Odds in favor and odds against, Addition theorem on probability Questions in Hindi

(C) हम प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हैं: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{5}{6} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - P(A \cap B)$.
योग करने पर: $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6}$.
अतः,$\frac{5}{6} = \frac{7}{6} - P(A \cap B)$,जिसका अर्थ है $P(A \cap B) = \frac{7}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $P(A \cap B) \neq 0$,घटनाएँ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
अब,स्वतंत्रता की जाँच करने पर: $P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{3}$,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(B) दो घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी कहलाती हैं यदि वे एक साथ नहीं घटित हो सकती हैं,जिसका अर्थ है $A \cap B = \phi$.
प्रायिकता के योग प्रमेय के अनुसार,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए $P(A \cap B) = 0$.
अतः,$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

(C) कुल पत्तों की संख्या $n(S) = 52$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पत्ता राजा है और $B$ वह घटना है कि पत्ता ईंट (डायमंड) है।
राजाओं की संख्या $n(A) = 4$ है।
ईंट के पत्तों की संख्या $n(B) = 13$ है।
ईंट का राजा दोनों में उभयनिष्ठ है,इसलिए $n(A \cap B) = 1$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}$।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$।

(B) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जिसमें $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन होते हैं।
इन $2$ दिनों के लिए संभावित संयोजन हैं: (रविवार,सोमवार),(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),और (शनिवार,रविवार)।
कुल $7$ संभावित परिणाम हैं।
माना $A$ $53$ शुक्रवार होने की घटना है और $B$ $53$ शनिवार होने की घटना है।
$P(A) = \frac{2}{7}$ (क्योंकि शुक्रवार (गुरुवार,शुक्रवार) और (शुक्रवार,शनिवार) में आता है)।
$P(B) = \frac{2}{7}$ (क्योंकि शनिवार (शुक्रवार,शनिवार) और (शनिवार,रविवार) में आता है)।
$P(A \cap B) = \frac{1}{7}$ (क्योंकि (शुक्रवार,शनिवार) एकमात्र सामान्य परिणाम है)।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$।

(C) माना $P(A)$ वह प्रायिकता है कि $A$ सच बोलता है और $P(B)$ वह प्रायिकता है कि $B$ सच बोलता है।
दिया गया है: $P(A) = \frac{4}{5}$ और $P(B) = \frac{3}{4}$।
तब,$A$ के झूठ बोलने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ है।
$B$ के झूठ बोलने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
वे एक-दूसरे का विरोध तब करते हैं यदि ($A$ सच बोलता है और $B$ झूठ बोलता है) या ($A$ झूठ बोलता है और $B$ सच बोलता है)।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(A) \times P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \times P(B)$।
$= (\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4})$।
$= \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$।

(C) दिया गया है कि घटना के प्रतिकूल संयोगानुपात $2 : 3$ हैं।
इसका अर्थ है कि प्रतिकूल परिणामों की संख्या $2$ है और अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
कुल परिणाम = $2 + 3 = 5$।
घटना के घटित होने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात होती है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{3}{5}$।

(D) दिया गया है कि घटना के पक्ष में प्रतिकूलता $3 : 5$ है।
माना अनुकूल परिणामों की संख्या $3x$ है और प्रतिकूल परिणामों की संख्या $5x$ है।
कुल परिणामों की संख्या $3x + 5x = 8x$ है।
घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(E) = \frac{3x}{8x} = \frac{3}{8}$ है।
घटना के घटित न होने की प्रायिकता $P(E') = 1 - P(E) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ है।

(C) कुल पत्तों की संख्या = $52$.
हुकुम के पत्तों की संख्या = $13$.
इक्कों की संख्या = $4$.
चूंकि एक पत्ता हुकुम का इक्का है,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या (हुकुम या इक्का) = $13 + 4 - 1 = 16$.
जीतने की प्रायिकता $P(E) = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.
हारने की प्रायिकता $P(E') = 1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$.
जीतने के पक्ष में संयोगानुपात = $P(E) : P(E') = \frac{4}{13} : \frac{9}{13} = 4 : 9$.
जीतने के प्रतिकूल संयोगानुपात = $P(E') : P(E) = 9 : 4$.

(C) घटना के पक्ष में प्रतिकूलता $a : b = 4 : 5$ दी गई है।
घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{a}{a + b}$ है।
मान रखने पर,$P(E) = \frac{4}{4 + 5} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है कि घटना के प्रतिकूल संयोगानुपात $a : b = 6 : 5$ हैं।
यदि किसी घटना के प्रतिकूल संयोगानुपात $a : b$ हैं,तो घटना के घटित न होने की प्रायिकता $P(E') = \frac{a}{a + b}$ होती है।
यहाँ,$a = 6$ और $b = 5$ है।
अतः,घटना के घटित न होने की प्रायिकता $P(E') = \frac{6}{6 + 5} = \frac{6}{11}$ है।

(B) तीनों घोड़ों के पक्ष में ऑड्स $1:2$,$1:3$ और $1:4$ हैं।
अतः,तीनों घोड़ों के जीतने की प्रायिकताएँ $P(A) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ और $P(C) = \frac{1}{1+4} = \frac{1}{5}$ हैं।
चूंकि ये परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए किसी एक घोड़े के दौड़ जीतने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का योग होगी:
$P = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{20 + 15 + 12}{60} = \frac{47}{60}$.

(B) माना $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएं हैं।
$A$ के प्रतिकूल ऑड्स $5 : 2$ हैं,इसलिए $A$ के होने की प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{5 + 2} = \frac{2}{7}$ है।
अतः,$P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$।
$B$ के अनुकूल ऑड्स $6 : 5$ हैं,इसलिए $B$ के होने की प्रायिकता $P(B) = \frac{6}{6 + 5} = \frac{6}{11}$ है।
अतः,$P(\bar{B}) = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$।
कम से कम एक घटना के होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$ है।
$P(A \cup B) = 1 - (\frac{5}{7} \times \frac{5}{11}) = 1 - \frac{25}{77} = \frac{77 - 25}{77} = \frac{52}{77}$।

(C) माना $A, B, C$ तीन छात्रों द्वारा प्रश्न हल करने की घटनाएँ हैं।
प्रतिकूल संयोगानुपात $2:1, 5:2, 5:3$ दिए गए हैं।
अतः,प्रश्न हल करने की प्रायिकताएँ:
$P(A) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$,$P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$
$P(B) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$,$P(\bar{B}) = \frac{5}{7}$
$P(C) = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$,$P(\bar{C}) = \frac{5}{8}$
केवल एक छात्र द्वारा प्रश्न हल किए जाने की प्रायिकता:
$P = P(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) + P(\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) + P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C)$
$P = (\frac{1}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{5}{8}) + (\frac{2}{3} \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{8}) + (\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{3}{8})$
$P = \frac{25}{168} + \frac{20}{168} + \frac{30}{168}$
$P = \frac{75}{168} = \frac{25}{56}$.

(A) जहाजों $A, B$ और $C$ के सुरक्षित रूप से पहुँचने की प्रायिकता दिए गए अनुपात से ज्ञात की जाती है।
जहाज $A$ के लिए,प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{2 + 5} = \frac{2}{7}$ है।
जहाज $B$ के लिए,प्रायिकता $P(B) = \frac{3}{3 + 7} = \frac{3}{10}$ है।
जहाज $C$ के लिए,प्रायिकता $P(C) = \frac{6}{6 + 11} = \frac{6}{17}$ है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,इसलिए सभी जहाजों के सुरक्षित रूप से पहुँचने की प्रायिकता $P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C)$ होगी।
$P(A \cap B \cap C) = \frac{2}{7} \times \frac{3}{10} \times \frac{6}{17} = \frac{36}{1190} = \frac{18}{595}$.

(A) $23$ व्यक्तियों को एक गोल मेज पर बैठाने के कुल तरीके $(23-1)! = 22!$ हैं।
दो विशिष्ट व्यक्तियों के एक साथ बैठने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं। अब हमारे पास गोल मेज पर व्यवस्थित करने के लिए $22$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(22-1)! = 21!$ तरीकों से किया जा सकता है। वे दो व्यक्ति आपस में $2!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
अतः,उनके एक साथ बैठने के अनुकूल तरीके $21! \times 2!$ हैं।
उनके एक साथ बैठने की प्रायिकता $P = \frac{21! \times 2!}{22!} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11}$ है।
उनके एक साथ न बैठने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$ है।
उनके एक साथ न बैठने के प्रतिकूल संयोगानुपात (odds against) $\frac{10}{11} : \frac{1}{11} = 10 : 1$ हैं।

(B) परस्पर अपवर्जी घटनाओं $A, B$,और $C$ के लिए,उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
योग की गणना करें: $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$.
हर समान करने पर: $\frac{8}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{13}{12}$.
चूँकि $\frac{13}{12} > 1$,दी गई प्रायिकताएँ परस्पर अपवर्जी घटनाओं को नहीं दर्शा सकती हैं।
अतः,कथन गलत है।

(C) प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मान $P(A) = 0.4$,$P(A \cup B) = 0.7$,और $P(A \cap B) = 0.2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$0.7 = 0.4 + P(B) - 0.2$
$0.7 = 0.2 + P(B)$
$P(B) = 0.7 - 0.2 = 0.5$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दो घटनाओं $A$ और $B$ के संघ (union) की प्रायिकता,प्रायिकता के योग प्रमेय द्वारा दी जाती है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,और $P(AB) = 0$:
$P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 0$
$P(A \cup B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) कुल पत्तों की संख्या = $52$.
माना $A$ लाल पत्ता निकालने की घटना है और $B$ रानी निकालने की घटना है।
लाल पत्तों की संख्या $n(A) = 26$.
रानी की संख्या $n(B) = 4$.
लाल रानी की संख्या $n(A \cap B) = 2$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{26}{52} + \frac{4}{52} - \frac{2}{52}$.
$P(A \cup B) = \frac{28}{52} = \frac{7}{13}$.

(B) दिया गया है,$P(X) = 0.3$ और $P(Y) = 0.2$।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए $X$ और $Y$ दोनों के अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(X \cap Y) = P(X) \times P(Y) = 0.3 \times 0.2 = 0.06$ है।
$X$ या $Y$ में से किसी के भी अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता प्रायिकता के योग प्रमेय द्वारा दी जाती है:
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$
मान रखने पर:
$P(X \cup Y) = 0.3 + 0.2 - 0.06 = 0.44$।

(B) दिया गया है कि घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.4x$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करने पर: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.7 = 0.4 + x - 0.4x$।
$0.7 - 0.4 = x(1 - 0.4)$।
$0.3 = 0.6x$।
$x = \frac{0.3}{0.6} = \frac{1}{2}$।

(A) चूँकि घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए उनके सर्वनिष्ठ की प्रायिकता $P(A \cap B) = 0$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय के अनुसार,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$0.7 = 0.4 + x - 0$।
अतः,$x = 0.7 - 0.4 = 0.3$।
इस प्रकार,$x = 3/10$।

(D) एक सिक्के को दो बार उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(HH, HT, TH, TT)\}$ है।
घटना $A$ (पहली उछाल पर चित) $= \{(HH, HT)\}$,इसलिए $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
घटना $B$ (दूसरी उछाल पर चित) $= \{(HH, TH)\}$,इसलिए $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
घटना $A \cap B$ (दोनों उछाल पर चित) $= \{(HH)\}$,इसलिए $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(C) किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,प्रायिकता का योग प्रमेय कहता है कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
चूँकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,वे एक साथ नहीं घट सकतीं,जिसका अर्थ है कि $A \cap B = \emptyset$।
इसलिए,$P(A \cap B) = 0$।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ प्राप्त होता है।

(A) हम प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हैं:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{5}{8} - P(A \cap B)$
$\frac{6}{8} = \frac{2}{8} + \frac{5}{8} - P(A \cap B)$
$\frac{6}{8} = \frac{7}{8} - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = \frac{7}{8} - \frac{6}{8} = \frac{1}{8}$

(A) किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,प्रायिकता का योग प्रमेय कहता है कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B)$।
इसे योग प्रमेय में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि चुनी गई संख्या $4$ का गुणज है,और $B$ वह घटना है कि चुनी गई संख्या $6$ का गुणज है।
पहले $100$ पूर्णांकों में $4$ के गुणजों की संख्या $\frac{100}{4} = 25$ है। अतः,$P(A) = \frac{25}{100}$.
पहले $100$ पूर्णांकों में $6$ के गुणजों की संख्या $\lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$ है। अतः,$P(B) = \frac{16}{100}$.
$4$ और $6$ दोनों के गुणज $\text{lcm}(4, 6) = 12$ के गुणज होते हैं। पहले $100$ पूर्णांकों में $12$ के गुणजों की संख्या $\lfloor \frac{100}{12} \rfloor = 8$ है। अतः,$P(A \cap B) = \frac{8}{100}$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,आवश्यक प्रायिकता है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{25}{100} + \frac{16}{100} - \frac{8}{100} = \frac{33}{100}$.

(B) मान लीजिए $P(A)$ घोड़े $A$ के जीतने की प्रायिकता है और $P(B)$ घोड़े $B$ के जीतने की प्रायिकता है।
दिया गया है $P(A) = 1/4$ और $P(B) = 1/5$।
चूंकि दौड़ में केवल एक ही घोड़ा जीत सकता है,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) हैं।
अतः,उनमें से किसी एक के जीतने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ द्वारा दी जाती है।
$P(A \cup B) = 1/4 + 1/5 = (5 + 4) / 20 = 9/20$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि $P(A \cup B) = \frac{5}{6}$,$P(A \cap B) = \frac{1}{3}$,और $P(\bar{B}) = \frac{1}{3}$ है।
चूँकि $P(B) = 1 - P(\bar{B})$,इसलिए $P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करने पर: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $\frac{5}{6} = P(A) + \frac{2}{3} - \frac{1}{3}$.
$\frac{5}{6} = P(A) + \frac{1}{3}$.
$P(A) = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5-2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,प्रायिकता के योग प्रमेय के अनुसार $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P(A \cup B) + P(A \cap B) = P(A) + P(B)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $P(A \cup B) + P(A \cap B) = \frac{7}{8}$ और $P(A) = 2P(B)$,जिसका अर्थ है कि $P(B) = \frac{P(A)}{2}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{7}{8} = P(A) + \frac{P(A)}{2}$।
$\frac{7}{8} = \frac{3P(A)}{2}$।
$P(A) = \frac{7}{8} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}$।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
मान लीजिए $P(B) = x$ है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.8 = 0.3 + x - (0.3 \times x)$
$0.8 - 0.3 = x - 0.3x$
$0.5 = 0.7x$
$x = \frac{0.5}{0.7} = \frac{5}{7}$।
अतः,$P(B) = \frac{5}{7}$।

(D) प्रायिकता के योग प्रमेय के अनुसार $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ से मेल खाता है।
चूंकि $0 \leq P(A \cup B) \leq 1$,इसलिए $P(A \cup B) \leq 1 \implies P(A) + P(B) - P(A \cap B) \leq 1 \implies P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$,जो विकल्प $A$ से मेल खाता है।
साथ ही,चूंकि $P(A \cup B) \geq 0$,इसलिए $P(A) + P(B) - P(A \cap B) \geq 0 \implies P(A \cap B) \leq P(A) + P(B)$,जो विकल्प $B$ से मेल खाता है।
चूंकि विकल्प $A$,$B$ और $C$ तीनों गणितीय रूप से सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) हम जानते हैं कि प्रायिकता का योग प्रमेय $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
दी गई शर्त $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ को सूत्र में रखने पर:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2P(A \cap B) = P(A) + P(B)$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,उस विशिष्ट स्थिति के लिए जहाँ $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ है,इसका अर्थ है कि $P(A \setminus B) = 0$ और $P(B \setminus A) = 0$,जिसका अर्थ है $P(A) = P(A \cap B) = P(B)$।
अतः,सही संबंध $P(A) = P(B)$ है।

(A) दिया गया है: $P(A) = 0.25$,$P(B) = 0.50$,और $P(A \cap B) = 0.14$।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि न तो $A$ और न ही $B$ घटित हो,जो $P(A^c \cap B^c)$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = 0.25 + 0.50 - 0.14 = 0.61$।
अतः,$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.61 = 0.39$।

(A) कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 12$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें संख्या $2$ से विभाज्य है। संख्याएँ ${2, 4, 6, 8, 10, 12}$ हैं,इसलिए $n(A) = 6$।
मान लीजिए $B$ वह घटना है जिसमें संख्या $3$ से विभाज्य है। संख्याएँ ${3, 6, 9, 12}$ हैं,इसलिए $n(B) = 4$।
घटना $A \cap B$ उन संख्याओं का समूह है जो $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य हैं (अर्थात $6$ से विभाज्य)। संख्याएँ ${6, 12}$ हैं,इसलिए $n(A \cap B) = 2$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} - \frac{2}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$।

(A) माना $A$ वह घटना है कि पति $20$ वर्षों में जीवित रहेगा और $B$ वह घटना है कि पत्नी $20$ वर्षों में जीवित रहेगी।
दिया गया है $P(A) = \frac{3}{5}$ और $P(B) = \frac{2}{3}$.
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं,कम से कम एक के जीवित रहने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.
अतः,$P(A \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{2}{3} - \frac{6}{15} = \frac{9 + 10 - 6}{15} = \frac{13}{15}$.
वैकल्पिक रूप से,कम से कम एक के जीवित रहने की प्रायिकता $1 - P(\text{दोनों की मृत्यु}) = 1 - (1 - P(A))(1 - P(B)) = 1 - (\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}) = 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$ है।

(D) दो परस्पर अपवर्जी घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,$A$ या $B$ के घटित होने की प्रायिकता योग प्रमेय द्वारा दी जाती है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cup B) = 0.45 + 0.35 = 0.8$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) किन्हीं भी दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,हमारे पास प्रायिकता का योग प्रमेय है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
चूँकि $P(A \cap B) \ge 0$,इसलिए $P(A \cup B) \le P(A) + P(B)$ प्राप्त होता है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,इस असमिका को $n$ घटनाओं के लिए इस प्रकार सामान्यीकृत किया जा सकता है:
$P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} P(A_i)$.

(C) माना $A$ रानी निकालने की घटना है और $B$ पान (heart) निकालने की घटना है।
कुल पत्तों की संख्या = $52$.
रानी की संख्या $n(A) = 4$,इसलिए $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
पान के पत्तों की संख्या $n(B) = 13$,इसलिए $P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
वह पत्ता जो रानी और पान दोनों है,वह पान की रानी है,इसलिए $n(A \cap B) = 1$,जिसका अर्थ है $P(A \cap B) = \frac{1}{52}$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.

(B) माना कि $A$ और $B$ दो घटनाएँ हैं।
दिया गया है $P(A) = 0.21$,$P(B) = 0.49$,और $P(A \cap B) = 0.16$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = 0.21 + 0.49 - 0.16 = 0.54$.
दोनों में से किसी भी घटना के न होने की प्रायिकता $P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)$ द्वारा दी जाती है।
$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.54 = 0.46$.

(B) दिया गया है $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ और $P(A^c \cap B^c) = \frac{1}{3}$.
चूंकि $P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{3}$,इसलिए $P(A \cup B) = \frac{2}{3}$.
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3}$.
अतः,$P(A) + P(B) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{6}$.
मान लीजिए $x = P(A)$ और $y = P(B)$. तब $x + y = \frac{5}{6}$ और $xy = \frac{1}{6}$.
ये द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ के मूल हैं,जो $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$ है।
$6$ से गुणा करने पर,$6t^2 - 5t + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$(2t - 1)(3t - 1) = 0$,इसलिए $t = \frac{1}{2}$ या $t = \frac{1}{3}$.
अतः,$P(A)$ का मान $\frac{1}{2}$ या $\frac{1}{3}$ है।

(C) मान लीजिए $A$ राजा निकालने की घटना है और $B$ हुकुम (spade) निकालने की घटना है।
कुल पत्तों की संख्या $= 52$ है।
राजाओं की संख्या $n(A) = 4$,इसलिए $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
हुकुम के पत्तों की संख्या $n(B) = 13$,इसलिए $P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
जो पत्ता राजा और हुकुम दोनों है,वह हुकुम का राजा है,इसलिए $n(A \cap B) = 1$,और $P(A \cap B) = \frac{1}{52}$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$।

(B) दिया गया है $P(A^c) = 5/6$। चूंकि $P(A) = 1 - P(A^c)$,इसलिए $P(A) = 1 - 5/6 = 1/6$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5/6 = 1/6 + 2/3 - P(A \cap B)$।
$5/6 = (1+4)/6 - P(A \cap B) = 5/6 - P(A \cap B)$।
इसका अर्थ है $P(A \cap B) = 0$।
चूंकि दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता $0$ है,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं।

(B) प्रायिकता के लिए योग प्रमेय बताता है कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
चूँकि किसी भी घटना की प्रायिकता ऋणात्मक नहीं होती है,इसलिए हमारे पास $P(A \cap B) \ge 0$ है।
अतः,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le P(A) + P(B)$।

(D) हम जानते हैं कि $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ और $P(\bar{B}) = 1 - P(B).$
अतः,$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B)).$
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.8 = P(A) + P(B) - 0.3.$
इस प्रकार,$P(A) + P(B) = 0.8 + 0.3 = 1.1.$
अंततः,$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 2 - 1.1 = 0.9.$

(C) मान लीजिए $R$ वह घटना है कि एक व्यक्ति अमीर है और $F$ वह घटना है कि एक व्यक्ति प्रसिद्ध है।
दिया गया है: $P(R) = 10\% = 0.1$,$P(F) = 5\% = 0.05$,और $P(R \cap F) = 3\% = 0.03$.
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि एक व्यक्ति या तो अमीर है या प्रसिद्ध है लेकिन दोनों नहीं,जो $P(R \Delta F) = P(R \cup F) - P(R \cap F)$ द्वारा दी जाती है।
वैकल्पिक रूप से,$P(R \Delta F) = P(R) + P(F) - 2P(R \cap F)$.
मान रखने पर:
$P(R \Delta F) = 0.1 + 0.05 - 2(0.03)$
$P(R \Delta F) = 0.15 - 0.06 = 0.09$.

(C) कुल पत्तों की संख्या = $52$।
मान लीजिए $A$ रानी निकालने की घटना है और $B$ पान (heart) निकालने की घटना है।
रानी की संख्या $n(A) = 4$।
पान (heart) के पत्तों की संख्या $n(B) = 13$।
ऐसे पत्तों की संख्या जो रानी और पान दोनों हैं $n(A \cap B) = 1$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पहला व्यक्ति $30$ वर्षों के बाद जीवित है और $B$ वह घटना है कि दूसरा व्यक्ति $30$ वर्षों के बाद जीवित है।
$A$ के प्रतिकूल ऑड्स $8:5$ दिए गए हैं,इसलिए पहले व्यक्ति के मरने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = \frac{8}{8+5} = \frac{8}{13}$ है।
अतः,पहले व्यक्ति के जीवित रहने की प्रायिकता $P(A) = 1 - \frac{8}{13} = \frac{5}{13}$ है।
$B$ के प्रतिकूल ऑड्स $4:3$ दिए गए हैं,इसलिए दूसरे व्यक्ति के मरने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ है।
अतः,दूसरे व्यक्ति के जीवित रहने की प्रायिकता $P(B) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ है।
वह घटना कि उनमें से केवल एक जीवित है,$(\bar{A} \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$ है।
चूंकि ये घटनाएं स्वतंत्र हैं,प्रायिकता $P(\bar{A})P(B) + P(A)P(\bar{B})$ होगी।
$= (\frac{8}{13} \times \frac{3}{7}) + (\frac{5}{13} \times \frac{4}{7})$
$= \frac{24}{91} + \frac{20}{91} = \frac{44}{91}$.

(D) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि छात्र $IIT$ प्रवेश परीक्षा में चुना जाता है और $B$ वह घटना है कि वह रुड़की प्रवेश परीक्षा में चुना जाता है।
दिया गया है: $P(A) = 0.2$,$P(B) = 0.5$,और $P(A \cap B) = 0.3$.
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि वह किसी भी स्थान पर सफल नहीं होता है,जो कि $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 0.2 + 0.5 - 0.3 = 0.4$.
अतः,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0.4 = 0.6$.