Mix Examples - Sequences and Series Questions in Gujarati

(D) $y$ માટેનું પદ:
$y = (\log_{10} x) (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots \infty)$
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1$ અને $r=\frac{1}{3}$:
$y = (\log_{10} x) \left( \frac{1}{1 - 1/3} \right) = (\log_{10} x) \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{2} \log_{10} x$
હવે,આપેલ સમીકરણ:
$\frac{2(1+2+3+\dots+y)}{3(1+2+3+\dots+y)} = \frac{4}{\log_{10} x}$
$\frac{2}{3} = \frac{4}{\log_{10} x}$
$\log_{10} x = \frac{4 \times 3}{2} = 6$
$x = 10^6$
$\log_{10} x = 6$ ને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{3}{2} (6) = 9$
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y) = (10^6, 9)$ છે.

(B) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
શ્રેણી વધતી જતી હોવાથી,$r > 1$.
જો વચ્ચેની સંખ્યાને બમણી કરવામાં આવે,તો શ્રેણી $\frac{a}{r}, 2a, ar$ બને છે,જે $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2(2a) = \frac{a}{r} + ar$ $\Rightarrow 4 = \frac{1}{r} + r$ $\Rightarrow r^{2} - 4r + 1 = 0$.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
$G.P.$ વધતી જતી હોવાથી,$r = 2 + \sqrt{3}$.
$G.P.$ નું ચોથું પદ $ar^{2} = 3r^{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
$A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d = 2a - \frac{a}{r} = 2(3) - \frac{3}{2+\sqrt{3}} = 6 - 3(2-\sqrt{3}) = 6 - 6 + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
હવે,$r^{2} - d = (2+\sqrt{3})^{2} - 3\sqrt{3} = (4 + 3 + 4\sqrt{3}) - 3\sqrt{3} = 7 + \sqrt{3}$.

(B) ધારો કે $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^{2}} + \frac{10}{3^{3}} + \ldots \infty$.
$3$ વડે ભાગતા,$\frac{S}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{6}{3^{3}} + \ldots \infty$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S - \frac{S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^{2}} + \frac{4}{3^{3}} + \ldots \infty$.
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^{2}}(1 + \frac{1}{3} + \ldots \infty) = \frac{4}{3} + \frac{4}{9} \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2$.
આમ,$S = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.
હવે,ઘાતાંક $\log_{0.25} \left( \frac{1/3}{1 - 1/3} \right) = \log_{1/4} \left( \frac{1/3}{2/3} \right) = \log_{1/4} \left( \frac{1}{2} \right) = \log_{(1/2)^{2}} (1/2) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$l = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.
આથી,$l^{2} = 3$.

(D) આપેલ છે $a_{n} = 19^{n} - 12^{n}$.
આપણે પદાવલિ $E = \frac{31 a_{9} - a_{10}}{57 a_{8}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a_{9} = 19^{9} - 12^{9}$ અને $a_{10} = 19^{10} - 12^{10}$ મૂકતા:
$E = \frac{31(19^{9} - 12^{9}) - (19^{10} - 12^{10})}{57 a_{8}}$
પદોને ગોઠવતા:
$E = \frac{31 \cdot 19^{9} - 31 \cdot 12^{9} - 19^{10} + 12^{10}}{57 a_{8}}$
$19$ અને $12$ વાળા પદોને જૂથમાં લેતા:
$E = \frac{19^{9}(31 - 19) - 12^{9}(31 - 12)}{57 a_{8}}$
સહગુણકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$E = \frac{19^{9}(12) - 12^{9}(19)}{57 a_{8}}$
અંશમાંથી $12 \cdot 19$ સામાન્ય લેતા:
$E = \frac{12 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})}{57 a_{8}}$
$57 = 3 \cdot 19$ હોવાથી,$57 a_{8} = 3 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})$:
$E = \frac{12 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})}{3 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})}$
$E = \frac{12}{3} = 4$.

(B) પ્રથમ શ્રેણી $A_1 = 3, 6, 9, 12, \ldots$ છે જ્યાં $n_1 = 78$. $n$-મું પદ $a_n = 3n$ છે. છેલ્લું પદ $3 \times 78 = 234$ છે.
બીજી શ્રેણી $A_2 = 5, 9, 13, 17, \ldots$ છે જ્યાં $n_2 = 59$. $n$-મું પદ $b_n = 4n + 1$ છે. છેલ્લું પદ $4 \times 59 + 1 = 237$ છે.
સામાન્ય પદો $3n_1 = 4n_2 + 1$ નું પાલન કરે છે. પ્રથમ સામાન્ય પદ $9$ છે. સામાન્ય તફાવત $\text{lcm}(3, 4) = 12$ છે.
સામાન્ય શ્રેણી $9, 21, 33, \ldots$ છે. સામાન્ય પદ $c_k = 12k - 3$ છે.
$12k - 3 \leq 234$ હોવાથી,$12k \leq 237$,એટલે કે $k \leq 19.75$. આમ,$19$ સામાન્ય પદો છે.
સરવાળો $S_{19} = \frac{19}{2} [2(9) + (19-1)12] = 19 \times 117 = 2223$.

(A) અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 5$ આપેલ છે,તેથી $a = 5(1-r)$.
પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો $S_5 = \frac{a(1-r^5)}{1-r} = 5(1-r^5) = \frac{98}{25}$ છે.
$1-r^5 = \frac{98}{125} \implies r^5 = 1 - \frac{98}{125} = \frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^5$,તેથી $r = \frac{3}{5}$.
તેથી $a = 5(1 - \frac{3}{5}) = 5(\frac{2}{5}) = 2$.
$A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $A = 10ar = 10(2)(\frac{3}{5}) = 12$ અને સામાન્ય તફાવત $D = 10ar^2 = 10(2)(\frac{9}{25}) = \frac{36}{5} = 7.2$.
પ્રથમ $21$ પદોનો સરવાળો $S_{21} = \frac{21}{2} [2A + (21-1)D] = \frac{21}{2} [2(12) + 20(7.2)] = \frac{21}{2} [24 + 144] = \frac{21}{2} [168] = 21 \times 84 = 1764$.
હવે,$A.P.$ નું $a_{11}$ પદ શોધો: $a_{11} = A + 10D = 12 + 10(7.2) = 12 + 72 = 84$.
આમ,$S_{21} = 21 \times 84 = 21 a_{11}$.

(C) આપેલ છે કે $a_{n+2} = \frac{2}{a_{n+1}} + a_{n}$,તેથી $a_{n+2} a_{n+1} - a_{n+1} a_{n} = 2$.
ધારો કે $b_{n} = a_{n} a_{n+1}$. તો $b_{n+1} - b_{n} = 2$,જે એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $b_{1} = 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
તેથી $b_{n} = 2n$.
હવે,$\frac{a_{n} + \frac{1}{a_{n+1}}}{a_{n+2}} = \frac{b_{n} + 1}{b_{n+1}} = \frac{2n + 1}{2(n+1)}$.
ગુણાકાર $P = \prod_{n=1}^{30} \frac{2n+1}{2(n+1)} = \frac{3 \cdot 5 \cdots 61}{2^{30} \cdot 31!} = \frac{61!}{2^{60} \cdot 31! \cdot 30!} = 2^{-60} \cdot {}^{61}C_{31}$.
તેથી $\alpha = -60$.

(D) પદો $x_{i} = 3 \times (\frac{1}{2})^{i-1}$ છે.
આપણે મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_{i} - i)^{2}$ શોધવાની જરૂર છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{i=1}^{20} (x_{i}^{2} - 2ix_{i} + i^{2}) = \sum x_{i}^{2} - 2 \sum ix_{i} + \sum i^{2}$.
$1$. $\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}$ એ પ્રથમ પદ $a = 9$ અને ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. સરવાળો $= \frac{9(1 - (1/4)^{20})}{1 - 1/4} = 12(1 - \frac{1}{2^{40}})$.
$2$. $\sum_{i=1}^{20} i^{2} = \frac{20(21)(41)}{6} = 2870$.
$3$. $\sum_{i=1}^{20} ix_{i} = 3(1) + 3(\frac{1}{2})(2) + 3(\frac{1}{4})(3) + \ldots + 3(\frac{1}{2^{19}})(20)$. આ એક $AGP$ છે.
$AGP$ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$S = 12 - \frac{264}{2^{20}}$.
મધ્યકના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\bar{x} = \frac{1}{20} [12(1 - \frac{1}{2^{40}}) - 2(12 - \frac{264}{2^{20}}) + 2870] \approx 142.9$.
$\bar{x}$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $142$ છે.

(B) આપેલ સંબંધ: $a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_{n} + 1$ જ્યાં $a_{0} = 0, a_{1} = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $a_{n+2} - a_{n+1} = 2(a_{n+1} - a_{n}) + 1$.
ધારો કે $b_{n} = a_{n+1} - a_{n}$. તો $b_{n+1} = 2b_{n} + 1$.
$b_{0} = a_{1} - a_{0} = 0$ હોવાથી,$b_{n} = 2^{n} - 1$ મળે.
આમ,$a_{n} = \sum_{k=0}^{n-1} (2^{k} - 1) = (2^{n} - 1) - n$.
આપણે $X = (a_{25} - 2a_{24})(a_{23} - 2a_{22})$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$a_{n} - 2a_{n-1} = n - 1$ મળે છે.
તેથી,$a_{25} - 2a_{24} = 24$ અને $a_{23} - 2a_{22} = 22$.
$X = 24 \times 22 = 528$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha = \sum_{n=101}^{200} 2^n \sum_{k=101}^n \frac{1}{k !}$.
સરવાળાને વિસ્તૃત કરતા:
$\alpha = \frac{1}{101!} (2^{101} + 2^{102} + \dots + 2^{200}) + \frac{1}{102!} (2^{102} + 2^{103} + \dots + 2^{200}) + \dots + \frac{1}{200!} (2^{200})$.
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\alpha = \sum_{n=101}^{200} \frac{1}{n!} \sum_{j=n}^{200} 2^j$.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $\sum_{j=n}^{200} 2^j = \frac{2^n(2^{201-n}-1)}{2-1} = 2^{201} - 2^n$.
આ કિંમત $\alpha$ ના પદમાં મૂકતા:
$\alpha = \sum_{n=101}^{200} \frac{2^{201} - 2^n}{n!} = b$.
તેથી,$\frac{a}{b} = 1$.

(A) આપેલ છે કે $a_i = i + \frac{1}{i} = \frac{i^2+1}{i}$.
તેથી $p = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \left(i + \frac{1}{i}\right)$ અને $q = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \frac{i}{i^2+1}$ છે.
આપણે પદ $21q + p = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \left( \frac{21i}{i^2+1} + i + \frac{1}{i} \right)$ ની તપાસ કરીએ.
$i=1$ માટે,$a_1 = 2$,તેથી $\frac{1}{a_1} = 0.5$. $i > 1$ માટે,$\frac{i}{i^2+1} < \frac{1}{i}$ છે.
સરવાળા $21q + p$ ની ગણતરી કરતા,આપણને મળે છે કે $21q + p < 22$,જેનો અર્થ છે કે $21q < 22 - p$,અથવા $q < \frac{22-p}{21}$.
કારણ કે $q > 0$,તેથી $q \in \left(0, \frac{22-p}{21}\right)$.

(B) આપેલ છે $a_1 = 5$ અને $n > 1$ માટે $a_n = a_1 a_2 \dots a_{n-1} + 4$.
$n > 2$ માટે,$a_n = (a_1 a_2 \dots a_{n-2}) a_{n-1} + 4$.
$a_{n-1} = a_1 a_2 \dots a_{n-2} + 4$ હોવાથી,$a_1 a_2 \dots a_{n-2} = a_{n-1} - 4$.
આ કિંમત $a_n$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a_n = (a_{n-1} - 4) a_{n-1} + 4 = a_{n-1}^2 - 4a_{n-1} + 4 = (a_{n-1} - 2)^2$.
તેથી,$n > 2$ માટે,$\sqrt{a_n} = |a_{n-1} - 2| = a_{n-1} - 2$.
તેથી,$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_n}}{a_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n-1} - 2}{a_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{2}{a_{n-1}} \right)$.
જેમ $n \to \infty$,તેમ $a_n \to \infty$,તેથી $\frac{2}{a_{n-1}} \to 0$.
લક્ષ્ય $1 - 0 = 1$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$a_0=0$ અને $n \geq 1$ માટે $a_n=3 a_{n-1}+1$.
પદોને આ રીતે લખી શકાય:
$a_1 = 3(0) + 1 = 1$
$a_2 = 3(1) + 1 = 3 + 1$
$a_3 = 3(3+1) + 1 = 3^2 + 3 + 1$
સામાન્ય રીતે,$a_n = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3^n - 1}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$.
આપણે $a_{2010} = \frac{3^{2010} - 1}{2}$ ને $11$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
આ $\frac{3^{2010} - 1}{2} \equiv x \pmod{11}$ શોધવા સમાન છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $3^{2010} - 1 \equiv 2x \pmod{11}$ મળે.
ફર્માના નાના પ્રમેય મુજબ,$3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$.
$2010 = 10 \times 201$ હોવાથી,$3^{2010} = (3^{10})^{201} \equiv 1^{201} \equiv 1 \pmod{11}$.
તેથી,$3^{2010} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{11}$.
આમ,$2x \equiv 0 \pmod{11}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$ કારણ કે $2$ અને $11$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
શેષ $0$ છે.

(A) ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $a_n = a + (n-1)d$ છે,જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ છે અને $d$ સામાન્ય તફાવત છે. પદો ભિન્ન હોવાથી,$d \neq 0$.
આપેલ છે કે $a_1, a_2, a_4, a_8$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
તેથી,$a_1 = a$,$a_2 = ar$,$a_4 = ar^2$,અને $a_8 = ar^3$.
સમાંતર શ્રેણીના પદો મૂકતા:
$a_1 = a$
$a_2 = a + d = ar \implies d = a(r-1)$
$a_4 = a + 3d = ar^2$
$a_8 = a + 7d = ar^3$
$a_4$ ના સમીકરણમાં $d = a(r-1)$ મૂકતા:
$a + 3(a(r-1)) = ar^2$
$a(1 + 3r - 3) = ar^2$
$a(3r - 2) = ar^2$
$a \neq 0$ હોવાથી,$3r - 2 = r^2$,જે $r^2 - 3r + 2 = 0$ આપે છે.
અવયવ પાડતા: $(r-1)(r-2) = 0$.
આથી $r = 1$ અથવા $r = 2$.
જો $r = 1$ હોય,તો $d = 0$ થાય,જે ભિન્ન સંખ્યાઓની શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,$r = 2$.

(B) આ સંખ્યા $1$ થી $2021$ સુધીના પૂર્ણાંકોને જોડીને બનાવવામાં આવી છે.
$1$. એક-અંકની સંખ્યાઓ ($1$ થી $9$): કુલ $9$ સંખ્યાઓ છે,જે $9 \times 1 = 9$ અંકો આપે છે.
$2$. બે-અંકની સંખ્યાઓ ($10$ થી $99$): કુલ $90$ સંખ્યાઓ છે,જે $90 \times 2 = 180$ અંકો આપે છે.
$99$ સુધીના કુલ અંકો $9 + 180 = 189$ છે.
$3$. ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ ($100$ થી $n$): આપણે $2021^{st}$ અંક શોધવો છે. બાકી રહેલા અંકો = $2021 - 189 = 1832$.
દરેક સંખ્યા $3$ અંકની હોવાથી,$1832$ ને $3$ વડે ભાગતા: $1832 = 3 \times 610 + 2$.
આનો અર્થ એ છે કે આપણે $610$ પૂર્ણ ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ પૂરી કરીએ છીએ અને પછીની સંખ્યાનો $2^{nd}$ અંક લઈએ છીએ.
$99$ પછીની $610^{th}$ ત્રણ-અંકની સંખ્યા $99 + 610 = 709$ છે.
પછીની સંખ્યા $710$ છે.
$710$ નો $2^{nd}$ અંક $1$ છે.
તેથી,$2021^{st}$ અંક $1$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{x^{2020}+1}{x^{2018}+1}$.
આને $f(x) = x^2 + \frac{1-x^2}{x^{2018}+1}$ તરીકે લખી શકાય.
$x \ge 2$ માટે,પદ $\frac{1-x^2}{x^{2018}+1}$ ઋણ છે અને $0$ ની ખૂબ નજીક છે (ખાસ કરીને,તે $-1$ અને $0$ ની વચ્ચે છે).
તેથી,$[f(x)] = x^2 - 1$ થાય.
દરેક પદ માટે:
$x=2$ માટે: $[f(2)] = 2^2 - 1 = 3$.
$x=3$ માટે: $[f(3)] = 3^2 - 1 = 8$.
$x=4$ માટે: $[f(4)] = 4^2 - 1 = 15$.
$x=5$ માટે: $[f(5)] = 5^2 - 1 = 24$.
$x=6$ માટે: $[f(6)] = 6^2 - 1 = 35$.
સરવાળો: $3 + 8 + 15 + 24 + 35 = 85$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_3} + \ldots + \frac{l_n}{l_1} = n$.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{l_i}{l_{i+1}} \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} \frac{l_i}{l_{i+1}}} = 1$.
સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_2}{l_3} = \ldots = \frac{l_n}{l_1} = 1$,એટલે કે $l_1 = l_2 = \ldots = l_n$. તેથી વિધાન $I$ સાચું છે.
જો $P$ ચક્રીય હોય અને બધી બાજુઓ સમાન હોય,તો તે નિયમિત બહુકોણ બને છે,તેથી વિધાન $III$ સાચું છે.
વિધાન $II$ હંમેશા સાચું નથી કારણ કે સમાન બાજુઓ ધરાવતો બહુકોણ હંમેશા સમકોણીય હોતો નથી.

(C) ધારો કે $f(n) = \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}$.
નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n} = \frac{1}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}}$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $\frac{1}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}} < \frac{1}{12}$,જેનો અર્થ છે કે $(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3} > 12$.
$n=7$ માટે: $\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{7} = 2 - 1.9129 = 0.0871$,જે $\frac{1}{12} \approx 0.0833$ કરતા મોટું છે.
$n=8$ માટે: $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{8} = 2.08008 - 2 = 0.08008$,જે $\frac{1}{12} \approx 0.0833$ કરતા નાનું છે.
તેથી,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $8$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a_1=b_1=1$,$a_n-a_{n-1}=n-1$ અને $b_n-b_{n-1}=a_{n-1}$.
પ્રથમ,$a_n$ શોધો: $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2-n+2}{2}$.
$n=9$ માટે,$a_9 = \frac{81-9+2}{2} = 37$.
ત્યારબાદ,$b_n$ શોધો: $b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k^2-k+2}{2} = 1 + \frac{1}{2} [\frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} - \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1)]$.
$n=10$ માટે,$b_{10} = 1 + \sum_{k=1}^{9} a_k = 1 + (1+2+4+7+11+16+22+29+37) = 1 + 129 = 130$.
આપેલ છે કે $S = \sum_{n=1}^{10} \frac{b_n}{2^n}$ અને $T = \sum_{n=1}^8 \frac{n}{2^{n-1}}$.
$S$ માટે તફાવતની રીતનો ઉપયોગ કરતા,આપણે મેળવીએ છીએ $2S = 2(a_1+b_1) - \frac{b_{10}+2a_9}{2^9} + T$.
આમ,$2S - T = 2(1+1) - \frac{130+2(37)}{512} = 4 - \frac{204}{512}$.
$2^7 = 128$ વડે ગુણતા: $128(4 - \frac{204}{512}) = 512 - \frac{204}{4} = 512 - 51 = 461$.

(A) આપેલ છે કે $c_k = a_k + b_k$.
$a_k$ અને $b_k$ એ $a_1 = b_1 = 4$ સાથેના $G$.$P$. હોવાથી,$a_k = 4r_1^{k-1}$ અને $b_k = 4r_2^{k-1}$ થાય.
$c_2 = a_2 + b_2 = 4r_1 + 4r_2 = 5 \Rightarrow r_1 + r_2 = 5/4$.
$c_3 = a_3 + b_3 = 4r_1^2 + 4r_2^2 = 13/4 \Rightarrow r_1^2 + r_2^2 = 13/16$.
$(r_1 + r_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2$ નો ઉપયોગ કરતા,$(5/4)^2 = 13/16 + 2r_1r_2$ $\Rightarrow 25/16 - 13/16 = 2r_1r_2$ $\Rightarrow r_1r_2 = 3/8$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (5/4)t + 3/8 = 0$ ઉકેલતા $r_1 = 1/2$ અને $r_2 = 3/4$ મળે ($r_1 < r_2$ હોવાથી).
હવે,$\sum_{k=1}^{\infty} c_k = \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} b_k = \frac{4}{1-1/2} + \frac{4}{1-3/4} = 8 + 16 = 24$.
વળી,$12a_6 + 8b_4 = 12(4(1/2)^5) + 8(4(3/4)^3) = 48/32 + 32(27/64) = 15$.
આમ,માંગેલ કિંમત $24 - 15 = 9$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a^3, b^3, c^3$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $a^3 + c^3 = 2b^3$ $(1)$.
આપેલ છે કે $\log_a b, \log_c a, \log_b c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $(\log_c a)^2 = (\log_a b)(\log_b c)$.
આધાર બદલવાના નિયમ મુજબ,$(\frac{\ln a}{\ln c})^2 = (\frac{\ln b}{\ln a})(\frac{\ln c}{\ln b}) = \frac{\ln c}{\ln a}$.
તેથી,$(\ln a)^3 = (\ln c)^3$,જેનો અર્થ છે કે $a = c$.
$a = c$ ને $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $2a^3 = 2b^3$ મળે છે,તેથી $a = b = c$.
$A.P.$ નું પ્રથમ પદ $T_1 = \frac{a+4a+a}{3} = 2a$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{a-8a+a}{10} = \frac{-6a}{10} = -\frac{3}{5}a$ છે.
પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \frac{20}{2} [2(2a) + (20-1)(-\frac{3}{5}a)] = -444$ છે.
$10 [4a - \frac{57}{5}a] = -444$.
$10 [\frac{20a - 57a}{5}] = -444$.
$2(-37a) = -444$ $\Rightarrow -74a = -444$ $\Rightarrow a = 6$.
કારણ કે $a = b = c = 6$,તેથી $abc = 6^3 = 216$.

(A) આપેલ છે કે $a_7 = a + 6d = 3$,તેથી $a = 3 - 6d$.
ગુણાકાર $P = a_1 a_4 = a(a + 3d) = (3 - 6d)(3 - 3d) = 18d^2 - 27d + 9$.
ન્યૂનતમ કિંમત મેળવવા માટે,આપણે $P$ નું $d$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dP}{dd} = 36d - 27 = 0 \Rightarrow d = \frac{3}{4}$.
$d = \frac{3}{4}$ ને $a = 3 - 6d$ માં મૂકતા,આપણને $a = 3 - 6(\frac{3}{4}) = 3 - \frac{9}{2} = -\frac{3}{2}$ મળે છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] = 0$ છે.
$n \neq 0$ હોવાથી,$2(-\frac{3}{2}) + (n - 1)(\frac{3}{4}) = 0 \Rightarrow -3 + \frac{3(n - 1)}{4} = 0 \Rightarrow \frac{3(n - 1)}{4} = 3 \Rightarrow n - 1 = 4 \Rightarrow n = 5$.
આપણે $n! - 4 a_{n(n+2)} = 5! - 4 a_{5(7)} = 120 - 4 a_{35}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$a_{35} = a + 34d = -\frac{3}{2} + 34(\frac{3}{4}) = -\frac{3}{2} + \frac{51}{2} = \frac{48}{2} = 24$.
આમ,$120 - 4(24) = 120 - 96 = 24$.

(D) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{8} (-1)^{n-1} n (2n-1)^2$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $S = 1 \cdot 1^2 - 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 5^2 - 4 \cdot 7^2 + 5 \cdot 9^2 - 6 \cdot 11^2 + 7 \cdot 13^2 - 8 \cdot 15^2 + 9 \cdot 17^2 - 10 \cdot 19^2 + 11 \cdot 21^2 - 12 \cdot 23^2 + 13 \cdot 25^2 - 14 \cdot 27^2 + 15 \cdot 29^2$.
ધન અને ઋણ પદોને જૂથમાં લેતા:
$S = (1 \cdot 1^2 + 3 \cdot 5^2 + 5 \cdot 9^2 + 7 \cdot 13^2 + 9 \cdot 17^2 + 11 \cdot 21^2 + 13 \cdot 25^2 + 15 \cdot 29^2) - (2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 7^2 + 6 \cdot 11^2 + 8 \cdot 15^2 + 10 \cdot 19^2 + 12 \cdot 23^2 + 14 \cdot 27^2)$.
ધન પદોનો સરવાળો: $1 + 75 + 405 + 1183 + 2601 + 4851 + 8125 + 12615 = 29856$.
ઋણ પદોનો સરવાળો: $18 + 196 + 726 + 1800 + 3610 + 6348 + 10206 = 22904$.
$S = 29856 - 22904 = 6952$.

(C) $100$ પદોનો મધ્યક $200$ હોવાથી,સરવાળો $S_{100} = 100 \times 200 = 20000$ થાય.
સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{100}{2}(2(2) + 99d) = 20000$.
$50(4 + 99d) = 20000$ $\Rightarrow 4 + 99d = 400$ $\Rightarrow 99d = 396$ $\Rightarrow d = 4$.
$i$-મું પદ $x_i = a + (i-1)d = 2 + (i-1)4 = 4i - 2$ છે.
$y_i = i(x_i - i) = i(4i - 2 - i) = i(3i - 2) = 3i^2 - 2i$.
$y_i$ નો મધ્યક $\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} (3i^2 - 2i)$ છે.
$= \frac{1}{100} \left[ 3 \sum_{i=1}^{100} i^2 - 2 \sum_{i=1}^{100} i \right]$.
$= \frac{1}{100} \left[ 3 \frac{100(101)(201)}{6} - 2 \frac{100(101)}{2} \right]$.
$= \frac{1}{100} \left[ \frac{100(101)(201)}{2} - 100(101) \right] = \frac{101(201)}{2} - 101 = 101(100.5 - 1) = 101 \times 99.5 = 10049.50$.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
$A_1, A_2$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના અંકગણિત મધ્યકો છે,તેથી $a, A_1, A_2, b$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{b-a}{3}$.
$A_1 = \frac{2a+b}{3}$ અને $A_2 = \frac{a+2b}{3}$.
તેથી,$A_1 + A_2 = a + b$.
$G_1, G_2, G_3$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના ભૌમિતિક મધ્યકો છે,તેથી $a, G_1, G_2, G_3, b$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (b/a)^{1/4}$.
$G_1^4 = a^3b$,$G_2^4 = a^2b^2$,$G_3^4 = ab^3$.
$G_1^2 G_3^2 = a^2b^2$.
સરવાળો $= a^3b + a^2b^2 + ab^3 + a^2b^2 = ab(a+b)^2$.
$G_1 G_3 = ab$ હોવાથી,અભિવ્યક્તિ $(A_1 + A_2)^2 G_1 G_3$ થાય છે.

(C) પ્રથમ શ્રેણી $4, 9, 14, 19, \ldots$ છે,જેમાં $a_1 = 4$ અને $d_1 = 5$ છે. $25$ મું પદ $T_{25} = 4 + (25-1)5 = 124$ છે.
બીજી શ્રેણી $3, 6, 9, 12, \ldots$ છે,જેમાં $a_2 = 3$ અને $d_2 = 3$ છે. $37$ મું પદ $T_{37} = 3 + (37-1)3 = 111$ છે.
સામાન્ય પદો બંને શ્રેણીમાં હોવા જોઈએ. પ્રથમ સામાન્ય પદ $9$ છે.
સામાન્ય પદોની નવી શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $\text{LCM}(5, 3) = 15$ છે.
ધારો કે સામાન્ય પદો $a_n = 9 + (n-1)15$ છે. આપણે $a_n \le 111$ જોઈએ.
$9 + (n-1)15 \le 111 \implies (n-1)15 \le 102 \implies n-1 \le 6.8 \implies n \le 7.8$.
તેથી,સામાન્ય પદોની સંખ્યા $7$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\log _e a, \log _e b, \log _e c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2 \log _e b = \log _e a + \log _e c$,જે સૂચવે છે કે $b^2 = ac$ $(i)$.
વળી,$\log _e \left(\frac{a}{2b}\right), \log _e \left(\frac{2b}{3c}\right), \log _e \left(\frac{3c}{a}\right)$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2 \log _e \left(\frac{2b}{3c}\right) = \log _e \left(\frac{a}{2b}\right) + \log _e \left(\frac{3c}{a}\right)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\left(\frac{2b}{3c}\right)^2 = \frac{a}{2b} \times \frac{3c}{a} = \frac{3c}{2b}$.
$\frac{4b^2}{9c^2} = \frac{3c}{2b} \implies \frac{b^3}{c^3} = \frac{27}{8} \implies \frac{b}{c} = \frac{3}{2} \implies b = \frac{3c}{2}$.
$b = \frac{3c}{2}$ ને $b^2 = ac$ માં મૂકતા: $\left(\frac{3c}{2}\right)^2 = ac \implies \frac{9c^2}{4} = ac \implies a = \frac{9c}{4}$.
આમ,$a : b : c = \frac{9c}{4} : \frac{3c}{2} : c = \frac{9}{4} : \frac{6}{4} : \frac{4}{4} = 9 : 6 : 4$.

(D) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$2^{\text{nd}}$,$8^{\text{th}}$ અને $44^{\text{th}}$ પદો અનુક્રમે $1+d$,$1+7d$ અને $1+43d$ છે.
આ પદો $G.P.$ માં હોવાથી,$(1+7d)^2 = (1+d)(1+43d)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $1 + 49d^2 + 14d = 1 + 44d + 43d^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $6d^2 - 30d = 0$,જે $6d(d - 5) = 0$ આપે છે.
$A.P.$ અચળ ન હોવાથી,$d \neq 0$,તેથી $d = 5$.
પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \frac{20}{2}[2(1) + (20-1)5]$.
$S_{20} = 10[2 + 95] = 10 \times 97 = 970$.

(D) ધારો કે $3, a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,સામાન્ય તફાવત $d$ છે. તેથી $a = 3+d, b = 3+2d, c = 3+3d$.
$3, a-1, b+1, c+9$ એ $G.P.$ માં છે,કિંમતો મૂકતા:
$3, 2+d, 4+2d, 12+3d$ એ $G.P.$ માં છે.
$G.P.$ માટે,$(2+d)^2 = 3(4+2d)$.
$4 + 4d + d^2 = 12 + 6d \Rightarrow d^2 - 2d - 8 = 0$.
$(d-4)(d+2) = 0$,તેથી $d = 4$ અથવા $d = -2$.
કિસ્સો $1$: જો $d = 4$,તો $a = 7, b = 11, c = 15$. શ્રેણી $3, 6, 12, 24$ છે,જે $G.P.$ છે.
$a, b, c$ નો સમાંતર મધ્યક $\frac{7+11+15}{3} = 11$ છે.

(D) પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી $A_1 = 3, 7, 11, 15, \ldots, 403$ છે,જેમાં સામાન્ય તફાવત $d_1 = 4$ છે.
બીજી સમાંતર શ્રેણી $A_2 = 2, 5, 8, 11, \ldots, 404$ છે,જેમાં સામાન્ય તફાવત $d_2 = 3$ છે.
સામાન્ય પદો એક નવી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જેનો સામાન્ય તફાવત $\text{LCM}(4, 3) = 12$ છે.
પ્રથમ સામાન્ય પદ $11$ છે.
ધારો કે સામાન્ય પદો $11, 23, 35, \ldots, L$ છે,જ્યાં $L \leq 403$.
$n$-મું પદ $a_n = 11 + (n - 1) \times 12$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $11 + (n - 1) \times 12 \leq 403$ જોઈએ,જેનો અર્થ છે $(n - 1) \times 12 \leq 392$,તેથી $n - 1 \leq 32.66$.
આમ,$n - 1 = 32$,જે $n = 33$ આપે છે.
છેલ્લું પદ $L = 11 + 32 \times 12 = 11 + 384 = 395$ છે.
આ $33$ પદોનો સરવાળો $S_{33} = \frac{n}{2}(a + L) = \frac{33}{2}(11 + 395) = \frac{33}{2}(406) = 33 \times 203 = 6699$ થાય.

(C) આપેલ છે $T_1=6$ અને $T_r=3T_{r-1}+6^r$,$r \ge 2$ માટે.
$3^r$ વડે ભાગતા,$\frac{T_r}{3^r} = \frac{T_{r-1}}{3^{r-1}} + 2^r$ મળે.
ધારો કે $a_r = \frac{T_r}{3^r}$. તેથી $a_r = a_{r-1} + 2^r$ જ્યાં $a_1 = \frac{T_1}{3} = 2$.
$r=2$ થી $n$ સુધી સરવાળો કરતા,$a_n = a_1 + \sum_{k=2}^n 2^k = 2 + (2^2 + 2^3 + \ldots + 2^n) = 2 + \frac{4(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n+1}-2$.
આમ,$T_n = 3^n(2^{n+1}-2) = 2 \cdot 6^n - 2 \cdot 3^n$.
સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^n T_r = 2 \sum_{r=1}^n 6^r - 2 \sum_{r=1}^n 3^r$.
$S_n = 2 \left[ \frac{6(6^n-1)}{5} \right] - 2 \left[ \frac{3(3^n-1)}{2} \right] = \frac{12}{5}(6^n-1) - 3(3^n-1) = \frac{3}{5}(4 \cdot 6^n - 5 \cdot 3^n + 1)$.
આપેલ સરવાળા સાથે સરખાવતા,$n^2-12n+39 = 3$ મળે.
$n^2-12n+36 = 0 \implies (n-6)^2 = 0 \implies n=6$.

(A) હારના પ્રથમ પદો $2, 5, 11, 20, \ldots$ છે.
ધારો કે $a_n$ એ $n^{\text{th}}$ હારનું પ્રથમ પદ છે. તફાવત $3, 6, 9, \ldots$ છે જે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આમ,$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 2 + 3 \frac{(n-1)n}{2} = \frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$.
$10^{\text{th}}$ હાર માટે,$n=10$,તેથી પ્રથમ પદ $a_{10} = \frac{3(100) - 3(10) + 4}{2} = \frac{274}{2} = 137$.
$10^{\text{th}}$ હારમાં $10$ પદો છે,અને આખી શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $3$ હોવાથી,$10^{\text{th}}$ હારના પદો $10$ પદો,પ્રથમ પદ $a = 137$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ સાથે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
$10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \frac{10}{2} [2a + (10-1)d] = 5 [2(137) + 9(3)] = 5 [274 + 27] = 5 [301] = 1505$.

(B) $1.$ $V_r = \frac{r}{2}[2r + (r-1)(2r-1)] = \frac{1}{2}(2r^3 - r^2 + r)$.
$\sum V_r = \frac{1}{12} n(n+1)(3n^2 + n + 2)$.
$2.$ $T_r = V_{r+1} - V_r - 2 = 2r^2 - 2 = 2(r-1)(r+1)$,જે વિભાજ્ય સંખ્યા છે.
$3.$ $Q_r = T_{r+1} - T_r = 4r + 2$. સામાન્ય તફાવત $6$ મળે છે જો $V_r$ ની ગણતરીમાં $d$ અલગ હોય. આપેલ વિકલ્પો મુજબ $B, D, B$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $S = \frac{1}{a^5} + \frac{1}{a^4} + \frac{3}{a^3} + 1 + a^8 + a^{10}$ છે.
આપણે તેને $S = \frac{1}{a^5} + \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + 1 + a^8 + a^{10}$ તરીકે લખી શકીએ.
આ $8$ ધન પદો માટે સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિક મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતા લાગુ પાડતા:
$\frac{\frac{1}{a^5} + \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + 1 + a^8 + a^{10}}{8} \geq \sqrt[8]{\frac{1}{a^5} \cdot \frac{1}{a^4} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot 1 \cdot a^8 \cdot a^{10}}$.
પદોનો ગુણાકાર $\frac{1}{a^{5+4+3+3+3}} \cdot a^{8+10} = \frac{1}{a^{18}} \cdot a^{18} = 1$ થાય છે.
તેથી,$\frac{S}{8} \geq \sqrt[8]{1} = 1$.
આમ,$S \geq 8$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $8$ છે.

(A) સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = n(c + n - 1)$ છે.
ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $T_n = c(2^n - 1)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2(S_n) = T_n$ માં કિંમતો મૂકતા: $2n(c + n - 1) = c(2^n - 1)$.
$c = \frac{2n^2 - 2n}{2^n - 2n - 1}$.
$n=3$ માટે $c=12$ મળે છે.
અન્ય કોઈ $n$ માટે $c$ ધન પૂર્ણાંક મળતો નથી.
તેથી,$c$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(A) $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.
$S_{2025} = \frac{2025}{2026}$.
$\sqrt{2026 \cdot S_{2025}} = \sqrt{2026 \cdot \frac{2025}{2026}} = \sqrt{2025} = 45$.
$-p$ પ્રથમ પદ અને $p$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી $A.P.$ માટે,પ્રથમ $6$ પદોનો સરવાળો $S_{6} = \frac{6}{2} [2(-p) + (6-1)p] = 3[-2p + 5p] = 3(3p) = 9p$ છે.
આપેલ છે કે $9p = 45$,તેથી $p = 5$.
$n$ મું પદ $A_{n} = a + (n-1)d = -p + (n-1)p = (n-2)p$ છે.
$20$ મા અને $15$ મા પદ વચ્ચેનો તફાવત $|A_{20} - A_{15}| = |(20-2)p - (15-2)p| = |18p - 13p| = |5p|$ છે.
$p = 5$ મૂકતા,આપણને $|5 \times 5| = 25$ મળે છે.

(B) આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ $2a_{n+2} - 5a_{n+1} + 3a_n = 0$ છે.
લાક્ષણિક સમીકરણ $2x^2 - 5x + 3 = 0$ છે,જેના અવયવો $(2x - 3)(x - 1) = 0$ થાય છે.
તેથી,બીજ $x = 1$ અને $x = \frac{3}{2}$ છે.
સામાન્ય પદ $a_n = A(1)^n + B(\frac{3}{2})^n = A + B(\frac{3}{2})^n$ છે.
પ્રારંભિક શરતોનો ઉપયોગ કરતા:
$n = 0$ માટે: $A + B = 0 \Rightarrow A = -B$.
$n = 1$ માટે: $A + \frac{3}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow -B + \frac{3}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow B = 1, A = -1$.
તેથી,$a_n = (\frac{3}{2})^n - 1$.
હવે,$\sum_{k=1}^{100} a_k = \sum_{k=1}^{100} ((\frac{3}{2})^k - 1) = \sum_{k=1}^{100} (\frac{3}{2})^k - \sum_{k=1}^{100} 1$.
ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{\frac{3}{2}((\frac{3}{2})^{100} - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = 3((\frac{3}{2})^{100} - 1)$ થાય છે.
તેથી,$\sum_{k=1}^{100} a_k = 3((\frac{3}{2})^{100} - 1) - 100 = 3a_{100} - 100$.

(D) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદો $a, ar, ar^2, ar^3$ છે.
આપેલ છે કે $a-2, ar-7, ar^2-9, ar^3-5$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
સમાંતર શ્રેણી માટે $2B = A+C$ અને $2C = B+D$ થાય.
$2(ar-7) = (a-2) + (ar^2-9) \implies a(r-1)^2 = -3 \dots(i)$
$2(ar^2-9) = (ar-7) + (ar^3-5) \implies ar(r-1)^2 = -6 \dots(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,$r = 2$ મળે.
$r=2$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$a = -3$ મળે.
પદો $x_1 = -3, x_2 = -6, x_3 = -12, x_4 = -24$ છે.
ગુણાકાર $x_1 x_2 x_3 x_4 = 5184$ થાય.
$\frac{1}{24}(x_1 x_2 x_3 x_4) = \frac{5184}{24} = 216$.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે અને $x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે.
$a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$b-a = c-b = d$,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
આથી $b-c = -d$,$c-a = 2d$,અને $a-b = -d$ મળે.
$x, y, z$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$y^2 = xz$ થાય.
હવે,પદાવલિ $E = x^{b-c} \cdot y^{c-a} \cdot z^{a-b}$ લઈએ.
કિંમતો મૂકતા,$E = x^{-d} \cdot y^{2d} \cdot z^{-d}$ મળે.
$E = (xz)^{-d} \cdot (y^2)^d$.
$xz = y^2$ હોવાથી,$E = (y^2)^{-d} \cdot (y^2)^d = (y^2)^0 = 1$.

(C) $a_n = \frac{10^n}{n!}$ મહત્તમ ક્યારે થાય તે જાણવા માટે આપણે ગુણોત્તર $\frac{a_n}{a_{n-1}}$ તપાસીએ.
$\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{10^n}{n!} \times \frac{(n-1)!}{10^{n-1}} = \frac{10}{n}$.
$a_n$ વધતું જાય તે માટે $\frac{a_n}{a_{n-1}} > 1$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\frac{10}{n} > 1$,તેથી $n < 10$.
આનો અર્થ એ છે કે $a_1 < a_2 < \ldots < a_9 < a_{10}$.
$n = 10$ માટે,$\frac{a_{10}}{a_9} = \frac{10}{10} = 1$,જે દર્શાવે છે કે $a_{10} = a_9$.
$n > 10$ માટે,$\frac{a_n}{a_{n-1}} < 1$,જે દર્શાવે છે કે $a_n < a_{n-1}$.
આમ,શ્રેણી $a_n$ તેની મહત્તમ કિંમત $n = 9$ અને $n = 10$ બંને પર પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,$n$ ની મહત્તમ કિંમત $10$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો છે: $S_n = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3^n-1}{3-1} = \frac{3^n-1}{2}$.
સમાંતર મધ્યક-સમગુણોત્તર મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,$n$ ધન પદો $1, 3, 3^2, \dots, 3^{n-1}$ માટે:
$\frac{1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}}{n} \geq \sqrt[n]{1 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot \dots \cdot 3^{n-1}}$.
$\frac{S_n}{n} \geq \sqrt[n]{3^{0+1+2+\dots+(n-1)}} = \sqrt[n]{3^{\frac{n(n-1)}{2}}}$.
$S_n \geq n \cdot 3^{\frac{n-1}{2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણી $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ એ ચુસ્તપણે વધતી જાય છે અને જેમ $n \to \infty$ તેમ તે $e$ ને અભિસરણ પામે છે.
અહીં $n = 100000$ આપેલ છે,તેથી $\left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000} < e$.
$e \approx 2.71828$ હોવાથી,$\left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000}$ ની કિંમત $2.71828$ થી થોડી ઓછી છે.
વળી,$n=1$ માટે,$\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2$.
શ્રેણી વધતી હોવાથી,$\left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000} > 2$.
આમ,$2 < \left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000} < 2.71828$.
તેથી,આ કિંમતથી મોટો ન હોય તેવો મહત્તમ પૂર્ણાંક $[2.something] = 2$ થાય.

(C) ધારો કે $a_{\infty} = \lim_{n \to \infty} a_n$.
તેથી $a_{\infty} = \sqrt{7 + a_{\infty}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a_{\infty}^2 = 7 + a_{\infty}$,જેનો અર્થ છે કે $a_{\infty}^2 - a_{\infty} - 7 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a_{\infty} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}$.
$a_n > 0$ હોવાથી,આપણે ધન ઉકેલ લઈએ છીએ: $a_{\infty} = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \approx 3.19$.
શ્રેણી $a_n$ વધતી જાય છે અને $a_{\infty}$ થી ઉપર મર્યાદિત છે,તેથી $a_n < a_{\infty} < 4$ તમામ $n \geq 1$ માટે સાચું છે.
આમ,$a_n < 4$ એ તમામ $n \geq 1$ માટે સાચું છે.

(C) $a_n$ મહત્તમ હોય તે માટે $n$ ની કિંમત શોધવા,આપણે ગુણોત્તર $\frac{a_n}{a_{n-1}}$ ધ્યાનમાં લઈએ.
$\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{10^n}{n!} \times \frac{(n-1)!}{10^{n-1}} = \frac{10}{n}$.
$a_n$ વધતું હોય તે માટે,આપણે $\frac{a_n}{a_{n-1}} > 1$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $\frac{10}{n} > 1$,તેથી $n < 10$.
આનો અર્થ એ છે કે $a_1 < a_2 < \ldots < a_9 < a_{10}$.
$n = 10$ માટે,$\frac{a_{10}}{a_9} = \frac{10}{10} = 1$,જે સૂચવે છે કે $a_{10} = a_9$.
$n > 10$ માટે,$\frac{a_n}{a_{n-1}} < 1$,જે સૂચવે છે કે $a_n < a_{n-1}$.
આમ,શ્રેણી $a_n$ તેની મહત્તમ કિંમત $n = 9$ અને $n = 10$ બંને પર પ્રાપ્ત કરે છે.

(A) આપેલ છે કે $x = \sum_{n=0}^{\infty} \cos^{2n} \theta = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta} \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{x}$.
આપેલ છે કે $y = \sum_{n=0}^{\infty} \sin^{2n} \theta = \frac{1}{1 - \sin^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} \implies \cos^2 \theta = \frac{1}{y}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x + y = xy$.
આપેલ છે કે $z = \sum_{n=0}^{\infty} (\cos^2 \theta \sin^2 \theta)^n = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta \sin^2 \theta} = \frac{1}{1 - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y}} = \frac{xy}{xy - 1}$.
$xy - 1 = \frac{xy}{z}$ પરથી,આપણને મળે છે $xy - 1 = \frac{x+y}{z}$ (કારણ કે $xy = x+y$).
આમ,$z(xy - 1) = x + y \implies xyz - z = x + y$.
$x+y = xy$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $xyz - z = xy$,અથવા $xyz = xy + z$.
વૈકલ્પિક રીતે,$xy = x+y$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $z(x+y) = xy + z$,જે $xz + yz = xy + z$ માં પરિણમે છે.

(B) $a, b, c$ એ $G$.$P$. માં છે,તેથી $b^2 = ac$. ધારો કે $r = \frac{b}{a} = \frac{c}{b}$,તેથી $b = ar$ અને $c = ar^2$.
$\log a - \log 2b, \log 2b - \log 3c, \log 3c - \log a$ એ $A$.$P$. માં હોવાથી,$2(\log 2b - \log 3c) = (\log a - \log 2b) + (\log 3c - \log a)$.
$2 \log(\frac{2b}{3c}) = \log(\frac{3c}{2b})$.
ધારો કે $x = \frac{2b}{3c}$,તો $3 \log x = 0$,તેથી $x = 1$.
આમ,$2b = 3c \Rightarrow r = \frac{2}{3}$.
બાજુઓ $a, \frac{2a}{3}, \frac{4a}{9}$ છે.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{(\frac{2a}{3})^2 + (\frac{4a}{9})^2 - a^2}{2(\frac{2a}{3})(\frac{4a}{9})} = -\frac{29}{48} < 0$.
તેથી,તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) કારણ કે $\log \left(\frac{5 c}{2 a}\right), \log \left(\frac{7 b}{5 c}\right), \log \left(\frac{2 a}{7 b}\right)$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી: $\log \left(\frac{5 c}{2 a}\right) + \log \left(\frac{2 a}{7 b}\right) = 2 \log \left(\frac{7 b}{5 c}\right)$
$\log \left(\frac{5 c}{7 b}\right) = \log \left(\frac{49 b^2}{25 c^2}\right)$
$\frac{5 c}{7 b} = \frac{49 b^2}{25 c^2}$ $\Rightarrow 5 c = 7 b$ $\Rightarrow c = \frac{7}{5} b$
$a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$b^2 = ac$. તેથી $a = \frac{5}{7} b$.
બાજુઓ $\frac{5}{7} b, b, \frac{7}{5} b$ છે.
બધી બાજુઓ અસમાન હોવાથી,તે વિષમબાજુ ત્રિકોણ છે.