Odds in favor and odds against, Addition theorem on probability Questions in Gujarati

(D) ધારો કે બીજી ઘટનાની સંભાવના $p$ છે. તો પ્રથમ ઘટનાની સંભાવના $\frac{2}{3}p$ થશે.
બે ઘટનાઓમાંથી એક ઘટના ચોક્કસપણે બનતી હોવાથી અને તે પરસ્પર નિવારક હોવાથી,તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય:
$p + \frac{2}{3}p = 1$
$\frac{5}{3}p = 1 \Rightarrow p = \frac{3}{5}$.
પ્રથમ ઘટનાની સંભાવના $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ છે.
બીજી ઘટનાની તરફેણમાં સાનુકૂળ ગુણોત્તર તેની સંભાવના અને તેની પૂરક ઘટના (પ્રથમ ઘટના) ની સંભાવનાનો ગુણોત્તર છે:
$\text{Odds} = \frac{p}{1-p} = \frac{3/5}{2/5} = \frac{3}{2}$.
આમ,બીજી ઘટનાની તરફેણમાં સાનુકૂળ ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(C) લીપ વર્ષમાં $366$ દિવસો હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો બરાબર છે.
આ $2$ વધારાના દિવસો માટે $7$ શક્ય જોડીઓ છે:
$(i)$ (રવિવાર,સોમવાર),$(ii)$ (સોમવાર,મંગળવાર),$(iii)$ (મંગળવાર,બુધવાર),$(iv)$ (બુધવાર,ગુરુવાર),$(v)$ (ગુરુવાર,શુક્રવાર),$(vi)$ (શુક્રવાર,શનિવાર),$(vii)$ (શનિવાર,રવિવાર).
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે લીપ વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોય.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે લીપ વર્ષમાં $53$ સોમવાર હોય.
નિદર્શાવકાશમાંથી,$A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $(i)$ અને $(vii)$ છે,તેથી $P(A) = \frac{2}{7}$.
$B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $(i)$ અને $(ii)$ છે,તેથી $P(B) = \frac{2}{7}$.
છેદગણ $A \cap B$ ($53$ રવિવાર અને $53$ સોમવાર બંને હોય) ફક્ત કિસ્સા $(i)$ માં થાય છે,તેથી $P(A \cap B) = \frac{1}{7}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$.

(A) ધારો કે $p_1$ અને $p_2$ એ પ્રથમ અને બીજી ઘટનાની સંભાવનાઓ છે.
આપેલી શરતો મુજબ:
$p_1 = p_2^2$
ઘટનાની વિરુદ્ધની ઓડ્સ $\frac{1-p}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{1-p_1}{p_1} = \left(\frac{1-p_2}{p_2}\right)^3$.
જો આપણે $p_1 = 1/9$ અને $p_2 = 1/3$ લઈએ,તો:
પ્રથમ ઘટનાની વિરુદ્ધની ઓડ્સ $= \frac{1-1/9}{1/9} = 8$.
બીજી ઘટનાની વિરુદ્ધની ઓડ્સ $= \frac{1-1/3}{1/3} = 2$.
અહીં $8 = 2^3$ થાય છે,તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
ઘટના $A$ માટે,વિરુદ્ધમાં પરિણામ $5 : 2$ છે,તેથી $P(A) = \frac{2}{5+2} = \frac{2}{7}$.
ઘટના $A$ ન બને તેની સંભાવના $P(A') = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ છે.
ઘટના $B$ માટે,તરફેણમાં પરિણામ $6 : 5$ છે,તેથી $P(B) = \frac{6}{6+5} = \frac{6}{11}$.
ઘટના $B$ ન બને તેની સંભાવના $P(B') = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના $1 - P(A' \cap B')$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{5}{7} \times \frac{5}{11} = \frac{25}{77}$.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $1 - \frac{25}{77} = \frac{52}{77}$ થાય.

(C) ધારો કે $A$ એ પત્તું રાજા હોવાની ઘટના છે અને $B$ એ પત્તું ચોકટનું હોવાની ઘટના છે.
કુલ પત્તાની સંખ્યા = $52$.
રાજાઓની સંખ્યા $n(A) = 4$,તેથી $P(A) = \frac{4}{52}$.
ચોકટના પત્તાની સંખ્યા $n(B) = 13$,તેથી $P(B) = \frac{13}{52}$.
ચોકટનો રાજા બંનેમાં સામાન્ય છે,તેથી $n(A \cap B) = 1$,અને $P(A \cap B) = \frac{1}{52}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.

(C) સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,ઘટનાઓના યોગની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(D) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે.
ડેકમાં $4$ રાજા હોય છે.
અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (રાજા મળે તે) $m = 4$ છે.
પ્રતિકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (રાજા ન મળે તે) $n = 52 - 4 = 48$ છે.
અનુકૂળ સંભાવના પ્રમાણ એ અનુકૂળ પરિણામો અને પ્રતિકૂળ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે,જે $m : n$ છે.
તેથી,અનુકૂળ સંભાવના પ્રમાણ $4 : 48$ છે,જેનું સાદું રૂપ $1 : 12$ થાય છે.

(C) નવેમ્બર મહિનામાં $30$ દિવસ હોય છે. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 30$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે તારીખ $5$ નો ગુણાંક છે. ${1, 2, ..., 30}$ માં $5$ ના ગુણાંક ${5, 10, 15, 20, 25, 30}$ છે. તેથી,$n(A) = 6$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે તારીખ $6$ નો ગુણાંક છે. ${1, 2, ..., 30}$ માં $6$ ના ગુણાંક ${6, 12, 18, 24, 30}$ છે. તેથી,$n(B) = 5$.
છેદગણ $A \cap B$ માં એવી તારીખો છે જે $5$ અને $6$ બંનેના ગુણાંક છે (એટલે કે $30$ ના ગુણાંક). આમ,$A \cap B = {30}$,અને $n(A \cap B) = 1$.
સંભાવના માટે સરવાળાનો નિયમ વાપરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{6}{30} + \frac{5}{30} - \frac{1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

(D) કુલ પત્તાની સંખ્યા $n(S) = 52$ છે.
ધારો કે $A$ એ રાણી પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B$ એ લાલ રંગનું પત્તું પસંદ કરવાની ઘટના છે.
રાણીની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે.
લાલ રંગના પત્તાની સંખ્યા $n(B) = 26$ છે.
લાલ રંગની રાણીની સંખ્યા $n(A \cap B) = 2$ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{26}{52} - \frac{2}{52} = \frac{28}{52}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{28}{52} = \frac{7}{13}$ મળે છે.

(D) અહીં $P(A) = 0.25$,$P(B) = 0.50$ અને $P(A \cap B) = 0.12$ આપેલ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = 0.25 + 0.50 - 0.12 = 0.63$.
બંને ઘટના ન ઉદ્દભવે તેની સંભાવના $P(A' \cap B')$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$.
તેથી,$P(A' \cap B') = 1 - 0.63 = 0.37$.

(D) ઘટના બનવાની સંભાવના $P(E) = \frac{3}{8}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘટના બનવાની અને ન બનવાની સંભાવનાનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $P(E) + P(\text{not } E) = 1$.
તેથી,ઘટના ન બનવાની સંભાવના $P(\text{not } E) = 1 - P(E)$ થાય.
$P(\text{not } E) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8-3}{8} = \frac{5}{8}$.

(D) ધારો કે $P(A) = 1/3$ અને $P(B) = 1/4$ એ $A$ અને $B$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,પ્રશ્ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = (1/3) \times (1/4) = 1/12$.
તેથી,$P(A \cup B) = 1/3 + 1/4 - 1/12 = (4 + 3 - 1)/12 = 6/12 = 1/2$.
વિધાન $- I$ માં સંભાવના $7/12$ હોવાનો દાવો કરવામાં આવ્યો છે,જે ખોટું છે.
વિધાન $- II$ જણાવે છે કે ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે,જે આવા પ્રશ્નો માટે પ્રમાણભૂત ધારણા છે,તેથી વિધાન $- II$ સાચું છે.
આમ,વિધાન $- I$ ખોટું છે અને વિધાન $- II$ સાચું છે.

(C) ના નાપાસ થવાની સંભાવના $P(A) = 1/5$ અને $B$ ના નાપાસ થવાની સંભાવના $P(B) = 3/10$ છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તો $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ એક નાપાસ થાય તેની સંભાવના $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)$ થાય.
$P(A \cap \overline{B}) = P(A) \times (1 - P(B)) = \frac{1}{5} \times (1 - \frac{3}{10}) = \frac{7}{50}$.
$P(\overline{A} \cap B) = (1 - P(A)) \times P(B) = (1 - \frac{1}{5}) \times \frac{3}{10} = \frac{12}{50}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{7}{50} + \frac{12}{50} = \frac{19}{50}$.

(D) બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ ના યોગની સંભાવના સરવાળાના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,અને $P(AB) = 0$:
$P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 0$
$P(A \cup B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

(C) ધારો કે $A$ એ રાજા પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B$ એ કાળીનું પત્તું પસંદ કરવાની ઘટના છે.
કુલ પત્તાની સંખ્યા $n(S) = 52$.
રાજાની સંખ્યા $n(A) = 4$.
કાળીના પત્તાની સંખ્યા $n(B) = 13$.
રાજા અને કાળી બંને હોય તેવું પત્તું $n(A \cap B) = 1$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52}$.
$P(A \cup B) = \frac{4 + 13 - 1}{52} = \frac{16}{52}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,$P(A \cup B) = \frac{4}{13}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $A$ એ લાલ રંગનું પત્તુ હોવાની ઘટના છે અને $B$ એ રાણી હોવાની ઘટના છે.
કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$.
લાલ રંગના પત્તાની સંખ્યા $n(A) = 26$.
રાણીની સંખ્યા $n(B) = 4$.
લાલ રંગની રાણીની સંખ્યા $n(A \cap B) = 2$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{26}{52} + \frac{4}{52} - \frac{2}{52} = \frac{28}{52}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{28}{52} = \frac{7}{13}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ટિકિટ પરનો નંબર $3$ નો ગુણક છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે ટિકિટ પરનો નંબર $5$ નો ગુણક છે.
$100$ સુધીના $3$ ના ગુણકો $A = \{3, 6, 9, \dots, 99\}$ છે,તેથી $n(A) = 33$.
$100$ સુધીના $5$ ના ગુણકો $B = \{5, 10, 15, \dots, 100\}$ છે,તેથી $n(B) = 20$.
$3$ અને $5$ બંનેના ગુણકો (એટલે કે $15$ ના ગુણકો) $A \cap B = \{15, 30, 45, 60, 75, 90\}$ છે,તેથી $n(A \cap B) = 6$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{33}{100} + \frac{20}{100} - \frac{6}{100} = \frac{47}{100}$.

(C) ધારો કે $P(A)$,$P(B)$ અને $P(C)$ એ પ્રથમ,દ્વિતીય અને તૃતીય ગ્રેડમાં પાસ થવાની સંભાવનાઓ છે.
આપેલ છે કે $P(A) = 1/10$,$P(B) = 3/5$ અને $P(C) = 1/4$.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,કોઈપણ ગ્રેડમાં પાસ થવાની સંભાવના $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$ થશે.
$P(A \cup B \cup C) = 1/10 + 3/5 + 1/4 = (2 + 12 + 5) / 20 = 19/20$.
નાપાસ થવાની (ચોથા ગ્રેડમાં આવવાની) સંભાવના $P(D) = 1 - P(A \cup B \cup C)$ છે.
$P(D) = 1 - 19/20 = 1/20$.

(A) બે પાસા ફેંકતા મળતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $7$ મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો $E = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 6$ છે.
પ્રતિકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) - n(E) = 36 - 6 = 30$ છે.
પ્રતિકૂળ સંભાવનાનું પ્રમાણ = (પ્રતિકૂળ પરિણામો) : (સાનુકૂળ પરિણામો) = $30 : 6 = 5 : 1$.

(A) સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{6}$.
$\frac{2}{3} = \frac{1}{6} + P(B) \implies P(B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4-1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
હવે,નિરપેક્ષતા ચકાસતા: $P(A) \times P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.
અહીં $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6}$ હોવાથી,$A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.

(A) આપેલ છે કે ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \cup B) = 0.6$ અને બંને ઘટનાઓ બને તેની સંભાવના $P(A \cap B) = 0.2$ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$0.6 = P(A) + P(B) - 0.2$
તેથી,$P(A) + P(B) = 0.6 + 0.2 = 0.8$.

(A) ધારો કે $P(A)$ એ $A$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે,તેથી $P(A) = 75/100 = 3/4$.
તેથી $P(A') = 1 - 3/4 = 1/4$ એ $A$ ખોટું બોલે તેની સંભાવના છે.
ધારો કે $P(B)$ એ $B$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે,તેથી $P(B) = 80/100 = 4/5$.
તેથી $P(B') = 1 - 4/5 = 1/5$ એ $B$ ખોટું બોલે તેની સંભાવના છે.
જો એક સાચું બોલે અને બીજું ખોટું બોલે તો તેઓ એકબીજાનો વિરોધ કરે છે.
આ બે રીતે થઈ શકે છે:
$1$. $A$ સાચું બોલે અને $B$ ખોટું બોલે: $P(A) \times P(B') = (3/4) \times (1/5) = 3/20$.
$2$. $A$ ખોટું બોલે અને $B$ સાચું બોલે: $P(A') \times P(B) = (1/4) \times (4/5) = 4/20$.
વિરોધાભાસની કુલ સંભાવના આ સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
$P(\text{contradiction}) = 3/20 + 4/20 = 7/20$.

(C) ધારો કે $P(A)$ એ $A$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ $B$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવના છે.
$A$ માટે પ્રતિકૂળ સંભાવના $4:3$ છે,તેથી $P(A') = 4/7$ અને $P(A) = 1 - 4/7 = 3/7$.
$B$ માટે અનુકૂળ સંભાવના $7:5$ છે,તેથી $P(B) = 7/(7+5) = 7/12$ અને $P(B') = 1 - 7/12 = 5/12$.
માત્ર એક જ વ્યક્તિ પ્રશ્ન ઉકેલે તેની સંભાવના $P(A \cap B') + P(A' \cap B)$ છે.
$P(A \cap B') = P(A) \times P(B') = (3/7) \times (5/12) = 15/84$.
$P(A' \cap B) = P(A') \times P(B) = (4/7) \times (7/12) = 28/84$.
કુલ સંભાવના = $15/84 + 28/84 = 43/84$.

(B) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{6+4-3}{12} = \frac{7}{12}$.
તેથી,$P(A' \cap B') = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.

(C) પાસો ફેંકતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી $n(S) = 6$.
ઘટના $A$ એ છે કે મળતી સંખ્યા $3$ કરતા મોટી છે,તેથી $A = \{4, 5, 6\}$. આમ,$P(A) = \frac{3}{6}$.
ઘટના $B$ એ છે કે મળતી સંખ્યા $5$ કરતા નાની છે,તેથી $B = \{1, 2, 3, 4\}$. આમ,$P(B) = \frac{4}{6}$.
છેદગણ $A \cap B$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $3$ કરતા મોટી અને $5$ કરતા નાની હોય,તેથી $A \cap B = \{4\}$. આમ,$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

(C) ધારો કે $A$ એ સરવાળો $7$ થી ઓછો હોવાની ઘટના છે અને $B$ એ સરવાળો એકી સંખ્યા હોવાની ઘટના છે.
બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામો $= 6 \times 6 = 36$.
$A$ માટેના પરિણામો (સરવાળો $< 7$): $(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (5,1)$. કુલ $= 15$.
$P(A) = \frac{15}{36}$.
$B$ માટેના પરિણામો (સરવાળો એકી છે): સરવાળો $3, 5, 7, 9, 11$ હોઈ શકે. કુલ $= 18$.
$P(B) = \frac{18}{36}$.
$A \cap B$ માટેના પરિણામો (સરવાળો એકી અને $7$ થી ઓછો છે): સરવાળો $3, 5$ હોઈ શકે. પરિણામો $(1,2), (2,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ છે. કુલ $= 6$.
$P(A \cap B) = \frac{6}{36}$.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{15}{36} + \frac{18}{36} - \frac{6}{36} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$.

(C) ધારો કે $H$ એ ઘટના છે કે પતિ $20$ વર્ષ જીવશે અને $W$ એ ઘટના છે કે પત્ની $20$ વર્ષ જીવશે.
પતિ $20$ વર્ષ જીવશે તેની વિરુદ્ધની સંભાવના $5:2$ હોવાથી,તે જીવિત ન રહે તેની સંભાવના $P(\overline{H}) = \frac{5}{7}$ છે.
તેથી,તે જીવિત રહે તેની સંભાવના $P(H) = \frac{2}{7}$ છે.
પત્ની $20$ વર્ષ જીવશે તેની વિરુદ્ધની સંભાવના $4:3$ હોવાથી,તે જીવિત ન રહે તેની સંભાવના $P(\overline{W}) = \frac{4}{7}$ છે.
તેથી,તે જીવિત રહે તેની સંભાવના $P(W) = \frac{3}{7}$ છે.
ઓછામાં ઓછો એક વ્યક્તિ જીવિત રહે તેની સંભાવના $k = 1 - P(\overline{H} \cap \overline{W})$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$k = 1 - (\frac{5}{7} \times \frac{4}{7}) = 1 - \frac{20}{49} = \frac{29}{49}$.
તેથી,$49k = 29$.

(A) આપેલ છે $P(A) = 0.3$ અને $P(A \cup B) = 0.8$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
સરવાળાના પ્રમેય મુજબ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$0.8 = 0.3 + P(B) - 0.3P(B)$.
$0.5 = 0.7P(B) \Rightarrow P(B) = \frac{5}{7}$.
વિધાન $A \to B$ એ $\neg A \lor B$ ને સમાન છે,તેથી $P(A \to B) = P(\neg A \cup B) = 1 - P(A \cap \neg B)$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$A$ અને $\neg B$ પણ સ્વતંત્ર છે.
$P(A \cap \neg B) = P(A)P(\neg B) = 0.3 \times (1 - \frac{5}{7}) = 0.3 \times \frac{2}{7} = \frac{3}{35}$.
તેથી,$P(A \to B) = 1 - \frac{3}{35} = \frac{32}{35}$.

(A) અહીં આપેલ છે કે $P(A)=\frac{6}{11}, P(B)=\frac{5}{11}$ અને $P(A \cup B)=\frac{7}{11}.$
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B)$
$\frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11}$
$P(A \cap B) = \frac{11-7}{11} = \frac{4}{11}$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $A$ અને $B$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના $P(A \cup B)$ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) P(B)$.
તેથી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)$.
આપણે $P(A) = 1 - P(A')$ લખી શકીએ,તેથી:
$P(A \cup B) = 1 - P(A') + P(B) - (1 - P(A')) P(B)$
$= 1 - P(A') + P(B) - P(B) + P(A') P(B)$
$= 1 - P(A') + P(A') P(B)$
$= 1 - P(A') [1 - P(B)]$
$= 1 - P(A') P(B')$.
તેથી,આ વિધાન સાચું છે.

(A) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(A \cup B) = \frac{3}{5}$,અને $P(B) = p$.
જ્યારે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક હોય,ત્યારે $A \cap B = \phi$.
તેથી,$P(A \cap B) = 0$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + p - 0$.
$p$ માટે ઉકેલતા: $p = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6-5}{10} = \frac{1}{10}$.

(A) ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} p$ થાય.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + p - \frac{1}{2} p$
$\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + \frac{p}{2}$
બંને બાજુથી $\frac{1}{2}$ બાદ કરતા:
$\frac{p}{2} = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6-5}{10} = \frac{1}{10}$
$2$ વડે ગુણતા:
$p = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
કિંમતો મૂકતા: $P(A \cap B) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58$.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,$P(A) = 0.3$ અને $P(B) = 0.6$.
સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે,છેદની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ થાય.
$P(A \cap B) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$.
$A$ અથવા $B$ ની સંભાવના સરવાળાના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 0.3 + 0.6 - 0.18$.
$P(A \cup B) = 0.9 - 0.18 = 0.72$.

(A) અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$.
આપણે $P(A \text{પણ નહીં અને} B \text{પણ નહીં})$ શોધવાનું છે,જે $P(A' \cap B')$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) P(B) - P(A \cap B) = 0.3 0.6 - 0.18 = 0.72$.
તેથી,$P(A' \cap B') = 1 - 0.72 = 0.28$.

(A) આપેલ છે:
$P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{5}$,$P(A \cap B) = \frac{1}{15}$
આપણે સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ જાણીએ છીએ:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{15}$
$3, 5, 15$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $15$ છે:
$P(A \cup B) = \frac{5 + 3 - 1}{15} = \frac{7}{15}$

(A) અમે સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો $P(A) = 0.35$,$P(A \cap B) = 0.25$,અને $P(A \cup B) = 0.6$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.6 = 0.35 + P(B) - 0.25$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$0.6 = 0.1 + P(B)$
$P(B)$ માટે ઉકેલતા:
$P(B) = 0.6 - 0.1 = 0.5$.

(A) અહીં $P(A) = 0.5$,$P(B) = 0.35$,અને $P(A \cup B) = 0.7$ આપેલ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
કિંમતો મૂકતા:
$0.7 = 0.5 + 0.35 - P(A \cap B)$
$0.7 = 0.85 - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = 0.85 - 0.7$
$P(A \cap B) = 0.15$

(A) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{3}{5}$ અને $P(B) = \frac{1}{5}$.
જ્યારે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોય,ત્યારે $A$ અથવા $B$ ની સંભાવના સરવાળાના પ્રમેય દ્વારા મળે છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(B) આપેલ છે: $P(E) = \frac{1}{4}$,$P(F) = \frac{1}{2}$,અને $P(E \cap F) = \frac{1}{8}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E \cup F) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8}$
લસાઅ $(8)$ લેતા:
$P(E \cup F) = \frac{2}{8} + \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{2 + 4 - 1}{8} = \frac{5}{8}$.

(A) આપેલ છે: $P(E) = \frac{1}{4}$,$P(F) = \frac{1}{2}$,અને $P(E \cap F) = \frac{1}{8}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$.
$P(E \cup F) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{2+4-1}{8} = \frac{5}{8}$.
આપણે $P(\text{not } E \text{ and not } F)$ શોધવાનું છે,જે $P(E' \cap F')$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$E' \cap F' = (E \cup F)'$.
તેથી,$P(E' \cap F') = P((E \cup F)') = 1 - P(E \cup F)$.
$P(E' \cap F') = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$.

(A) આપેલ છે: $P(A)=0.42$,$P(B)=0.48$,અને $P(A \cap B)=0.16$.
આપણે સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cup B) = 0.42 + 0.48 - 0.16$.
$P(A \cup B) = 0.90 - 0.16 = 0.74$.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી ગણિતનો અભ્યાસ કરે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી જીવવિજ્ઞાનનો અભ્યાસ કરે છે.
આપેલ છે:
$P(A) = 40\% = 0.4$
$P(B) = 30\% = 0.3$
$P(A \cap B) = 10\% = 0.1$
આપણે સંભાવના શોધવાની છે કે વિદ્યાર્થી ગણિત અથવા જીવવિજ્ઞાનનો અભ્યાસ કરે છે,જે $P(A \cup B)$ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6$
આમ,પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી ગણિત અથવા જીવવિજ્ઞાનનો અભ્યાસ કરતો હોય તેની સંભાવના $0.6$ છે.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ એ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજી પરીક્ષા પાસ કરવાની ઘટનાઓ છે.
આપેલ છે: $P(A) = 0.8$,$P(B) = 0.7$,અને $P(A \cup B) = 0.95$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.95 = 0.8 + 0.7 - P(A \cap B)$.
$0.95 = 1.5 - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = 1.5 - 0.95 = 0.55$.
આમ,બંને પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવના $0.55$ છે.

$E = B \cup C$ લો,જેથી
$P(A \cup B \cup C) = P(A \cup E)$
$= P(A) + P(E) - P(A \cap E)$ ...... $(1)$
હવે
$P(E) = P(B \cup C)$
$= P(B) + P(C) - P(B \cap C)$ ......... $(2)$
વળી $A \cap E = A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ [યોગ પર છેદના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા].
તેથી,$P(A \cap E) = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P[(A \cap B) \cap (A \cap C)]$
$= P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)$ ......... $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ નો $(1)$ માં ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(B \cap C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)$.

(A) આપેલ છે: $P(A) = 0.54$,$P(B) = 0.69$,અને $P(A \cap B) = 0.35$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = 0.54 + 0.69 - 0.35$.
$P(A \cup B) = 1.23 - 0.35 = 0.88$.

(A) આપેલ છે: $P(A)=0.54$,$P(B)=0.69$,અને $P(A \cap B)=0.35$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 0.54 + 0.69 - 0.35 = 0.88$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A' \cap B' = (A \cup B)'$.
તેથી,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$.
$P(A' \cap B') = 1 - 0.88 = 0.12$.

(D) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પ્રવક્તા પુરુષ છે અને $F$ એ ઘટના છે કે પ્રવક્તા $35$ વર્ષથી વધુ ઉંમરના છે.
કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $5$ છે.
પુરુષો હરીશ,રોહન અને સલીમ છે. તેથી,$P(E) = \frac{3}{5}$.
$35$ વર્ષથી વધુ ઉંમરની વ્યક્તિઓ શીતલ $(46)$ અને સલીમ $(41)$ છે. તેથી,$P(F) = \frac{2}{5}$.
જે વ્યક્તિ પુરુષ છે અને $35$ વર્ષથી વધુ ઉંમરની છે તે સલીમ છે. તેથી,$P(E \cap F) = \frac{1}{5}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$.
$P(E \cup F) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
આમ,પ્રવક્તા કાં તો પુરુષ હોય અથવા $35$ વર્ષથી વધુ ઉંમરના હોય તેની સંભાવના $\frac{4}{5}$ છે.

(A) એક સમતોલ પાસાને ફેંકતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ $4$ અથવા $5$ અંક આવવાની ઘટના છે. તેથી $E = \{4, 5\}$ અને $n(E) = 2$.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
પૂરક ઘટના $E^c$ (એટલે કે $4$ અથવા $5$ ન આવે તેની ઘટના) ની સંભાવના $P(E^c) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
કોઈ ઘટના $E$ ની વિરુદ્ધની બાજી (odds against) $P(E^c) : P(E)$ ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$E$ ની વિરુદ્ધની બાજી $\frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1$ છે.

(D) ધારો કે $A, B, C$ એ ઘટનાઓ છે કે પ્રથમ,દ્વિતીય અને તૃતીય વિવેચક પુસ્તકની તરફેણમાં છે.
સંભાવનાઓ છે:
$P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}, P(A') = \frac{5}{7}$
$P(B) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}, P(B') = \frac{4}{7}$
$P(C) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}, P(C') = \frac{3}{7}$
જો ઓછામાં ઓછા બે વિવેચકો પુસ્તકની તરફેણમાં હોય તો બહુમતી મળે.
સંભાવના $P(A \cap B \cap C') + P(A \cap B' \cap C) + P(A' \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$ છે.
$= (\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7}) + (\frac{2}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}) + (\frac{5}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}) + (\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7})$
$= \frac{18}{343} + \frac{32}{343} + \frac{60}{343} + \frac{24}{343} = \frac{134}{343}$.