Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Gujarati

(C) $SUCCESS$ શબ્દમાં અક્ષરો છે: $S, S, S, U, C, C, E$.
કુલ અક્ષરો: $7$ $(S:3, C:2, U:1, E:1)$.
આપણે એવી રીતે ગોઠવણ કરવાની છે કે બે $C$ સાથે હોય અને કોઈ પણ બે $S$ સાથે ન હોય.
$(CC)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો. બાકીના અક્ષરો $U, E$ છે.
$3$ એકમો $(CC), U, E$ ને $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
આ $3$ એકમો $4$ જગ્યાઓ બનાવે છે: $\_ (CC) \_ U \_ E \_$.
આ $4$ જગ્યાઓમાં $3$ $S$ ને એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે કોઈ પણ બે $S$ સાથે ન આવે. આ $^4C_3$ રીતે કરી શકાય.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 3! \times ^4C_3 = 6 \times 4 = 24$.

(A) આપણે $a + b + c = 50$ ની શરત હેઠળ $f(a, b, c) = ab^2c$ ને મહત્તમ બનાવવું છે,જ્યાં $a, b, c$ અ-ઋણ બેકી પૂર્ણાંકો છે.
ધારો કે $a = 2x, b = 2y, c = 2z$. તેથી $2x + 2y + 2z = 50$,જેનો અર્થ છે કે $x + y + z = 25$.
પદાવલિ $f = (2x)(2y)^2(2z) = 16xy^2z$ બને છે.
$x + y + z = 25$ ની શરત હેઠળ $xy^2z$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણે $xy^2z = 4 \times x \times (\frac{y}{2}) \times (\frac{y}{2}) \times z$ લખી શકીએ.
આ પદોનો સરવાળો $x + \frac{y}{2} + \frac{y}{2} + z = x + y + z = 25$ છે.
$AM$-$GM$ મુજબ,ગુણાકાર ત્યારે મહત્તમ થાય છે જ્યારે $x = \frac{y}{2} = z$ હોય.
સરવાળામાં આ કિંમતો મૂકતા: $x + 2x + x = 25 \implies 4x = 25 \implies x = 6.25$.
કારણ કે $a, b, c$ બેકી પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ,$x, y, z$ પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ.
આપણે $x = 6.25$ અને $y = 12.5$ ની નજીકની કિંમતો ચકાસીએ.
જો $b = 26$ લઈએ,તો $a + c = 24$. જો $a = c = 12$ લઈએ,તો $ab^2c = 12 \times 26^2 \times 12 = 97344$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $97344$ છે.

(A) $'UNIVERSITY'$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે. સ્વરો $E, I, I, U$ છે અને વ્યંજનો $N, V, R, S, T, Y$ છે.
સ્વરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં હોવા જોઈએ.
શરત મુજબ શબ્દ સ્વરથી શરૂ કે અંત થતો નથી.
આ ગણતરીનું પરિણામ ${}^8{C_4} \times 6!$ મળે છે.

(D) કુલ $8$ અંકની સંખ્યાઓ $= 3780$.
એકી સંખ્યાઓ માટે,એકમનો અંક $1$ અથવા $3$ હોવો જોઈએ.
એકમનો અંક $3$ હોય તેવી સંખ્યાઓ $= 450$.
એકમનો અંક $1$ હોય તેવી સંખ્યાઓ $= 1080$.
કુલ એકી સંખ્યાઓ $= 1530$.
સંભાવના $= \frac{1530}{3780} = \frac{5}{14}$.

(B) $MAYANK$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $M, A, Y, A, N, K$. જેમાં $M, Y, N, K$ અલગ છે અને બે $A$ છે.
બંને $A$ સાથે હોય તેવા $4$ અક્ષરના શબ્દો બનાવવા માટે,બાકીના $4$ અક્ષરોમાંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવા પડે.
પસંદગીના પ્રકાર $= ^4C_2 = 6$.
કુલ ગોઠવણી $= 6 \times \frac{4!}{2!} = 6 \times 12 = 72$.
બંને $A$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી $= 6 \times 3! = 6 \times 6 = 36$.
બંને $A$ સાથે ન હોય તેવી ગોઠવણી $= 72 - 36 = 36$.

(A) વિધેય $f(x) = \sum_{k=1}^{119} |kx - 1|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે તેને $f(x) = \sum_{k=1}^{119} k |x - \frac{1}{k}|$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ $\sum_{k=1}^{n} c_k |x - a_k|$ પ્રકારનો સરવાળો છે,જ્યાં $c_k = k$ અને $a_k = \frac{1}{k}$ છે.
વિધેય $f(x)$ તેની ન્યૂનતમ કિંમત $a_k = \frac{1}{k}$ ના ભારિત મધ્યસ્થ (weighted median) પર પ્રાપ્ત કરે છે,જ્યાં ભાર $c_k = k$ છે.
$a_k$ ની કિંમતો $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{119}$ છે,જે ઉતરતા ક્રમમાં છે: $1 > \frac{1}{2} > \dots > \frac{1}{119}$.
ભાર $c_1=1, c_2=2, \dots, c_{119}=119$ છે.
કુલ ભાર $S = \sum_{k=1}^{119} k = \frac{119 \times 120}{2} = 7140$ છે.
મધ્યસ્થ ત્યારે મળે છે જ્યારે સંચયી ભાર $\frac{S}{2} = \frac{7140}{2} = 3570$ થાય.
આપણે એવો $m$ શોધીએ છીએ કે જેના માટે $\sum_{k=1}^{m} k \ge 3570$ થાય.
સૂત્ર $\frac{m(m+1)}{2} \ge 3570$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $m(m+1) \ge 7140$ મળે છે.
કારણ કે $84 \times 85 = 7140$,સંચયી ભાર $m = 84$ પર બરાબર $3570$ થાય છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $x = a_{84} = \frac{1}{84}$ પર મળે છે.

(A) ધારો કે $S$ એ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી તમામ $5$ અંકની સંખ્યાઓનો ગણ છે. કુલ સંખ્યાઓ $6^5$ છે.
ધારો કે $A$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જેમાં $1$ નથી અને $B$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જેમાં $2$ નથી.
આપણે એવી $5$ અંકની સંખ્યાઓ શોધવી છે જેમાં $1$ અને $2$ બંને હોય. આ સંખ્યા = કુલ - (જેમાં $1$ નથી અથવા જેમાં $2$ નથી).
ગણતરીના સિદ્ધાંત મુજબ,$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
$|A| = 5^5$ (${2, 3, 4, 5, 6}$ નો ઉપયોગ કરીને).
$|B| = 5^5$ (${1, 3, 4, 5, 6}$ નો ઉપયોગ કરીને).
$|A \cap B| = 4^5$ (${3, 4, 5, 6}$ નો ઉપયોગ કરીને).
તેથી,$|A \cup B| = 5^5 + 5^5 - 4^5 = 2 \times 5^5 - 4^5$.
$1$ અને $2$ બંનેનો સમાવેશ કરતી $5$ અંકની સંખ્યાઓ = $6^5 - (2 \times 5^5 - 4^5) = 6^5 - 2 \times 5^5 + 4^5$.

(D) આપણે $2015! + 3^{2015}$ ના છેલ્લા બે અંકો શોધવાના છે.
$2015!$ માં $100$ નો અવયવ હોવાથી,તેના છેલ્લા બે અંકો $00$ છે.
હવે,$3^{2015} \pmod{100}$ શોધીએ.
$3^{40} \equiv 1 \pmod{100}$ હોવાથી,
$3^{2015} \equiv 3^{15} \pmod{100}$.
ગણતરી કરતા $3^{15} \equiv 07 \pmod{100}$ મળે છે.
તેથી,છેલ્લા બે અંકો $07$ છે.

(C) ધારો કે ચાર અંકની સંખ્યા $N = d_1 d_2 d_3 d_4$ છે.
$N$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,એકી સ્થાન પરના અંકોના સરવાળા અને બેકી સ્થાન પરના અંકોના સરવાળા વચ્ચેનો તફાવત $11$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
એટલે કે,$(d_1 + d_3) - (d_2 + d_4) = 11k$,જ્યાં $k \in \{0, 1, -1\}$.
અહીં $d_i \in \{1, 2, 3, 4\}$ હોવાથી,ન્યૂનતમ સરવાળો $1+1=2$ અને મહત્તમ સરવાળો $4+4=8$ છે.
તેથી,તફાવત $(d_1 + d_3) - (d_2 + d_4)$ માત્ર $0$ હોઈ શકે છે.
તેથી,$d_1 + d_3 = d_2 + d_4$.
$S = d_1 + d_3 = d_2 + d_4$ માટે શક્ય કિંમતો અને તેને બનાવવાની રીતો:
જો $S=2$: $(1,1) \rightarrow 1$ રીત. કુલ $= 1 \times 1 = 1$.
જો $S=3$: $(1,2), (2,1) \rightarrow 2$ રીતો. કુલ $= 2 \times 2 = 4$.
જો $S=4$: $(1,3), (2,2), (3,1) \rightarrow 3$ રીતો. કુલ $= 3 \times 3 = 9$.
જો $S=5$: $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) \rightarrow 4$ રીતો. કુલ $= 4 \times 4 = 16$.
જો $S=6$: $(2,4), (3,3), (4,2) \rightarrow 3$ રીતો. કુલ $= 3 \times 3 = 9$.
જો $S=7$: $(3,4), (4,3) \rightarrow 2$ રીતો. કુલ $= 2 \times 2 = 4$.
જો $S=8$: $(4,4) \rightarrow 1$ રીત. કુલ $= 1 \times 1 = 1$.
કુલ સરવાળો: $1 + 4 + 9 + 16 + 9 + 4 + 1 = 44$.

(A) બરાબર બે ભિન્ન અંકો ધરાવતી ચાર અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે બે કિસ્સાઓ વિચારીએ છીએ:
કિસ્સો $1$: અંક $0$ નો સમાવેશ થતો નથી.
આપણે $9$ શૂન્યતર અંકો $(1-9)$ માંથી $2$ અંકો $^9C_2$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
દરેક પસંદગી માટે,આપણે $2^4 - 2$ સંખ્યાઓ બનાવી શકીએ છીએ.
રીતોની સંખ્યા $= ^9C_2 \times (2^4 - 2) = 36 \times 14 = 504$.
કિસ્સો $2$: અંક $0$ નો સમાવેશ થાય છે.
આપણે $9$ માંથી $1$ શૂન્યતર અંક $^9C_1$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
સંખ્યા શૂન્યતર અંકથી શરૂ થવી જોઈએ. બાકીના $3$ સ્થાનો પસંદ કરેલ શૂન્યતર અંક અને $0$ વડે એવી રીતે ભરી શકાય કે જેથી ઓછામાં ઓછો એક $0$ હોય.
આ $2^3 - 1 = 7$ રીતે શક્ય છે.
રીતોની સંખ્યા $= ^9C_1 \times 7 = 9 \times 7 = 63$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 504 + 63 = 567$.

(C) $9$ અંકની સંખ્યા $1$ થી શરૂ થવી જોઈએ (કારણ કે તે $0$ થી શરૂ ન થઈ શકે).
સંખ્યા બેકી હોવાથી,તેનો છેલ્લો અંક $0$ હોવો જોઈએ.
ધારો કે સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7 d_8 d_9$ છે.
અહીં $d_1 = 1$ અને $d_9 = 0$ છે.
કોઈ પણ બે ક્રમિક અંકો $0$ ન હોવાથી,$d_8 = 1$ હોવું જોઈએ.
બાકીના $6$ સ્થાન ($d_2$ થી $d_7$) માટે,આપણે $0$ અને $1$ એવી રીતે મૂકવા જોઈએ કે જેથી બે $0$ પાસપાસે ન આવે.
આ માટેની શ્રેણી $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n=6$ માટે ગણતરી કરતા આપણને $21$ મળે છે.

(C) આપણી પાસે $15$ ક્રમિક ટિકિટો છે. આપણે $10$ ટિકિટો એવી રીતે પસંદ કરવાની છે કે જે $5, 3$ અને $2$ ના $3$ ક્રમિક બ્લોક્સ બનાવે.
કુલ $15$ વસ્તુઓમાંથી $5$ બ્લોક્સ અને $3$ ખાલી જગ્યાઓ ગોઠવવાની રીતો $\frac{8!}{5!3!} = ^8C_5$ છે.
$3$ બાળકો અલગ હોવાથી,$3$ બ્લોક્સને તેમની વચ્ચે $3!$ રીતે વહેંચી શકાય છે.
વધુમાં,બાળકોના સંદર્ભમાં બ્લોક્સની આંતરિક ગોઠવણી $3!$ છે.
તેથી,કુલ રીતો $^8C_5 \times (3!)^2$ છે.

(A) $x_1 + x_2 = 100$ ના કુલ પ્રાકૃતિક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{100-1}{2-1} = 99$ છે.
ધારો કે $A$ એ $x_1$ એ $5$ નો ગુણક હોય તેવા ઉકેલોનો ગણ છે અને $B$ એ $x_2$ એ $5$ નો ગુણક હોય તેવા ઉકેલોનો ગણ છે.
$x_1$ માટે $19$ શક્યતાઓ છે $(5, 10, \dots, 95)$.
દરેક કિસ્સામાં $x_2 = 100 - x_1$ પણ $5$ નો ગુણક જ થશે.
તેથી $|A| = 19$,$|B| = 19$ અને $|A \cap B| = 19$ મળે.
$A \cup B$ માં સભ્યોની સંખ્યા $19 + 19 - 19 = 19$ છે.
માગેલ ઉકેલોની સંખ્યા $99 - 19 = 80$ છે.

(A) બિન-શૂન્ય અંકો જે પૂર્ણ વર્ગ છે તે $1, 4,$ અને $9$ છે.
આવા કુલ $3$ અંકો છે.
આ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવી ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 = 27$ છે.
દરેક અંક $1, 4,$ અને $9$ એકમ,દશક અને સોના સ્થાન પર બરાબર $9$ વખત આવે છે.
કોઈપણ સ્થાન પર અંકોનો સરવાળો $9 \times (1 + 4 + 9) = 9 \times 14 = 126$ છે.
આવી તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો $126 \times 100 + 126 \times 10 + 126 \times 1 = 126 \times 111 = 13986$ છે.

(C) આપણે $15$ ક્રમિક ટિકિટોમાંથી $10$ ટિકિટો પસંદ કરવાની છે જે $5, 3$ અને $2$ ના બ્લોક્સ બનાવે.
બાકી રહેલી $5$ ટિકિટોને $X$ તરીકે ગણતા,આપણે $B_1, B_2, B_3, X, X, X, X, X$ ને ગોઠવવાના છે.
કુલ ગોઠવણીની રીતો $\frac{8!}{5!} = 336$ છે.
$3$ બાળકોને આ $3$ બ્લોક્સ $3!$ રીતે આપી શકાય,તેથી કુલ રીતો $\frac{8!}{5!} \times 3! = 2016$ થાય.
આ કિંમત $^8C_5 \times (3!)^2 = 56 \times 36 = 2016$ ને સમાન છે.

(B) $3000$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $3000 = 3^1 \times 2^3 \times 5^3$ છે.
આપણે અવિભાજ્ય અવયવોને $x, y,$ અને $z$ માં વહેંચવાની જરૂર છે.
અવિભાજ્ય અવયવ $3^1$ માટે,તેને $3$ ચલોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=1$ અને $r=3$ છે. આ $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ છે.
અવિભાજ્ય અવયવ $2^3$ માટે,તેને $3$ ચલોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{3+3-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10$ છે.
અવિભાજ્ય અવયવ $5^3$ માટે,તેને $3$ ચલોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{3+3-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10$ છે.
તેથી,કુલ ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $3 \times 10 \times 10 = 300$ છે.

(B) પ્રથમ,$xyz = 24$ માટે ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધો.
$24$ ને $2^3 \times 3^1$ તરીકે લખી શકાય.
ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$x = 2^{a_1} 3^{b_1}$,$y = 2^{a_2} 3^{b_2}$,$z = 2^{a_3} 3^{b_3}$ માટે,$a_1+a_2+a_3 = 3$ અને $b_1+b_2+b_3 = 1$ થાય.
$a_i$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{5}{2} = 10$ છે.
$b_i$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{3}{2} = 3$ છે.
કુલ ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો $= 10 \times 3 = 30$.
$xyz = 24$ ધન હોવાથી,$(x, y, z)$ માટે ચિહ્નોના શક્ય સંયોજનો $(+, +, +)$,$(+, -, -)$,$(-, +, -)$,અને $(-, -, +)$ છે.
દરેક કિસ્સામાં $30$ ઉકેલો મળે છે.
કુલ પૂર્ણાંક ઉકેલો $= 4 \times 30 = 120$.

(A) આપણે નિત્યસમ ${}^{n}{C_r} = {}^{n}{C_{n-r}}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પદાવલિ $\sum\limits_{r = 0}^{15} {\left( {}^{15}{C_r} \cdot {}^{40}{C_{15}} \cdot {}^{20}{C_r} - {}^{35}{C_{15}} \cdot {}^{15}{C_r} \cdot {}^{25}{C_r} \right)}$ છે.
${}^{20}{C_r} = {}^{20}{C_{20-r}}$ અને ${}^{25}{C_r} = {}^{25}{C_{25-r}}$ નો ઉપયોગ કરીને પદોને ફરીથી લખતા:
$= {}^{40}{C_{15}} \sum\limits_{r = 0}^{15} {({}^{15}{C_r} \cdot {}^{20}{C_{20-r}})} - {}^{35}{C_{15}} \sum\limits_{r = 0}^{15} {({}^{15}{C_r} \cdot {}^{25}{C_{25-r}})}$.
વેન્ડરમોન્ડના નિત્યસમ મુજબ,$\sum\limits_{k=0}^{r} {}^{m}{C_k} \cdot {}^{n}{C_{r-k}} = {}^{m+n}{C_r}$:
$= {}^{40}{C_{15}} \cdot {}^{35}{C_{20}} - {}^{35}{C_{15}} \cdot {}^{40}{C_{25}}$.
કારણ કે ${}^{35}{C_{20}} = {}^{35}{C_{15}}$ અને ${}^{40}{C_{25}} = {}^{40}{C_{15}}$:
$= {}^{40}{C_{15}} \cdot {}^{35}{C_{15}} - {}^{35}{C_{15}} \cdot {}^{40}{C_{15}} = 0$.

(D) $BARRACK$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A, A, R, R, B, C, K$. ભિન્ન અક્ષરો ${A, R, B, C, K}$ છે.
આપણે $4$ અક્ષરના શબ્દો બનાવવાના છે. કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ બધા $4$ અક્ષરો ભિન્ન હોય: ${A, R, B, C, K}$ માંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^5C_4 = 5$. દરેકને ગોઠવવાના પ્રકાર $= 4! = 24$. કુલ $= 5 \times 24 = 120$.
(ii) $2$ સમાન અક્ષરોની જોડી: જોડીઓ ${A, A}$ અને ${R, R}$ છે. બંને જોડી પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^2C_2 = 1$. ગોઠવણીના પ્રકાર $= \frac{4!}{2!2!} = 6$.
(iii) $2$ સમાન અને $2$ ભિન્ન અક્ષરો: ${A, A}$ અથવા ${R, R}$ માંથી $1$ જોડી પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^2C_1 = 2$. બાકીના $4$ અક્ષરોમાંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^4C_2 = 6$. દરેક પસંદગી માટે ગોઠવણીના પ્રકાર $= \frac{4!}{2!} = 12$. કુલ $= 2 \times 6 \times 12 = 144$.
કુલ $4$ અક્ષરના શબ્દો $= 120 + 6 + 144 = 270$.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ $\sum\limits_{r = 1}^{15} {{r^2} \left( \frac{^{15}C_r}{^{15}C_{r - 1}} \right)}$ છે.
$\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{^{15}C_r}{^{15}C_{r-1}} = \frac{16-r}{r}$.
સરવાળામાં કિંમત મૂકતા:
$\sum\limits_{r = 1}^{15} {{r^2} \left( \frac{16-r}{r} \right)} = \sum\limits_{r = 1}^{15} {r(16-r)} = \sum\limits_{r = 1}^{15} {(16r - r^2)}$.
આ $16 \sum\limits_{r = 1}^{15} r - \sum\limits_{r = 1}^{15} r^2$ બરાબર થાય છે.
$n=15$ માટે $\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$16 \left( \frac{15 \times 16}{2} \right) - \left( \frac{15 \times 16 \times 31}{6} \right)$.
$= 16 \times 120 - 5 \times 8 \times 31 = 1920 - 1240 = 680$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{{}^{n + 2}C_6}{{}^{n - 2}P_2} = 11$
સૂત્ર ${}^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ અને ${}^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)}{720}}{(n-2)(n-3)} = 11$
$(n+2)(n+1)n(n-1) = 11 \times 720 = 7920$
$n=9$ મૂકતા:
$(11)(10)(9)(8) = 7920$
આમ,$n=9$ એ ઉકેલ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે ચકાસણી:
$n^2 + 3n - 108 = (9)^2 + 3(9) - 108 = 81 + 27 - 108 = 0$.

(B) $15$ પુરુષો અને $15$ સ્ત્રીઓમાંથી દરેક ટીમમાં એક પુરુષ અને એક સ્ત્રી હોય તેવી $15$ ટીમો બનાવવા માટે:
$1$. પ્રથમ ટીમ માટે,$15$ પુરુષોમાંથી $1$ પુરુષ $15$ રીતે અને $15$ સ્ત્રીઓમાંથી $1$ સ્ત્રી $15$ રીતે પસંદ કરી શકાય. કુલ રીતો = $15 \times 15$.
$2$. બીજી ટીમ માટે,બાકી રહેલા $14$ પુરુષોમાંથી $1$ અને બાકી રહેલી $14$ સ્ત્રીઓમાંથી $1$ સ્ત્રી પસંદ કરી શકાય. કુલ રીતો = $14 \times 14$.
$3$. આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,ટીમો બનાવવાની કુલ રીતો દરેક ટીમ બનાવવાની રીતોનો ગુણાકાર છે:
કુલ રીતો = $(15 \times 15) \times (14 \times 14) \times \dots \times (1 \times 1)$
કુલ રીતો = $(15 \times 14 \times \dots \times 1) \times (15 \times 14 \times \dots \times 1)$
કુલ રીતો = $(15!)^2$.

(D) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $9$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $9$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. $0$ થી $9$ સુધીના અંકોનો સરવાળો $45$ છે. $8$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે બે અંકોને એવી રીતે બાકાત રાખવા જોઈએ કે જેથી બાકીના $8$ અંકોનો સરવાળો $9$ નો ગુણક હોય. બાકાત રાખેલા બે અંકોનો સરવાળો $9$ થવો જોઈએ,જેની જોડીઓ $(0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5)$ છે. જો $0$ બાકાત હોય,તો $8!$ રીતે સંખ્યા બને. જો $0$ બાકાત ન હોય,તો $8! - 7! = 7 \times 7!$ રીતે સંખ્યા બને. કુલ રીતો $= 8! + 4(7 \times 7!) = 8 \times 7! + 28 \times 7! = 36 \times 7!$.

(A) આપેલ છે કે $n = ^mC_2 = \frac{m(m-1)}{2}$.
આપણે $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ શોધવાનું છે.
$n = \frac{m(m-1)}{2}$ મૂકતા:
$^nC_2 = \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m(m-1)}{2} - 1 \right)}{2}$
$= \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m^2-m-2}{2} \right)}{2}$
$= \frac{m(m-1)(m^2-m-2)}{8}$
$= \frac{m(m-1)(m-2)(m+1)}{8}$
$= \frac{3 \times (m+1)m(m-1)(m-2)}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$
$= 3(^{m+1}C_4)$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $^{n}C_{r} \cdot ^{n-r}C_{k-r} = ^{n}C_{k} \cdot ^{k}C_{r}$ થાય છે.
આપેલ સરવાળા માટે:
$\sum\limits_{r = 0}^{25} {^{50}C_r \cdot ^{50 - r}C_{25 - r}} = \sum\limits_{r = 0}^{25} {^{50}C_{25} \cdot ^{25}C_r}$.
$= ^{50}C_{25} \sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}C_r}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum\limits_{r = 0}^{n} {^{n}C_r} = 2^n$,તેથી $\sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}C_r} = 2^{25}$.
તેથી,પદાવલિ $^{50}C_{25} \cdot 2^{25}$ બને છે.
$K\left( {^{50}C_{25}} \right)$ સાથે સરખાવતા,$K = 2^{25}$ મળે છે.

(B) $6$ અંકની સંખ્યા $abcdef$ ધારો. $11$ વડે વિભાજ્યતા માટે $|(a+c+e) - (b+d+f)|$ એ $11$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
બધા અંકોનો સરવાળો $0+1+2+5+7+9 = 24$ છે. ધારો કે $S_1 = a+c+e$ અને $S_2 = b+d+f$. તેથી $S_1 + S_2 = 24$ અને $S_1 - S_2 = 11k$.
$k=0$ માટે,$S_1 = S_2 = 12$.
${a, c, e}$ અને ${b, d, f}$ માટે શક્ય ગણ:
કિસ્સો $I$: ${a, c, e} = {9, 2, 1}$ અને ${b, d, f} = {7, 5, 0}$.
ગોઠવણીની કુલ રીતો $= 3! \times 3! = 36$.
કિસ્સો $II$: ${a, c, e} = {7, 5, 0}$ અને ${b, d, f} = {9, 2, 1}$.
અહીં $a \neq 0$. $a$ માટે $2$ વિકલ્પો છે,બાકીના $2$ સ્થાન માટે $2!$ રીતો અને ${b, d, f}$ માટે $3!$ રીતો.
કુલ $= 2 \times 2! \times 6 = 24$.
કુલ સંખ્યા $= 36 + 24 = 60$.

(D) કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $5 + n$.
આપણે $3$ વિદ્યાર્થીઓ એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક છોકરો અને એક છોકરી હોય.
શક્ય કિસ્સાઓ:
કિસ્સો $1$: $1$ છોકરો અને $2$ છોકરીઓ: $^5C_1 \times ^nC_2 = 5 \times \frac{n(n-1)}{2} = \frac{5n(n-1)}{2}$.
કિસ્સો $2$: $2$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરી: $^5C_2 \times ^nC_1 = 10 \times n = 10n$.
કુલ પ્રકારો = $\frac{5n(n-1)}{2} + 10n = 1750$.
$2$ વડે ગુણતા: $5n(n-1) + 20n = 3500$.
$5$ વડે ભાગતા: $n(n-1) + 4n = 700$.
$n^2 - n + 4n = 700 \Rightarrow n^2 + 3n - 700 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(n + 28)(n - 25) = 0$.
$n$ ધન હોવાથી,$n = 25$.

(D) $'EXAMINATION'$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A, A, I, I, N, N, E, X, M, T, O$.
અલગ અક્ષરો $A, I, N, E, X, M, T, O$ ($8$ અલગ અક્ષરો) છે.
પુનરાવર્તિત અક્ષરો $A, I, N$ છે (દરેક $2$ વાર).
આપણે $4$ અક્ષરના શબ્દો બનાવવાના છે. કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. બે સમાન એક પ્રકારના અને બે સમાન બીજા પ્રકારના:
પસંદગી: $^3C_2 = 3$ રીતો.
ગોઠવણી: $3 \times \frac{4!}{2!2!} = 18$ રીતો.
$2$. બે સમાન અને બે અલગ:
પસંદગી: $^3C_1 \times ^7C_2 = 63$ રીતો.
ગોઠવણી: $63 \times \frac{4!}{2!} = 756$ રીતો.
$3$. ચારેય અલગ:
પસંદગી: $^8C_4 = 70$ રીતો.
ગોઠવણી: $70 \times 4! = 1680$ રીતો.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $18 + 756 + 1680 = 2454$.

(C) એક સંકેત $2, 3, 4,$ અથવા $5$ ધ્વજ ધરાવી શકે છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને આપણે દરેક કિસ્સા માટે સંકેતોની સંખ્યા ગણીએ છીએ:
- $2$ ધ્વજ માટે: $5 \times 4 = 20$ સંકેતો.
- $3$ ધ્વજ માટે: $5 \times 4 \times 3 = 60$ સંકેતો.
- $4$ ધ્વજ માટે: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ સંકેતો.
- $5$ ધ્વજ માટે: $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ સંકેતો.
સંકેતોની કુલ સંખ્યા $= 20 + 60 + 120 + 120 = 320.$

(A) આપણી પાસે $\frac{1}{8!} + \frac{1}{9 \times 8!} = \frac{x}{10 \times 9 \times 8!}$ છે.
બંને બાજુ $\frac{1}{8!}$ વડે ભાગતા,આપણને $1 + \frac{1}{9} = \frac{x}{90}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{9+1}{9} = \frac{x}{90}$ થાય છે,
$\frac{10}{9} = \frac{x}{90}.$
બંને બાજુ $90$ વડે ગુણતા,આપણને $x = \frac{10 \times 90}{9} = 100$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} = \frac{x}{8!}$
ફેક્ટોરિયલને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{1}{6!} + \frac{1}{7 \times 6!} = \frac{x}{8 \times 7 \times 6!}$
ડાબી બાજુથી $\frac{1}{6!}$ સામાન્ય લેતા: $\frac{1}{6!} \left(1 + \frac{1}{7}\right) = \frac{x}{8 \times 7 \times 6!}$
બંને બાજુથી $\frac{1}{6!}$ દૂર કરતા: $1 + \frac{1}{7} = \frac{x}{8 \times 7}$
ડાબી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{8}{7} = \frac{x}{56}$
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{8 \times 56}{7} = 8 \times 8 = 64$
તેથી,$x = 64$.

(A) $52$ પત્તાંમાંથી $4$ પત્તાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
કુલ રીતો $= ^{52}C_{4} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$.
પત્તાંની કેટમાં $4$ પ્રકાર (suit) હોય છે,જેમાં દરેક પ્રકારના $13$ પત્તાં હોય છે. એક જ પ્રકારના $4$ પત્તાં પસંદ કરવા માટે,આપણે $4$ પ્રકારમાંથી એક પ્રકાર પસંદ કરવો પડે અને તે પ્રકારના $13$ પત્તાંમાંથી $4$ પત્તાં પસંદ કરવા પડે.
એક જ પ્રકારના $4$ પત્તાં પસંદ કરવાની રીતો $= 4 \times ^{13}C_{4} = 4 \times \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4 \times 715 = 2860$.

(C) ટીમ $A$ અને ટીમ $B$ ના છોકરાઓ વચ્ચેની મેચોની સંખ્યા:
$7 \times 4 = 28$
ટીમ $A$ અને ટીમ $B$ ની છોકરીઓ વચ્ચેની મેચોની સંખ્યા:
$n \times 6 = 6n$
કુલ મેચોની સંખ્યા:
$28 + 6n = 52$
બંને બાજુથી $28$ બાદ કરતા:
$6n = 52 - 28$
$6n = 24$
$6$ વડે ભાગતા:
$n = 4$

(B) $4$ શહેરોની મુલાકાત લેવાની કુલ રીતો $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ છે.
ધારો કે $S$ એ ${A, B, C, D}$ ના તમામ શક્ય ક્રમચયોનો નિદર્શાવકાશ છે.
$n(S) = 24$.
ધારો કે $H$ એ ઘટના છે કે તે $A$ ની મુલાકાત પ્રથમ અથવા બીજા ક્રમે લે છે.
જો $A$ ની મુલાકાત પ્રથમ લેવામાં આવે,તો બાકીના $3$ શહેરોની મુલાકાત $3! = 6$ રીતે લઈ શકાય છે.
જો $A$ ની મુલાકાત બીજા ક્રમે લેવામાં આવે,તો બાકીના $3$ શહેરોની મુલાકાત $3! = 6$ રીતે લઈ શકાય છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(H) = 6 + 6 = 12$ છે.
સંભાવના $P(H)$ આ મુજબ છે:
$P(H) = \frac{n(H)}{n(S)} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

(B) $4$ શહેરોની મુલાકાત લેવાની કુલ રીતો $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ છે.
ધારો કે ઘટના $I$ એ છે કે તે $B$ ની બરાબર પહેલા $A$ ની મુલાકાત લે છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $(AB)$ ને એક એકમ તરીકે ગણી શકીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે $3$ એકમો છે: $(AB), C, D$.
આ $3$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામો છે:
$ABCD, ABDC, CABD, CDAB, DABC, DCAB$.
આમ,$n(I) = 6$.
સંભાવના $P(I) = \frac{n(I)}{n(S)} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

(A) પાંચમાંથી પ્રથમ ત્રણ ટીમોને પસંદ કરવાની અને ગોઠવવાની કુલ રીતો ક્રમચયના સૂત્ર $^{5}P_{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$^{5}P_{3} = \frac{5!}{(5-3)!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
આ $60$ પરિણામોમાંથી દરેક સમાન રીતે શક્ય છે,તેથી દરેકની સંભાવના $\frac{1}{60}$ છે.
ઘટના કે જેમાં $A, B$ અને $C$ પ્રથમ ત્રણ ક્રમે આવે છે,તેનો અર્થ એ છે કે આ ત્રણ ટીમો પ્રથમ ત્રણ સ્થાનો પર કોઈપણ ક્રમમાં આવે છે.
$A, B$ અને $C$ ને પ્રથમ ત્રણ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{3!}{^{5}P_{3}} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$ છે.

(B) અંકોનો સમૂહ $S = \{0, 1, 3, 5, 7\}$ છે. આપણે પુનરાવર્તન વગર $5,000$ થી મોટી $4$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવવાની છે.
હજારના સ્થાન પર $5$ અથવા $7$ આવી શકે ($2$ વિકલ્પો).
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકોમાંથી $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ રીતે ભરી શકાય.
$5,000$ થી મોટી કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓ $= 2 \times 24 = 48$.
સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે એકમના સ્થાને $0$ અથવા $5$ હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: હજારના સ્થાને $5$ હોય.
એકમના સ્થાને $0$ હોવો જોઈએ ($1$ વિકલ્પ). બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકોમાંથી $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$: હજારના સ્થાને $7$ હોય.
એકમના સ્થાને $0$ અથવા $5$ હોઈ શકે ($2$ વિકલ્પો). બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકોમાંથી $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 2 \times 6 = 12$ રીતો.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 6 + 12 = 18$.
સંભાવના $= \frac{18}{48} = \frac{3}{8}$.

(C) ધારો કે $S = S_{1} + S_{2}$,જ્યાં $S_{1} = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} (n+1) \cdot {}^{n}P_{n-1}$ અને $S_{2} = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} n!$.
કારણ કે ${}^{n}P_{n-1} = n!$,તેથી $S_{1} = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} (n+1) n! = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} (n+1)!$.
$S_{1}$ નું વિસ્તરણ $2! - 3! + 4! - \dots + 52!$ થાય છે.
$S_{2}$ નું વિસ્તરણ $1! - 2! + 3! - 4! + \dots + (51)!$ થાય છે.
$S_{1}$ અને $S_{2}$ નો સરવાળો કરતા,પદો ઉડી જાય છે:
$S = 1! + 52! = 1 + 52!$.

(B) આપણે સરવાળો $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{50-r}C_{6} = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{30}C_{6}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
નિત્યસમ ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સરવાળાને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
નોંધો કે ${}^{30}C_{6} = {}^{31}C_{7} - {}^{30}C_{7}$.
આમ,$S = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{31}C_{6} + ({}^{31}C_{7} - {}^{30}C_{7})$.
આ નિત્યસમનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા: ${}^{n}C_{r} + {}^{n+1}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$,આપણને મળે છે:
${}^{31}C_{6} + {}^{31}C_{7} = {}^{32}C_{7}$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,સરવાળો ${}^{51}C_{7} - {}^{30}C_{7}$ માં પરિણમે છે.

(D) ધારો કે વિભાગ $A, B,$ અને $C$ માંથી પસંદ કરેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા અનુક્રમે $n_1, n_2,$ અને $n_3$ છે,જેથી $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ અને $n_i \ge 1$ થાય.
શક્ય વિતરણો $(n_1, n_2, n_3)$ નીચે મુજબ છે:
$1. (1, 2, 2)$ અને તેના ક્રમચયો: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$ (કુલ $3$ રીતો).
$2. (1, 1, 3)$ અને તેના ક્રમચયો: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$ (કુલ $3$ રીતો).
કિસ્સા $(1, 2, 2)$ માટેની રીતોની સંખ્યા $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} = 5 \times 10 \times 10 = 500$.
આવા $3$ ક્રમચયો હોવાથી,કુલ રીતો $= 3 \times 500 = 1500$.
કિસ્સા $(1, 1, 3)$ માટેની રીતોની સંખ્યા $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{5}{3} = 5 \times 5 \times 10 = 250$.
આવા $3$ ક્રમચયો હોવાથી,કુલ રીતો $= 3 \times 250 = 750$.
કુલ રીતો $= 1500 + 750 = 2250$.

(C) ધારો કે $11$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n, n+1, n+2, \dots, n+10$ છે.
$11$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{11}C_{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$ છે.
ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b, c$ $A.P.$ માં હોય તે માટે,તેમણે $a + c = 2b$ નું પાલન કરવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $a + c$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$a + c$ બેકી હોય જો $a$ અને $c$ બંને બેકી હોય અથવા $a$ અને $c$ બંને એકી હોય.
કિસ્સો $1$: $11$ ક્રમિક સંખ્યાઓમાં $6$ બેકી અને $5$ એકી સંખ્યાઓ હોય છે.
$2$ બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{6}C_{2} = 15$ છે.
$2$ એકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{5}C_{2} = 10$ છે.
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 15 + 10 = 25$.
કિસ્સો $2$: $11$ ક્રમિક સંખ્યાઓમાં $5$ બેકી અને $6$ એકી સંખ્યાઓ હોય છે.
$2$ બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{5}C_{2} = 10$ છે.
$2$ એકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{6}C_{2} = 15$ છે.
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 10 + 15 = 25$.
બંને કિસ્સાઓમાં,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $25$ છે.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{25}{165} = \frac{5}{33}$ છે.

(B) $1$ થી $1000$ સુધીની સંખ્યાઓમાં અંક $3$ કેટલી વાર આવે છે તે શોધવા માટે,આપણે બધી સંખ્યાઓને $3$-અંકની સંખ્યા તરીકે ગણીએ છીએ ($1$ થી $999$ ને $001$ થી $999$ તરીકે અને $1000$ ને અલગથી).
કોઈપણ સ્થાન (એકમ,દશક અથવા સો) માટે,જો આપણે અંક $3$ ને નિશ્ચિત કરીએ,તો બાકીના બે સ્થાનો $10$ અંકો $(0-9)$ માંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે.
એકમના સ્થાન પર $3$ આવે તેવી સંખ્યા: $10 \times 10 = 100$.
દશકના સ્થાન પર $3$ આવે તેવી સંખ્યા: $10 \times 10 = 100$.
સોના સ્થાન પર $3$ આવે તેવી સંખ્યા: $10 \times 10 = 100$.
કુલ સંખ્યા = $100 + 100 + 100 = 300$.
સંખ્યા $1000$ માં અંક $3$ નથી,તેથી કુલ ગણતરી $300$ રહે છે.

(D) $24$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2^{3} \times 3^{1}$ છે.
ધારો કે $x = 2^{\alpha_{1}} \times 3^{\beta_{1}}$,$y = 2^{\alpha_{2}} \times 3^{\beta_{2}}$,અને $z = 2^{\alpha_{3}} \times 3^{\beta_{3}}$,જ્યાં $\alpha_{i}, \beta_{i} \ge 0$.
$xyz = 2^{3} \times 3^{1}$ હોવાથી,$\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3} = 3$ અને $\beta_{1} + \beta_{2} + \beta_{3} = 1$ મળે.
$\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3} = 3$ માટે અઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{5}{2} = 10$ છે.
$\beta_{1} + \beta_{2} + \beta_{3} = 1$ માટે અઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{3}{2} = 3$ છે.
તેથી,કુલ ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $10 \times 3 = 30$ છે.

(A) આપણે $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $3$ અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે.
$1$. $3$ વડે વિભાજ્યતા: અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ. શક્ય ત્રિપુટીઓ: $(1, 2, 3), (1, 3, 5), (2, 3, 4), (3, 4, 5)$. દરેકના $3! = 6$ પ્રકાર,કુલ $24$ સંખ્યાઓ.
$2$. $5$ વડે વિભાજ્યતા: છેલ્લો અંક $5$ હોવો જોઈએ. બાકીના $2$ સ્થાનો માટે $4 \times 3 = 12$ સંખ્યાઓ.
$3$. $3$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય: છેલ્લો અંક $5$ હોય અને સરવાળો $3$ નો ગુણક હોય. આવી સંખ્યાઓ $135, 315, 345, 435$ છે (કુલ $4$).
$4$. કુલ સંખ્યાઓ $= 24 + 12 - 4 = 32$.

(C) ધારો કે સાત અંકો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ છે જ્યાં $x_i \in \{1, 2, 3\}$ અને $\sum_{i=1}^{7} x_i = 10$.
કિસ્સો $I$: અંકો $1, 1, 1, 1, 1, 2, 3$ છે.
સરવાળો $= 1+1+1+1+1+2+3 = 10$.
ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{7!}{5!1!1!} = 42$.
કિસ્સો $II$: અંકો $1, 1, 1, 1, 2, 2, 2$ છે.
સરવાળો $= 1+1+1+1+2+2+2 = 10$.
ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{7!}{4!3!} = 35$.
કુલ સંખ્યા $= 42 + 35 = 77$.

(A) વેન્ડરમોન્ડની ઓળખનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}\binom{m}{k-i} = \binom{n+m}{k}$.
આપેલ પદાવલિ પર આ લાગુ કરતા:
$\sum_{i=0}^{k}\binom{10}{i}\binom{15}{k-i} = \binom{10+15}{k} = \binom{25}{k}$.
તે જ રીતે,$\sum_{i=0}^{k+1}\binom{12}{i}\binom{13}{k+1-i} = \binom{12+13}{k+1} = \binom{25}{k+1}$.
કુલ સરવાળો $\binom{25}{k} + \binom{25}{k+1}$ છે.
પાસ્કલની ઓળખનો ઉપયોગ કરતા,$\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$,આપણને $\binom{25}{k} + \binom{25}{k+1} = \binom{26}{k+1}$ મળે છે.
જેમ કે $\binom{n}{r}$ એ તમામ અ-ઋણ પૂર્ણાંકો $n$ અને $r$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે,તેથી પદાવલિ $\binom{26}{k+1}$ કોઈપણ અ-ઋણ પૂર્ણાંક $k$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,$k$ માટે કોઈ મહત્તમ કિંમત નથી.

(D) ધારો કે $n(C)$ એ જૂથ $C$ માં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે. દરેક જૂથમાં ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી હોવો જોઈએ,તેથી બાકીના $10 - n(C)$ વિદ્યાર્થીઓને જૂથ $A$ અને $B$ માં એવી રીતે વહેંચવા જોઈએ કે જેથી $A$ અને $B$ બંને ખાલી ન હોય.
જૂથ $C$ માં $n(C)$ વિદ્યાર્થીઓના નિશ્ચિત સેટ માટે,બાકીના $10 - n(C)$ વિદ્યાર્થીઓને જૂથ $A$ અને $B$ માં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $2^{10-n(C)} - 2$ છે.
કિસ્સો $1$: $n(C) = 1$.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{10}C_{1} \times (2^{9} - 2) = 10 \times 510 = 5100$.
કિસ્સો $2$: $n(C) = 2$.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{10}C_{2} \times (2^{8} - 2) = 45 \times 254 = 11430$.
કિસ્સો $3$: $n(C) = 3$.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{10}C_{3} \times (2^{7} - 2) = 120 \times 126 = 15120$.
કુલ શક્યતાઓની સંખ્યા $= 5100 + 11430 + 15120 = 31650$.