$0.1232323 ......$ નું અપૂર્ણાક મૂલ્ય મેળવો.

જો સમગુણોતર શ્નેણીના $n$ પદેાનો સરવાળો $S$ અને ગુણાકાર $P$ અને તેમના વ્યસ્તનેા સરવાળો $R$ હોય તો ${P^2}$= ?

સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પ્રથમ $1$ છે. જો $4T_2 + 5T_3$ ન્યૂનત્તમ હોય, તો તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર કેટલો થાય ?

સમાગુણોતર શ્રેણીનું $4$મું પદ $500$ છે અને તેનો સામાન્ય ગુણોતર $\frac{1}{m}, m \in N$ છે.ધારોકે આ સમગુણોતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદના સરવાળાને $S_n$ વડે દર્શાવાય છે.જો $S_6 > S_5+1$ અને $S_7 < S_6+\frac{1}{2}$ હોય,તો $m$ની શક્ય કિંમતોની સંખ્યા $.........$ છે.

જો અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદોનો સરવાળો $3$ અને તેમના ઘનનો સરવાળો $\frac {27}{19}$ થાય તો આ શ્રેણીનો સમાન્ય તફાવત મેળવો. 

અહી બે સમગુણોતર શ્રેણીઓ  $2,2^{2}, 2^{3}, \ldots$ અને $4,4^{2}, 4^{3}, \ldots$ આપેલ છે કે જેમાં અનુક્રમે  $60$ અને $n$ પદ આપેલ છે. જો બધાજ $60+n$ પદોનો સમગુણોતર મધ્યક  $(2)^{\frac{225}{8}}$, હોય તો  $\sum_{ k =1}^{ n } k (n- k )$ ની કિમંત મેળવો.