श्रेणी के प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए: 3+ | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $3+7+13+21+31+\ldots$ है।माना $a_n$ श्रेणी का $n$ वां पद है।क्रमागत पदों के बीच का अंतर $4, 6, 8, 10, \ldots$ है,जो एक समांतर श्रेणी

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$\frac{n}{3}(n^2+3n+5)$

Vedclass · Answer

(A) दी गई श्रेणी $3+7+13+21+31+\ldots$ है।माना $a_n$ श्रेणी का $n$ वां पद है।क्रमागत पदों के बीच का अंतर $4, 6, 8, 10, \ldots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाता है।अतः,$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4 + (k-1)2) = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) = 3 + 2\frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1) = 3 + n^2 - n + 2n - 2 = n^2 + n + 1$.अब,प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + k + 1)$ है।$S_n = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$.$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} + n$.$S_n = \frac{n}{6} [ (n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 6 ]$.$S_n = \frac{n}{6} [ 2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 + 6 ]$.$S_n = \frac{n}{6} [ 2n^2 + 6n + 10 ]$.$S_n = \frac{n}{3} [ n^2 + 3n + 5 ]$.

श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए: $3+7+13+21+31+\ldots$

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