અનંત શ્રેણી 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + dots નો સ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે સરવાળો $S = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ છ

Vedclass · Accepted Answer

$(1 + x) / (1 - x)^3$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે સરવાળો $S = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ છે,જ્યાં $|x| બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ મળે. $x$ વડે ગુણતા,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ મળે. ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1-x)^2} \right) = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ મળે. આમ,શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ થાય.

અનંત શ્રેણી $1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

Similar Questions

$(1^2-1+1)(1!) + (2^2-2+1)(2!) + \ldots + (n^2-n+1)(n!)$ નો સરવાળો શું થાય?

અનંત શ્રેણી $1+\frac{5}{6}+\frac{12}{6^{2}}+\frac{22}{6^{3}}+\frac{35}{6^{4}}+\frac{51}{6^{5}}+\frac{70}{6^{6}}+\ldots$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

જેનું $n^{th}$ પદ $a_{n} = n(n+2)$ હોય તેવી શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદો લખો.

ધારો કે $S_{k} = \frac{1+2+\ldots+k}{k}$ અને $\sum_{j=1}^n S_j^2 = \frac{n}{A}(Bn^2 + Cn + D)$,જ્યાં $A, B, C, D \in \mathbb{N}$ અને $A$ નું મૂલ્ય ન્યૂનતમ છે. તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module