Mix Examples - Sequences and Series Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $a_1 = 2$ અને $a_2 = 2$.
$n > 2$ માટે,પુનરાવર્તિત સંબંધ $a_n = a_{n-1} - 1$ છે.
આગળના પદોની ગણતરી કરતા:
$a_3 = a_2 - 1 = 2 - 1 = 1$
$a_4 = a_3 - 1 = 1 - 1 = 0$
$a_5 = a_4 - 1 = 0 - 1 = -1$
તેથી,$a_5$ ની કિંમત $-1$ છે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
દરેક પદને $abc$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{a}{abc}, \frac{b}{abc}, \frac{c}{abc}$ એ $A.P.$ માં છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{bc}, \frac{1}{ac}, \frac{1}{ab}$ એ $A.P.$ માં છે.
જોકે,આપેલ પદો $\frac{a}{bc}, \frac{1}{c}, \frac{2}{b}$ છે.
$a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$2b = a + c$ થાય.
$abc$ વડે ભાગતા,$\frac{2}{ac} = \frac{1}{bc} + \frac{1}{ab}$ મળે.
આપેલ શ્રેણી $\frac{a}{bc}, \frac{1}{c}, \frac{2}{b}$ એ $A.P.$,$G.P.$ કે $H.P.$ ની શરતોનું પાલન કરતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$ .....$(i)$
$x$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક છે,તેથી $x = \frac{a + b}{2}$ .....(ii)
$y$ એ $b$ અને $c$ વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક છે,તેથી $y = \frac{b + c}{2}$ .....(iii)
હવે,પદાવલિ $\frac{a}{x} + \frac{c}{y}$ ધ્યાનમાં લો.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા: $\frac{a}{\frac{a+b}{2}} + \frac{c}{\frac{b+c}{2}} = \frac{2a}{a+b} + \frac{2c}{b+c}$
$= \frac{2a(b+c) + 2c(a+b)}{(a+b)(b+c)} = \frac{2ab + 2ac + 2ac + 2bc}{ab + ac + b^2 + bc}$
$b^2 = ac$ હોવાથી,છેદ $ab + ac + ac + bc = ab + 2ac + bc$ થાય છે.
આમ,પદાવલિ $\frac{2(ab + 2ac + bc)}{ab + 2ac + bc} = 2$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$.
આપેલ છે કે $b - c, c - a, a - b$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $\frac{2}{c - a} = \frac{1}{b - c} + \frac{1}{a - b}$.
$H.P.$ ની શરતનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{2}{c - a} = \frac{a - b + b - c}{(b - c)(a - b)} = \frac{a - c}{(b - c)(a - b)}$.
$2(b - c)(a - b) = -(c - a)^2$.
$2(ab - b^2 - ac + bc) = -(c - a)^2$.
$b^2 = ac$ હોવાથી,$2(ab - ac - ac + bc) = -(c - a)^2$.
$2(ab + bc - 2ac) = -(c - a)^2$.
$2b(a + c) - 4ac = -(c^2 - 2ac + a^2)$.
$2b(a + c) - 4b^2 = -c^2 + 2b^2 - a^2$.
$a^2 + 2b(a + c) + c^2 = 6b^2$.
આમ,$a+b+c$ ની કિંમત $a, b,$ અને $c$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે કોઈનાથી પણ સ્વતંત્ર નથી.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$.
$a - b, c - a, b - c$ એ $H.P.$ માં હોવાથી,તેમના વ્યસ્ત $A.P.$ માં છે:
$\frac{2}{c - a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c}$
આ સમીકરણને ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$2(a - b)(b - c) = -(a - c)^2$
આને સાદું રૂપ આપતા:
$a + 4b + c = 0$.

(A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $(m + 1)^{th}$,$(n + 1)^{th}$ અને $(r + 1)^{th}$ પદો $G.P.$ માં છે,તેથી:
$(a + md), (a + nd), (a + rd)$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$(a + nd)^2 = (a + md)(a + rd)$.
સાદુરૂપ આપતા: $a^2 + 2and + n^2d^2 = a^2 + ard + amd + mrd^2$.
$2and - ard - amd = mrd^2 - n^2d^2$.
$ad(2n - r - m) = d^2(mr - n^2)$.
તેથી,$\frac{d}{a} = \frac{2n - (m + r)}{mr - n^2}$ ... $(i)$.
આપેલ છે કે $m, n, r$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $n = \frac{2mr}{m + r}$,જેનો અર્થ છે કે $m + r = \frac{2mr}{n}$.
સમીકરણ $(i)$ માં $m + r$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d}{a} = \frac{2n - \frac{2mr}{n}}{mr - n^2} = \frac{\frac{2n^2 - 2mr}{n}}{mr - n^2} = \frac{-2(mr - n^2)}{n(mr - n^2)} = -\frac{2}{n}$.

(A) કિસ્સો $1$: જો $9, x, y, z, a$ એ $A.P.$ માં હોય,તો પદોનો સરવાળો $9 + x + y + z + a = \frac{5}{2}(9 + a)$ થાય.
$x + y + z = 15$ આપેલ છે,તેથી $9 + 15 + a = \frac{5}{2}(9 + a)$.
$24 + a = \frac{45 + 5a}{2}$.
$48 + 2a = 45 + 5a$.
$3a = 3 \Rightarrow a = 1$.
કિસ્સો $2$: જો $9, x, y, z, a$ એ $H.P.$ માં હોય,તો $\frac{1}{9}, \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}, \frac{1}{a}$ એ $A.P.$ માં થાય.
આ પદોનો સરવાળો $\frac{1}{9} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{a}\right)$ થાય.
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{5}{3}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{9} + \frac{5}{3} + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{a}\right)$.
$\frac{16}{9} + \frac{1}{a} = \frac{5}{18} + \frac{5}{2a}$.
$\frac{1}{a} - \frac{5}{2a} = \frac{5}{18} - \frac{16}{9}$.
$-\frac{3}{2a} = -\frac{3}{2} \Rightarrow a = 1$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{b + a}{b - a} = \frac{b + c}{b - c}$.
યોગ-વિયોગ પ્રમાણ (componendo and dividendo) લેતા:
$\frac{(b + a) + (b - a)}{(b + a) - (b - a)} = \frac{(b + c) + (b - c)}{(b + c) - (b - c)}$
$\frac{2b}{2a} = \frac{2b}{2c}$
$\frac{b}{a} = \frac{b}{c}$
તેથી $a = c$ મળે.
આથી $a, b, c$ કોઈ ચોક્કસ શ્રેણીમાં નથી.

(D) ધારો કે $A.P.$ એ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે.
પદોનો વર્ગ કરતા,આપણને $a^2, (a+d)^2, (a+2d)^2, \dots$ મળે છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધતા:
$d_1 = (a+d)^2 - a^2 = 2ad + d^2$
$d_2 = (a+2d)^2 - (a+d)^2 = 2ad + 3d^2$
અહીં $d_1 \neq d_2$ હોવાથી (જ્યાં સુધી $d=0$ ન હોય),નવી શ્રેણી $A.P.$ નથી.
તે જ રીતે,$G.P.$ અથવા $H.P.$ માટે તપાસતા જણાય છે કે નવી શ્રેણી આ શ્રેણીઓનું પાલન કરતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\log_x y, \log_z x, \log_y z$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$(\log_z x)^2 = (\log_x y)(\log_y z) = \log_x z = \frac{1}{\log_z x}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\log_z x)^3 = 1$,તેથી $\log_z x = 1$,જેનો અર્થ છે $x = z$.
આપેલ છે કે $xyz = 64$ અને $x = z$,તેથી $x^2 y = 64$,એટલે કે $y = \frac{64}{x^2}$.
આપેલ છે કે $x^3, y^3, z^3$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2y^3 = x^3 + z^3$.
$x = z$ હોવાથી,$2y^3 = 2x^3$,જેનો અર્થ છે $y^3 = x^3$,તેથી $y = x$.
$y = x$ ને $x^2 y = 64$ માં મૂકતા,આપણને $x^3 = 64$ મળે છે,તેથી $x = 4$.
આમ,$x = y = z = 4$.
$x = y = z = 4$ હોવાથી,બધી શરતો સંતોષાય છે: $x=y=z$ સાચું છે,$x=4$ સાચું છે,અને $x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે (સામાન્ય ગુણોત્તર $1$ સાથે) તે પણ સાચું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $p, q, r$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $q = \frac{2pr}{p+r}$.
ધારો કે $K = \frac{pr}{p+r}$,તેથી $q = 2K$ અને $pr = K(p+r)$.
$p^2, q^2, r^2$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$2q^2 = p^2 + r^2$.
$q = 2K$ મૂકતા,$2(4K^2) = p^2 + r^2$,એટલે કે $8K^2 = p^2 + r^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(p+r)^2 = p^2 + r^2 + 2pr = 8K^2 + 2K(p+r)$.
ધારો કે $S = p+r$. તો $S^2 - 2KS - 8K^2 = 0$.
$S$ માટે ઉકેલતા,$(S - 4K)(S + 2K) = 0$,તેથી $S = 4K$ અથવા $S = -2K$.
જો $S = 4K$ હોય,તો $(p-r)^2 = (p+r)^2 - 4pr = 16K^2 - 4(4K^2) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $p=r$,જે અસમાન સંખ્યાઓની શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે.
જો $S = -2K$ હોય,તો $pr = K(-2K) = -2K^2$.
તેથી $(p-r)^2 = (p+r)^2 - 4pr = (-2K)^2 - 4(-2K^2) = 12K^2$.
આમ $p-r = \pm 2\sqrt{3}K$.
$p+r = -2K$ અને $p-r = \pm 2\sqrt{3}K$ ને ઉકેલતા,$p = (-1 \pm \sqrt{3})K$ અને $r = (-1 \mp \sqrt{3})K$ મળે.
તેથી $p:q:r = 1 \mp \sqrt{3} : -2 : 1 \pm \sqrt{3}$.

(C) જો $\frac{1}{16}, a, b$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય,તો $a^2 = \frac{b}{16}$,એટલે કે $b = 16a^2$ ..... $(i)$
જો $a, b, \frac{1}{6}$ હરાત્મક શ્રેણીમાં હોય,તો $b = \frac{2 \cdot a \cdot \frac{1}{6}}{a + \frac{1}{6}} = \frac{2a}{6a + 1}$ ..... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,$16a^2 = \frac{2a}{6a + 1}$.
$a \neq 0$ માટે,$8a = \frac{1}{6a + 1}$,જે $48a^2 + 8a - 1 = 0$ આપે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(4a + 1)(12a - 1) = 0$.
તેથી,$a = -\frac{1}{4}$ અથવા $a = \frac{1}{12}$.
જો $a = -\frac{1}{4}$ હોય,તો $b = 16(-\frac{1}{4})^2 = 1$.
જો $a = \frac{1}{12}$ હોય,તો $b = 16(\frac{1}{12})^2 = \frac{1}{9}$.
તેથી,બંને જોડી સાચી છે.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$.
$\log a - \log 2b, \log 2b - \log 3c, \log 3c - \log a$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,તેમનો સરવાળો $0$ થાય છે:
$(\log a - \log 2b) + (\log 2b - \log 3c) + (\log 3c - \log a) = 0$.
વળી,$2(\log 2b - \log 3c) = \log 3c - \log 2b$.
આથી $3(\log 2b - \log 3c) = 0$,એટલે કે $2b = 3c$,અથવા $b = \frac{3}{2}c$.
$b = \frac{3}{2}c$ ને $b^2 = ac$ માં મૂકતા,$\frac{9}{4}c^2 = ac$,તેથી $a = \frac{9}{4}c$.
આમ,બાજુઓ $a = \frac{9}{4}c, b = \frac{3}{2}c, c = c$ છે.
$\frac{4}{c}$ વડે ગુણતા,બાજુઓ $9, 6, 4$ ના પ્રમાણમાં છે.
$4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52 < 9^2 = 81$ હોવાથી,સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ અન્ય બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા કરતા વધારે છે.
તેથી,ત્રિકોણ ગુરુકોણ છે.

(B) આપેલ છે કે $a$ એ $b$ અને $c$ નો સમાંતર મધ્યક છે,તેથી $a = \frac{b+c}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $b+c = 2a$.
$G_1$ અને $G_2$ એ $b$ અને $c$ વચ્ચેના બે સમગુણોત્તર મધ્યક હોવાથી,શ્રેણી $b, G_1, G_2, c$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) માં છે.
ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. તો $G_1 = br$,$G_2 = br^2$,અને $c = br^3$.
તેથી,$r = (c/b)^{1/3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $G_1 G_2 = (br)(br^2) = b^2 r^3 = b^2 (c/b) = bc$.
હવે,$G_1^3 + G_2^3 = (br)^3 + (br^2)^3 = b^3 r^3 + b^3 r^6 = b^3 (c/b) + b^3 (c/b)^2 = b^2 c + b c^2 = bc(b+c)$.
$bc = G_1 G_2$ અને $b+c = 2a$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$G_1^3 + G_2^3 = (G_1 G_2)(2a) = 2 G_1 G_2 a$.

(C) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $a, ar, ar^2$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$a, ar, ar^2 - 64$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2(ar) = a + (ar^2 - 64) \Rightarrow a(r - 1)^2 = 64$ .....$(i)$
બીજી શરત મુજબ,$a, ar - 8, ar^2 - 64$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$(ar - 8)^2 = a(ar^2 - 64) \Rightarrow ar - 4a = 4$ .....(ii)
સમીકરણો ઉકેલતા,$r = 5$ અને $a = 4$ મળે છે.
તેથી સંખ્યાઓ $4, 20, 100$ છે.

(D) ધારો કે $y = n^n \left( \frac{n+1}{2} \right)^{2n}$.
$n = 2$ માટે:
$y = 2^2 \left( \frac{3}{2} \right)^4 = 4 \times \frac{81}{16} = \frac{81}{4} = 20.25$.
વિકલ્પ $(a)$ અને $(b)$ તપાસો:
$\left( \frac{n+1}{2} \right)^3 = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8} = 3.375$.
$20.25 > 3.375$ હોવાથી,$y$ એ $\left( \frac{n+1}{2} \right)^3$ કરતા મોટું છે.
વિકલ્પ $(c)$ તપાસો:
$(n!)^3 = (2!)^3 = 2^3 = 8$.
$20.25 > 8$ હોવાથી,$y$ એ $(n!)^3$ કરતા મોટું છે.
આમ,$(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,કાં તો $n$ બેકી છે અથવા $n$ એકી છે.
જો $n$ બેકી હોય,તો $n = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે,તેથી $n(n + 1) = 2k(2k + 1)$,જે બેકી છે.
જો $n$ એકી હોય,તો $n = 2k + 1$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે,તેથી $n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)$,જે બેકી છે. આમ,$n(n + 1) = (2k + 1) \times 2(k + 1) = 2(2k + 1)(k + 1)$,જે પણ બેકી છે.
તેથી,બે ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશા બેકી હોય છે.

(D) આપણે સરવાળા $a(n) = \sum_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{k}$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
પદોને જૂથબદ્ધ કરીને,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a(n) = 1 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{2^{n-1}} + \dots + \frac{1}{2^n-1})$.
$\frac{1}{2^{m-1}} + \dots + \frac{1}{2^m-1}$ સ્વરૂપનું દરેક જૂથ $\frac{1}{2}$ કરતા મોટું છે.
આવા $n$ જૂથો હોવાથી,$a(n) > \frac{n}{2}$.
$n=200$ માટે,$a(200) > \frac{200}{2} = 100$.
વળી,આ સરવાળા માટે $a(n) \le n$ એ જાણીતો ગુણધર્મ છે.
આમ,$a(100) \le 100$ અને $a(200) > 100$ બંને સાચા છે.

(C) વિધેય $f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 200}$ ધ્યાનમાં લો.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(x^3 + 200)(2x) - x^2(3x^2)}{(x^3 + 200)^2} = \frac{2x^4 + 400x - 3x^4}{(x^3 + 200)^2} = \frac{x(400 - x^3)}{(x^3 + 200)^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા $x = 0$ અથવા $x^3 = 400$ મળે,એટલે કે $x = \sqrt[3]{400}$.
કારણ કે $7^3 = 343$ અને $8^3 = 512$,તેથી $7 < \sqrt[3]{400} < 8$.
આમ,સૌથી મોટું પદ $a_7$ અથવા $a_8$ હોવું જોઈએ.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$a_7 = \frac{7^2}{7^3 + 200} = \frac{49}{343 + 200} = \frac{49}{543} \approx 0.0902$.
$a_8 = \frac{8^2}{8^3 + 200} = \frac{64}{512 + 200} = \frac{64}{712} = \frac{8}{89} \approx 0.0898$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\frac{49}{543} > \frac{8}{89}$.
તેથી,સૌથી મોટું પદ $a_7 = \frac{49}{543}$ છે.

(C) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણી $a, ar, ar^2, ar^3$ છે જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0, r \neq 1$ (કારણ કે સંખ્યાઓ ભિન્ન છે).
તેથી $b_1 = a$,$b_2 = a(1+r)$,$b_3 = a(1+r+r^2)$,$b_4 = a(1+r+r^2+r^3)$.
$b_1, b_2, b_3, b_4$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવા માટે $b_2 - b_1 = b_3 - b_2$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $ar = ar^2$,તેથી $r=1$,જે ભિન્નતાના વિરોધાભાસમાં છે.
$b_1, b_2, b_3, b_4$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવા માટે $b_2^2 = b_1 b_3$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $a^2(1+r)^2 = a^2(1+r+r^2)$,તેથી $1+2r+r^2 = 1+r+r^2$,જેનો અર્થ છે $r=0$,જે ધન સંખ્યાઓ માટે શક્ય નથી.
આમ,વિધાન-$I$ સાચું છે.
સ્વરિત શ્રેણી માટે,તેમના વ્યસ્ત સમાંતર શ્રેણીમાં હોવા જોઈએ. સામાન્ય $r$ માટે $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \frac{1}{b_3}, \frac{1}{b_4}$ સમાંતર શ્રેણીમાં નથી. તેથી,વિધાન-$II$ ખોટું છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $8^{(1 + |\cos x| + |\cos^2 x| + |\cos^3 x| + \dots)} = 4^3$ છે.
ઘાતાંક એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = |\cos x|$ છે,જ્યાં $|\cos x| < 1$,તેથી સરવાળો $S = \frac{1}{1 - |\cos x|}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$8^{\frac{1}{1 - |\cos x|}} = (2^2)^3 = 2^6 = (2^3)^2 = 8^2$ મળે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$\frac{1}{1 - |\cos x|} = 2$ મળે.
આથી $1 - |\cos x| = \frac{1}{2}$,એટલે કે $|\cos x| = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ થાય.
તેથી,$\cos x = \pm \frac{1}{2}$.
$(-\pi, \pi)$ અંતરાલમાં,ઉકેલો $x = \pm \frac{\pi}{3}$ અને $x = \pm \frac{2\pi}{3}$ છે.

(D) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. પદો $(a + md), (a + nd), (a + rd)$ છે.
આ પદો સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી:
$(a + nd)^2 = (a + md)(a + rd)$
$a^2 + 2and + n^2d^2 = a^2 + ard + amd + mrd^2$
$d(2n - r - m) = d^2(mr - n^2)$
$m, n, r$ સ્વરિત શ્રેણીમાં હોવાથી,$n = \frac{2mr}{m + r}$,એટલે કે $m + r = \frac{2mr}{n}$.
આ કિંમત મૂકતા,$d(2n - \frac{2mr}{n}) = d^2(mr - n^2)$.
$d \cdot \frac{2(n^2 - mr)}{n} = d^2(mr - n^2)$.
આથી,સામાન્ય તફાવત અને પ્રથમ પદનો ગુણોત્તર $-\frac{2}{n}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $t_7 = a + 6d = 9$,તેથી $a = 9 - 6d$.
ગુણાકાર $P = t_1 t_2 t_7 = a(a + d)(a + 6d)$ છે.
$t_7 = 9$ હોવાથી,$P = 9a(a + d) = 9(9 - 6d)(9 - 6d + d) = 9(9 - 6d)(9 - 5d)$.
$P = 9[81 - 45d - 54d + 30d^2] = 9[30d^2 - 99d + 81]$.
$P$ ને લઘુત્તમ કરવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલી $f(d) = 30d^2 - 99d + 81$ નું શિરોબિંદુ શોધીએ.
લઘુત્તમ મૂલ્ય $d = -\frac{b}{2a} = -\frac{-99}{2 \times 30} = \frac{99}{60} = \frac{33}{20}$ પર મળે છે.

(B) ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $x$ એ સમાંતર મધ્યક છે,તેથી $x = \frac{a+b}{2}$,એટલે કે $a+b = 2x$.
આપેલ છે કે $y$ અને $z$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના બે સમગુણોત્તર મધ્યકો છે,તેથી શ્રેણી $a, y, z, b$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધારો. તો $y = ar$,$z = ar^2$,અને $b = ar^3$.
તેથી,$r^3 = \frac{b}{a}$,જેનો અર્થ છે $r = (\frac{b}{a})^{1/3}$.
વળી,$y = a(\frac{b}{a})^{1/3} = a^{2/3}b^{1/3}$ અને $z = a(\frac{b}{a})^{2/3} = a^{1/3}b^{2/3}$.
તેથી $xyz = (a^{2/3}b^{1/3})(a^{1/3}b^{2/3})x = abx$.
$a+b = 2x$ હોવાથી,$y^3 = a^2b$ અને $z^3 = ab^2$ મળે.
તેથી,$\frac{y^3 + z^3}{xyz} = \frac{a^2b + ab^2}{abx} = \frac{ab(a+b)}{abx} = \frac{a+b}{x} = \frac{2x}{x} = 2$.

(B) આપેલ શ્રેઢી $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 8 + 7 + 16 + 9 + \dots$ ના $40$ પદો છે.
આને બે અલગ શ્રેઢીમાં વિભાજિત કરી શકાય,જેમાં દરેકના $20$ પદો છે:
શ્રેઢી $1$: $1, 3, 5, 7, \dots$ ($20$ પદો,સમાંતર શ્રેઢી જ્યાં $a=1, d=2$)
શ્રેઢી $2$: $2, 4, 8, 16, \dots$ ($20$ પદો,સમગુણોત્તર શ્રેઢી જ્યાં $a=2, r=2$)
શ્રેઢી $1$ નો સરવાળો $= \frac{20}{2} [2(1) + (20-1)2] = 10 [2 + 38] = 10 \times 40 = 400$.
શ્રેઢી $2$ નો સરવાળો $= \frac{2(2^{20} - 1)}{2 - 1} = 2(2^{20} - 1) = 2^{21} - 2$.
કુલ સરવાળો $= 400 + 2^{21} - 2 = 398 + 2^{21}$.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
$a$ અને $b$ વચ્ચેના બે સમાંતર મધ્યકો $A_1, A_2$ માટે,તેમનો સરવાળો $A_1 + A_2 = 2 \times \frac{a+b}{2} = a+b$ થાય.
$a$ અને $b$ વચ્ચેના બે સમગુણોત્તર મધ્યકો $G_1, G_2$ માટે,તેમનો ગુણાકાર $G_1 G_2 = ab$ થાય.
$a$ અને $b$ વચ્ચેના બે સ્વરીત મધ્યકો $H_1, H_2$ માટે,તેમના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{H_1} + \frac{1}{H_2} = 2 \times \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{a+b}{ab}$ થાય.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{H_1 + H_2}{H_1 H_2} = \frac{a+b}{ab}$ મળે.
$a+b = A_1 + A_2$ અને $ab = G_1 G_2$ મૂકતા,આપણને $\frac{H_1 + H_2}{H_1 H_2} = \frac{A_1 + A_2}{G_1 G_2}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{A_1 + A_2}{H_1 + H_2} \cdot \frac{H_1 H_2}{G_1 G_2} = 1$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $m = \frac{l+n}{2}$,તેથી $2m = l+n$.
$G_1, G_2, G_3$ એ $l$ અને $n$ વચ્ચેના ત્રણ ગુણોત્તર મધ્યકો હોવાથી,શ્રેણી $l, G_1, G_2, G_3, n$ એ $G.P.$ માં છે.
ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. તેથી $n = l r^4$,એટલે કે $r^4 = \frac{n}{l}$.
પદો $G_1 = lr, G_2 = lr^2, G_3 = lr^3$ છે.
આપણે $G_1^4 + 2G_2^4 + G_3^4 = (lr)^4 + 2(lr^2)^4 + (lr^3)^4$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$= l^4r^4 + 2l^4r^8 + l^4r^{12} = l^4r^4(1 + 2r^4 + r^8) = l^4r^4(1 + r^4)^2$.
$r^4 = \frac{n}{l}$ મૂકતા:
$= l^4 \left(\frac{n}{l}\right) \left(1 + \frac{n}{l}\right)^2 = l^3n \left(\frac{l+n}{l}\right)^2 = l^3n \frac{(l+n)^2}{l^2} = ln(l+n)^2$.
$l+n = 2m$ હોવાથી,આપણને $ln(2m)^2 = 4lm^2n$ મળે છે.

(B) ધારો કે ભૌમિતિક શ્રેણીના ત્રણ પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
સરવાળો $14$ આપેલ છે,તેથી $\frac{a}{r} + a + ar = 14 \Rightarrow a(\frac{1}{r} + 1 + r) = 14$ ... $(i)$
પ્રશ્ન મુજબ,નવા પદો $(\frac{a}{r} + 1), (a + 1), (ar - 1)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$2(a + 1) = (\frac{a}{r} + 1) + (ar - 1)$
$2a + 2 = \frac{a}{r} + ar$
$2a + 2 = a(\frac{1}{r} + r)$
$(i)$ પરથી,$a(\frac{1}{r} + r) = 14 - a$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2a + 2 = 14 - a$
$3a = 12 \Rightarrow a = 4$.
હવે,$a = 4$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$4(\frac{1}{r} + 1 + r) = 14$
$\frac{1}{r} + 1 + r = 3.5$
$r + \frac{1}{r} = 2.5 = \frac{5}{2}$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0$
તેથી,$r = 2$ અથવા $r = \frac{1}{2}$.
જો $r = 2$ હોય,તો પદો $\frac{4}{2}, 4, 4(2) = 2, 4, 8$ છે.
જો $r = \frac{1}{2}$ હોય,તો પદો $\frac{4}{1/2}, 4, 4(1/2) = 8, 4, 2$ છે.
બંને કિસ્સામાં,પદો $2, 4, 8$ છે. સૌથી નાનું પદ $2$ છે.

(A) આપેલ છે $t_n = \log \left( \frac{5^{n+1}}{3^{n-1}} \right) = \log(25) + (n-1) \log \left( \frac{5}{3} \right)$.
આ $A.P.$ નું સ્વરૂપ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = \log(25)$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \log(5/3)$ છે.
આપેલ છે $s_n = \left[ \log \left( \frac{5}{3} \right) \right]^n$. આ $G.P.$ નું સ્વરૂપ છે જ્યાં સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \log(5/3)$ છે.
તેથી,$\{t_n\}$ એ $A.P.$ છે અને $\{s_n\}$ એ $G.P.$ છે.

(D) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = S_n - S_{n-1}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n > 1$.
$n=1$ માટે,$T_1 = S_1 = 3(1)^2 + 4(1) + 15 = 22$.
$n=2$ માટે,$T_2 = S_2 - S_1 = (3(2)^2 + 4(2) + 15) - 22 = 35 - 22 = 13$.
$n=3$ માટે,$T_3 = S_3 - S_2 = (3(3)^2 + 4(3) + 15) - 35 = 54 - 35 = 19$.
આમ,$T_3 - T_1 = 19 - 22 = -3$.

(C) આપેલ છે કે $a, a + 2b, 2a + b$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2(a + 2b) = a + (2a + b)$
$2a + 4b = 3a + b$
$a = 3b$ ... $(1)$
આપેલ છે કે $(b + 1)^2, ab + 5, (a + 1)^2$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$(ab + 5)^2 = (a + 1)^2(b + 1)^2$ ... $(2)$
$(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$(3b^2 + 5)^2 = (3b + 1)^2(b + 1)^2$
$3b^2 + 5 = \pm(3b + 1)(b + 1)$
કિસ્સો $1$: $3b^2 + 5 = (3b + 1)(b + 1)$
$3b^2 + 5 = 3b^2 + 4b + 1$
$4b = 4 \Rightarrow b = 1$
$(1)$ પરથી,$a = 3(1) = 3$
આમ,$a + b = 3 + 1 = 4$
કિસ્સો $2$: $3b^2 + 5 = -(3b + 1)(b + 1)$
$3b^2 + 5 = -(3b^2 + 4b + 1)$
$6b^2 + 4b + 6 = 0 \Rightarrow 3b^2 + 2b + 3 = 0$
અહીં વિવેચક $D = 2^2 - 4(3)(3) = 4 - 36 = -32 < 0$ હોવાથી,$b$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,$a + b = 4$.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $GP$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$ .....$(1)$
આપેલ છે કે $4a, 5b, 4c$ એ $AP$ માં છે,તેથી $2(5b) = 4a + 4c$,જેનું સાદું રૂપ $10b = 4(a + c)$ અથવા $a + c = \frac{5b}{2}$ થાય .....$(2)$
આપણને $a + b + c = 70$ આપેલ છે. તેમાં $(2)$ મૂકતા,$\frac{5b}{2} + b = 70$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{7b}{2} = 70$,તેથી $b = 20$.
હવે,$b = 20$ ને $(2)$ માં મૂકતા $a + c = \frac{5(20)}{2} = 50$ મળે. વળી,$(1)$ પરથી,$ac = b^2 = 20^2 = 400$.
આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a+c)x + ac = 0$ મળે,જે $x^2 - 50x + 400 = 0$ છે. આને ઉકેલતા,$(x - 40)(x - 10) = 0$,તેથી ${a, c} = {10, 40}$.
આમ,$a^3 + b^3 + c^3 = 10^3 + 20^3 + 40^3 = 1000 + 8000 + 64000 = 73000$.

(D) ધારો કે $G.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે પદોનો ગુણાકાર $512$ છે:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 512$
$a^3 = 512 \Rightarrow a = 8$.
હવે,જો પ્રથમ અને બીજા પદમાં $4$ ઉમેરવામાં આવે,તો પદો $(\frac{8}{r} + 4), 12, 8r$ બને છે.
આ પદો $A.P.$ માં હોવાથી,વચ્ચેનું પદ બાકીના બે પદોનો સમાંતર મધ્યક છે:
$2 \times 12 = (\frac{8}{r} + 4) + 8r$
$24 = \frac{8}{r} + 4 + 8r$
$20 = \frac{8}{r} + 8r$
$4$ વડે ભાગતા:
$5 = \frac{2}{r} + 2r$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0$
તેથી,$r = 2$ અથવા $r = \frac{1}{2}$.
જો $r = 2$ હોય,તો પદો $4, 8, 16$ છે.
જો $r = \frac{1}{2}$ હોય,તો પદો $16, 8, 4$ છે.
બંને કિસ્સામાં,પદોનો સરવાળો $4 + 8 + 16 = 28$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b = ar$ અને $c = ar^2.$
$3a, 7b, 15c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$2(7b) = 3a + 15c.$
$b$ અને $c$ ની કિંમત મૂકતા: $14(ar) = 3a + 15ar^2.$
$a \ne 0$ હોવાથી,$15r^2 - 14r + 3 = 0.$
અવયવ પાડતા: $(3r - 1)(5r - 1) = 0,$ તેથી $r = \frac{1}{3}$ અથવા $r = \frac{1}{5}.$
$0 < r \le \frac{1}{2}$ હોવાથી,બંને કિંમતો સ્વીકાર્ય છે. વિકલ્પો મુજબ,$r = \frac{1}{3}$ લેતા.
સામાન્ય તફાવત $d = 7b - 3a = 7a(\frac{1}{3}) - 3a = -\frac{2a}{3}.$
ચોથું પદ $= 15c + d = 15a(\frac{1}{3})^2 - \frac{2a}{3} = \frac{15a}{9} - \frac{2a}{3} = a.$

(A) આપેલ શ્રેણી $3+4+8+9+13+14+18+19+\ldots$ ના $40$ પદો છે.
આપણે પદોને જોડીમાં ગોઠવી શકીએ: $(3+4) + (8+9) + (13+14) + (18+19) + \ldots$
આમાં આવી $20$ જોડીઓ છે.
દરેક જોડીના પ્રથમ પદો સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $3, 8, 13, 18, \ldots$ જ્યાં $a=3$ અને $d=5$.
આ શ્રેણીનું $n$-મું પદ $a_n = 5n-2$ છે.
દરેક જોડીના બીજા પદો સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $4, 9, 14, 19, \ldots$ જ્યાં $a=4$ અને $d=5$.
આ શ્રેણીનું $n$-મું પદ $b_n = 5n-1$ છે.
$20$ જોડીઓનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{20} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{20} (10n-3) = 2040$ થાય.
આપેલ છે કે સરવાળો $(102)m$ છે,તેથી $102m = 2040$.
$m = 20$.

(C) $x$ માટેનું પદ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\tan^2 \theta$ છે.
$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$0 < \tan^2 \theta < 1$ થાય,તેથી શ્રેણીનો સરવાળો $x = \frac{1}{1 - (-\tan^2 \theta)} = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \cos^2 \theta$ મળે.
$y$ માટેનું પદ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \cos^2 \theta$ છે.
$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\frac{1}{2} < \cos^2 \theta < 1$ થાય,તેથી શ્રેણીનો સરવાળો $y = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}$ મળે.
$x = \cos^2 \theta$ પરથી,$\sin^2 \theta = 1 - x$ મળે.
આ કિંમત $y$ માં મૂકતા,$y = \frac{1}{1 - x}$ મળે.
તેથી,$y(1 - x) = 1$.

(A) આપેલ શ્રેણીનું સૂત્ર $a_{n} = \frac{n-3}{4}$ છે.
પ્રથમ ત્રણ પદો શોધવા માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 1, 2, 3$ મૂકીશું:
$n = 1$ માટે: $a_{1} = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
$n = 2$ માટે: $a_{2} = \frac{2-3}{4} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}$.
$n = 3$ માટે: $a_{3} = \frac{3-3}{4} = \frac{0}{4} = 0$.
આમ,પ્રથમ ત્રણ પદો $-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, 0$ છે.

(A) પ્રથમ પાંચ પદો શોધવા માટે,આપણે $n = 1, 2, 3, 4, 5$ ને સૂત્ર $a_{n} = (-1)^{n-1} 5^{n+1}$ માં મૂકીએ છીએ.
$n = 1$ માટે: $a_{1} = (-1)^{1-1} 5^{1+1} = (-1)^{0} 5^{2} = 1 \times 25 = 25$.
$n = 2$ માટે: $a_{2} = (-1)^{2-1} 5^{2+1} = (-1)^{1} 5^{3} = -1 \times 125 = -125$.
$n = 3$ માટે: $a_{3} = (-1)^{3-1} 5^{3+1} = (-1)^{2} 5^{4} = 1 \times 625 = 625$.
$n = 4$ માટે: $a_{4} = (-1)^{4-1} 5^{4+1} = (-1)^{3} 5^{5} = -1 \times 3125 = -3125$.
$n = 5$ માટે: $a_{5} = (-1)^{5-1} 5^{5+1} = (-1)^{4} 5^{6} = 1 \times 15625 = 15625$.
આમ,પ્રથમ પાંચ પદો $25, -125, 625, -3125, 15625$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણીનું $n^{\text{th}}$ પદ $a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}$ છે.
$7^{\text{th}}$ પદ શોધવા માટે,સૂત્રમાં $n = 7$ મૂકતા:
$a_{7} = \frac{7^{2}}{2^{7}}$
$a_{7} = \frac{49}{128}$

(A) આપેલ છે: $a_{1}=3$ અને $a_{n}=3a_{n-1}+2$ જ્યાં $n > 1$.
પગલું $1$: $a_{2} = 3(a_{1}) + 2 = 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11$.
પગલું $2$: $a_{3} = 3(a_{2}) + 2 = 3(11) + 2 = 33 + 2 = 35$.
પગલું $3$: $a_{4} = 3(a_{3}) + 2 = 3(35) + 2 = 105 + 2 = 107$.
પગલું $4$: $a_{5} = 3(a_{4}) + 2 = 3(107) + 2 = 321 + 2 = 323$.
આમ,પ્રથમ પાંચ પદ $3, 11, 35, 107, 323$ છે.
તેને અનુરૂપ શ્રેઢી $3+11+35+107+323+\ldots$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a_{1} = -1$ અને $n \geq 2$ માટે $a_{n} = \frac{a_{n-1}}{n}$.
$n = 2$ માટે: $a_{2} = \frac{a_{1}}{2} = \frac{-1}{2}$.
$n = 3$ માટે: $a_{3} = \frac{a_{2}}{3} = \frac{-1/2}{3} = \frac{-1}{6}$.
$n = 4$ માટે: $a_{4} = \frac{a_{3}}{4} = \frac{-1/6}{4} = \frac{-1}{24}$.
$n = 5$ માટે: $a_{5} = \frac{a_{4}}{5} = \frac{-1/24}{5} = \frac{-1}{120}$.
પ્રથમ પાંચ પદો $-1, \frac{-1}{2}, \frac{-1}{6}, \frac{-1}{24}, \frac{-1}{120}$ છે.
અનુરૂપ શ્રેણી $(-1) + (\frac{-1}{2}) + (\frac{-1}{6}) + (\frac{-1}{24}) + (\frac{-1}{120}) + \dots$ છે.

(C) આપેલ છે: $a_{1} = 2, a_{2} = 2$ અને $a_{n} = a_{n-1} - 1, n > 2$ માટે.
$n = 3$ માટે: $a_{3} = a_{2} - 1 = 2 - 1 = 1$.
$n = 4$ માટે: $a_{4} = a_{3} - 1 = 1 - 1 = 0$.
$n = 5$ માટે: $a_{5} = a_{4} - 1 = 0 - 1 = -1$.
પ્રથમ પાંચ પદો $2, 2, 1, 0, -1$ છે.
અનુરૂપ શ્રેઢી $2 + 2 + 1 + 0 + (-1)$ છે.

(A) સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ $4$ થી શરૂ થવી જોઈએ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ હોવો જોઈએ,તેથી પદો $4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192$ છે. પછીનું પદ $16384$ એ પાંચ અંકની સંખ્યા છે.
સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ $11$ થી શરૂ થવી જોઈએ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5$ હોવો જોઈએ (કારણ કે $16-11=5, 21-16=5, 26-21=5$),તેથી પદો $11, 16, 21, 26, 31, \dots, a_n = 11 + (n-1)5$ છે.
આપણે $GP$ માં એવા પદો શોધીએ છીએ જે $AP$ માં પણ હોય. પદ $x$ એ $AP$ માં હોય જો $x \equiv 1 \pmod{5}$ હોય.
$GP$ ના પદો તપાસતા:
$16 \equiv 1 \pmod{5}$ (સામાન્ય)
$256 \equiv 1 \pmod{5}$ (સામાન્ય)
$4096 \equiv 1 \pmod{5}$ (સામાન્ય)
સામાન્ય પદો $16, 256, 4096$ છે. આવા $3$ પદો છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = (x+y)+(x^{2}+xy+y^{2})+(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})+\ldots$ છે.
$(x-y)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S = \frac{(x-y)(x+y)+(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})+(x-y)(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})+\ldots}{x-y}$
નિત્યસમ $(x-y)(x^n + x^{n-1}y + \ldots + y^n) = x^{n+1} - y^{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{(x^{2}-y^{2})+(x^{3}-y^{3})+(x^{4}-y^{4})+\ldots}{x-y}$
$S = \frac{(x^{2}+x^{3}+x^{4}+\ldots) - (y^{2}+y^{3}+y^{4}+\ldots)}{x-y}$
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{\frac{x^{2}}{1-x} - \frac{y^{2}}{1-y}}{x-y}$
સાદુરૂપ આપતા:
$S = \frac{x+y-xy}{(1-x)(1-y)}$

(C) શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{9} [x^n + (k + 2(n-1))a]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરવાળો વિસ્તૃત કરતા,આપણને મળે $S = (x + x^2 + \ldots + x^9) + \sum_{n=1}^{9} (k + 2n - 2)a$.
ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{9} x^n = x \frac{x^9 - 1}{x - 1} = \frac{x^{10} - x}{x - 1}$ છે.
અંકગણિત ભાગનો સરવાળો $\sum_{n=0}^{8} (k + 2n)a = 9ka + 72a = a(9k + 72)$ છે.
આમ,$S = \frac{x^{10} - x + (9k + 72)a(x - 1)}{x - 1}$.
આપેલ $S = \frac{x^{10} - x + 45a(x - 1)}{x - 1}$ સાથે સરખાવતા,$9k + 72 = 45$ મળે.
$9k = -27$,તેથી $k = -3$.

(A) ધારો કે $3$ અને $243$ ની વચ્ચે સમાંતર મધ્યકો $A_1, A_2, \dots, A_m$ છે. સામાન્ય તફાવત $d = \frac{243 - 3}{m + 1} = \frac{240}{m + 1}$ છે.
$4^{\text{th}}$ $A.M.$ એ $A_4 = a + 4d = 3 + 4 \left( \frac{240}{m + 1} \right)$ છે.
ધારો કે $3$ અને $243$ ની વચ્ચે સમગુણોત્તર મધ્યકો $G_1, G_2, G_3$ છે. સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \left( \frac{243}{3} \right)^{\frac{1}{3 + 1}} = (81)^{\frac{1}{4}} = 3$ છે.
$2^{\text{nd}}$ $G.M.$ એ $G_2 = ar^2 = 3 \times (3)^2 = 27$ છે.
$A_4 = G_2$ હોવાથી,$3 + \frac{960}{m + 1} = 27$.
$\frac{960}{m + 1} = 24$.
$m + 1 = 40$.
$m = 39$.

(A) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $\log_{a^{1/k_n}} x = k_n \log_a x$ છે,જ્યાં $k_n$ એ $2, 3, 6, 11, 18, 27, \ldots$ શ્રેણીને અનુસરે છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી છે.
આ શ્રેણીનું $n$-મું પદ $k_n = (n-1)^2 + 2$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n(x) = \left( \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 2n \right) \log_a x$ છે.
$n=24$ માટે,$S_{24}(x) = 4372 \log_a x = 1093$,તેથી $\log_a x = \frac{1}{4}$.
$n=12$ માટે,$S_{12}(2x) = 530 \log_a (2x) = 265$,તેથી $\log_a (2x) = \frac{1}{2}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $\log_a (2x) - \log_a x = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
$\log_a 2 = \frac{1}{4} \implies a = 2^4 = 16$.

(D) ધારો કે $S = \cos^{2} x + \cos^{4} x + \cos^{6} x + \dots \infty$. આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \cos^{2} x$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \cos^{2} x$ છે.
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$0 < \cos^{2} x < 1$,તેથી $S = \frac{\cos^{2} x}{1 - \cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} = \cot^{2} x$.
આપેલ પદ $e^{S \log_{e} 2} = 2^{S} = 2^{\cot^{2} x}$ છે.
સમીકરણ $t^{2} - 9t + 8 = 0$ પરથી,$(t - 8)(t - 1) = 0$,તેથી $t = 8$ અથવા $t = 1$.
આમ,$2^{\cot^{2} x} = 8 = 2^{3}$ અથવા $2^{\cot^{2} x} = 1 = 2^{0}$.
જો $\cot^{2} x = 3$,તો $\cot x = \sqrt{3}$ (પ્રથમ ચરણમાં).
જો $\cot^{2} x = 0$,તો $\cot x = 0$,જે $x = \frac{\pi}{2}$ સૂચવે છે,પરંતુ $x < \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$\cot x = \sqrt{3}$.
હવે,$\frac{2 \sin x}{\sin x + \sqrt{3} \cos x} = \frac{2}{1 + \sqrt{3} \cot x}$ માં કિંમત મૂકતા,$\frac{2}{1 + \sqrt{3}(\sqrt{3})} = \frac{2}{1 + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(B) આપણે એવી $3$-અંકની સંખ્યાઓ $N \le 500$ શોધવાની છે જે $11$ નો ગુણક હોય અને જેમાં $1$ અંકનો સમાવેશ ન થતો હોય.
$100$ અને $500$ ની વચ્ચે $11$ ના ગુણકો $110, 121, \ldots, 495$ છે.
$1$ અંક ધરાવતી સંખ્યાઓને બાદ કરતાં,માન્ય સંખ્યાઓ છે:
$209, 220, 242, 253, 264, 275, 286, 297, 308, 330, 352, 363, 374, 385, 396, 407, 429, 440, 462, 473, 484, 495$.
આ કિંમતોનો સરવાળો:
$209+220+242+253+264+275+286+297+308+330+352+363+374+385+396+407+429+440+462+473+484+495 = 7744$.

(A) આપેલ છે કે $c_{2} = a_{2} + b_{2} = (a_{1} - 3) + (2b_{1}) = 12$,તેથી $a_{1} + 2b_{1} = 15 \dots (1)$.
આપેલ છે કે $c_{3} = a_{3} + b_{3} = (a_{1} - 6) + (4b_{1}) = 13$,તેથી $a_{1} + 4b_{1} = 19 \dots (2)$.
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,આપણને $2b_{1} = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $b_{1} = 2$.
$b_{1} = 2$ ને $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $a_{1} + 4 = 15$ મળે છે,તેથી $a_{1} = 11$.
હવે,$\sum_{k=1}^{10} c_{k} = \sum_{k=1}^{10} a_{k} + \sum_{k=1}^{10} b_{k}$.
$AP$ નો સરવાળો $S_{a} = \frac{10}{2} [2(11) + (10-1)(-3)] = 5(22 - 27) = 5(-5) = -25$.
$GP$ નો સરવાળો $S_{b} = \frac{b_{1}(r^{10} - 1)}{r - 1} = \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2(1024 - 1) = 2(1023) = 2046$.
તેથી,$\sum_{k=1}^{10} c_{k} = -25 + 2046 = 2021$.