Mix Examples - Sequences and Series Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $AP$ માં પાંચ સંખ્યાઓ $(a-2d), (a-d), a, (a+d), (a+2d)$ છે,જ્યાં $d \neq 0$.
આપેલ છે કે $1^{st}$,$3^{rd}$ અને $4^{th}$ પદો $GP$ માં છે.
તેથી,$(a-d)^2 = (a-2d)(a+d)$.
સમીકરણ ઉકેલતા: $a^2 = a^2 - ad - 2d^2$.
$ad = -2d^2$.
$d \neq 0$ હોવાથી,$a = -2d$.
પદો: $-4d, -3d, -2d, -d, 0$ છે.
આમ,$5^{th}$ પદ હંમેશા $0$ હોય છે.

(A) આપણને $I(n) = n^n$ અને $J(n) = 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times (2n - 1)$ આપેલ છે.
$n$ ધન પૂર્ણાંકો $1, 3, 5, \ldots, (2n - 1)$ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)}{n} > \sqrt[n]{1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times (2n - 1)}$
પ્રથમ $n$ એકી પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $n^2$ છે,તેથી $\frac{n^2}{n} > (J(n))^{1/n}$.
આનું સાદું રૂપ $n > (J(n))^{1/n}$ થાય છે.
બંને બાજુ $n$ ઘાત લેતા,આપણને $n^n > J(n)$ મળે છે.
આમ,$I(n) > J(n)$.

(C) પ્રથમ,$a = \min \{x^{2} + 2x + 3\}$ શોધો. દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^{2} + Bx + C$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{4AC - B^{2}}{4A}$ દ્વારા મળે છે. અહીં $A=1, B=2, C=3$ છે,તેથી $a = \frac{4(1)(3) - (2)^{2}}{4(1)} = \frac{12 - 4}{4} = 2$.
આગળ,$b = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^{2}}$ શોધો. નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^{2}(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $b = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \sin^{2}(\theta/2)}{\theta^{2}} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \sin^{2}(\theta/2)}{4(\theta/2)^{2}} = \frac{2}{4}(1)^{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
હવે,સરવાળો $S = \sum_{r=0}^{n} a^{r} b^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^{r} (\frac{1}{2})^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^{r} \cdot 2^{r-n} = \sum_{r=0}^{n} 2^{2r-n} = 2^{-n} \sum_{r=0}^{n} 4^{r}$ ની ગણતરી કરો.
આ $n+1$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $4$ છે. સરવાળો $2^{-n} \left[ \frac{1(4^{n+1} - 1)}{4 - 1} \right] = 2^{-n} \left[ \frac{4^{n+1} - 1}{3} \right] = \frac{4^{n+1} - 1}{3 \cdot 2^{n}}$ થાય છે.

(B) આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ: $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.
આને $a_{n+1} - \frac{1}{2}a_{n} = \frac{2}{(n+1)^{2}} - \frac{1}{n^{2}}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $b_{n} = a_{n} - \frac{2}{n^{2}}$. તેથી $a_{n} = b_{n} + \frac{2}{n^{2}}$.
આ કિંમત સંબંધમાં મૂકતા:
$b_{n+1} + \frac{2}{(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}(b_{n} + \frac{2}{n^{2}}) + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.
$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{1}{n^{2}} - \frac{2}{(n+1)^{2}} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{(n+1)^{2} - 2n^{2} + n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{n^{2}+2n+1-2n^{2}+n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n}$.
અહીં $b_{1} = a_{1} - \frac{2}{1^{2}} = 1 - 2 = -1$,તેથી $b_{n} = b_{1} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = -(\frac{1}{2})^{n-1}$.
આમ,$\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} -(\frac{1}{2})^{n-1} = -\frac{1}{1 - 1/2} = -2$.
તેથી,$|\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}| = |-2| = 2$.

(A) ધારો કે $A$.$P$. $a, a+d, \dots$ છે અને $G$.$P$. $g, gr, \dots$ છે.
આપેલ છે કે $A$.$P$. ના પ્રથમ દસ પદોનો સરવાળો $160$ છે,તેથી $S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 160$,જેનું સાદું રૂપ $2a + 9d = 32$ થાય છે.
આપેલ છે કે $G$.$P$. ના પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $8$ છે,તેથી $g + gr = 8$,અથવા $g(1+r) = 8$.
આપણને $a = r$ અને $g = d$ આપેલ છે. આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$2r + 9g = 32$ અને $g(1+r) = 8$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$g = \frac{8}{1+r}$. આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2r + 9(\frac{8}{1+r}) = 32 \Rightarrow 2r(1+r) + 72 = 32(1+r)$.
$2r^2 + 2r + 72 = 32 + 32r \Rightarrow 2r^2 - 30r + 40 = 0 \Rightarrow r^2 - 15r + 20 = 0$.
ધારો કે બીજ $r_1$ અને $r_2$ છે. તો $r_1 + r_2 = 15$ અને $r_1r_2 = 20$.
$G$.$P$. નું પ્રથમ પદ $g = \frac{8}{1+r}$ છે. $g$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો:
$g_1 + g_2 = \frac{8}{1+r_1} + \frac{8}{1+r_2} = 8 \left( \frac{1+r_2 + 1+r_1}{(1+r_1)(1+r_2)} \right) = 8 \left( \frac{2 + (r_1+r_2)}{1 + (r_1+r_2) + r_1r_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $8 \left( \frac{2 + 15}{1 + 15 + 20} \right) = 8 \left( \frac{17}{36} \right) = \frac{34}{9}$.

(C) આપેલ છે કે પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 3n^2 + 5n$ છે.
$n$ મું પદ $T_n = S_n - S_{n-1}$ દ્વારા મળે છે.
$T_n = (3n^2 + 5n) - (3(n-1)^2 + 5(n-1)) = 3n^2 + 5n - (3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5) = 6n + 2$.
પ્રથમ $10$ પદો $8, 14, 20, \dots, 62$ છે.
આપણે વર્ગોનો સરવાળો શોધવાનો છે: $\sum_{n=1}^{10} (6n + 2)^2$.
$= \sum_{n=1}^{10} (36n^2 + 24n + 4) = 36 \sum_{n=1}^{10} n^2 + 24 \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} 4$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$.
$= 36 \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + 24 \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right) + 4(10)$.
$= 6(10 \cdot 11 \cdot 21) + 12(110) + 40$.
$= 6(2310) + 1320 + 40 = 13860 + 1360 = 15220$.

(D) ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $a_n = a + (n-1)d$ અને સમગુણોત્તર શ્રેણી $g_n = ar^{n-1}$ છે.
આપેલ છે કે $a_1 = g_1 = a$.
$a_2 + g_2 = 1$ પરથી,$(a+d) + ar = 1 \implies d = 1 - a - ar$.
$a_3 + g_3 = 4$ પરથી,$(a+2d) + ar^2 = 4$.
$d$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $a + 2(1 - a - ar) + ar^2 = 4$.
$a + 2 - 2a - 2ar + ar^2 = 4 \implies ar^2 - 2ar - a = 2 \implies a(r^2 - 2r - 1) = 2$.
$a = 1/(1+r)$ લેતા,$\frac{r^2 - 2r - 1}{r+1} = 2 \implies r^2 - 2r - 1 = 2r + 2 \implies r^2 - 4r - 3 = 0$.
પરંતુ જો આપણે $a=1$ અને $r=3$ લઈએ,તો $a_1=1, g_1=1$. $a_2+g_2 = (1+d)+3 = 1 \implies d=-3$. $a_3+g_3 = (1-6)+9 = 4$. આ શરત સંતોષાય છે.
તેથી $a_n = 1 + (n-1)(-3) = 4 - 3n$ અને $g_n = 3^{n-1}$.
$a_{10} = 4 - 3(10) = -26$.
$g_5 = 3^4 = 81$.
$a_{10} + g_5 = -26 + 81 = 55$.