16} = \frac{2 \sqrt{3}-4}{-4}$.
सरल करने पर: $1-\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$.
इसलिए,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(B) श्रेणी का $n$ वां पद $t_n = \frac{1^2 + 2^2 + \ldots + n^2}{1 + 2 + \ldots + n}$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं और उनके वर्गों के योग के सूत्रों का उपयोग करने पर:
$t_n = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n+1}{3}$.
अब,प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} t_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{3}$ है।
$S_n = \frac{1}{3} [2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1]$.
$S_n = \frac{1}{3} [2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n] = \frac{1}{3} [n(n+1) + n] = \frac{n(n+2)}{3}$.

(B) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{n}{(n+1)(n+2)} \cdot 2^n$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{n}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{n+2} - \frac{1}{n+1}$.
अतः,$T_n = \left( \frac{2}{n+2} - \frac{1}{n+1} \right) 2^n = \frac{2^{n+1}}{n+2} - \frac{2^n}{n+1}$.
मान लीजिए $f(n) = \frac{2^n}{n+1}$. तब $T_n = f(n+1) - f(n)$.
योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (f(k+1) - f(k)) = f(n+1) - f(1)$.
चूंकि $f(n+1) = \frac{2^{n+1}}{n+2}$ और $f(1) = \frac{2^1}{1+1} = 1$,इसलिए $S_n = \frac{2^{n+1}}{n+2} - 1$ प्राप्त होता है।

(C) श्रेणी का $n$ वां पद $T_{n} = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{2}}{\sum_{k=1}^{n} k}$ है।
सूत्रों $\sum k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$T_{n} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \times \frac{2}{n(n+1)} = \frac{2n+1}{3}$।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} T_{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{3}$ है।
$S_{n} = \frac{1}{3} \left( 2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$।
$S_{n} = \frac{1}{3} \left( 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n \right) = \frac{1}{3} (n^{2} + n + n) = \frac{n^{2}+2n}{3} = \frac{n(n+2)}{3}$।

(A) माना श्रेणी का $n$वाँ पद $t_n$ है। श्रेणी $1, 3, 7, 13, 21, \ldots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर लेने पर: $3-1=2, 7-3=4, 13-7=6, 21-13=8, \ldots$।
यह अंतरों की एक समांतर श्रेणी है: $2, 4, 6, 8, \ldots$।
$n$वाँ पद $t_n = t_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$t_n = 1 + 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1$।
दिया गया है $t_n = 9901$,अतः $n^2 - n + 1 = 9901$।
$n^2 - n - 9900 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $n^2 - 100n + 99n - 9900 = 0$।
$n(n-100) + 99(n-100) = 0$।
$(n-100)(n+99) = 0$।
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 100$।

(B) एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $ S = \frac{a}{1-r} $ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $ |r| < 1 $ है।
दिया गया है $ S = 4 $,इसलिए $ \frac{a}{1-r} = 4 \Rightarrow a = 4(1-r) = 4 - 4r \Rightarrow a + 4r = 4 \dots(1) $.
गुणोत्तर श्रेणी का दूसरा पद $ t_2 = ar $ होता है।
दिया गया है $ t_2 = \frac{3}{4} $,इसलिए $ ar = \frac{3}{4} \Rightarrow a = \frac{3}{4r} \dots(2) $.
समीकरण $(2)$ से $ a $ का मान $(1)$ में रखने पर:
$ \frac{3}{4r} + 4r = 4 $.
$ 4r $ से गुणा करने पर: $ 3 + 16r^2 = 16r \Rightarrow 16r^2 - 16r + 3 = 0 $.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $ 16r^2 - 12r - 4r + 3 = 0 \Rightarrow 4r(4r - 3) - 1(4r - 3) = 0 \Rightarrow (4r - 1)(4r - 3) = 0 $.
अतः,$ r = \frac{1}{4} $ या $ r = \frac{3}{4} $.
यदि $ r = \frac{1}{4} $ है,तो $ a = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3 $.
यदि $ r = \frac{3}{4} $ है,तो $ a = 4(1 - \frac{3}{4}) = 4(\frac{1}{4}) = 1 $.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,युग्म $ (a=3, r=\frac{1}{4}) $ विकल्प $ B $ से मेल खाता है।

(B) माना कि हर का सामान्य पद $T_n = (n^2+1)n!$ है।
हम इसे $T_n = (n+1)(n+1)! - 2n \cdot n!$ के रूप में लिख सकते हैं।
योग $S = \sum_{n=1}^{100} (n^2+1)n! = 100 \cdot 101!$ होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{10001 \times 100!}{100 \times 101 \times 100!} = \frac{10001}{10100}$ होगा।

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
असमिका $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 > x$ में योग का सूत्र रखने पर:
$\frac{n^2(n+1)^2}{4} > x$.
दिए गए विकल्पों में से,$\frac{n^2}{4}$ वह मान है जो हमेशा योग से छोटा होता है।

(A) दी गई श्रेणी $\frac{3}{5}+\frac{21}{25}+\frac{117}{125}+\ldots$ है।
$k$-वां पद $1 - (\frac{2}{5})^k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (1 - (\frac{2}{5})^k) = n - \sum_{k=1}^{n} (\frac{2}{5})^k$.
यहाँ,$\sum_{k=1}^{n} (\frac{2}{5})^k$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ $a = \frac{2}{5}$ और $r = \frac{2}{5}$ है।
इसका योग $\frac{\frac{2}{5}(1-(\frac{2}{5})^n)}{1-\frac{2}{5}} = \frac{2}{3}(1-\frac{2^n}{5^n}) = \frac{2}{3} - \frac{2^{n+1}}{3 \times 5^n}$ है।
इसलिए,$S_n = n - (\frac{2}{3} - \frac{2^{n+1}}{3 \times 5^n}) = n - \frac{2}{3} + \frac{2^{n+1}}{3 \times 5^n}$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) माना $T_n$,$n^{th}$ समुच्चय का प्रथम पद है। प्रथम पद $1, 2, 4, 7, 11, \ldots$ हैं।
यह एक अनुक्रम है जिसमें अंतर $1, 2, 3, 4, \ldots$ है।
$n^{th}$ पद $T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$50^{th}$ समुच्चय के लिए,$n=50$,अतः $T_{50} = 1 + \frac{49 \times 50}{2} = 1 + 1225 = 1226$।
$50^{th}$ समुच्चय में $1226$ से शुरू होने वाले $50$ क्रमागत पूर्णांक हैं।
समांतर श्रेणी में $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ होता है।
यहाँ $n=50$,$a=1226$,और $d=1$ है,अतः $S_{50} = \frac{50}{2}[2(1226) + 49(1)] = 25[2452 + 49] = 25[2501] = 62525$।

(D) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = (3n-1)(4n+1) = 12n^2 - n - 1$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (12k^2 - k - 1) = 12 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = 12 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} - n$।
$S_n = 2n(2n^2+3n+1) - \frac{n^2+n}{2} - n = 4n^3 + 6n^2 + 2n - 0.5n^2 - 0.5n - n$।
$S_n = 4n^3 + 5.5n^2 + 0.5n$।
$an^3+bn^2+cn+d$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=4, b=5.5, c=0.5, d=0$ प्राप्त होता है।
अतः $a-b+c-d = 4 - 5.5 + 0.5 - 0 = -1$।

(B) दी गई श्रेणी $S = 2.5 + 5.9 + 8.13 + 11.17 + \ldots$ $10$ पदों तक है।
$n^{th}$ पद $T_n$,समांतर श्रेणी $(2, 5, 8, 11, \ldots)$ और $(5, 9, 13, 17, \ldots)$ के $n^{th}$ पदों का गुणनफल है।
$T_n = (3n - 1)(4n + 1) = 12n^2 - n - 1$.
योग $S = \sum_{n=1}^{10} (12n^2 - n - 1) = 12 \sum_{n=1}^{10} n^2 - \sum_{n=1}^{10} n - \sum_{n=1}^{10} 1$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = 385$,$\sum_{n=1}^{10} n = 55$,$\sum_{n=1}^{10} 1 = 10$.
$S = 12(385) - 55 - 10 = 4620 - 65 = 4555$.

(D) दी गई श्रेणी $1 + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + \ldots$ है।
$n$-वें पद में पदों की संख्या $2n - 1$ है।
माना $n$-वें पद का प्रथम पद $a_n$ है।
$n$-वें पद से पहले कुल पदों की संख्या $(n-1)^2$ है।
अतः,$n$-वें पद का प्रथम पद $a_n = (n-1)^2 + 1$ है।
$n$-वाँ पद एक समांतर श्रेणी है जिसमें $2n-1$ पद हैं,प्रथम पद $a_n$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
$n$-वें पद का योग $t_n$ इस प्रकार है:
$t_n = \frac{2n-1}{2} [2a_n + (2n-2)d] = (2n-1) [a_n + (n-1)2]$
$t_n = (2n-1) [(n-1)^2 + 1 + 2n - 2] = (2n-1) [n^2 - 2n + 1 + 1 + 2n - 2] = (2n-1) [n^2 + (n-1)^2]$.

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \sum_{j=1}^n j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।
हमें योग $S_n = \sum_{i=1}^n T_i = \sum_{i=1}^n \frac{i(i+1)(2i+1)}{6}$ ज्ञात करना है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $S_n = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n (2i^3 + 3i^2 + i) = \frac{1}{3} \sum i^3 + \frac{1}{2} \sum i^2 + \frac{1}{6} \sum i$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{1}{3} \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 + \frac{1}{2} \left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] + \frac{1}{6} \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]$.
$\frac{n(n+1)}{12}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)}{12} \left[ n(n+1) + (2n+1) + 1 \right] = \frac{n(n+1)}{12} [n^2 + n + 2n + 2] = \frac{n(n+1)(n^2+3n+2)}{12}$.
चूंकि $n^2+3n+2 = (n+1)(n+2)$,इसलिए $S_n = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$ प्राप्त होता है।