nth term of special series, Sum to n terms and Infinite number of terms Questions in Gujarati

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}$,$\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$,અને $\sum_{n=1}^{k} n^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$.
આપેલ સરવાળો $\frac{1}{4} \sum_{n=1}^{7} (2n^3 + 3n^2 + n)$ છે.
$k=7$ માટે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{7} n = \frac{7 \times 8}{2} = 28$.
$\sum_{n=1}^{7} n^2 = \frac{7 \times 8 \times 15}{6} = 140$.
$\sum_{n=1}^{7} n^3 = (28)^2 = 784$.
આ કિંમતો મૂકતા:
સરવાળો $= \frac{1}{4} [2(784) + 3(140) + 28] = \frac{1}{4} [1568 + 420 + 28] = \frac{2016}{4} = 504$.

(C) સરવાળો $\sum_{k=1}^{20} \frac{k(k+1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$1+2+\ldots+k = \frac{k(k+1)}{2}$.
આપણે $\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{20} (k^2 + k)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$n=20$ માટે સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(21)(41)}{6} = 2870$.
$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20(21)}{2} = 210$.
તેથી,કુલ સરવાળો $\frac{1}{2} (2870 + 210) = \frac{1}{2} (3080) = 1540$ થાય.

(A) $20$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે આપેલ સૂત્રમાં $n = 20$ મૂકીએ છીએ:
$a_{20} = (20-1)(2-20)(3+20)$
$a_{20} = (19) \times (-18) \times (23)$
$a_{20} = -342 \times 23$
$a_{20} = -7866$

(A) આપેલ છે કે $n^{th}$ પદ $a_{n} = n(n+2)$ છે.
$n = 1, 2, 3, 4, 5$ મૂકતા:
$n = 1$ માટે: $a_{1} = 1(1+2) = 3$
$n = 2$ માટે: $a_{2} = 2(2+2) = 8$
$n = 3$ માટે: $a_{3} = 3(3+2) = 15$
$n = 4$ માટે: $a_{4} = 4(4+2) = 24$
$n = 5$ માટે: $a_{5} = 5(5+2) = 35$
આમ,પ્રથમ પાંચ પદો $3, 8, 15, 24, 35$ છે.

(A) આપેલ $n^{th}$ પદ $a_{n} = \frac{n}{n+1}$ છે.
$n = 1, 2, 3, 4, 5$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$
$a_{2} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$
$a_{3} = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$
$a_{4} = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$
$a_{5} = \frac{5}{5+1} = \frac{5}{6}$
તેથી,પ્રથમ પાંચ પદો $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}$ છે.

(A) પ્રથમ પાંચ પદ શોધવા માટે,આપણે $n = 1, 2, 3, 4, 5$ ને સૂત્ર $a_{n} = n \frac{n^{2}+5}{4}$ માં મૂકીએ છીએ.
$n=1$ માટે: $a_{1} = 1 \cdot \frac{1^{2}+5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
$n=2$ માટે: $a_{2} = 2 \cdot \frac{2^{2}+5}{4} = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$.
$n=3$ માટે: $a_{3} = 3 \cdot \frac{3^{2}+5}{4} = 3 \cdot \frac{14}{4} = \frac{42}{4} = \frac{21}{2}$.
$n=4$ માટે: $a_{4} = 4 \cdot \frac{4^{2}+5}{4} = 4 \cdot \frac{21}{4} = 21$.
$n=5$ માટે: $a_{5} = 5 \cdot \frac{5^{2}+5}{4} = 5 \cdot \frac{30}{4} = \frac{150}{4} = \frac{75}{2}$.
આમ,પ્રથમ પાંચ પદ $\frac{3}{2}, \frac{9}{2}, \frac{21}{2}, 21, \frac{75}{2}$ છે.

(A) શ્રેણીનું $n$મું પદ $a_{n} = (-1)^{n-1} n^{3}$ છે.
$9$મું પદ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 9$ મૂકીએ છીએ:
$a_{9} = (-1)^{9-1} (9)^{3}$
$a_{9} = (-1)^{8} (729)$
કારણ કે $(-1)^{8} = 1$,તેથી:
$a_{9} = 1 \times 729 = 729$.

(A) $20$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે $n$ માં પદના આપેલા સૂત્રમાં $n = 20$ મૂકીએ છીએ:
$a_{n} = \frac{n(n-2)}{n+3}$
$n = 20$ મૂકતા:
$a_{20} = \frac{20(20-2)}{20+3}$
$a_{20} = \frac{20(18)}{23}$
$a_{20} = \frac{360}{23}$

(A) આપેલ છે કે $a_1 = 1, a_2 = 1$ અને $n > 2$ માટે $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$.
પ્રથમ થોડા પદોની ગણતરી:
$a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2$
$a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3$
$a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5$
$a_6 = a_5 + a_4 = 5 + 3 = 8$
હવે,$n = 1, 2, 3, 4, 5$ માટે ગુણોત્તર $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ ની ગણતરી:
$n = 1$ માટે: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{1} = 1$
$n = 2$ માટે: $\frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$
$n = 3$ માટે: $\frac{a_4}{a_3} = \frac{3}{2}$
$n = 4$ માટે: $\frac{a_5}{a_4} = \frac{5}{3}$
$n = 5$ માટે: $\frac{a_6}{a_5} = \frac{8}{5}$
આમ,ગુણોત્તરની શ્રેણી $1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}$ છે.

(A) ધારો કે સરવાળો $S_n = 7 + 77 + 777 + 7777 + \ldots$ $n$ પદો સુધી છે.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$S_n = \frac{7}{9} [9 + 99 + 999 + 9999 + \ldots n \text{ પદો સુધી}]$
$S_n = \frac{7}{9} [(10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \ldots + (10^n - 1)]$
$S_n = \frac{7}{9} [(10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \ldots + 1 n \text{ પદો સુધી})]$
પ્રથમ ભાગ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 10$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 10$ છે.
સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{7}{9} [\frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n]$
$S_n = \frac{7}{9} [\frac{10(10^n - 1)}{9} - n]$
$S_n = \frac{7}{81} [10(10^n - 1) - 9n]$

(B) આપેલ શ્રેણી $8, 88, 888, 8888, \ldots$ $n$ પદો સુધી છે.
ધારો કે $S_n = 8 + 88 + 888 + 8888 + \ldots$ $n$ પદો સુધી.
$S_n = 8(1 + 11 + 111 + 1111 + \ldots n \text{ પદો સુધી})$.
$S_n = \frac{8}{9}(9 + 99 + 999 + 9999 + \ldots n \text{ પદો સુધી})$.
$S_n = \frac{8}{9}[(10-1) + (10^2-1) + (10^3-1) + \ldots + (10^n-1)]$.
$S_n = \frac{8}{9}[(10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \ldots + 1, n \text{ વખત})]$.
ભૌમિતિક શ્રેણી $10 + 10^2 + \ldots + 10^n$ નો સરવાળો $\frac{10(10^n-1)}{10-1} = \frac{10}{9}(10^n-1)$ થાય.
તેથી,$S_n = \frac{8}{9} [\frac{10}{9}(10^n-1) - n]$.
$S_n = \frac{80}{81}(10^n-1) - \frac{8}{9}n$.

(D) ધારો કે $n$ મું પદ $a_n$ છે. શ્રેણી $5, 11, 19, 29, 41, \ldots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $6, 8, 10, 12, \ldots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
તેથી,$a_n = n^2 + 3n + 1$.
હવે,$S_n = \sum_{k=1}^n (k^2 + 3k + 1) = \sum_{k=1}^n k^2 + 3\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$.
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+2)(n+4)}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $n$-મું પદ $a_n = n(n+3) = n^2 + 3n$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + 3k)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \times \frac{n(n+1)}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} + 3 \right] = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1+9}{3} \right] = \frac{n(n+1)(2n+10)}{6}$.
$S_n = \frac{n(n+1) \times 2(n+5)}{6} = \frac{n(n+1)(n+5)}{3}$.

(A) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $a_n = n(n+1) = n^2 + n$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n (k^2 + k)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$
$\frac{n(n+1)}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+1}{3} + 1 \right) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(A) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $a_{n} = (2n+1)n^{2} = 2n^{3} + n^{2}$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} = \sum_{k=1}^{n} (2k^{3} + k^{2})$.
$S_{n} = 2 \sum_{k=1}^{n} k^{3} + \sum_{k=1}^{n} k^{2}$.
સૂત્રો $\sum k^{3} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2}$ અને $\sum k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{n} = 2 [\frac{n(n+1)}{2}]^{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$S_{n} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$S_{n} = \frac{n(n+1)}{2} [n(n+1) + \frac{2n+1}{3}]$.
$S_{n} = \frac{n(n+1)}{2} [\frac{3n^{2} + 3n + 2n + 1}{3}]$.
$S_{n} = \frac{n(n+1)(3n^{2} + 5n + 1)}{6}$.

(A) આપેલ શ્રેણી $5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + \ldots + 20^{2}$ છે.
આને બે વર્ગોના સરવાળાના તફાવત તરીકે લખી શકાય: $\sum_{k=1}^{20} k^{2} - \sum_{k=1}^{4} k^{2}$.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n=20$ માટે: $\sum_{k=1}^{20} k^{2} = \frac{20(21)(41)}{6} = 2870$.
$n=4$ માટે: $\sum_{k=1}^{4} k^{2} = \frac{4(5)(9)}{6} = 30$.
તેથી,સરવાળો $2870 - 30 = 2840$ થાય.

(C) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $a_n$ એ બે શ્રેણીઓ $(3, 6, 9, \dots)$ અને $(8, 11, 14, \dots)$ ના $n$ માં પદોનો ગુણાકાર છે.
$a_n = (3n) \times (3n + 5) = 9n^2 + 15n$.
સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ શોધવા માટે:
$S_n = \sum_{k=1}^n (9k^2 + 15k) = 9 \sum_{k=1}^n k^2 + 15 \sum_{k=1}^n k$.
પ્રમાણિત સૂત્રો $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 9 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 15 \times \frac{n(n+1)}{2}$.
$S_n = \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{15n(n+1)}{2}$.
$S_n = \frac{3n(n+1)}{2} (2n + 1 + 5) = \frac{3n(n+1)}{2} (2n + 6)$.
$S_n = 3n(n+1)(n+3)$.

(A) શ્રેણીનું $k$-મું પદ $a_{k} = \sum_{i=1}^{k} i^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$a_{k} = \frac{2k^{3} + 3k^{2} + k}{6} = \frac{1}{3}k^{3} + \frac{1}{2}k^{2} + \frac{1}{6}k$ મળે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{3}k^{3} + \frac{1}{2}k^{2} + \frac{1}{6}k)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum k^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$,$\sum k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,અને $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{12}$ સામાન્ય લેતા:
$S_{n} = \frac{n(n+1)}{12} [n(n+1) + (2n+1) + 1] = \frac{n(n+1)}{12} [n^{2} + n + 2n + 2] = \frac{n(n+1)}{12} [n(n+1) + 2(n+1)]$.
$S_{n} = \frac{n(n+1)(n+1)(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)^{2}(n+2)}{12}$.

(A) $a_n = n(n+1)(n+4) = n(n^2 + 5n + 4) = n^3 + 5n^2 + 4n$
$\therefore S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n k^3 + 5\sum_{k=1}^n k^2 + 4\sum_{k=1}^n k$
$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{5n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{4n(n+1)}{2}$
$= \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n(n+1)}{2} + \frac{5(2n+1)}{3} + 4 \right]$
$= \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{3n^2 + 3n + 20n + 10 + 24}{6} \right]$
$= \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{3n^2 + 23n + 34}{6} \right]$
$= \frac{n(n+1)(3n^2 + 23n + 34)}{12}$

(A) આપેલ $n^{th}$ પદ $a_n = n^2 + 2^n$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2^k)$ છે.
આને બે અલગ સરવાળામાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $S_n = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n 2^k$.
પ્રથમ $n$ વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બીજો ભાગ એક ભૌમિતિક શ્રેણી $(G.P.)$ છે: $\sum_{k=1}^n 2^k = 2^1 + 2^2 + \dots + 2^n$.
પ્રથમ પદ $a=2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=2$ સાથે $G.P.$ ના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$ મળે છે.
આ બંનેને જોડતા,$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2(2^n - 1)$.

(A) $n^{th}$ પદ $a_n = (2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1)$ છે.
સરવાળાના સૂત્રો $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$,અને $\sum 1 = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] + n$
$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$
$S_n = n \left[ \frac{2(2n^2+3n+1) - 6(n+1) + 3}{3} \right]$
$S_n = n \left[ \frac{4n^2 + 6n + 2 - 6n - 6 + 3}{3} \right]$
$S_n = n \left[ \frac{4n^2 - 1}{3} \right] = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$.

(B) ધારો કે $S_n = 5 + 55 + 555 + \ldots$ $n$ પદો સુધી.
$S_n = 5(1 + 11 + 111 + \ldots \text{ to } n \text{ terms})$
$S_n = \frac{5}{9}(9 + 99 + 999 + \ldots \text{ to } n \text{ terms})$
$S_n = \frac{5}{9}((10-1) + (10^2-1) + (10^3-1) + \ldots + (10^n-1))$
$S_n = \frac{5}{9}((10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \ldots + 1))$
ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $a(r^n-1)/(r-1)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=10$ અને $r=10$:
$S_n = \frac{5}{9}\left(\frac{10(10^n-1)}{10-1} - n\right)$
$S_n = \frac{5}{9}\left(\frac{10(10^n-1)}{9} - n\right)$
$S_n = \frac{50}{81}(10^n-1) - \frac{5n}{9}$

(A) $S_n = 0.6 + 0.66 + 0.666 + \dots$ $n$ પદો સુધી.
$S_n = 6 [0.1 + 0.11 + 0.111 + \dots \text{ } n \text{ પદો સુધી}]$
$S_n = \frac{6}{9} [0.9 + 0.99 + 0.999 + \dots \text{ } n \text{ પદો સુધી}]$
$S_n = \frac{2}{3} [(1 - 0.1) + (1 - 0.01) + (1 - 0.001) + \dots \text{ } n \text{ પદો સુધી}]$
$S_n = \frac{2}{3} [n - (0.1 + 0.01 + 0.001 + \dots \text{ } n \text{ પદો સુધી})]$
કૌંસમાં રહેલ પદ એ $a = 0.1$ અને $r = 0.1$ સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
$S_n = \frac{2}{3} [n - \frac{0.1(1 - (0.1)^n)}{1 - 0.1}]$
$S_n = \frac{2}{3} [n - \frac{0.1(1 - 10^{-n})}{0.9}]$
$S_n = \frac{2}{3} [n - \frac{1}{9}(1 - 10^{-n})]$
$S_n = \frac{2}{3} n - \frac{2}{27}(1 - 10^{-n})$

(A) આપેલી શ્રેણી $2 \times 4 + 4 \times 6 + 6 \times 8 + \dots$ $n$ પદ સુધી છે.
શ્રેણીનું $n$ મું પદ $a_n = (2n) \times (2n + 2)$ દ્વારા મળે છે.
$a_n = 4n^2 + 4n$.
$20$ મું પદ શોધવા માટે,$n = 20$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_{20} = 4(20)^2 + 4(20)$.
$a_{20} = 4(400) + 80$.
$a_{20} = 1600 + 80 = 1680$.
આમ,શ્રેણીનું $20$ મું પદ $1680$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $3+7+13+21+31+\ldots$ છે.
ધારો કે $a_n$ એ શ્રેણીનું $n$ મું પદ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $4, 6, 8, 10, \ldots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આમ,$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4 + (k-1)2) = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) = 3 + 2\frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1) = 3 + n^2 - n + 2n - 2 = n^2 + n + 1$.
હવે,પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + k + 1)$ છે.
$S_n = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$.
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} + n$.
$S_n = \frac{n}{6} [ (n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 6 ]$.
$S_n = \frac{n}{6} [ 2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 + 6 ]$.
$S_n = \frac{n}{6} [ 2n^2 + 6n + 10 ]$.
$S_n = \frac{n}{3} [ n^2 + 3n + 5 ]$.

(N/A) આપેલ માહિતી મુજબ:
$S_{1} = \frac{n(n+1)}{2}$
$S_{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$S_{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$
જમણી બાજુ $(RHS)$ લેતા: $S_{3}(1 + 8 S_{1})$
$= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} \left(1 + 8 \cdot \frac{n(n+1)}{2}\right)$
$= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} (1 + 4n^{2} + 4n)$
$= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} (2n+1)^{2}$
$= \frac{[n(n+1)(2n+1)]^{2}}{4} \quad \dots (1)$
ડાબી બાજુ $(LHS)$ લેતા: $9 S_{2}^{2}$
$= 9 \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)^{2}$
$= \frac{9}{36} [n(n+1)(2n+1)]^{2}$
$= \frac{[n(n+1)(2n+1)]^{2}}{4} \quad \dots (2)$
આમ,$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$9 S_{2}^{2} = S_{3}(1 + 8 S_{1})$ સાબિત થાય છે.

આપેલ શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ
$a_n = \frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}}{1+3+5+\ldots+(2 n-1)} = \frac{[\frac{n(n+1)}{2}]^{2}}{n^2}$
અહીં $1+3+5+\ldots+(2 n-1)$ એ $n$ પદો ધરાવતી $A.P.$ છે,તેથી તેનો સરવાળો $n^2$ થાય.
$a_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{1}{4}(n^2 + 2n + 1)$
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n (k^2 + 2k + 1)$
$S_n = \frac{1}{4} [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \frac{n(n+1)}{2} + n]$
$S_n = \frac{1}{4} [\frac{n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1) + 6n}{6}]$
$S_n = \frac{n}{24} [2n^2 + 3n + 1 + 6n + 6 + 6] = \frac{n(2n^2 + 9n + 13)}{24}$

અંશનું $n$-મું પદ $= n(n+1)^{2} = n^{3}+2n^{2}+n$
છેદનું $n$-મું પદ $= n^{2}(n+1) = n^{3}+n^{2}$
ધારો કે $S_N = \sum_{k=1}^{n} (k^{3}+2k^{2}+k)$ અને $S_D = \sum_{k=1}^{n} (k^{3}+k^{2})$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum k^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$,$\sum k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$.
$S_N = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} + 2 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{12} [3n(n+1) + 4(2n+1) + 6] = \frac{n(n+1)}{12} [3n^{2}+11n+10] = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$.
$S_D = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)}{12} [3n(n+1) + 2(2n+1)] = \frac{n(n+1)}{12} [3n^{2}+7n+2] = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$.
$S_N$ ને $S_D$ વડે ભાગતા:
$\frac{S_N}{S_D} = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{n(n+1)(n+2)(3n+1)} = \frac{3n+5}{3n+1}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} (1 - (2n)^2(2n-1))$ છે.
આને $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} 1 - \sum_{n=1}^{10} (4n^2)(2n-1)$ તરીકે લખી શકાય.
$S = 1 + 10 - 4 \sum_{n=1}^{10} (2n^3 - n^2)$.
$S = 11 - 4 [2 \sum_{n=1}^{10} n^3 - \sum_{n=1}^{10} n^2]$.
સૂત્રો $\sum n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ અને $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 11 - 4 [2 \cdot (55)^2 - \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6}]$.
$S = 11 - 4 [2 \cdot 3025 - 385] = 11 - 4 [6050 - 385] = 11 - 4 [5665]$.
$S = 11 - 22660 = 11 - 220(103)$.
$\alpha - 220 \beta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 11$ અને $\beta = 103$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(11, 103)$ છે.

(B) ધારો કે સરવાળો $S = \sum_{k=0}^{99} (100-k)(100+k)$ છે.
$S = \sum_{k=0}^{99} (100^2 - k^2) = \sum_{k=0}^{99} 100^2 - \sum_{k=0}^{99} k^2$.
અહીં $100$ પદો છે ($k=0$ થી $99$ સુધી):
$S = 100(100^2) - \frac{99(99+1)(2 \times 99 + 1)}{6} = 100^3 - \frac{99 \times 100 \times 199}{6}$.
$S = 1000000 - 33 \times 50 \times 199 = 1000000 - 328350 = 671650$.
આપેલ છે કે $100^{\alpha} - 199\beta = 671650$.
જો $\alpha = 3$ લઈએ,તો $100^3 - 199\beta = 671650 \implies 1000000 - 671650 = 199\beta$.
$328350 = 199\beta \implies \beta = \frac{328350}{199} = 1650$.
આમ,બિંદુ $(3, 1650)$ મળે છે.
$(3, 1650)$ અને $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{1650 - 0}{3 - 0} = 550$ થાય.

(C) સરવાળાની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકાય:
$r^3 + 6r^2 + 2r + 5 = (r+1)(r+2)(r+3) - 9(r+1) + 8$.
તેથી,સરવાળો આ મુજબ થશે:
$\sum_{r=1}^{10} [(r+3)! - 9(r+1)! + 8r!]$.
આને વિસ્તૃત કરતા:
$= (13! + 12! - 2! - 3!) - 8(11! - 1!)$.
$= (156 + 12 - 8) \times 11!$.
$= 160 \times 11!$.
તેથી,$\alpha = 160$.

(D) આપેલ છે કે $x = \sum_{n=0}^{\infty} (\cos^2 \theta)^n = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}$ $\Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{1}{x}$.
તે જ રીતે,$y = \sum_{n=0}^{\infty} (\sin^2 \phi)^n = \frac{1}{1 - \sin^2 \phi} = \frac{1}{\cos^2 \phi}$ $\Rightarrow \cos^2 \phi = \frac{1}{y}$.
અને $z = \sum_{n=0}^{\infty} (\cos^2 \theta \sin^2 \phi)^n = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta \sin^2 \phi}$ $\Rightarrow 1 - \cos^2 \theta \sin^2 \phi = \frac{1}{z}$.
કારણ કે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$ અને $\sin^2 \phi = 1 - \cos^2 \phi = 1 - \frac{1}{y} = \frac{y-1}{y}$,તેથી:
$1 - \left(\frac{x-1}{x}\right) \left(\frac{y-1}{y}\right) = \frac{1}{z}$.
$1 - \frac{xy - x - y + 1}{xy} = \frac{1}{z}$ $\Rightarrow \frac{xy - xy + x + y - 1}{xy} = \frac{1}{z}$ $\Rightarrow \frac{x + y - 1}{xy} = \frac{1}{z}$.
$z(x + y - 1) = xy$ $\Rightarrow z(x + y) - z = xy$ $\Rightarrow xy + z = z(x + y)$.

(A) ધારો કે સરવાળો $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{7}{3^{2}} + \frac{12}{3^{3}} + \frac{17}{3^{4}} + \frac{22}{3^{5}} + \ldots$ છે.
$\frac{1}{3}$ વડે ગુણતા: $\frac{S}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{7}{3^{3}} + \frac{12}{3^{4}} + \frac{17}{3^{5}} + \ldots$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S - \frac{S}{3} = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{7}{3^{2}} - \frac{2}{3^{2}}) + (\frac{12}{3^{3}} - \frac{7}{3^{3}}) + \ldots$
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{5}{3^{2}} + \frac{5}{3^{3}} + \frac{5}{3^{4}} + \ldots$
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{\frac{5}{3^{2}}}{1 - \frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{5}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{4}{3} + \frac{5}{6} = \frac{13}{6}$
$S = \frac{13}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{13}{4}$

(D) આપેલ શ્રેણી $n = 1, 2, \ldots, 10$ માટે $T_n = (3n+4)(2n+6)$ છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $T_n = 6n^2 + 18n + 8n + 24 = 6n^2 + 26n + 24$.
પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} (6n^2 + 26n + 24)$ છે.
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_{10} = 6 \sum_{n=1}^{10} n^2 + 26 \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} 24$.
$S_{10} = 6 \left( \frac{10(11)(21)}{6} \right) + 26 \left( \frac{10(11)}{2} \right) + 24(10)$.
$S_{10} = 2310 + 1430 + 240 = 3980$.
મધ્યક $\frac{S_{10}}{10} = \frac{3980}{10} = 398$ છે.

(B) ધારો કે $P = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}}$.
આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ $a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_{n}$ છે.
$8^{n+2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = \frac{2a_{n+1}}{8^{n+2}} + \frac{a_{n}}{8^{n+2}}$.
$n=1$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = \frac{2}{8} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{8^{n+1}} + \frac{1}{64} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}}$.
ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}} = P$. તો $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{8^{n+1}} = P - \frac{a_{1}}{8} = P - \frac{1}{8}$.
અને $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = P - \frac{a_{1}}{8} - \frac{a_{2}}{64} = P - \frac{1}{8} - \frac{1}{64}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P - \frac{1}{8} - \frac{1}{64} = \frac{1}{4}(P - \frac{1}{8}) + \frac{1}{64}P$.
$64$ વડે ગુણતા:
$64P - 8 - 1 = 16(P - \frac{1}{8}) + P$.
$64P - 9 = 16P - 2 + P$.
$64P - 9 = 17P - 2$.
$47P = 7$.

(B) ધારો કે $S = \sum_{n=8}^{100} \left[ \frac{(-1)^{n} n}{2} \right]$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = \left[ \frac{8}{2} \right] + \left[ \frac{-9}{2} \right] + \left[ \frac{10}{2} \right] + \left[ \frac{-11}{2} \right] + \dots + \left[ \frac{-99}{2} \right] + \left[ \frac{100}{2} \right]$.
$[x]$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$S = 4 + [-4.5] + 5 + [-5.5] + 6 + [-6.5] + \dots + [-49.5] + 50$.
$S = 4 + (-5) + 5 + (-6) + 6 + (-7) + \dots + (-50) + 50$.
અહીં પદો જોડીમાં ઉડી જાય છે: $(-5+5) + (-6+6) + \dots + (-50+50) = 0$.
તેથી,$S = 4 + 0 = 4$.

(B) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $a_n = \frac{3^n - 2^n}{3^n} = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$ છે.
પ્રથમ $100$ પદોનો સરવાળો $S_{100} = \sum_{n=1}^{100} \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right)$ છે.
$S_{100} = \sum_{n=1}^{100} 1 - \sum_{n=1}^{100} \left(\frac{2}{3}\right)^n$.
$S_{100} = 100 - \left[ \frac{2}{3} \frac{(1 - (2/3)^{100})}{1 - 2/3} \right]$.
$S_{100} = 100 - 2 \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{100}\right) = 100 - 2 + 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100} = 98 + 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100}$.
કારણ કે $0 < 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100} < 1$,તેથી $S_{100}$ ની કિંમત $98$ અને $99$ ની વચ્ચે છે.
તેથી,$S_{100}$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $[S_{100}] = 98$ છે.

(C) એકી $n$ માટે,$3+(-1)^n = 3-1 = 2$. બેકી $n$ માટે,$3+(-1)^n = 3+1 = 4$.
$A = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^{2k}} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} + \dots) + (\frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^4} + \dots)$
$A = \frac{1/2}{1-1/4} + \frac{1/16}{1-1/16} = \frac{1/2}{3/4} + \frac{1/16}{15/16} = \frac{2}{3} + \frac{1}{15} = \frac{10+1}{15} = \frac{11}{15}$.
$B = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{2^{2k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^{2k}} = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2^3} - \dots) + (\frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^4} + \dots)$
$B = \frac{-1/2}{1-1/4} + \frac{1/16}{1-1/16} = -\frac{2}{3} + \frac{1}{15} = \frac{-10+1}{15} = -\frac{9}{15} = -\frac{3}{5}$.
$\frac{A}{B} = \frac{11/15}{-9/15} = -\frac{11}{9}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓ $i$ અને $j$ માટે,$\min \{i, j\} + \max \{i, j\} = i + j$ થાય.
તેથી,$A + B = \sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} (\min \{i, j\} + \max \{i, j\}) = \sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} (i + j)$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $A + B = \sum_{i=1}^{10} (\sum_{j=1}^{10} i + \sum_{j=1}^{10} j) = \sum_{i=1}^{10} (10i + \frac{10 \times 11}{2}) = \sum_{i=1}^{10} (10i + 55)$.
$A + B = 10 \sum_{i=1}^{10} i + \sum_{i=1}^{10} 55 = 10 \times \frac{10 \times 11}{2} + 10 \times 55$.
$A + B = 10 \times 55 + 550 = 550 + 550 = 1100$.

(C) ધારો કે $S = 1 + \frac{5}{6} + \frac{12}{6^{2}} + \frac{22}{6^{3}} + \frac{35}{6^{4}} + \ldots$
$\frac{1}{6}S = \frac{1}{6} + \frac{5}{6^{2}} + \frac{12}{6^{3}} + \frac{22}{6^{4}} + \ldots$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$\frac{5}{6}S = 1 + \frac{4}{6} + \frac{7}{6^{2}} + \frac{10}{6^{3}} + \frac{13}{6^{4}} + \ldots$
$\frac{5}{36}S = \frac{1}{6} + \frac{4}{6^{2}} + \frac{7}{6^{3}} + \frac{10}{6^{4}} + \ldots$
ફરીથી બાદબાકી કરતા:
$(\frac{5}{6} - \frac{5}{36})S = 1 + \frac{3}{6} + \frac{3}{6^{2}} + \frac{3}{6^{3}} + \ldots$
$\frac{25}{36}S = 1 + \frac{\frac{3}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = 1 + \frac{3}{6} \times \frac{6}{5} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$
$S = \frac{8}{5} \times \frac{36}{25} = \frac{288}{125}$

(B) આપેલ સંબંધ $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=1$ છે,જ્યાં $a_{0}=0, a_{1}=0$.
શરૂઆતના પદો: $a_{2}=1, a_{3}=3, a_{4}=6$.
સામાન્ય પદ $a_{n}=\frac{n(n-1)}{2}$ છે.
ધારો કે $S=\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{2 \cdot 7^{n}}$.
શ્રેણીના સરવાળાની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{7^{2}} + \frac{3}{7^{3}} + \frac{6}{7^{4}} + \dots$
$\frac{6}{7}S = \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{(1-1/7)^{2}} = \frac{1}{36}$.
તેથી,$S = \frac{7}{216}$.

(C) આપેલ છે કે $a_{1}=1$ અને $a_{n}=a_{n-1}+2$,જે પ્રથમ પદ $1$ અને સામાન્ય તફાવત $2$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. તેથી,$a_{n} = 2n-1$.
આપેલ છે કે $b_{1}=1$ અને $b_{n}=a_{n}+b_{n-1}$,તેથી $b_{n} = (2n-1) + b_{n-1}$.
પ્રથમ થોડા પદોની ગણતરી કરતા: $b_{1}=1$,$b_{2}=4$,$b_{3}=9$,$b_{4}=16$. આથી $b_{n} = n^{2}$.
આપણે $\sum_{n=1}^{15} a_{n} b_{n} = \sum_{n=1}^{15} (2n^{3}-n^{2})$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$N=15$ માટે:
$2 \times \frac{15^{2} \times 16^{2}}{4} - \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = 28800 - 1240 = 27560$.

(C) ધારો કે $n$-મું પદ $T_n$ છે. $n$-મા પદનો અંશ $S_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} k^3 = 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + \ldots + (2n)^3$ છે.
આને $S_n = \sum_{k=1}^{n} ((2k)^3 - (2k-1)^3)$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(2k)^3 - (2k-1)^3 = 12k^2 - 6k + 1$ મળે.
આમ,$S_n = \sum_{k=1}^{n} (12k^2 - 6k + 1) = n^2(4n+3)$.
$n$-મા પદનો છેદ $n(4n+3)$ છે.
તેથી,$T_n = \frac{n^2(4n+3)}{n(4n+3)} = n$.
શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{15} T_n = \sum_{n=1}^{15} n = \frac{15 \times 16}{2} = 120$ થાય.

(B) ધારો કે $S = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{a_{r}}{2^{r}} = \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \ldots = 4$
$\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા:
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2^{2}} + \frac{a_{2}}{2^{3}} + \frac{a_{3}}{2^{4}} + \ldots$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$S - \frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}-a_{1}}{2^{2}} + \frac{a_{3}-a_{2}}{2^{3}} + \ldots$
$a_{r}$ એ $A.P.$ હોવાથી,$a_{r} - a_{r-1} = d$:
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2} + \frac{d}{2^{2}} + \frac{d}{2^{3}} + \frac{d}{2^{4}} + \ldots$
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2} + d \left( \frac{1/4}{1 - 1/2} \right) = \frac{a_{1}}{2} + \frac{d}{2}$
$S = a_{1} + d = a_{2}$
આપેલ છે કે $S = 4$,તેથી $a_{2} = 4$.
તેથી,$4 a_{2} = 4 \times 4 = 16$.

(D) શ્રેણી $n \geq 2$ માટે $a_n = 20a_{n-1} - 108a_{n-2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $a_0 = 1, a_1 = 1$ છે.
બંને બાજુ $\frac{1}{10^{2n}}$ વડે ગુણીને $n=2$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો લેતા:
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_n}{10^{2n}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{20a_{n-1}}{10^{2n}} - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{108a_{n-2}}{10^{2n}}$
$S - a_0 - \frac{a_1}{100} = \frac{20}{100} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n-1}}{10^{2(n-1)}} - \frac{108}{10000} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n-2}}{10^{2(n-2)}}$
$S - 1 - \frac{1}{100} = \frac{1}{5} (S - 1) - \frac{27}{2500} S$
$S - \frac{1}{5} S + \frac{27}{2500} S = 1 + \frac{1}{100} - \frac{1}{5}$
$S \left( \frac{2027}{2500} \right) = \frac{81}{100}$
$S = \frac{2025}{2027}$
આમ,$a = 2025$.

(A) હાર્મોનિક શ્રેણી $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ ને $\ln(n) + \gamma$ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે,જ્યાં $\gamma \approx 0.577$ એ આઈલર-માશેરોની અચળાંક છે.
આપણે $H_n \geq 4$ ઇચ્છીએ છીએ,તેથી $\ln(n) + 0.577 \approx 4$,જે $\ln(n) \approx 3.423$ આપે છે.
ગણતરી કરતા $n \approx e^{3.423} \approx 30.66$ મળે છે.
વધુ ચોકસાઈપૂર્વક,અસમતા $\ln(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} < 1 + \ln(n)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$H_n \geq 4$ માટે,આપણી પાસે $1 + \ln(n) > 4$ છે,તેથી $\ln(n) > 3$,જેનો અર્થ છે $n > e^3 \approx 20.08$.
ચોક્કસ રીતે,હાર્મોનિક સરવાળો $4$ સુધી પહોંચે તે માટે $n$ નું મૂલ્ય $31$ છે.
જેથી $31$ એ $20 < n \leq 60$ ની શ્રેણીમાં આવે છે,તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $S = 2014^3 - 2013^3 + 2012^3 - 2011^3 + \ldots + 2^3 - 1^3$.
પદોને જોડકાંમાં ગોઠવતા: $(2014^3 - 2013^3) + (2012^3 - 2011^3) + \ldots + (2^3 - 1^3)$.
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં દરેક જોડકા માટે $a - b = 1$ છે:
$S = (2014^2 + 2014 \times 2013 + 2013^2) + (2012^2 + 2012 \times 2011 + 2011^2) + \ldots + (2^2 + 2 \times 1 + 1^2)$.
આવા કુલ $1007$ જોડકાં છે.
ગણતરી કરતા $S = 1007^2 \times 4031$ મળે છે.
તેથી,$S$ ને ભાગતી સૌથી મોટી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા $1007^2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\sum_{k=1}^n (a k^3+b k^2+c k+d)=n^4$.
$n=1$ માટે,$a+b+c+d=1^4=1$.
$n=2$ માટે,$(a+b+c+d) + (8a+4b+2c+d)=2^4=16 \Rightarrow 9a+5b+3c+2d=16$.
$n=3$ માટે,$(9a+5b+3c+2d) + (27a+9b+3c+d)=3^4=81 \Rightarrow 36a+14b+6c+3d=81$.
$n=4$ માટે,$(36a+14b+6c+3d) + (64a+16b+4c+d)=4^4=256 \Rightarrow 100a+30b+10c+4d=256$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$a=4, b=-6, c=4, d=-1$.
તેથી,$|a|+|b|+|c|+|d| = |4|+|-6|+|4|+|-1| = 4+6+4+1 = 15$.

(B) ધારો કે સામાન્ય પદ $T_r = (r^2 - r + 1)(r!)$ છે.
આ શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = (n-1)(n+1)! + 1$ થાય છે.

(C) ધારો કે $S = \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2n)^2}{1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2}$.
અંશ $\sum_{k=1}^{n} (2k)^2 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$ છે.
છેદ $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}$ છે.
તેથી,$S = \frac{2(n+1)}{2n-1}$.
આપેલ છે કે $S < 1.01$,તેથી $\frac{2n+2}{2n-1} < \frac{101}{100}$.
$200n + 200 < 202n - 101$ $\Rightarrow 2n > 301$ $\Rightarrow n > 150.5$.
તેથી,$n$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $151$ છે.