nth term of special series, Sum to n terms and Infinite number of terms Questions in Hindi

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ है।
हम $T_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right)$ लिख सकते हैं।
$n=16$ के लिए,अंतिम पद $\frac{1}{(3(16)-1)(3(16)+2)} = \frac{1}{47 \cdot 50}$ है।
योग $S_{16} = \sum_{n=1}^{16} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right)$.
$S_{16} = \frac{1}{3} \left[ (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + \ldots + (\frac{1}{47} - \frac{1}{50}) \right]$.
$S_{16} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{50} \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{25-1}{50} \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{24}{50} \right] = \frac{8}{50} = \frac{4}{25}$.

(B) $S_n = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^{n-1} n^2$ \\ $S_{77} = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \ldots + (75^2 - 76^2) + 77^2$ \\ सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक युग्म $(k^2 - (k+1)^2) = (k - k - 1)(k + k + 1) = -(2k+1)$ \\ $S_{77} = -(3 + 7 + 11 + \ldots + 151) + 77^2$ \\ कोष्ठक के भीतर का योग एक समांतर श्रेणी है जिसमें $n = 38$ पद,प्रथम पद $a = 3$ और अंतिम पद $l = 151$ है \\ योग $= \frac{38}{2}(3 + 151) = 19 \times 154 = 2926$ \\ $S_{77} = -2926 + 5929 = 3003$

(C) दी गई श्रेणी $S_n = 4^3 + 8^3 + 12^3 + \ldots + (4n)^3$ है।
इसे $S_n = \sum_{r=1}^{n} (4r)^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$S_n = \sum_{r=1}^{n} 64r^3 = 64 \sum_{r=1}^{n} r^3$.
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
इसे $S_n$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$S_n = 64 \times \frac{n^2(n+1)^2}{4} = 16n^2(n+1)^2$.
इसे दिए गए रूप $k n^2(n+1)^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 16$ प्राप्त होता है।

(D) माना $S_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}$.
किसी भी $k \geq 1$ के लिए,हमारे पास $\sqrt{k} \leq \sqrt{n}$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \frac{1}{\sqrt{n}}$.
इस असमिका का $k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}$.
$S_n \geq n \times \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$.
अतः,सभी $n \in N$ के लिए $S_n \geq \sqrt{n}$ होता है.

(D) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = n(n+1)(n+2)$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(n^2 + 3n + 2) = n^3 + 3n^2 + 2n$ प्राप्त होता है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (k^3 + 3k^2 + 2k)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$।
इन मानों को रखने पर:
$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n(n+1)}{2} + (2n+1) + 2 \right]$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n^2+n+4n+2+4}{2} \right] = \frac{n(n+1)(n^2+5n+6)}{4}$
चूंकि $n^2+5n+6 = (n+2)(n+3)$,इसलिए $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$।

(C) हमें योग $S = \sum_{k=1}^n k(k+2)$ का मूल्यांकन करना है।
योग के अंदर के पद का विस्तार करने पर,हमें $k^2 + 2k$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^n k^2 + 2 \sum_{k=1}^n k$.
मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ को कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{n(n+1)}{6} [ (2n+1) + 6 ]$.
$S = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$.

(A) हम जानते हैं कि प्रथम $k$ घनों का योग $\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$ है और प्रथम $k$ विषम संख्याओं का योग $k^2$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\sum_{k=1}^5 \frac{\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2}{k^2} = \sum_{k=1}^5 \frac{k^2(k+1)^2}{4k^2} = \sum_{k=1}^5 \frac{(k+1)^2}{4}$
$k=1$ से $5$ तक योग करने पर:
$= \frac{1}{4} [2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2] = \frac{1}{4} [4 + 9 + 16 + 25 + 36] = \frac{90}{4} = 22.5$

(D) दी गई श्रेणी $S_n = 2^3 + 4^3 + 6^3 + \ldots + (2n)^3$ है।
इसे $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k)^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 8k^3 = 8 \sum_{k=1}^{n} k^3$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ होता है।
अतः,$S_n = 8 \times [\frac{n(n+1)}{2}]^2 = 8 \times \frac{n^2(n+1)^2}{4} = 2n^2(n+1)^2$।
दिए गए व्यंजक $h n^2(n+1)^2$ से तुलना करने पर,हमें $h = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना $S_n = \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) \ldots(k+r-1)$.
हम फॉलिंग फैक्टोरियल के गुण का उपयोग करते हैं: $k(k+1) \ldots (k+r-1) = \frac{k(k+1) \ldots (k+r) - (k-1)k(k+1) \ldots (k+r-1)}{r+1}$.
माना $f(k) = k(k+1) \ldots (k+r-1)$. तब $f(k) = \frac{1}{r+1} [g(k) - g(k-1)]$,जहाँ $g(k) = k(k+1) \ldots (k+r)$.
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर एक टेलीस्कोपिंग योग प्राप्त होता है:
$S_n = \frac{1}{r+1} \sum_{k=1}^n [g(k) - g(k-1)] = \frac{1}{r+1} [g(n) - g(0)]$.
चूँकि $g(0) = 0 \cdot 1 \ldots r = 0$,इसलिए $S_n = \frac{g(n)}{r+1} = \frac{n(n+1)(n+2) \ldots(n+r)}{r+1}$.

(C) हमें योग $\sum_{n=1}^5 (n^3 + n^2 + n)$ का मान ज्ञात करना है।
$n=1$ के लिए: $1(1^2+1+1) = 1(3) = 3$.
$n=2$ के लिए: $2(2^2+2+1) = 2(7) = 14$.
$n=3$ के लिए: $3(3^2+3+1) = 3(13) = 39$.
$n=4$ के लिए: $4(4^2+4+1) = 4(21) = 84$.
$n=5$ के लिए: $5(5^2+5+1) = 5(31) = 155$.
इन मानों का योग: $3 + 14 + 39 + 84 + 155 = 295$.

(D) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=\sin x$ है।
चूंकि योग $4+2 \sqrt{3}$ है,इसलिए $\frac{1}{1-\sin x} = 4+2 \sqrt{3}$ होगा।
व्युत्क्रम लेने पर,$1-\sin x = \frac{1}{4+2 \sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
हर का परिमेयकरण करने पर: $1-\sin x = \frac{4-2 \sqrt{3}}{16-12} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$0 < x < \pi$ के लिए,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान $x = \frac{\pi}{3}$ और $x = \frac{2 \pi}{3}$ हैं।

(D) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = 2^k$ होता है।
इस मान को दिए गए व्यंजक में रखने पर:
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} \sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} (2^k)$
$= \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 2/3$ और सार्व अनुपात $r = 2/3$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$S = \frac{2/3}{1 - 2/3} = \frac{2/3}{1/3} = 2$.

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \ldots, n$ हैं।
उनके वर्ग $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2$ हैं।
$\text{माध्य} = \frac{\text{प्रेक्षणों का योग}}{\text{प्रेक्षणों की कुल संख्या}}$.
$\text{माध्य} = \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{n}$.
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\text{माध्य} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
अंश का विस्तार करने पर: $\frac{2n^2+n+2n+1}{6} = \frac{2n^2+3n+1}{6}$.

(A) दिया गया पुनरावृत्ति संबंध $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ है,जहाँ प्रारंभिक मान $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ हैं।
हम क्रमिक रूप से मानों की गणना करते हैं:
$f(3)=f(1)+f(0)=1+0=1$
$f(4)=f(2)+f(1)=2+1=3$
$f(5)=f(3)+f(2)=1+2=3$
$f(6)=f(4)+f(3)=3+1=4$
$f(7)=f(5)+f(4)=3+3=6$
$f(8)=f(6)+f(5)=4+3=7$
$f(9)=f(7)+f(6)=6+4=10$
$f(10)=f(8)+f(7)=7+6=13$

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = (2n-1)(2n+1)(2n+3) = 8n^3 + 12n^2 - 2n - 3$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 8 \sum k^3 + 12 \sum k^2 - 2 \sum k - 3 \sum 1$ है।
$S_n = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - 3n$.
$S_n = n(n+1) [2n^2 + 6n + 1] - 3n$.
$n(n+1)f(n) - 3n$ के साथ तुलना करने पर,$f(n) = 2n^2 + 6n + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(1) = 2(1)^2 + 6(1) + 1 = 9$.

(C) हमारे पास है,$1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4 = f(n) \left(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\right)$.
$f(n) = \frac{1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4}{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}$.
$n=4$ के लिए,$f(4) = \frac{1^4+2^4+3^4+4^4}{1^2+2^2+3^2+4^2}$.
$f(4) = \frac{1+16+81+256}{1+4+9+16}$.
$f(4) = \frac{354}{30}$.
अंश और हर को $6$ से विभाजित करने पर,$f(4) = \frac{59}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग है,जो $T_n = n^2$ है।
हमें प्रथम $10$ पदों का योग ज्ञात करना है: $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_n = \sum_{n=1}^{10} n^2$.
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।
$n=10$ रखने पर: $S_{10} = \frac{10(10+1)(2 \times 10 + 1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6}$.
$S_{10} = \frac{2310}{6} = 385$.

(D) दी गई श्रेणी $S_n = 1 \cdot 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5 \cdot 7 + 5 \cdot 7 \cdot 9 + \dots$ $n$ पदों तक है।
$n=2$ के लिए,योग $S_2 = (1 \cdot 3 \cdot 5) + (3 \cdot 5 \cdot 7) = 15 + 105 = 120$ है।
दिए गए सूत्र के अनुसार,$S_n = n(n+1) f(n)$ है।
$n=2$ रखने पर:
$S_2 = 2(2+1) f(2) = 2(3) f(2) = 6 f(2)$।
दोनों मानों की तुलना करने पर:
$6 f(2) = 120$।
$f(2) = \frac{120}{6} = 20$।

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = r(n-r+1) = nr - r^2 + r$ है।
$r=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \sum_{r=1}^n (nr - r^2 + r) = (n+1) \sum_{r=1}^n r - \sum_{r=1}^n r^2$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = (n+1) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$\frac{n(n+1)}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} [ (n+1) - \frac{2n+1}{3} ] = \frac{n(n+1)}{2} [ \frac{3n+3-2n-1}{3} ] = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
इसे $\alpha n(n+1)(n+2)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया संबंध $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ है,जहाँ $a_0 = 0$ और $a_1 = 1$ है।
अभिलक्षणिक समीकरण $r^2 - r - 1 = 0$ है।
इसके मूल $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
माना $a_n = A\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + B\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ है।
$a_0 = 0$ का उपयोग करने पर,$A + B = 0$,अतः $B = -A$ है।
$a_1 = 1$ का उपयोग करने पर,$A\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) - A\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) = 1$ है।
$A\sqrt{5} = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
अतः $B = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
इस प्रकार,$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ है।

(C) श्रेणी $1^2, 2(2^2), 3^2, 2(4^2), 5^2, 2(6^2), \ldots$ है।
जब $n$ सम है,तो $n = 2m$ लें। योग $S_{2m}$ में $m$ विषम पद और $m$ सम पद हैं।
$S_{2m} = (1^2 + 3^2 + 5^2 + \ldots + (2m-1)^2) + 2(2^2 + 4^2 + 6^2 + \ldots + (2m)^2)$
$= \sum_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + 2 \sum_{k=1}^{m} (2k)^2$
$= \sum_{k=1}^{m} (4k^2 - 4k + 1) + 8 \sum_{k=1}^{m} k^2$
$= 12 \sum_{k=1}^{m} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{m} k + \sum_{k=1}^{m} 1$
$= 12 \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} - 4 \frac{m(m+1)}{2} + m$
$= 2m(m+1)(2m+1) - 2m(m+1) + m$
$= 2m(m+1)(2m+1-1) + m$
$= 2m(m+1)(2m) + m = 4m^2(m+1) + m = m(4m^2 + 4m + 1) = m(2m+1)^2$
चूंकि $n = 2m$,इसलिए $m = n/2$ है।
$m = n/2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S_n = \frac{n}{2}(2(\frac{n}{2}) + 1)^2 = \frac{n}{2}(n+1)^2$.

(B) योग पर विचार करें: $\sum_{k=1}^n k(k+2) = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2k)$.
मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum_{k=1}^n k^2 + 2 \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \frac{n(n+1)}{6} [ (2n+1) + 6 ]$.
$= \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$.

(C) दिया गया है,$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^3$ और $T_n = \sum_{k=1}^{n} k$ है।
हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग $S_n = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ होता है।
$S_n$ के व्यंजक में $T_n$ का मान रखने पर,हमें $S_n = (T_n)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $S_n = T_n^2$ है।

(D) दी गई श्रेणी $S_n = 2^3 + 4^3 + 6^3 + \ldots + (2n)^3$ है।
इसे $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k)^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 8k^3 = 8 \sum_{k=1}^{n} k^3$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ होता है।
अतः,$S_n = 8 \times [\frac{n(n+1)}{2}]^2 = 8 \times \frac{n^2(n+1)^2}{4} = 2n^2(n+1)^2$।
इसे दिए गए व्यंजक $h n^2(n+1)^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $h = 2$ प्राप्त होता है।

(A) योग के पैटर्न का अवलोकन करें:
$S_1 = 1^2 = 1$
$S_2 = 3^2 = 9$
$S_3 = 6^2 = 36$
$S_4 = 10^2 = 100$
$S_5 = 15^2 = 225$
वर्गों के आधार $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$ हैं।
ये त्रिकोणीय संख्याएँ हैं,जो सूत्र $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ द्वारा दी जाती हैं।
$n = 10$ के लिए,आधार $k$ $10$वीं त्रिकोणीय संख्या है:
$k = T_{10} = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
अतः,$S_{10} = 55^2$,इसलिए $k = 55$.

(B) दिया गया योग $S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots - (2n)^2 + (2n+1)^2$ है।
हम पदों को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं:
$S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \dots + ((2n-1)^2 - (2n)^2) + (2n+1)^2$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,प्रत्येक युग्म बनता है:
$(1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + \dots + ((2n-1)-2n)((2n-1)+2n) + (2n+1)^2$.
$S = -1(3) - 1(7) - 1(11) - \dots - 1(4n-1) + (2n+1)^2$.
$S = -(3 + 7 + 11 + \dots + (4n-1)) + (2n+1)^2$.
कोष्ठक के अंदर का योग $n$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है,जिसमें प्रथम पद $a=3$ और अंतिम पद $l=4n-1$ है।
योग $= \frac{n}{2}(3 + 4n - 1) = \frac{n}{2}(4n+2) = n(2n+1)$.
अतः,$S = -n(2n+1) + (2n+1)^2$.
$S = (2n+1)(-n + 2n + 1) = (2n+1)(n+1)$.

(B) दिया गया है,$a_0=1$ और $a_{n+1}=3n^2+n+a_n$।
हम पहले कुछ पद ज्ञात कर सकते हैं:
$a_1 = 3(0)^2 + 0 + a_0 = 1$।
$a_2 = 3(1)^2 + 1 + a_1 = 5$।
$a_3 = 3(2)^2 + 2 + a_2 = 19$।
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$n=0$ के लिए: $a_0 = 0^3 - 0^2 + 1 = 1$।
$n=1$ के लिए: $a_1 = 1^3 - 1^2 + 1 = 1$।
$n=2$ के लिए: $a_2 = 2^3 - 2^2 + 1 = 5$।
$n=3$ के लिए: $a_3 = 3^3 - 3^2 + 1 = 19$।
अतः,$a_n = n^3 - n^2 + 1$ सही व्यंजक है।

(D) हमें व्यंजक $\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ दिया गया है।
सर्वसमिका $\sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = 2^k$ का उपयोग करके,हम आंतरिक योग को सरल बना सकते हैं:
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} \left( \sum_{r=0}^k \binom{k}{r} \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{3^k} = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^k$.
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{2}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{3}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S = \frac{2/3}{1 - 2/3} = \frac{2/3}{1/3} = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{\cos \theta}{2} + \frac{\cos 2 \theta}{4} + \frac{\cos 3 \theta}{8} + \ldots$ है।
यह $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(n\theta)}{2^n}$ के रूप की एक अनंत श्रेणी है।
$r = \frac{1}{2}$ के साथ सूत्र $\sum_{n=0}^{\infty} r^n \cos(n\theta) = \frac{1-r \cos \theta}{1-2r \cos \theta + r^2}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1-\frac{1}{2} \cos \theta}{1-2(\frac{1}{2}) \cos \theta + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1-\frac{1}{2} \cos \theta}{1-\cos \theta + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{2-\cos \theta}{2}}{\frac{5-4 \cos \theta}{4}} = \frac{2(2-\cos \theta)}{5-4 \cos \theta} = \frac{4-2 \cos \theta}{5-4 \cos \theta}$.
इसे $\frac{a-2 \cos \theta}{5+b \cos \theta}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 4$ और $b = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a-b)^2 = (4 - (-4))^2 = (8)^2 = 64$.

(C) दिया गया है $f(1)=3$ और $f(n+1)-f(n)=3(4^n-1)$।
हम इस पुनरावृत्ति को टेलीस्कोपिंग योग के रूप में लिख सकते हैं:
$f(n) = f(1) + \sum_{k=1}^{n-1} (f(k+1)-f(k))$
$f(n) = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 3(4^k-1)$
$f(n) = 3 + 3 \left( \sum_{k=1}^{n-1} 4^k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 \right)$
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र $\sum_{k=1}^{n-1} 4^k = \frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1} = \frac{4^n-4}{3}$ का उपयोग करते हुए:
$f(n) = 3 + 3 \left( \frac{4^n-4}{3} - (n-1) \right)$
$f(n) = 3 + (4^n-4) - 3(n-1)$
$f(n) = 3 + 4^n - 4 - 3n + 3$
$f(n) = 4^n - 3n + 2$

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} (1+a+a^2+\dots+a^{n-1})x^{n-1}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$1+a+a^2+\dots+a^{n-1} = \frac{1-a^n}{1-a}$।
अतः,$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-a^n}{1-a} x^{n-1} = \frac{1}{1-a} \sum_{n=1}^{\infty} (x^{n-1} - a^n x^{n-1})$।
$S = \frac{1}{1-a} \left( \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} - a \sum_{n=1}^{\infty} (ax)^{n-1} \right)$।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}$ का उपयोग करते हुए:
$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1}{1-x} - \frac{a}{1-ax} \right)$।
$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{(1-ax) - a(1-x)}{(1-x)(1-ax)} \right) = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1-ax-a+ax}{(1-x)(1-ax)} \right)$।
$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1-a}{(1-x)(1-ax)} \right) = \frac{1}{(1-x)(1-ax)}$।

(A) श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_{n} = (2n-1)^{3}$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_{n} = 8n^{3} - 12n^{2} + 6n - 1$ प्राप्त होता है।
$n$ पदों का योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} T_{k} = \sum_{k=1}^{n} (8k^{3} - 12k^{2} + 6k - 1)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_{n} = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^{2} - 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - n$.
$S_{n} = 2n^{2}(n+1)^{2} - 2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - n$.
$S_{n} = 2n^{4} + 4n^{3} + 2n^{2} - 4n^{3} - 6n^{2} - 2n + 3n^{2} + 2n$.
$S_{n} = 2n^{4} - n^{2} = n^{2}(2n^{2}-1)$.

(B) हमारे पास $a_n = (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})^n$ और $b_n = n^n(n!)$ है।
$n=1$ के लिए,$a_1 = (1^2)^1 = 1$ और $b_1 = 1^1(1!) = 1$,इसलिए $a_1 = b_1$ है।
$n=2$ के लिए,$a_2 = (1^2+2^2)^2 = 5^2 = 25$ और $b_2 = 2^2(2!) = 4 \times 2 = 8$ है। अतः $a_2 > b_2$ है।
$n=3$ के लिए,$a_3 = (1^2+2^2+3^2)^3 = 14^3 = 2744$ और $b_3 = 3^3(3!) = 27 \times 6 = 162$ है। अतः $a_3 > b_3$ है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यह सिद्ध किया जा सकता है कि सभी $n \geq 2$ के लिए $a_n > b_n$ होता है।

(A) माना $a = \frac{4}{7}$ और $b = \frac{1}{3}$ है।
प्रत्येक पद $\sum_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} = \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b}$ के रूप में है।
श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b} = \frac{1}{a - b} \left[ \sum_{n=1}^{\infty} a^{n+1} - \sum_{n=1}^{\infty} b^{n+1} \right]$ है।
यहाँ $a - b = \frac{4}{7} - \frac{1}{3} = \frac{5}{21}$ है।
योग $= \frac{21}{5} \left[ \frac{a^2}{1 - a} - \frac{b^2}{1 - b} \right] = \frac{21}{5} \left[ \frac{16/49}{3/7} - \frac{1/9}{2/3} \right] = \frac{21}{5} \left[ \frac{16}{21} - \frac{1}{6} \right] = \frac{5}{2}$.

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k^2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
अतः,$T_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^2+3n+1}{6} = \frac{n^2}{3} + \frac{n}{2} + \frac{1}{6}$.
प्रथम $10$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_n = \sum_{n=1}^{10} (\frac{n^2}{3} + \frac{n}{2} + \frac{1}{6})$ की गणना करते हैं।
$S_{10} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{10} n^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{6}$.
$S_{10} = \frac{1}{3} \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right) + \frac{10}{6}$.
$S_{10} = \frac{1}{3} (385) + \frac{55}{2} + \frac{5}{3} = \frac{385+5}{3} + 27.5 = \frac{390}{3} + 27.5 = 130 + 27.5 = 157.5$.
चूंकि $157.5 = \frac{315}{2}$,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(C) सबसे पहले,अनंत गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करके $\alpha$ और $\beta$ के मान ज्ञात करें।
$\alpha$ के लिए: $a = 1/4$,$r = 1/2$,इसलिए $\alpha = \frac{1/4}{1-1/2} = 1/2$.
$\beta$ के लिए: $a = 1/3$,$r = 1/3$,इसलिए $\beta = \frac{1/3}{1-1/3} = 1/2$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $(0.2)^{\log_{\sqrt{5}}(1/2)} + (0.04)^{\log_{5}(1/2)}$.
ध्यान दें कि $0.2 = 5^{-1}$ और $0.04 = 5^{-2}$ है।
प्रथम पद के लिए: $\log_{\sqrt{5}}(1/2) = \frac{\log_5(1/2)}{\log_5(5^{1/2})} = \frac{-\log_5(2)}{1/2} = -2 \log_5(2)$.
अतः,$(5^{-1})^{-2 \log_5(2)} = 5^{2 \log_5(2)} = 5^{\log_5(2^2)} = 2^2 = 4$.
दूसरे पद के लिए: $(5^{-2})^{\log_5(1/2)} = (5^{\log_5(1/2)})^{-2} = (1/2)^{-2} = 2^2 = 4$.
परिणामों का योग: $4 + 4 = 8$.

(B) $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{i=1}^n i^3}{\sum_{i=1}^n (2i-1)}$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{i=1}^n i^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$ और $\sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2$ होता है।
अतः,$T_n = \frac{(\frac{n(n+1)}{2})^2}{n^2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2+2n+1}{4}$।
$8$ पदों का योगफल $S_8 = \sum_{n=1}^8 \frac{n^2+2n+1}{4} = \frac{1}{4} [ \sum_{n=1}^8 n^2 + 2\sum_{n=1}^8 n + \sum_{n=1}^8 1 ]$ है।
सूत्रों $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_8 = \frac{1}{4} [ \frac{8(9)(17)}{6} + 2(\frac{8(9)}{2}) + 8 ] = \frac{1}{4} [ 204 + 72 + 8 ] = \frac{284}{4} = 71$।

(B) माना श्रेणी $S = 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + \dots + 15^3$ है।
हम पदों को $S = (1^3 + 3^3 + \dots + 15^3) - (2^3 + 4^3 + \dots + 14^3)$ के रूप में समूहित कर सकते हैं।
विषम घनों का योग $\sum_{k=1}^8 (2k-1)^3 = \sum_{k=1}^8 (8k^3 - 12k^2 + 6k - 1)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sum_{k=1}^8 k^3 = [8(9)/2]^2 = 36^2 = 1296$.
$\sum_{k=1}^8 k^2 = 8(9)(17)/6 = 204$.
$\sum_{k=1}^8 k = 8(9)/2 = 36$.
विषम घनों का योग $= 8(1296) - 12(204) + 6(36) - 8 = 10368 - 2448 + 216 - 8 = 8128$.
सम घनों का योग $\sum_{k=1}^7 (2k)^3 = 8 \sum_{k=1}^7 k^3 = 8 [7(8)/2]^2 = 8(28^2) = 8(784) = 6272$.
अतः,$S = 8128 - 6272 = 1856$।

(A) दिया गया है $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = 6n^3$।
हम जानते हैं कि $n > 1$ के लिए $a_n = S_n - S_{n-1}$ होता है।
$a_n = 6n^3 - 6(n-1)^3 = 6(n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1)) = 6(3n^2 - 3n + 1) = 18n^2 - 18n + 6$।
अब,$a_{k+1} - a_k$ की गणना करें:
$a_{k+1} - a_k = [18(k+1)^2 - 18(k+1) + 6] - [18k^2 - 18k + 6]$
$= 18(k^2 + 2k + 1 - k^2) - 18(k + 1 - k) = 18(2k + 1) - 18 = 36k$।
इस मान को दी गई अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:
$\sum_{k=1}^{6} \left(\frac{36k}{36}\right)^2 = \sum_{k=1}^{6} k^2$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर।
$n=6$ के लिए,$\sum_{k=1}^{6} k^2 = \frac{6(6+1)(2 \cdot 6 + 1)}{6} = 7 \cdot 13 = 91$।