Odds in favor and odds against, Addition theorem on probability Questions in Gujarati

(A) જહાજ $A$ સુરક્ષિત રીતે પહોંચે તેની સંભાવના $P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$ છે.
જહાજ $B$ સુરક્ષિત રીતે પહોંચે તેની સંભાવના $P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$ છે.
જહાજ $C$ સુરક્ષિત રીતે પહોંચે તેની સંભાવના $P(C) = \frac{6}{6+11} = \frac{6}{17}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બધા જહાજો સુરક્ષિત રીતે પહોંચે તેની સંભાવના $P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C)$ થશે.
$P(A \cap B \cap C) = \frac{2}{7} \times \frac{3}{10} \times \frac{6}{17} = \frac{36}{1190} = \frac{18}{595}$.

(C) ધારો કે $P(C_1), P(C_2), P(C_3)$ એ ત્રણ વિવેચકો પુસ્તકની તરફેણમાં હોવાની સંભાવનાઓ છે.
તરફેણમાં મત હોવાની શક્યતા $(5: 2), (4: 3), (3: 4)$ આપેલ છે,તેથી:
$P(C_1) = \frac{5}{7}, P(\bar{C}_1) = \frac{2}{7}$
$P(C_2) = \frac{4}{7}, P(\bar{C}_2) = \frac{3}{7}$
$P(C_3) = \frac{3}{7}, P(\bar{C}_3) = \frac{4}{7}$
બહુમતી તરફેણમાં હોવા માટે,ઓછામાં ઓછા બે વિવેચકો તરફેણમાં હોવા જોઈએ.
જરૂરી સંભાવના $= P(C_1)P(C_2)P(\bar{C}_3) + P(C_1)P(\bar{C}_2)P(C_3) + P(\bar{C}_1)P(C_2)P(C_3) + P(C_1)P(C_2)P(C_3)$
$= (\frac{5}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}) + (\frac{5}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7}) + (\frac{2}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{7}) + (\frac{5}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{7})$
$= \frac{80+45+24+60}{343} = \frac{209}{343}$

(A) $A, B, C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A) + P(B) + P(C) = 1$ થાય.
$A$ ની તરફેણમાં ઓડ્સ $4:6$ છે,તેથી $P(A) = \frac{4}{4+6} = \frac{2}{5}$.
$B$ ની વિરુદ્ધમાં ઓડ્સ $7:3$ છે,એટલે કે $B$ ની તરફેણમાં ઓડ્સ $3:7$ છે,તેથી $P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{5} + \frac{3}{10} + P(C) = 1$.
$\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + P(C) = 1$ $\Rightarrow \frac{7}{10} + P(C) = 1$ $\Rightarrow P(C) = \frac{3}{10}$.
$C$ ની વિરુદ્ધમાં ઓડ્સ $\frac{1 - P(C)}{P(C)} = \frac{1 - \frac{3}{10}}{\frac{3}{10}} = \frac{7}{3}$ થાય.
આમ,$C$ ની વિરુદ્ધમાં ઓડ્સ $7:3$ છે.

(A) કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$.
પેકમાં રાજાની સંખ્યા $= 4$.
રાજા ન હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા $= 52 - 4 = 48$.
કોઈ ઘટના $E$ ની તરફેણમાં અવરોધ (odds) એટલે સાનુકૂળ પરિણામો અને પ્રતિકૂળ પરિણામોનો ગુણોત્તર.
રાજા ખેંચવાની તરફેણમાં અવરોધ $= \frac{\text{રાજાની સંખ્યા}}{\text{રાજા ન હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા}} = \frac{4}{48} = \frac{1}{12}$.
આમ,તરફેણમાં અવરોધ $1:12$ છે.

(A) જ્યારે પાસાની જોડી ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામો $6 \times 6 = 36$ છે.
$3$ ના ગુણક હોય તેવા સરવાળા $3, 6, 9$ અને $12$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામો:
સરવાળો $3$: $(1, 2), (2, 1)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $6$: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ ($5$ પરિણામો)
સરવાળો $9$: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $12$: $(6, 6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 2 + 5 + 4 + 1 = 12$.
પ્રતિકૂળ પરિણામો $= 36 - 12 = 24$.
તરફેણમાં ઓડ્સ $= \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ એટલે કે $1: 2$.

(A) દ્વારા સમસ્યા ઉકેલવા સામેની બાજી $3:2$ છે,તેથી $A$ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $P(A) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ છે. $A$ નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ છે.
$B$ દ્વારા સમસ્યા ઉકેલવા સામેની બાજી $2:1$ છે,તેથી $B$ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $P(B) = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$ છે. $B$ નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
સમસ્યા ત્યારે ઉકેલાય છે જો ઓછામાં ઓછો એક વ્યક્તિ તેને ઉકેલે. આ ઘટના બંને નિષ્ફળ જાય તેની પૂરક ઘટના છે.
$P(\text{solved}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})$
$P(\text{solved}) = 1 - (\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3}) = 1 - \frac{6}{15} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

(B) આપેલ છે કે ઘટનાઓ $A, B, C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ છે,તેથી $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
$A$ ની વિરુદ્ધમાં સંભાવના $8:3$ છે,તેથી $P(A) = \frac{3}{8+3} = \frac{3}{11}$.
$B$ ની વિરુદ્ધમાં સંભાવના $5:2$ છે,તેથી $P(B) = \frac{2}{5+2} = \frac{2}{7}$.
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$ હોવાથી,$P(C) = 1 - (\frac{3}{11} + \frac{2}{7}) = 1 - (\frac{21+22}{77}) = 1 - \frac{43}{77} = \frac{34}{77}$.
$C$ ની વિરુદ્ધમાં સંભાવના $\frac{P(C^c)}{P(C)} = \frac{1 - P(C)}{P(C)} = \frac{1 - 34/77}{34/77} = \frac{43/77}{34/77} = \frac{43}{34}$ છે.
$C$ ની વિરુદ્ધમાં સંભાવના $43:17k$ આપેલ છે,તેથી $\frac{43}{17k} = \frac{43}{34}$.
આમ,$17k = 34$,જેનો અર્થ છે કે $k = 2$.

(C) આપેલ છે કે $A$ ની તરફેણમાં મત $2:3$ છે,તેથી $P(A) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$.
આપેલ છે કે $B$ ની વિરુદ્ધમાં મત $4:5$ છે,તેથી $B$ ની તરફેણમાં મત $5:4$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $P(B) = \frac{5}{5+4} = \frac{5}{9}$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,તેમનો છેદ $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{2}{9}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A$,$B$,અને $C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
$A$ ની તરફેણમાં અવરોધ $4 : 6$ છે,તેથી $P(A) = \frac{4}{4+6} = \frac{4}{10}$.
$B$ ની વિરુદ્ધમાં અવરોધ $7 : 3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $B$ ની તરફેણમાં અવરોધ $3 : 7$ છે,તેથી $P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$.
આ કિંમતો સરવાળામાં મૂકતા: $\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + P(C) = 1$.
$\frac{7}{10} + P(C) = 1 \implies P(C) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$.
પૂરક ઘટના $C'$ ની સંભાવના $P(C') = 1 - P(C) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ છે.
$C$ ની વિરુદ્ધમાં અવરોધ $P(C') : P(C) = \frac{7}{10} : \frac{3}{10} = 7 : 3$ થાય છે.

(D) પ્રથમ વિવેચક પુસ્તકની તરફેણમાં હોય તેની સંભાવના $P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$ છે.
$\therefore P(A') = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
બીજા વિવેચક પુસ્તકની તરફેણમાં હોય તેની સંભાવના $P(B) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$ છે.
$\therefore P(B') = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
ત્રીજા વિવેચક પુસ્તકની તરફેણમાં હોય તેની સંભાવના $P(C) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ છે.
$\therefore P(C') = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$.
જો ઓછામાં ઓછા બે વિવેચકો પુસ્તકની તરફેણમાં હોય તો બહુમતી પુસ્તકની તરફેણમાં ગણાશે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(A \cap B \cap C') + P(A \cap B' \cap C) + P(A' \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$ છે.
$= P(A) \cdot P(B) \cdot P(C') + P(A) \cdot P(B') \cdot P(C) + P(A') \cdot P(B) \cdot P(C) + P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$.
$= \left(\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{2}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{5}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}\right)$.
$= \frac{18}{343} + \frac{32}{343} + \frac{60}{343} + \frac{24}{343} = \frac{134}{343}$.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
ઘટના $A$ ની વિરુદ્ધમાં મત $5:2$ છે,તેથી $A$ બને તેની સંભાવના $P(A) = \frac{2}{5+2} = \frac{2}{7}$ છે.
$A$ ન બને તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ છે.
ઘટના $B$ ની તરફેણમાં મત $6:5$ છે,તેથી $B$ બને તેની સંભાવના $P(B) = \frac{6}{6+5} = \frac{6}{11}$ છે.
$B$ ન બને તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A})P(\bar{B})$ છે.
$P(A \cup B) = 1 - (\frac{5}{7} \times \frac{5}{11}) = 1 - \frac{25}{77} = \frac{77-25}{77} = \frac{52}{77}$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - 0$.
તેથી,$P(B) = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6 - 5}{10} = \frac{1}{10}$.
આપણને $P(B') = p$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(B') = 1 - P(B)$,તેથી $p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે: $P(A)=0.5$,$P(A \cup B)=0.6$,અને $P(B)=K$.
જ્યારે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોય,ત્યારે તેમની છેદ ઘટનાની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.5K$ થાય છે.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.6 = 0.5 + K - 0.5K$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $0.6 = 0.5 + 0.5K$.
બંને બાજુથી $0.5$ બાદ કરતા: $0.1 = 0.5K$.
$K$ ની કિંમત શોધતા: $K = \frac{0.1}{0.5} = 0.2$.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં ફેરવતા:
$\frac{4}{5} = 0.8$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$0.65 = P(A) + P(B) - 0.15$
$P(A) + P(B) = 0.65 + 0.15 = 0.8$
આપણે $P(\overline{A}) + P(\overline{B})$ શોધવાનું છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમ $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(\overline{A}) + P(\overline{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B))$
$= 2 - (P(A) + P(B))$
$= 2 - 0.8 = 1.2$

(A) પત્તાના પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$.
નિદર્શાવકાશ $n(S) = 52$.
ધારો કે $A$ એ એક્કો ખેંચવાની ઘટના છે અને $B$ એ ફુલ્લી (spade) ખેંચવાની ઘટના છે.
એક્કાની સંખ્યા $n(A) = 4$.
ફુલ્લીના પત્તાની સંખ્યા $n(B) = 13$.
એક્કો અને ફુલ્લી બંને હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા $n(A \cap B) = 1$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $P(P)$ એ વ્યક્તિ $P$ ના સત્ય બોલવાની સંભાવના છે અને $P(R)$ એ વ્યક્તિ $R$ ના સત્ય બોલવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે: $P(P) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ અને $P(R) = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$.
તેથી,તેમના જૂઠું બોલવાની સંભાવનાઓ $P(P') = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ અને $P(R') = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ ત્યારે કરે છે જો એક સત્ય બોલે અને બીજો જૂઠું બોલે.
કિસ્સો $I$: $P$ સત્ય બોલે અને $R$ જૂઠું બોલે: $P(P) \times P(R') = \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20}$.
કિસ્સો $II$: $R$ સત્ય બોલે અને $P$ જૂઠું બોલે: $P(R) \times P(P') = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{4}{20}$.
વિરોધાભાસની કુલ સંભાવના $= \frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{7}{20}$.

(B) ધારો કે $P(A)$ એ ઉમેદવાર $A$ ને નોકરી મળવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ ઉમેદવાર $B$ ને નોકરી મળવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે: $P(A) = 0.8$ અને $P(B) = 0.7$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંનેને નોકરી મળવાની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.8 \times 0.7 = 0.56$ છે.
ઓછામાં ઓછા એકને નોકરી મળવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$P(A \cup B) = 0.8 + 0.7 - 0.56 = 1.5 - 0.56 = 0.94$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
અહીં $P(A) = 1 - P(A^C) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + P(B) - \frac{1}{3}$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + P(B)$.
$P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$P(B^C) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
આ સમીકરણની આપેલ સમીકરણ સાથે સરખામણી કરતા:
$P(A \cup B) = a P(A \cap B) + b P(A) + c P(B)$
આપણને સહગુણકો મળે છે:
$a = -1, b = 1, c = 1$
હવે,આ કિંમતોને $3a + 2b + 5c$ માં મૂકતા:
$3(-1) + 2(1) + 5(1) = -3 + 2 + 5 = 4$
આમ,જવાબ $4$ છે.

(D) ધારો કે $P(A)$ એ $A$ સત્ય બોલે તેની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ $B$ સત્ય બોલે તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે,$P(A) = \frac{4}{5}$ અને $P(B) = \frac{3}{4}$.
$A$ સત્ય ન બોલે તેની સંભાવના $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
$B$ સત્ય ન બોલે તેની સંભાવના $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ છે.
તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ ત્યારે કરે જો એક સત્ય બોલે અને બીજો અસત્ય બોલે.
તેથી,વિરોધાભાસની સંભાવના $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4}) = \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$.

(C) ધારો કે $P(A)$ એ $A$ પરીક્ષામાં નાપાસ થાય તેની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ $B$ પરીક્ષામાં નાપાસ થાય તેની સંભાવના છે.
આપણને $P(A) = 0.2$ અને $P(B) = 0.3$ આપેલ છે.
$A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ એક નાપાસ થાય તેની સંભાવના એ બંને ઘટનાઓનો યોગગણ $P(A \cup B)$ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કારણ કે $P(A \cap B) \geq 0$ છે,તેથી $P(A \cup B) \leq P(A) + P(B)$ થાય.
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cup B) \leq 0.2 + 0.3$.
$P(A \cup B) \leq 0.5$.
તેથી,$A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ એક નાપાસ થાય તેની સંભાવના $\leq 0.5$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7$ છે.
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
ઘટના $F = \{X < 4\}$ એટલે કે $X \in \{1, 2, 3\}$.
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
છેદ ઘટના $E \cap F$ માં એવી કિંમતો છે જે અવિભાજ્ય પણ છે અને $4$ થી નાની પણ છે,એટલે કે $\{2, 3\}$.
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ,$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$.
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.

(B) આપણને આપેલ છે: $P(A \cup B) = \frac{5}{6}$,$P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,અને $P(B) = \frac{1}{3}$.
પ્રથમ,$P(A)$ ની ગણતરી કરો:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} - P(A \cap B)$.
$\frac{5}{6} = \frac{13}{12} - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = \frac{13}{12} - \frac{5}{6} = \frac{1}{4}$.
હવે,$P(A) \cdot P(B)$ ની ગણતરી કરીને નિરસતતા તપાસો:
$P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$.
કારણ કે $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$,તેથી ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરસત છે.

(B) આપેલ છે કે $P(A) + P(B) = 2 P(A \cap B)$.
આપણે સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ જાણીએ છીએ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ શરતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A \cup B) = 2 P(A \cap B) - P(A \cap B) = P(A \cap B)$.
કારણ કે $P(A \cap B) \leq P(A) \leq P(A \cup B)$ અને $P(A \cap B) \leq P(B) \leq P(A \cup B)$,તેથી $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ સમાનતા સૂચવે છે કે $P(A) = P(B) = P(A \cap B) = P(A \cup B)$.
આમ,$P(A) = P(B)$.

(D) પ્રથમ $30$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ $S = \{1, 2, 3, \dots, 30\}$ છે,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 30$ છે.
ધારો કે $A$ એ એવી ઘટના છે કે સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય છે. આવી સંખ્યાઓ $\{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\}$ છે,તેથી $n(A) = 7$.
ધારો કે $B$ એ એવી ઘટના છે કે સંખ્યા $7$ વડે વિભાજ્ય છે. આવી સંખ્યાઓ $\{7, 14, 21, 28\}$ છે,તેથી $n(B) = 4$.
ઘટના $A \cap B$ એ $4$ અને $7$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ દર્શાવે છે (એટલે કે $28$ વડે વિભાજ્ય). આવી એકમાત્ર સંખ્યા $\{28\}$ છે,તેથી $n(A \cap B) = 1$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{7}{30} + \frac{4}{30} - \frac{1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $P(E_1 \cup E_2) = \frac{5}{8}$,$P(\bar{E}_1) = \frac{3}{4}$,અને $P(E_2) = \frac{1}{2}$.
પ્રથમ,પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $P(E_1)$ શોધો: $P(E_1) = 1 - P(\bar{E}_1) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{8} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - P(E_1 \cap E_2)$.
$\frac{5}{8} = \frac{3}{4} - P(E_1 \cap E_2)$.
$P(E_1 \cap E_2) = \frac{3}{4} - \frac{5}{8} = \frac{6-5}{8} = \frac{1}{8}$.
હવે,નિવારકતા માટે તપાસો: $P(E_1) \times P(E_2) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
અહીં $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$ હોવાથી,ઘટનાઓ $E_1$ અને $E_2$ એ નિવારક ઘટનાઓ છે.