Odds in favor and odds against, Addition theorem on probability Questions in Gujarati

(C) સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{6} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - P(A \cap B)$.
સરવાળો કરતા: $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6}$.
આમ,$\frac{5}{6} = \frac{7}{6} - P(A \cap B)$,જે સૂચવે છે કે $P(A \cap B) = \frac{7}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
અહીં $P(A \cap B) \neq 0$ હોવાથી,ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક નથી.
હવે,સ્વતંત્રતા માટે તપાસતા: $P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$.
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{3}$ હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે.

(B) બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ ને પરસ્પર નિવારક કહેવાય છે જો તેઓ એકસાથે ન બની શકે,જેનો અર્થ છે કે $A \cap B = \phi$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કારણ કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક છે,તેથી $P(A \cap B) = 0$.
તેથી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

(C) કુલ પત્તાની સંખ્યા $n(S) = 52$ છે.
ધારો કે $A$ એ પત્તું રાજા હોવાની ઘટના છે અને $B$ એ પત્તું ચોકટનું હોવાની ઘટના છે.
રાજાઓની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે.
ચોકટના પત્તાની સંખ્યા $n(B) = 13$ છે.
ચોકટનો રાજા બંનેમાં સામાન્ય છે,તેથી $n(A \cap B) = 1$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.

(B) લીપ વર્ષમાં $366$ દિવસ હોય છે,જેમાં $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો હોય છે.
આ $2$ દિવસો માટે શક્ય સંયોજનો: (રવિવાર,સોમવાર),(સોમવાર,મંગળવાર),(મંગળવાર,બુધવાર),(બુધવાર,ગુરુવાર),(ગુરુવાર,શુક્રવાર),(શુક્રવાર,શનિવાર),અને (શનિવાર,રવિવાર).
કુલ $7$ શક્ય પરિણામો છે.
ધારો કે $A$ એ $53$ શુક્રવાર હોવાની ઘટના છે અને $B$ એ $53$ શનિવાર હોવાની ઘટના છે.
$P(A) = \frac{2}{7}$ (કારણ કે શુક્રવાર (ગુરુવાર,શુક્રવાર) અને (શુક્રવાર,શનિવાર) માં આવે છે).
$P(B) = \frac{2}{7}$ (કારણ કે શનિવાર (શુક્રવાર,શનિવાર) અને (શનિવાર,રવિવાર) માં આવે છે).
$P(A \cap B) = \frac{1}{7}$ (કારણ કે (શુક્રવાર,શનિવાર) એકમાત્ર સામાન્ય પરિણામ છે).
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$.

(C) ધારો કે $P(A)$ એ $A$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ $B$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે: $P(A) = \frac{4}{5}$ અને $P(B) = \frac{3}{4}$.
તેથી,$A$ ખોટું બોલે તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
$B$ ખોટું બોલે તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ છે.
તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ ત્યારે કરે જો ($A$ સાચું બોલે અને $B$ ખોટું બોલે) અથવા ($A$ ખોટું બોલે અને $B$ સાચું બોલે).
જરૂરી સંભાવના $= P(A) \times P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \times P(B)$.
$= (\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4})$.
$= \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$.

(C) આપેલ છે કે ઘટનાની વિરુદ્ધની બાજી $2 : 3$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રતિકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે અને અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
કુલ પરિણામો = $2 + 3 = 5$.
ઘટના ઘટવાની સંભાવના એ અનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{અનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{3}{5}$.

(D) આપેલ છે કે ઘટનાની તરફેણમાં મતભેદ $3 : 5$ છે.
ધારો કે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3x$ છે અને પ્રતિકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $5x$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $3x + 5x = 8x$ છે.
ઘટના બનવાની સંભાવના $P(E) = \frac{3x}{8x} = \frac{3}{8}$ છે.
ઘટના ન બનવાની સંભાવના $P(E') = 1 - P(E) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ થાય.

(C) કુલ પત્તાની સંખ્યા = $52$.
કાળીના પત્તાની સંખ્યા = $13$.
એક્કાની સંખ્યા = $4$.
એક પત્તું કાળીનો એક્કો હોવાથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (કાળી અથવા એક્કો) = $13 + 4 - 1 = 16$.
જીતવાની સંભાવના $P(E) = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.
હારવાની સંભાવના $P(E') = 1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$.
જીતવાની તરફેણમાં મત = $P(E) : P(E') = \frac{4}{13} : \frac{9}{13} = 4 : 9$.
જીતવાની વિરુદ્ધમાં મત = $P(E') : P(E) = 9 : 4$.

(C) ઘટનાની તરફેણમાં મતભેદ $a : b = 4 : 5$ આપેલ છે.
ઘટના બનવાની સંભાવના $P(E)$ શોધવાનું સૂત્ર $P(E) = \frac{a}{a + b}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$P(E) = \frac{4}{4 + 5} = \frac{4}{9}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે ઘટનાની વિરુદ્ધની બાજી $a : b = 6 : 5$ છે.
જો ઘટનાની વિરુદ્ધની બાજી $a : b$ હોય,તો ઘટના ન બનવાની સંભાવના $P(E') = \frac{a}{a + b}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 6$ અને $b = 5$ છે.
તેથી,ઘટના ન બનવાની સંભાવના $P(E') = \frac{6}{6 + 5} = \frac{6}{11}$ થાય.

(B) ત્રણ ઘોડાઓની જીતવાની શક્યતા (odds in favour) $1:2$,$1:3$ અને $1:4$ છે.
તેથી,ત્રણેય ઘોડાઓની જીતવાની સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ અને $P(C) = \frac{1}{1+4} = \frac{1}{5}$ છે.
આ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,કોઈ એક ઘોડો રેસ જીતે તેની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
$P = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{20 + 15 + 12}{60} = \frac{47}{60}$.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
$A$ ની વિરુદ્ધમાં મત $5 : 2$ છે,તેથી $A$ બનવાની સંભાવના $P(A) = \frac{2}{5 + 2} = \frac{2}{7}$ છે.
આમ,$P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
$B$ ની તરફેણમાં મત $6 : 5$ છે,તેથી $B$ બનવાની સંભાવના $P(B) = \frac{6}{6 + 5} = \frac{6}{11}$ છે.
આમ,$P(\bar{B}) = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$.
ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$ છે.
$P(A \cup B) = 1 - (\frac{5}{7} \times \frac{5}{11}) = 1 - \frac{25}{77} = \frac{77 - 25}{77} = \frac{52}{77}$.

(C) ધારો કે $A, B, C$ એ ત્રણ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની ઘટનાઓ છે.
આપેલ વિરુદ્ધની બાજી $2:1, 5:2, 5:3$ છે.
તેથી,પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવનાઓ:
$P(A) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$,$P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$
$P(B) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$,$P(\bar{B}) = \frac{5}{7}$
$P(C) = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$,$P(\bar{C}) = \frac{5}{8}$
માત્ર એક જ વિદ્યાર્થી દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલાય તેની સંભાવના:
$P = P(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) + P(\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) + P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C)$
$P = (\frac{1}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{5}{8}) + (\frac{2}{3} \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{8}) + (\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{3}{8})$
$P = \frac{25}{168} + \frac{20}{168} + \frac{30}{168}$
$P = \frac{75}{168} = \frac{25}{56}$.

(A) જહાજો $A, B$ અને $C$ ના સુરક્ષિત રીતે પહોંચવાની સંભાવનાઓ આપેલા ગુણોત્તર પરથી ગણવામાં આવે છે.
જહાજ $A$ માટે,સંભાવના $P(A) = \frac{2}{2 + 5} = \frac{2}{7}$ છે.
જહાજ $B$ માટે,સંભાવના $P(B) = \frac{3}{3 + 7} = \frac{3}{10}$ છે.
જહાજ $C$ માટે,સંભાવના $P(C) = \frac{6}{6 + 11} = \frac{6}{17}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બધા જહાજો સુરક્ષિત રીતે પહોંચે તેની સંભાવના $P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C)$ થશે.
$P(A \cap B \cap C) = \frac{2}{7} \times \frac{3}{10} \times \frac{6}{17} = \frac{36}{1190} = \frac{18}{595}$.

(A) $23$ વ્યક્તિઓને ગોળ ટેબલ પર બેસાડવાની કુલ રીતો $(23-1)! = 22!$ છે.
બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ સાથે બેસે તે માટે,આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે આપણી પાસે ગોળ ટેબલ પર ગોઠવવા માટે $22$ એકમો છે,જે $(22-1)! = 21!$ રીતે કરી શકાય છે. તે બે વ્યક્તિઓ પોતાની વચ્ચે $2!$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
તેથી,તેઓ સાથે બેસે તે માટેની સાનુકૂળ રીતો $21! \times 2!$ છે.
તેઓ સાથે બેસે તેની સંભાવના $P = \frac{21! \times 2!}{22!} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11}$ છે.
તેઓ સાથે ન બેસે તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$ છે.
તેઓ સાથે ન બેસે તેની વિરુદ્ધની સંભાવના (odds against) $\frac{10}{11} : \frac{1}{11} = 10 : 1$ છે.

(B) પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ $A, B$,અને $C$ માટે,તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
સરવાળો ગણો: $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$.
છેદ સમાન કરતા: $\frac{8}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{13}{12}$.
કારણ કે $\frac{13}{12} > 1$,આપેલી સંભાવનાઓ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ દર્શાવી શકતી નથી.
તેથી,વિધાન ખોટું છે.

(C) સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો $P(A) = 0.4$,$P(A \cup B) = 0.7$,અને $P(A \cap B) = 0.2$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.7 = 0.4 + P(B) - 0.2$
$0.7 = 0.2 + P(B)$
$P(B) = 0.7 - 0.2 = 0.5$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ ના યોગની સંભાવના સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,અને $P(AB) = 0$:
$P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 0$
$P(A \cup B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કુલ પત્તાની સંખ્યા = $52$.
ધારો કે $A$ એ લાલ પત્તું ખેંચવાની ઘટના છે અને $B$ એ રાણી ખેંચવાની ઘટના છે.
લાલ પત્તાની સંખ્યા $n(A) = 26$.
રાણીની સંખ્યા $n(B) = 4$.
લાલ રાણીની સંખ્યા $n(A \cap B) = 2$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{26}{52} + \frac{4}{52} - \frac{2}{52}$.
$P(A \cup B) = \frac{28}{52} = \frac{7}{13}$.

(B) આપેલ છે કે,$P(X) = 0.3$ અને $P(Y) = 0.2$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$X$ અને $Y$ બંને નાપાસ થાય તેની સંભાવના $P(X \cap Y) = P(X) \times P(Y) = 0.3 \times 0.2 = 0.06$ થાય.
$X$ અથવા $Y$ માંથી કોઈ પણ એક નાપાસ થાય તેની સંભાવના સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય દ્વારા મળે છે:
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$
કિંમતો મૂકતા:
$P(X \cup Y) = 0.3 + 0.2 - 0.06 = 0.44$.

(B) આપેલ છે કે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.4x$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.7 = 0.4 + x - 0.4x$.
$0.7 - 0.4 = x(1 - 0.4)$.
$0.3 = 0.6x$.
$x = \frac{0.3}{0.6} = \frac{1}{2}$.

(A) ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,તેમના છેદની સંભાવના $P(A \cap B) = 0$ થાય.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$0.7 = 0.4 + x - 0$.
તેથી,$x = 0.7 - 0.4 = 0.3$.
આમ,$x = 3/10$.

(D) સિક્કાને બે વાર ઉછાળવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S = \{(HH, HT, TH, TT)\}$ છે.
ઘટના $A$ (પ્રથમ ઉછાળ પર છાપ) $= \{(HH, HT)\}$,તેથી $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
ઘટના $B$ (બીજા ઉછાળ પર છાપ) $= \{(HH, TH)\}$,તેથી $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
ઘટના $A \cap B$ (બંને ઉછાળ પર છાપ) $= \{(HH)\}$,તેથી $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(C) કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ જણાવે છે કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કારણ કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેઓ એકસાથે બની શકતી નથી,જેનો અર્થ છે કે $A \cap B = \emptyset$.
તેથી,$P(A \cap B) = 0$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ મળે છે.

(A) અમે સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{5}{8} - P(A \cap B)$
$\frac{6}{8} = \frac{2}{8} + \frac{5}{8} - P(A \cap B)$
$\frac{6}{8} = \frac{7}{8} - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = \frac{7}{8} - \frac{6}{8} = \frac{1}{8}$

(A) કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,સંભાવનાનો સરવાળાનો પ્રમેય જણાવે છે કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
આ કિંમત સરવાળાના પ્રમેયમાં મૂકતા,આપણને $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $A$ એ પસંદ કરેલી સંખ્યા $4$ નો ગુણક હોય તેવી ઘટના છે અને $B$ એ પસંદ કરેલી સંખ્યા $6$ નો ગુણક હોય તેવી ઘટના છે.
પ્રથમ $100$ પૂર્ણાંકોમાં $4$ ના ગુણકોની સંખ્યા $\frac{100}{4} = 25$ છે. તેથી,$P(A) = \frac{25}{100}$.
પ્રથમ $100$ પૂર્ણાંકોમાં $6$ ના ગુણકોની સંખ્યા $\lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$ છે. તેથી,$P(B) = \frac{16}{100}$.
$4$ અને $6$ બંનેના ગુણકો એ $\text{lcm}(4, 6) = 12$ ના ગુણકો છે. પ્રથમ $100$ પૂર્ણાંકોમાં $12$ ના ગુણકોની સંખ્યા $\lfloor \frac{100}{12} \rfloor = 8$ છે. તેથી,$P(A \cap B) = \frac{8}{100}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જરૂરી સંભાવના:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{25}{100} + \frac{16}{100} - \frac{8}{100} = \frac{33}{100}$.

(B) ધારો કે $P(A)$ એ ઘોડા $A$ ના જીતવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ ઘોડા $B$ ના જીતવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $P(A) = 1/4$ અને $P(B) = 1/5$.
કારણ કે રેસમાં માત્ર એક જ ઘોડો જીતી શકે છે,તેથી ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક છે.
તેથી,તે બંનેમાંથી કોઈ એક જીતે તેની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ દ્વારા મળે છે.
$P(A \cup B) = 1/4 + 1/5 = (5 + 4) / 20 = 9/20$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $P(A \cup B) = \frac{5}{6}$,$P(A \cap B) = \frac{1}{3}$,અને $P(\bar{B}) = \frac{1}{3}$.
$P(B) = 1 - P(\bar{B})$ હોવાથી,$P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{6} = P(A) + \frac{2}{3} - \frac{1}{3}$.
$\frac{5}{6} = P(A) + \frac{1}{3}$.
$P(A) = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5-2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P(A \cup B) + P(A \cap B) = P(A) + P(B)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $P(A \cup B) + P(A \cap B) = \frac{7}{8}$ અને $P(A) = 2P(B)$,જેનો અર્થ છે કે $P(B) = \frac{P(A)}{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{7}{8} = P(A) + \frac{P(A)}{2}$.
$\frac{7}{8} = \frac{3P(A)}{2}$.
$P(A) = \frac{7}{8} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}$.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
ધારો કે $P(B) = x$. આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$0.8 = 0.3 + x - (0.3 \times x)$
$0.8 - 0.3 = x - 0.3x$
$0.5 = 0.7x$
$x = \frac{0.5}{0.7} = \frac{5}{7}$.
તેથી,$P(B) = \frac{5}{7}$.

(D) સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.
કારણ કે $0 \leq P(A \cup B) \leq 1$,તેથી $P(A \cup B) \leq 1 \implies P(A) + P(B) - P(A \cap B) \leq 1 \implies P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$,જે વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે.
વળી,$P(A \cup B) \geq 0$ હોવાથી,$P(A) + P(B) - P(A \cap B) \geq 0 \implies P(A \cap B) \leq P(A) + P(B)$,જે વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,વિકલ્પો $A$,$B$ અને $C$ ત્રણેય ગાણિતિક રીતે સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ છે.
આપેલ શરત $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2P(A \cap B) = P(A) + P(B)$ મળે છે.
જોકે,$P(A \cup B) = P(A \cap B)$ હોય તેવા કિસ્સામાં,તેનો અર્થ એ થાય છે કે $P(A \setminus B) = 0$ અને $P(B \setminus A) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $P(A) = P(A \cap B) = P(B)$.
તેથી,સાચો સંબંધ $P(A) = P(B)$ છે.

(A) આપેલ છે: $P(A) = 0.25$,$P(B) = 0.50$,અને $P(A \cap B) = 0.14$.
આપણે $A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(A^c \cap B^c)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 0.25 + 0.50 - 0.14 = 0.61$.
તેથી,$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.61 = 0.39$.

(A) કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 12$ છે.
ધારો કે $A$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યા મળવાની ઘટના છે. સંખ્યાઓ ${2, 4, 6, 8, 10, 12}$ છે,તેથી $n(A) = 6$.
ધારો કે $B$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યા મળવાની ઘટના છે. સંખ્યાઓ ${3, 6, 9, 12}$ છે,તેથી $n(B) = 4$.
ઘટના $A \cap B$ એ $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યાઓ છે (એટલે કે $6$ વડે વિભાજ્ય). સંખ્યાઓ ${6, 12}$ છે,તેથી $n(A \cap B) = 2$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} - \frac{2}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પતિ $20$ વર્ષ પછી જીવિત રહેશે અને $B$ એ ઘટના છે કે પત્ની $20$ વર્ષ પછી જીવિત રહેશે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{3}{5}$ અને $P(B) = \frac{2}{3}$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,ઓછામાં ઓછું એક વ્યક્તિ જીવિત રહેવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ છે.
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.
તેથી,$P(A \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{2}{3} - \frac{6}{15} = \frac{9 + 10 - 6}{15} = \frac{13}{15}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ઓછામાં ઓછું એક વ્યક્તિ જીવિત રહેવાની સંભાવના $1 - P(\text{બંને મૃત્યુ પામે}) = 1 - (1 - P(A))(1 - P(B)) = 1 - (\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}) = 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$ છે.

(D) બે પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,$A$ અથવા $B$ બનવાની સંભાવના સરવાળાના પ્રમેય દ્વારા મળે છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cup B) = 0.45 + 0.35 = 0.8$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,આપણી પાસે સંભાવનાનો સરવાળાનો પ્રમેય છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
કારણ કે $P(A \cap B) \ge 0$,તેથી $P(A \cup B) \le P(A) + P(B)$ મળે છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,આ અસમતાને $n$ ઘટનાઓ માટે નીચે મુજબ વ્યાપક બનાવી શકાય છે:
$P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} P(A_i)$.

(C) ધારો કે $A$ એ રાણી ખેંચવાની ઘટના છે અને $B$ એ લાલ (heart) ખેંચવાની ઘટના છે.
કુલ પત્તાની સંખ્યા = $52$.
રાણીની સંખ્યા $n(A) = 4$,તેથી $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
લાલના પત્તાની સંખ્યા $n(B) = 13$,તેથી $P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
જે પત્તું રાણી અને લાલ બંને હોય તે લાલની રાણી છે,તેથી $n(A \cap B) = 1$,જેનો અર્થ છે $P(A \cap B) = \frac{1}{52}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ બે ઘટનાઓ છે.
આપેલ છે કે $P(A) = 0.21$,$P(B) = 0.49$,અને $P(A \cap B) = 0.16$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = 0.21 + 0.49 - 0.16 = 0.54$.
બંનેમાંથી એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)$ દ્વારા મળે છે.
$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.54 = 0.46$.

(B) આપેલ છે કે $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ અને $P(A^c \cap B^c) = \frac{1}{3}$.
$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$P(A \cup B) = \frac{2}{3}$ મળે.
સરવાળાના પ્રમેય મુજબ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3}$.
તેથી,$P(A) + P(B) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $x = P(A)$ અને $y = P(B)$. તો $x + y = \frac{5}{6}$ અને $xy = \frac{1}{6}$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ ના બીજ છે,એટલે કે $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$.
$6$ વડે ગુણતા,$6t^2 - 5t + 1 = 0$ મળે.
$(2t - 1)(3t - 1) = 0$,તેથી $t = \frac{1}{2}$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
આમ,$P(A)$ ની કિંમત $\frac{1}{2}$ અથવા $\frac{1}{3}$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ રાજા ખેંચવાની ઘટના છે અને $B$ એ ફુલ્લી (spade) ખેંચવાની ઘટના છે.
કુલ પત્તાંની સંખ્યા $= 52$.
રાજાની સંખ્યા $n(A) = 4$,તેથી $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
ફુલ્લીની સંખ્યા $n(B) = 13$,તેથી $P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
જે પત્તું રાજા અને ફુલ્લી બંને હોય તે ફુલ્લીનો રાજા છે,તેથી $n(A \cap B) = 1$,અને $P(A \cap B) = \frac{1}{52}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.

(B) આપેલ છે કે $P(A^c) = 5/6$. $P(A) = 1 - P(A^c)$ હોવાથી,$P(A) = 1 - 5/6 = 1/6$ મળે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5/6 = 1/6 + 2/3 - P(A \cap B)$.
$5/6 = (1+4)/6 - P(A \cap B) = 5/6 - P(A \cap B)$.
આથી $P(A \cap B) = 0$ મળે છે.
બે ઘટનાઓનો છેદગણ $0$ હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક છે.

(B) સંભાવના માટેનો સરવાળાનો પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના ઋણ ન હોવાથી,આપણી પાસે $P(A \cap B) \ge 0$ છે.
તેથી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le P(A) + P(B)$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ અને $P(\bar{B}) = 1 - P(B).$
તેથી,$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B)).$
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.8 = P(A) + P(B) - 0.3.$
આમ,$P(A) + P(B) = 0.8 + 0.3 = 1.1.$
અંતે,$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 2 - 1.1 = 0.9.$

(C) ધારો કે $R$ એ વ્યક્તિ શ્રીમંત હોવાની ઘટના છે અને $F$ એ વ્યક્તિ પ્રખ્યાત હોવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(R) = 10\% = 0.1$,$P(F) = 5\% = 0.05$,અને $P(R \cap F) = 3\% = 0.03$.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે વ્યક્તિ કાં તો શ્રીમંત છે અથવા પ્રખ્યાત છે પરંતુ બંને નથી,જે $P(R \Delta F) = P(R \cup F) - P(R \cap F)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$P(R \Delta F) = P(R) + P(F) - 2P(R \cap F)$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(R \Delta F) = 0.1 + 0.05 - 2(0.03)$
$P(R \Delta F) = 0.15 - 0.06 = 0.09$.

(C) કુલ પત્તાની સંખ્યા = $52$.
ધારો કે $A$ એ રાણી ખેંચવાની ઘટના છે અને $B$ એ લાલ (heart) ખેંચવાની ઘટના છે.
રાણીની સંખ્યા $n(A) = 4$.
લાલ (heart) પત્તાની સંખ્યા $n(B) = 13$.
રાણી અને લાલ (heart) બંને હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા $n(A \cap B) = 1$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ વ્યક્તિ $30$ વર્ષ પછી જીવિત છે અને $B$ એ ઘટના છે કે બીજી વ્યક્તિ $30$ વર્ષ પછી જીવિત છે.
$A$ ની વિરુદ્ધની બાજી $8:5$ આપેલ છે,તેથી પ્રથમ વ્યક્તિ મૃત્યુ પામે તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = \frac{8}{8+5} = \frac{8}{13}$ છે.
આમ,પ્રથમ વ્યક્તિ જીવિત હોય તેની સંભાવના $P(A) = 1 - \frac{8}{13} = \frac{5}{13}$ છે.
$B$ ની વિરુદ્ધની બાજી $4:3$ આપેલ છે,તેથી બીજી વ્યક્તિ મૃત્યુ પામે તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ છે.
આમ,બીજી વ્યક્તિ જીવિત હોય તેની સંભાવના $P(B) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ છે.
બંનેમાંથી કોઈ એક વ્યક્તિ જીવિત હોય તે ઘટના $(\bar{A} \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$ છે.
આ ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,સંભાવના $P(\bar{A})P(B) + P(A)P(\bar{B})$ થશે.
$= (\frac{8}{13} \times \frac{3}{7}) + (\frac{5}{13} \times \frac{4}{7})$
$= \frac{24}{91} + \frac{20}{91} = \frac{44}{91}$.

(D) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી $IIT$ પ્રવેશ પરીક્ષામાં પસંદ થાય છે અને $B$ એ ઘટના છે કે તે રૂરકી પ્રવેશ પરીક્ષામાં પસંદ થાય છે.
આપેલ છે: $P(A) = 0.2$,$P(B) = 0.5$,અને $P(A \cap B) = 0.3$.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે તે બંનેમાંથી એક પણ જગ્યાએ સફળ થતો નથી,એટલે કે $P(\overline{A} \cap \overline{B})$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 0.2 + 0.5 - 0.3 = 0.4$.
તેથી,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0.4 = 0.6$.