श्रेणी 3 times 1^{2} + 5 times 2^{2} + 7 time | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $n$ वां पद $a_{n} = (2n+1)n^{2} = 2n^{3} + n^{2}$ है।$n$ पदों का योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} = \sum_{k=1}^{n} (2k^{3} + k^{2})$ है

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n(n+1)(3n^{2}+5n+1)}{6}$

Vedclass · Answer

(A) श्रेणी का $n$ वां पद $a_{n} = (2n+1)n^{2} = 2n^{3} + n^{2}$ है।$n$ पदों का योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} = \sum_{k=1}^{n} (2k^{3} + k^{2})$ है।$S_{n} = 2 \sum_{k=1}^{n} k^{3} + \sum_{k=1}^{n} k^{2}$ है।सूत्रों $\sum k^{3} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2}$ और $\sum k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:$S_{n} = 2 [\frac{n(n+1)}{2}]^{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।$S_{n} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।$S_{n} = \frac{n(n+1)}{2} [n(n+1) + \frac{2n+1}{3}]$ है।$S_{n} = \frac{n(n+1)}{2} [\frac{3n^{2} + 3n + 2n + 1}{3}]$ है।$S_{n} = \frac{n(n+1)(3n^{2} + 5n + 1)}{6}$ है।

श्रेणी $3 \times 1^{2} + 5 \times 2^{2} + 7 \times 3^{2} + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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