Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Gujarati

(D) $7$ ભિન્ન અંકોના કુલ ક્રમચયો $7! = 5040$ છે.
ધારો કે $A$ એ $153$ સ્ટ્રિંગ ધરાવતા ક્રમચયોનો ગણ છે. $153$ ને એક બ્લોક તરીકે લેતા,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $5$ વસ્તુઓ છે: ${153, 2, 4, 6, 7}$. તેથી,$n(A) = 5! = 120$.
ધારો કે $B$ એ $2467$ સ્ટ્રિંગ ધરાવતા ક્રમચયોનો ગણ છે. $2467$ ને એક બ્લોક તરીકે લેતા,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $4$ વસ્તુઓ છે: ${2467, 1, 3, 5}$. તેથી,$n(B) = 4! = 24$.
ધારો કે $A \cap B$ એ $153$ અને $2467$ બંને સ્ટ્રિંગ ધરાવતા ક્રમચયોનો ગણ છે. આ બે બ્લોકને લેતા,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $2$ વસ્તુઓ છે: ${153, 2467}$. તેથી,$n(A \cap B) = 2! = 2$.
સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા,ઓછામાં ઓછી એક સ્ટ્રિંગ ધરાવતા ક્રમચયોની સંખ્યા $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 120 + 24 - 2 = 142$ છે.
કોઈપણ સ્ટ્રિંગ ન ધરાવતા ક્રમચયોની સંખ્યા $Total - n(A \cup B) = 5040 - 142 = 4898$ છે.

(C) આપેલ અંકો $1, 2, 2, 3$ છે. કુલ ચાર અંકની સંખ્યાઓ જે બનાવી શકાય તે $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
દરેક સ્થાન (એકમ,દશક,સો,હજાર) પર અંકોનો સરવાળો શોધવા માટે:
કોઈપણ ચોક્કસ સ્થાન માટે,દરેક અંકની આવૃત્તિ:
- અંક $1$: $3$ વખત.
- અંક $2$: $6$ વખત.
- અંક $3$: $3$ વખત.
કોઈપણ સ્થાન પર અંકોનો સરવાળો $= (1 \times 3) + (2 \times 6) + (3 \times 3) = 24$.
બધી સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 24 \times 1000 + 24 \times 100 + 24 \times 10 + 24 \times 1 = 24 \times 1111 = 26664$.

(B) $x+y+z=15$ ના કુલ અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{15+3-1}{3-1} = \binom{17}{2} = 136$ છે.
ધારો કે $x, y, z$ માંથી ઓછામાં ઓછા બે સમાન હોય તેવા ઉકેલો શોધીએ.
જો $x=y$ હોય,તો $2x+z=15$. અહીં $x$ ની શક્ય કિંમતો $0$ થી $7$ છે,એટલે કે $8$ ઉકેલો.
આ જ રીતે $y=z$ અને $x=z$ માટે પણ $8-8$ ઉકેલો મળે.
કુલ ઉકેલો જેમાં ઓછામાં ઓછા બે સમાન હોય = $8+8+8 - 2(1) = 22$ (કારણ કે $(5,5,5)$ ત્રણેયમાં ગણાય છે).
ભિન્ન ઉકેલોની સંખ્યા = $136 - 22 = 114$.

(D) અંકો $a, a, a, b, b, b, c, c, c$ ની ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $\frac{9!}{3!3!3!} = 1680$ છે.
આપણે એવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા શોધવી છે જ્યાં ઓછામાં ઓછી એક ક્રમિક ત્રિપુટી $A.P.$ બનાવે.
કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $A.P.$ માં શક્ય ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ અને $(c, b, a)$ છે.
આવી નવ-અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $1260$ છે.

(C) ધારો કે સાત અંકો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ છે,જ્યાં $x_i \in \{1, 2, 3, 4\}$ છે.
આપણે સમીકરણ $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 12$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
ધારો કે $y_i = x_i - 1$,જ્યાં $y_i \in \{0, 1, 2, 3\}$ છે.
$x_i = y_i + 1$ મૂકતા,આપણને $(y_1 + 1) + (y_2 + 1) + \dots + (y_7 + 1) = 12$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 + y_7 = 5$ થાય છે.
આ સમીકરણના અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{5+7-1}{7-1} = \binom{11}{6} = 462$ છે.
જોકે,આપણે $x_i \le 4$ ની શરતનું પાલન કરવું પડે,જેનો અર્થ છે કે $y_i \le 3$.
આપણે 'Principle of Inclusion-Exclusion' નો ઉપયોગ કરીને એવા કિસ્સાઓ બાદ કરીશું જ્યાં ઓછામાં ઓછો એક $y_i \ge 4$ હોય.
જો એક $y_i \ge 4$ હોય,તો $y_i = z_i + 4$ લો. તેથી $z_i + 4 + \sum_{j \neq i} y_j = 5$,એટલે કે $z_i + \sum_{j \neq i} y_j = 1$.
નિશ્ચિત $i$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{1+7-1}{7-1} = \binom{7}{6} = 7$ છે.
$i$ માટે $7$ વિકલ્પો હોવાથી,આપણે $7 \times 7 = 49$ બાદ કરીશું.
આમ,કુલ માન્ય પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $462 - 49 = 413$ છે.

(B) એક સંખ્યા $6$ વડે વિભાજ્ય છે જો તે $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય.
સંખ્યા $2$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ,તેથી એકમનો અંક $2$ અથવા $4$ હોવો જોઈએ.
સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ,તેથી તેના અંકોનો સરવાળો $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: એકમનો અંક $2$ છે. પ્રથમ બે અંકોનો સરવાળો $3k - 2$ હોવો જોઈએ.
એકમનો અંક $2$ હોય તેવી સંખ્યાઓ: $132, 312, 222, 252, 522, 342, 432, 552$. (કુલ $8$ સંખ્યાઓ).
કિસ્સો $2$: એકમનો અંક $4$ છે. પ્રથમ બે અંકોનો સરવાળો $3k - 4$ હોવો જોઈએ.
એકમનો અંક $4$ હોય તેવી સંખ્યાઓ: $114, 144, 414, 234, 324, 444, 534, 354$. (કુલ $8$ સંખ્યાઓ).
કુલ સંખ્યાઓ = $8 + 8 = 16$.

(A) ત્રણ અંકની સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
અંકો $d_1, d_2, d_3 \in \{1, 3, 5, 8\}$ લો.
સરવાળો $S = d_1 + d_2 + d_3$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
અંકોને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ: $1 \equiv 1, 3 \equiv 0, 5 \equiv 2, 8 \equiv 2$.
આમ,આવી કુલ $22$ સંખ્યાઓ શક્ય છે.

(A) ધારો કે $4-$અંકનો કોડ $d_1 d_2 d_3 d_4$ છે. બધા અંકો ભિન્ન છે,$d_i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$,અને $\max(d_i) = 7$. ઉપરાંત,$d_1 + d_2 = d_3 + d_4 = \alpha$.
અમે સરવાળા $\alpha$ ના આધારે કિસ્સાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
કિસ્સો $I$: $\alpha = 7$. અંકો $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ નો ઉપયોગ કરીને $7$ સરવાળો આપતી જોડીઓ $(0,7), (1,6), (2,5), (3,4)$ છે.
કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $24 + 16 + 16 + 8 + 8 = 72$ છે.

(D) આપેલ અસમતા: ${ }^6 C_{m} + 2({ }^6 C_{m+1}) + { }^6 C_{m+2} > { }^8 C_3$.
નિત્યસમ ${ }^n C_r + { }^n C_{r+1} = { }^{n+1} C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$({ }^6 C_{m} + { }^6 C_{m+1}) + ({ }^6 C_{m+1} + { }^6 C_{m+2}) > { }^8 C_3$
${ }^7 C_{m+1} + { }^7 C_{m+2} > { }^8 C_3$
${ }^8 C_{m+2} > { }^8 C_3$.
અહીં ${ }^8 C_3 = 56$,તેથી ${ }^8 C_{m+2} > 56$.
$m=2$ લેતા,${ }^8 C_4 = 70 > 56$. તેથી,$m=2$.
હવે,ગુણોત્તર: ${ }^{n-1} P_3 : { }^n P_4 = 1 : 8$.
$\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{n(n-1)(n-2)(n-3)} = \frac{1}{n} = \frac{1}{8} \implies n=8$.
છેલ્લે,${ }^n P_{m+1} + { }^{n+1} C_m = { }^8 P_3 + { }^9 C_2$ ની ગણતરી કરતા:
${ }^8 P_3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$.
${ }^9 C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$.
સરવાળો $= 336 + 36 = 372$.

(C) આ પ્રશ્ન $5$ અલગ વસ્તુઓને $4$ અવિભેદ્ય બોક્સમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા પૂછે છે,જ્યાં બોક્સ ખાલી હોઈ શકે છે. આ બીજા પ્રકારના સ્ટર્લિંગ નંબર્સ $S(5, k)$ નો સરવાળો છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, 4$.
$S(5, 1) = 1$ (બધા $5$ એક ઓફિસમાં)
$S(5, 2) = 15$ ($5$ ને $2$ બિન-ખાલી સેટમાં વિભાજિત કરવા: $4+1$ અથવા $3+2$)
$S(5, 3) = 25$ ($5$ ને $3$ બિન-ખાલી સેટમાં વિભાજિત કરવા: $3+1+1$ અથવા $2+2+1$)
$S(5, 4) = 10$ ($5$ ને $4$ બિન-ખાલી સેટમાં વિભાજિત કરવા: $2+1+1+1$)
કુલ રીતો $n = S(5, 1) + S(5, 2) + S(5, 3) + S(5, 4) = 1 + 15 + 25 + 10 = 51$.

(B) કુલ $4$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓની પસંદગી કરવા માટે,આપણે સમૂહ $A$ અને સમૂહ $B$ માંથી પસંદગીની શક્યતાઓ તપાસીએ છીએ.

સમૂહ $A$ માંથી પસંદગી	સમૂહ $B$ માંથી પસંદગી	પસંદગીની રીતો
$4M, 0W$	$0M, 4W$	${}^4C_4 \times {}^4C_4 = 1$
$3M, 1W$	$1M, 3W$	${}^4C_3 \times {}^5C_1 \times {}^5C_1 \times {}^4C_3 = 400$
$2M, 2W$	$2M, 2W$	${}^4C_2 \times {}^5C_2 \times {}^5C_2 \times {}^4C_2 = 3600$
$1M, 3W$	$3M, 1W$	${}^4C_1 \times {}^5C_3 \times {}^5C_3 \times {}^4C_1 = 1600$
$0M, 4W$	$4M, 0W$	${}^5C_4 \times {}^5C_4 = 25$

કુલ રીતો = $1 + 400 + 3600 + 1600 + 25 = 5626$.

(D) $4$ પાસાઓ સાથે $16$ નો સરવાળો મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^4$ ના વિસ્તરણમાં $x^{16}$ નો સહગુણક છે.
આ $[x(1-x^6)(1-x)^{-1}]^4 = x^4(1-x^6)^4(1-x)^{-4}$ માં $x^{16}$ ના સહગુણક જેટલું છે.
આપણે $(1-x^6)^4(1-x)^{-4}$ માં $x^{12}$ નો સહગુણક શોધવો પડશે.
$(1-x^6)^4 = 1 - 4x^6 + 6x^{12} - \dots$
$(1-x)^{-4} = 1 + \binom{4}{1}x + \binom{5}{2}x^2 + \dots + \binom{n+3}{3}x^n + \dots$
$x^{12}$ નો સહગુણક નીચે મુજબ છે:
$1 \cdot \binom{15}{3} - 4 \cdot \binom{9}{3} + 6 \cdot \binom{3}{3}$
$= 455 - 4 \times 84 + 6$
$= 455 - 336 + 6 = 125$.

(C) આપેલ ગુણોત્તર ${ }^{n+1} C_{r+1} : { }^{n} C_{r} : { }^{n-1} C_{r-1} = 55 : 35 : 21$ છે.
પ્રથમ,ગુણોત્તર $\frac{{ }^{n+1} C_{r+1}}{{ }^{n} C_{r}} = \frac{55}{35} = \frac{11}{7}$ લો.
સૂત્ર ${ }^{n} C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!} \times \frac{r!(n-r)!}{n!} = \frac{n+1}{r+1} = \frac{11}{7}$.
$7n + 7 = 11r + 11 \implies 7n - 11r = 4$ $(1)$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{{ }^{n} C_{r}}{{ }^{n-1} C_{r-1}} = \frac{35}{21} = \frac{5}{3}$ લો.
$\frac{n!}{r!(n-r)!} \times \frac{(r-1)!(n-r)!}{(n-1)!} = \frac{n}{r} = \frac{5}{3}$.
$3n = 5r \implies n = \frac{5r}{3}$ $(2)$.
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$7(\frac{5r}{3}) - 11r = 4$.
$\frac{35r - 33r}{3} = 4 \implies 2r = 12 \implies r = 6$.
તેથી $n = \frac{5(6)}{3} = 10$.
અંતે,$2n + 5r = 2(10) + 5(6) = 20 + 30 = 50$.

(D) આપેલ અંકો $S = \{2, 3, 4, 5, 7\}$ છે. પુનરાવર્તન વગર બનતી $3$-અંકની કુલ સંખ્યાઓ $^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ છે.
જો અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
$3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવા $3$ અંકોના સમૂહો: $\{2, 3, 4\}, \{2, 3, 7\}, \{3, 4, 5\}, \{3, 5, 7\}$.
દરેક સમૂહ $3! = 6$ સંખ્યાઓ બનાવી શકે છે.
$3$ વડે વિભાજ્ય કુલ સંખ્યાઓ $= 4 \times 6 = 24$.
$3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી કુલ સંખ્યાઓ $= 60 - 24 = 36$.

(A) $ENDEANOEL$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $E, E, E, N, N, D, A, O, L$.
$(A)$ $ENDEA$ ને એક બ્લોક તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $(ENDEA)$ બ્લોક અને બાકીના અક્ષરો $N, O, E, L$ છે. કુલ વસ્તુઓ $= 5$. ક્રમચયોની સંખ્યા $= 5! = 120$. આ $(p)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B)$ કુલ અક્ષરો $= 9$. $E$ ત્રણ વાર આવે છે. જો $E$ પ્રથમ અને છેલ્લા સ્થાને હોય,તો આપણી પાસે $E, N, N, D, A, O, L$ ભરવા માટે $7$ સ્થાનો બાકી રહે છે. રીતોની સંખ્યા $= \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520 = 21 \times 120 = 21 \times 5!$. આ $(s)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ છેલ્લા $5$ સ્થાનોમાં $D, L, N$ ન હોય તેનો અર્થ એ કે $D, L, N$ પ્રથમ $4$ સ્થાનોમાં હોવા જોઈએ. અક્ષરો $E, E, E, N, N, D, A, O, L$ છે. પ્રથમ $4$ સ્થાનોમાં $D, L, N$ અને એક $E$ હોવા જોઈએ. રીતો $= \frac{4!}{2!} = 12$. છેલ્લા $5$ સ્થાનોમાં બાકીના $E, E, A, O$ હોવા જોઈએ. રીતો $= \frac{5!}{3!} = 20$. કુલ $= 12 \times 20 = 240 = 2 \times 120 = 2 \times 5!$. આ $(q)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(D)$ $A, E, O$ માત્ર એકી સ્થાનો $(1, 3, 5, 7, 9)$ પર આવે છે. કુલ $5$ એકી સ્થાનો છે. આપણી પાસે $3$ $E$,$1$ $A$,$1$ $O$ છે. કુલ $5$ અક્ષરો. આને $5$ એકી સ્થાનોમાં ગોઠવવાની રીતો $= \frac{5!}{3!} = 20$. બાકીના $4$ અક્ષરો $(N, N, D, L)$ ને $4$ બેકી સ્થાનોમાં ગોઠવવાની રીતો $= \frac{4!}{2!} = 12$. કુલ $= 20 \times 12 = 240 = 2 \times 5!$. આ $(q)$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) ધારો કે સાત અંકો $x_1, x_2, \dots, x_7$ છે જ્યાં $x_i \in \{1, 2, 3\}$ છે.
આપણે $x_1 + x_2 + \dots + x_7 = 10$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
આ $(x + x^2 + x^3)^7$ માં $x^{10}$ નો સહગુણક શોધવા સમાન છે.
$(x + x^2 + x^3)^7 = x^7(1 + x + x^2)^7 = x^7 \left(\frac{1 - x^3}{1 - x}\right)^7 = x^7(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$.
આપણે $x^7(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$ માં $x^{10}$ નો સહગુણક શોધવો છે,જે $(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$ માં $x^3$ નો સહગુણક છે.
$(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7} = (1 - 7x^3 + \dots)(1 + 7x + \frac{7 \times 8}{2}x^2 + \frac{7 \times 8 \times 9}{6}x^3 + \dots)$.
$x^3$ નો સહગુણક $1 \times \binom{7+3-1}{3} - 7 \times 1 = \binom{9}{3} - 7 = 84 - 7 = 77$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,અંકોના શક્ય સેટ:
$1, 1, 1, 1, 1, 2, 3$ (સરવાળો $= 10$): ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{7!}{5!} = 42$.
$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2$ (સરવાળો $= 10$): ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{7!}{4!3!} = 35$.
કુલ $= 42 + 35 = 77$.

(A) કિસ્સો $1$: $0$ છોકરાઓ સામેલ છે.
$6$ છોકરીઓમાંથી $4$ છોકરીઓની પસંદગી ${}^6C_4 = 15$ રીતે થાય.
પસંદ કરેલા $4$ સભ્યોમાંથી $1$ કેપ્ટનની પસંદગી ${}^4C_1 = 4$ રીતે થાય.
કિસ્સા $1$ માટે કુલ રીતો $= 15 \times 4 = 60$.
કિસ્સો $2$: $1$ છોકરો સામેલ છે.
$6$ છોકરીઓમાંથી $3$ અને $4$ છોકરાઓમાંથી $1$ છોકરાની પસંદગી ${}^6C_3 \times {}^4C_1 = 20 \times 4 = 80$ રીતે થાય.
પસંદ કરેલા $4$ સભ્યોમાંથી $1$ કેપ્ટનની પસંદગી ${}^4C_1 = 4$ રીતે થાય.
કિસ્સા $2$ માટે કુલ રીતો $= 80 \times 4 = 320$.
કુલ રીતો $= 60 + 320 = 380$.

(B) $5$ અલગ-અલગ દડાઓને $3$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે વહેંચવા માટે,જ્યાં દરેક વ્યક્તિને ઓછામાં ઓછો એક દડો મળે,આપણે જૂથો $(3, 1, 1)$ અને $(2, 2, 1)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: જૂથનું કદ $(3, 1, 1)$.
$5$ દડાઓને $(3, 1, 1)$ ના જૂથમાં વહેંચવાની રીતો $\frac{5!}{3!1!1! \cdot 2!} = 10$ છે.
વ્યક્તિઓ અલગ હોવાથી,$3!$ વડે ગુણતા: $10 \times 6 = 60$.
કિસ્સો $2$: જૂથનું કદ $(2, 2, 1)$.
$5$ દડાઓને $(2, 2, 1)$ ના જૂથમાં વહેંચવાની રીતો $\frac{5!}{2!2!1! \cdot 2!} = 15$ છે.
વ્યક્તિઓ અલગ હોવાથી,$3!$ વડે ગુણતા: $15 \times 6 = 90$.
કુલ રીતો $= 60 + 90 = 150$.

(C) $(i)$ $\alpha_1 = {^6C_3} \times {^5C_2} = 20 \times 10 = 200$. તેથી,$P \rightarrow 4$.
$(ii)$ $\alpha_2 = \sum_{k=1}^{5} {^6C_k} \times {^5C_k} = ({^6C_1} \times {^5C_1}) + ({^6C_2} \times {^5C_2}) + ({^6C_3} \times {^5C_3}) + ({^6C_4} \times {^5C_4}) + ({^6C_5} \times {^5C_5}) = 30 + 150 + 200 + 75 + 6 = 461$. તેથી,$Q \rightarrow 6$.
$(iii)$ $\alpha_3 = \text{કુલ રીતો} - (0 \text{ છોકરીઓ} + 1 \text{ છોકરી}) = {^{11}C_5} - ({^5C_0} \times {^6C_5} + {^5C_1} \times {^6C_4}) = 462 - (6 + 75) = 381$. તેથી,$R \rightarrow 5$.
$(iv)$ $\alpha_4 = \text{ઓછામાં ઓછી } 2 \text{ } \text{છોકરીઓ સાથેની કુલ રીતો} - M_1, G_1 \text{ } \text{બંને હાજર હોય તેવી રીતો} = 215 - 26 = 189$. તેથી,$S \rightarrow 2$.

(C) ધારો કે ચાર રૂમમાં વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n_1, n_2, n_3, n_4$ છે. દરેક રૂમમાં ઓછામાં ઓછી $1$ અને વધુમાં વધુ $2$ વ્યક્તિઓ હોવાથી અને કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $6$ હોવાથી,$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 6$ મળે,જ્યાં $1 \le n_i \le 2$.
આનો અર્થ એ છે કે બે રૂમમાં $2$ વ્યક્તિઓ અને બે રૂમમાં $1$ વ્યક્તિ હોવી જોઈએ (કારણ કે $2+2+1+1 = 6$).
$6$ અલગ-અલગ વ્યક્તિઓને આ જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{6!}{2!2!1!1!}$ છે.
રૂમ અલગ-અલગ હોવાથી,આપણે આ જૂથના કદને $4$ રૂમમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા વડે ગુણવું પડે,જે $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $\frac{6!}{2!2!1!1!} \times 6 = \frac{720}{4} \times 6 = 180 \times 6 = 1080$ છે.

(C) $n_1 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$.
$(B)$ શરત $1 \leq i < j + 2 \leq 10$ છે,જેનો અર્થ છે $i < j + 2$ અને $j \leq 8$. $i \geq 1$ હોવાથી,દરેક $j \in \{1, 2, \ldots, 8\}$ માટે,$i$ ની કિંમતો $1$ થી $j+1$ સુધી હોઈ શકે છે.
સરવાળો: $\sum_{j=1}^{8} (j+1) = 2 + 3 + \ldots + 9 = 44$. તેથી,$n_2 = 44$.
$(C)$ $n_3$ એ $10$ માંથી $4$ ભિન્ન ઘટકો પસંદ કરવાની રીતો છે જેથી $i < j < k < l$,જે $\binom{10}{4} = 210$ થાય. તેથી,$n_3 = 210 \neq 220$.
$(D)$ $n_4$ એ $10$ માંથી $4$ ભિન્ન ઘટકોના ક્રમચયો છે,જે $P(10, 4) = 5040$ થાય.
તેથી $\frac{n_4}{12} = \frac{5040}{12} = 420$.
આમ,વિધાનો $(A), (B), (D)$ સાચા છે.

(A) ધારો કે દૂર કરેલા કાર્ડ $k$ અને $k+1$ છે.
$1$ થી $n$ સુધીના તમામ કાર્ડનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ છે.
બાકી રહેલા કાર્ડનો સરવાળો $1224$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{n(n+1)}{2} - (k + k + 1) = 1224$
$n^2 + n - 2(2k + 1) = 2448$
$n^2 + n - 4k - 2 = 2448$
$n^2 + n - 2450 = 4k$
$(n + 50)(n - 49) = 4k$
$k$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$(n+50)(n-49)$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ અને $k < n$ હોવું જોઈએ.
$n = 50$ માટે:
$(50 + 50)(50 - 49) = 100 \times 1 = 100 = 4k \Rightarrow k = 25$.
$k < n$ $(25 < 50)$ હોવાથી,આ ઉકેલ માન્ય છે.
તેથી $k - 20 = 25 - 20 = 5$.

(D) આપેલ છે કે $n_1 < n_2 < n_3 < n_4 < n_5$ જ્યાં $n_i \in \mathbb{Z}^+$ અને $\sum_{i=1}^5 n_i = 20$.
બધી શક્યતાઓ તપાસતા,$20$ ના $5$ ભિન્ન પૂર્ણાંકોમાં વિભાજન નીચે મુજબ છે:
$(1, 2, 3, 4, 10), (1, 2, 3, 5, 9), (1, 2, 3, 6, 8), (1, 2, 4, 5, 8), (1, 2, 4, 6, 7), (1, 3, 4, 5, 7), (2, 3, 4, 5, 6)$.
કુલ $7$ આવી ગોઠવણીઓ શક્ય છે.

(A) $n$ માટે: $5$ છોકરીઓને એક બ્લોક તરીકે ગણો. આપણી પાસે $5$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરીઓનો બ્લોક છે,કુલ $6$ એકમો. આને $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય. $5$ છોકરીઓ પોતાની વચ્ચે $5!$ રીતે ગોઠવાઈ શકે. તેથી,$n = 6! \times 5!$.
$m$ માટે: આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે બરાબર $4$ છોકરીઓ ક્રમિક રીતે ઊભી રહે.
પ્રથમ,$5$ માંથી $4$ છોકરીઓને $^5C_4 = 5$ રીતે પસંદ કરો.
આ $4$ છોકરીઓને એક બ્લોક તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે $5$ છોકરાઓ,$1$ બ્લોક અને $1$ બાકી રહેલી છોકરી છે,કુલ $7$ એકમો.
બરાબર $4$ છોકરીઓ સાથે રહે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $7$ એકમોને $7!$ રીતે ગોઠવીએ છીએ અને તેમાંથી એવા કિસ્સાઓ બાદ કરીએ છીએ જ્યાં $5$મી છોકરી $4$ છોકરીઓના બ્લોકની બાજુમાં હોય. આ કિસ્સાઓ $(7! - 2 \times 6!)$ છે.
છેલ્લે,$4$ છોકરીઓની આંતરિક ગોઠવણી $(4!)$ અને પસંદગીની રીતો $(5)$ વડે ગુણતા: $m = 5 \times (7! - 2 \times 6!) \times 4! = 25 \times 6! \times 4!$.
$\frac{m}{n} = \frac{25 \times 6! \times 4!}{6! \times 5!} = 5$.

(B) આપણે ${0, 2, 3, 4, 6, 7}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને અંતરાલ $[2022, 4482]$ માં આવતી $4$-અંકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
કિસ્સો $(1)$: $202...$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ
સંખ્યાઓ $2022, 2023, 2024, 2026, 2027$ છે. કુલ = $5$.
કિસ્સો $(2)$: $203..., 204..., 206..., 207...$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ
પ્રથમ અંક $2$,બીજો $0$,ત્રીજો ${3, 4, 6, 7}$ ($4$ વિકલ્પો),ચોથો ${0, 2, 3, 4, 6, 7}$ ($6$ વિકલ્પો).
કુલ = $4 \times 6 = 24$.
કિસ્સો $(3)$: $22..., 23..., 24..., 26..., 27...$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ
પ્રથમ અંક $2$,બીજો ${2, 3, 4, 6, 7}$ ($5$ વિકલ્પો),ત્રીજો અને ચોથો ગમે તે ($6$ વિકલ્પો).
કુલ = $5 \times 6 \times 6 = 180$.
કિસ્સો $(4)$: $3...$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ
પ્રથમ અંક $3$,બાકીના ત્રણ સ્થાનો માટે $6$ વિકલ્પો.
કુલ = $6 \times 6 \times 6 = 216$.
કિસ્સો $(5)$: $40..., 42..., 43..., 44...$ થી $4482$ સુધીની સંખ્યાઓ.
$40..., 42..., 43...$ માટે: $3 \times 6 \times 6 = 108$.
$440..., 442..., 443...$ માટે: $3 \times 6 = 18$.
$4440, 4442, 4443, 4444, 4446, 4447$: $6$ સંખ્યાઓ.
$4460, 4462, 4463, 4464, 4466, 4467$: $6$ સંખ્યાઓ.
$4470, 4472, 4473, 4474, 4476, 4477$: $6$ સંખ્યાઓ.
કિસ્સો $(5)$ માટે સરવાળો = $108 + 18 + 6 + 6 + 6 = 144$.
કુલ = $5 + 24 + 180 + 216 + 144 = 569$.

(A) ધારો કે $n_i$ એ બોક્સ $i$ માંથી પસંદ કરેલા દડાની સંખ્યા છે,જ્યાં $n_i \ge 2$ અને $\sum_{i=1}^4 n_i = 10$.
દરેક બોક્સમાં ઓછામાં ઓછો એક લાલ અને એક વાદળી દડો હોવો જોઈએ,તેથી $(n_1, n_2, n_3, n_4)$ ના શક્ય વિતરણો $(4, 2, 2, 2)$ અને $(3, 3, 2, 2)$ ના ક્રમચયો છે.
કિસ્સો $I$: વિતરણ $(4, 2, 2, 2)$.
એક બોક્સમાંથી $4$ દડા પસંદ કરવાની રીતો જેથી ઓછામાં ઓછો એક લાલ અને એક વાદળી દડો પસંદ થાય: $\binom{5}{4} - \binom{3}{4} - \binom{2}{4} = 5$.
એક બોક્સમાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો જેથી ઓછામાં ઓછો એક લાલ અને એક વાદળી દડો પસંદ થાય: $\binom{3}{1} \times \binom{2}{1} = 6$.
આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો: $\binom{4}{1} \times 5 \times 6^3 = 4320$.
કિસ્સો $II$: વિતરણ $(3, 3, 2, 2)$.
એક બોક્સમાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો જેથી ઓછામાં ઓછો એક લાલ અને એક વાદળી દડો પસંદ થાય: $\binom{5}{3} - \binom{3}{3} - \binom{2}{3} = 9$.
આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો: $\binom{4}{2} \times 9^2 \times 6^2 = 17496$.
કુલ રીતો = $4320 + 17496 = 21816$.

(A) પગલું $1$: $3$ છોકરીઓના જૂથને એક એકમ તરીકે અને $4$ છોકરાઓના જૂથને એક એકમ તરીકે ગણો. આ $2$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો $2! = 2$ છે.
પગલું $2$: છોકરીઓના એકમમાં,$3$ છોકરીઓને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
પગલું $3$: છોકરાઓના એકમમાં,$4$ છોકરાઓને $4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. બધી છોકરીઓ સાથે અને બધા છોકરાઓ સાથે હોય તેવી કુલ ગોઠવણી $2 \times 6 \times 24 = 288$ છે.
પગલું $4$: હવે,$B_1$ અને $B_2$ બાજુમાં હોય તેવી ગોઠવણી ગણો. $(B_1, B_2)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો. $4$ છોકરાઓને $3! \times 2! = 12$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. છોકરીઓ સાથે,છોકરાઓ સાથે અને $B_1, B_2$ બાજુમાં હોય તેવી કુલ ગોઠવણી $2 \times 6 \times 12 = 144$ છે.
પગલું $5$: $B_1$ અને $B_2$ બાજુમાં ન હોય તેવી રીતોની સંખ્યા $288 - 144 = 144$ છે.

(A) કિસ્સો $1$: બધા $5$ છોકરાઓ સાથે બેસે. $5$ છોકરાઓને $1$ એકમ તરીકે ગણો. આપણી પાસે $1$ છોકરાઓનો એકમ અને $4$ છોકરીઓ છે,કુલ $5$ એકમો. આને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય. $5$ છોકરાઓ પોતાની વચ્ચે $5!$ રીતે ગોઠવાઈ શકે. કુલ રીતો $= 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.
કિસ્સો $2$: કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે. પ્રથમ,$4$ છોકરીઓને $4!$ રીતે ગોઠવો. આ $5$ જગ્યાઓ બનાવે છે (છેડાઓ સહિત) જ્યાં $5$ છોકરાઓ બેસી શકે: $\_ G \_ G \_ G \_ G \_$. $5$ છોકરાઓને $5$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતો $P(5, 5) = 5!$ છે. કુલ રીતો $= 4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$.
આ બંને કિસ્સાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,કુલ રીતો $= 14400 + 2880 = 17280$.

(C) આપણે કુલ $4$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની છે,જેથી $5$ વિદ્યાર્થીઓ સમૂહ $A$ માંથી અને $3$ વિદ્યાર્થીઓ સમૂહ $B$ માંથી હોય.
ધારો કે $x_1, y_1$ એ સમૂહ $A$ માંથી પસંદ કરેલા છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યા છે,અને $x_2, y_2$ એ સમૂહ $B$ માંથી પસંદ કરેલા છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યા છે.
આપણને મળે છે $x_1 + y_1 = 5$ અને $x_2 + y_2 = 3$,જ્યાં $x_1 + x_2 = 4$ અને $y_1 + y_2 = 4$.
શક્ય કિસ્સાઓ:
કિસ્સો $I$: $x_1=2, y_1=3$ (સમૂહ $A$ માંથી) અને $x_2=2, y_2=1$ (સમૂહ $B$ માંથી): $\binom{7}{2} \binom{3}{3} \times \binom{6}{2} \binom{5}{1} = 21 \times 1 \times 15 \times 5 = 1575$.
કિસ્સો $II$: $x_1=3, y_1=2$ (સમૂહ $A$ માંથી) અને $x_2=1, y_2=2$ (સમૂહ $B$ માંથી): $\binom{7}{3} \binom{3}{2} \times \binom{6}{1} \binom{5}{2} = 35 \times 3 \times 6 \times 10 = 6300$.
કિસ્સો $III$: $x_1=4, y_1=1$ (સમૂહ $A$ માંથી) અને $x_2=0, y_2=3$ (સમૂહ $B$ માંથી): $\binom{7}{4} \binom{3}{1} \times \binom{6}{0} \binom{5}{3} = 35 \times 3 \times 1 \times 10 = 1050$.
કુલ રીતો $= 1575 + 6300 + 1050 = 8925$.

(D) $5$-અંકી સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5$ ધારો. સંખ્યા $> 50000$ હોવાથી,$d_1 \in \{5, 6, 7\}$.
આપેલ છે કે $d_1 + d_5 \le 8$.
કિસ્સો $1$: $d_1 = 5$. તો $5 + d_5 \le 8 \implies d_5 \in \{0, 1, 2, 3\}$. $d_5$ માટે $4$ વિકલ્પો છે.
$d_2, d_3, d_4$ માટે $8$ વિકલ્પો છે. તેથી,$4 \times 8^3 = 2048$.
કિસ્સો $2$: $d_1 = 6$. તો $6 + d_5 \le 8 \implies d_5 \in \{0, 1, 2\}$. $d_5$ માટે $3$ વિકલ્પો છે. કુલ $= 3 \times 512 = 1536$.
કિસ્સો $3$: $d_1 = 7$. તો $7 + d_5 \le 8 \implies d_5 \in \{0, 1\}$. $d_5$ માટે $2$ વિકલ્પો છે. કુલ $= 2 \times 512 = 1024$.
સરવાળો: $2048 + 1536 + 1024 = 4608$.
સંખ્યા $50000$ થી મોટી હોવી જોઈએ,તેથી $50000$ ને બાદ કરતા,કુલ સંખ્યા $4608 - 1 = 4607$ થાય.

(A) આપેલ છે ${}^nC_{r-1} = 28$,${}^nC_r = 56$,અને ${}^nC_{r+1} = 70$.
ગુણધર્મ $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{56}{28} = \frac{n-r+1}{r}$ $\Rightarrow 2r = n-r+1$ $\Rightarrow n = 3r-1$ $(i)$.
તે જ રીતે,$\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{n-r}{r+1} = \frac{70}{56} = \frac{5}{4}$.
$4(n-r) = 5(r+1)$ $\Rightarrow 4n - 4r = 5r + 5$ $\Rightarrow 4n = 9r + 5$ (ii).
$(i)$ ને (ii) માં મૂકતા: $4(3r-1) = 9r+5$ $\Rightarrow 12r - 4 = 9r + 5$ $\Rightarrow 3r = 9$ $\Rightarrow r = 3$.
તેથી $n = 3(3)-1 = 8$.
$C$ ના યામ $(3(3)-8, 3^2-8-1) = (1, 0)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ નીચે મુજબ છે:
$x = \frac{4 \cos t + 2 \sin t + 1}{3} \Rightarrow 3x - 1 = 4 \cos t + 2 \sin t$.
$y = \frac{4 \sin t - 2 \cos t + 0}{3} \Rightarrow 3y = 4 \sin t - 2 \cos t$.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3x-1)^2 + (3y)^2 = (4 \cos t + 2 \sin t)^2 + (4 \sin t - 2 \cos t)^2$.
$= 16 \cos^2 t + 4 \sin^2 t + 16 \sin^2 t + 4 \cos^2 t = 20(\cos^2 t + \sin^2 t) = 20$.
આમ,$\alpha = 20$.

(A) ધારો કે ત્રણ અંકની સંખ્યા $xyz$ છે,જ્યાં $x, y, z \in \{0, 1, \dots, 9\}$ અને $x \in \{2, 3, \dots, 9\}$. આપણે $x+y+z=15$ ની જરૂર છે. સંખ્યા $212$ અને $999$ ની વચ્ચે હોવાથી,આપણે $x$ માટેના કિસ્સાઓ તપાસીએ:
$1$. જો $x=2$,તો $y+z=13$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(4,9), (5,8), (6,7), (7,6), (8,5), (9,4)$. કુલ = $6$.
$2$. જો $x=3$,તો $y+z=12$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(3,9), (4,8), (5,7), (6,6), (7,5), (8,4), (9,3)$. કુલ = $7$.
$3$. જો $x=4$,તો $y+z=11$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(2,9), (3,8), (4,7), (5,6), (6,5), (7,4), (8,3), (9,2)$. કુલ = $8$.
$4$. જો $x=5$,તો $y+z=10$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1)$. કુલ = $9$.
$5$. જો $x=6$,તો $y+z=9$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1), (9,0)$. કુલ = $10$.
$6$. જો $x=7$,તો $y+z=8$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(0,8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1), (8,0)$. કુલ = $9$.
$7$. જો $x=8$,તો $y+z=7$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (7,0)$. કુલ = $8$.
$8$. જો $x=9$,તો $y+z=6$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(0,6), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,0)$. કુલ = $7$.
સરવાળો: $6+7+8+9+10+9+8+7 = 64$.

(D) શબ્દ $\text{MATHS}$ માં $5$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $\{M, A, T, H, S\}$. આપણે $6$-અક્ષરી શબ્દ બનાવવો છે જેમાં દરેક અક્ષર ઓછામાં ઓછી બે વાર આવે.
કિસ્સો $1$: $3$ ભિન્ન અક્ષરોનો ઉપયોગ,દરેક બે વાર આવે.
$5$ માંથી $3$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $= ^5C_3 = 10$.
$6$ અક્ષરોની ગોઠવણી જ્યાં દરેક બે વાર આવે $= \frac{6!}{2!2!2!} = 90$.
કુલ શબ્દો $= 10 \times 90 = 900$.
કિસ્સો $2$: $2$ ભિન્ન અક્ષરોનો ઉપયોગ,એક $4$ વાર અને એક $2$ વાર આવે.
$5$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $= ^5C_2 = 10$.
ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{6!}{4!2!} \times 2 = 15 \times 2 = 30$.
કુલ શબ્દો $= 10 \times 30 = 300$.
કિસ્સો $3$: $2$ ભિન્ન અક્ષરોનો ઉપયોગ,દરેક $3$ વાર આવે.
$5$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $= ^5C_2 = 10$.
ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{6!}{3!3!} = 20$.
કુલ શબ્દો $= 10 \times 20 = 200$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 900 + 300 + 200 = 1400$.

(A) ધારો કે $P(W_{1}) = x$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $5! = 120$ હોવાથી,સંભાવનાઓનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{120} P(W_{i}) = 1$ થાય.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $x + 2x + 2^{2}x + \dots + 2^{119}x = 1$.
$\frac{x(2^{120}-1)}{2-1} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2^{120}-1}$.
હવે,$CDBEA$ શબ્દનો ક્રમ શોધીએ:
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$B$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$CA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$CB$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$CDA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$.
$CDBAE$: $1$.
$CDBEA$: $1$.
કુલ ક્રમ $n = 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 1 + 1 = 64$.
આમ,$P(W_{64}) = 2^{63} P(W_{1}) = \frac{2^{63}}{2^{120}-1}$.
$\frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}-1}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 63$ અને $\beta = 120$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 63 + 120 = 183$.

(D) $7$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $= 9,000,000$ છે.
કોઈપણ $7$ અંકની સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7$ માટે,પ્રથમ $6$ અંકોનો સરવાળો $S$ બેકી અથવા એકી હોઈ શકે છે.
જો $S$ બેકી હોય,તો $d_7$ બેકી $(0, 2, 4, 6, 8)$ હોવો જોઈએ ($5$ વિકલ્પો).
જો $S$ એકી હોય,તો $d_7$ એકી $(1, 3, 5, 7, 9)$ હોવો જોઈએ ($5$ વિકલ્પો).
આમ,અંકોનો સરવાળો બેકી હોય તેવી $7$ અંકની સંખ્યાઓ $= \frac{9,000,000}{2} = 4,500,000$ છે.
આ કિંમત $m \cdot n \cdot 10^n = 9 \cdot 5 \cdot 10^5$ સ્વરૂપે છે.
તેથી $m=9$ અને $n=5$ મળે છે.
આમ,$m+n = 9+5 = 14$.

(D) ધારો કે $m = 6a$ અને $n = 6b$. $m < n$ હોવાથી $a < b$ મળે.
$m$ અને $n$ એ $2$-અંકી સંખ્યાઓ હોવાથી,$10 \leq 6a \leq 99$ અને $10 \leq 6b \leq 99$,જેનો અર્થ છે કે $2 \leq a < b \leq 16$.
વળી,$\operatorname{gcd}(m, n) = 6$ હોવાથી $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$ થાય.
આપણે એવી જોડીઓ $(a, b)$ ગણીએ જ્યાં $2 \leq a < b \leq 16$ અને $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$ હોય:
કુલ જોડીઓની સંખ્યા = $7 + 9 + 6 + 9 + 3 + 8 + 4 + 5 + 2 + 5 + 1 + 3 + 1 + 1 = 64$.

(B) પસંદ કરવાના કુલ ખેલાડીઓ = $10$.
આપેલ છે: $1$ બેટ્સમેન (કેપ્ટન) અને $1$ બોલર (વાઇસ-કેપ્ટન) પહેલેથી જ પસંદ થયેલ છે.
બાકી રહેલા ખેલાડીઓ પસંદ કરવાના = $10 - 2 = 8$.
બાકી રહેલ જૂથ: $6$ બેટ્સમેન અને $5$ બોલર.
શરતો: કુલ ઓછામાં ઓછા $4$ બેટ્સમેન અને $4$ બોલર.
$1$ બેટ્સમેન અને $1$ બોલર પહેલેથી જ હોવાથી,આપણે બાકીના $8$ સ્થાન માટે ઓછામાં ઓછા $3$ વધુ બેટ્સમેન અને $3$ વધુ બોલરની જરૂર છે.
$6$ બેટ્સમેન અને $5$ બોલરમાંથી $8$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાના શક્ય કિસ્સાઓ:
કિસ્સો $1$: $5$ બેટ્સમેન અને $3$ બોલર: ${}^6C_5 \times {}^5C_3 = 6 \times 10 = 60$.
કિસ્સો $2$: $4$ બેટ્સમેન અને $4$ બોલર: ${}^6C_4 \times {}^5C_4 = 15 \times 5 = 75$.
કિસ્સો $3$: $3$ બેટ્સમેન અને $5$ બોલર: ${}^6C_3 \times {}^5C_5 = 20 \times 1 = 20$.
કુલ રીતો = $60 + 75 + 20 = 155$.

(A) $\{1, 2, \ldots, n\}$ ના $r$ ઘટકો ધરાવતા એવા ઉપગણોની સંખ્યા જેમાં કોઈ પણ બે ઘટકો ક્રમિક ન હોય તે સૂત્ર $\binom{n-r+1}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=5$ માટે,દરેક શક્ય કદ $r$ માટે આવા ઉપગણોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
- $r=0$ (ખાલી ગણ) માટે: $\binom{5-0+1}{0} = \binom{6}{0} = 1$.
- $r=1$ માટે: $\binom{5-1+1}{1} = \binom{5}{1} = 5$.
- $r=2$ માટે: $\binom{5-2+1}{2} = \binom{4}{2} = 6$.
- $r=3$ માટે: $\binom{5-3+1}{3} = \binom{3}{3} = 1$.
કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $n(S_5) = 1 + 5 + 6 + 1 = 13$.

(D) ધારો કે $A$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જેમાં અંક $0$ બરાબર બે વાર આવે છે. ધારો કે $B$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જેમાં અંક $1$ બરાબર બે વાર આવે છે. આપણે $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$1$. $n(A)$ ની ગણતરી:
પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં. તેથી,આપણે બાકીના $6$ સ્થાનમાંથી $0$ માટે $2$ સ્થાન $\binom{6}{2}$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ. બાકીના $5$ સ્થાન $1$ અથવા $2$ વડે $2^5$ રીતે ભરી શકાય છે. આમ,$n(A) = \binom{6}{2} \times 2^5 = 15 \times 32 = 480$.
$2$. $n(B)$ ની ગણતરી:
કિસ્સો $I$: $1$ પ્રથમ સ્થાને છે. આપણને બાકીના $6$ સ્થાનમાં વધુ એક $1$ ની જરૂર છે,જે $\binom{6}{1}$ રીતે મૂકી શકાય છે. બાકીના $5$ સ્થાન $0$ અથવા $2$ વડે $2^5$ રીતે ભરી શકાય છે. રીતોની સંખ્યા $= 6 \times 32 = 192$.
કિસ્સો $II$: $1$ પ્રથમ સ્થાને નથી. પ્રથમ સ્થાન $2$ હોઈ શકે છે (માત્ર $1$ વિકલ્પ,કારણ કે તે $0$ હોઈ શકે નહીં). આપણે બાકીના $6$ સ્થાનમાંથી $1$ માટે $2$ સ્થાન $\binom{6}{2}$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ. બાકીના $4$ સ્થાન $0$ અથવા $2$ વડે $2^4$ રીતે ભરી શકાય છે. રીતોની સંખ્યા $= 15 \times 16 = 240$.
તેથી,$n(B) = 192 + 240 = 432$.
$3$. $n(A \cap B)$ ની ગણતરી:
આપણને બરાબર બે $0$ અને બરાબર બે $1$ ની જરૂર છે. પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં.
જો પ્રથમ અંક $1$ હોય,તો આપણને $\binom{6}{1}$ રીતે વધુ એક $1$ અને $\binom{5}{2}$ રીતે બે $0$ ની જરૂર છે. બાકીના $3$ સ્થાન $2$ વડે $1$ રીતે ભરી શકાય છે. રીતો $= 6 \times 10 = 60$.
જો પ્રથમ અંક $2$ હોય,તો આપણને $\binom{6}{2}$ રીતે બે $0$ અને $\binom{4}{2}$ રીતે બે $1$ ની જરૂર છે. બાકીના $2$ સ્થાન $2$ વડે $1$ રીતે ભરી શકાય છે. રીતો $= 15 \times 6 = 90$.
તેથી,$n(A \cap B) = 60 + 90 = 150$.
$4$. અંતિમ પરિણામ:
$n(A \cup B) = 480 + 432 - 150 = 762$.

(A) આપણે નિત્યસમ ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = {}^{47}C_4 + ({}^{51}C_3 + {}^{50}C_3 + {}^{49}C_3 + {}^{48}C_3 + {}^{47}C_3)$.
પદોને ગોઠવતા:
$S = ({}^{47}C_4 + {}^{47}C_3) + {}^{48}C_3 + {}^{49}C_3 + {}^{50}C_3 + {}^{51}C_3$.
નિત્યસમ ${}^{47}C_4 + {}^{47}C_3 = {}^{48}C_4$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = ({}^{48}C_4 + {}^{48}C_3) + {}^{49}C_3 + {}^{50}C_3 + {}^{51}C_3$.
નિત્યસમ ${}^{48}C_4 + {}^{48}C_3 = {}^{49}C_4$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = ({}^{49}C_4 + {}^{49}C_3) + {}^{50}C_3 + {}^{51}C_3$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા:
$S = ({}^{50}C_4 + {}^{50}C_3) + {}^{51}C_3 = {}^{51}C_4 + {}^{51}C_3 = {}^{52}C_4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) '$UNIVERSITY$' શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $U, N, I, V, E, R, S, I, T, Y$. '$I$' અક્ષર $2$ વાર આવે છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા = $\frac{10!}{2!}$.
બંને '$I$' સાથે આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,બે '$I$' ને એક એકમ $(II)$ તરીકે ગણો.
હવે આપણી પાસે $9$ એકમો છે: $(II), U, N, V, E, R, S, T, Y$.
'$I$' સાથે આવે તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા = $9!$.
'$I$' સાથે આવે તેની સંભાવના = $\frac{9!}{\frac{10!}{2!}} = \frac{9! \times 2}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
'$I$' સાથે ન આવે તેની સંભાવના = $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(C) અક્ષરોનો સમૂહ $\{A, B, C, D, E, F, G, H, I, J\}$ છે,જેમાં $10$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે.
$x$ માટે,આપણે $10$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $10$ લંબાઈના શબ્દો બનાવીએ છીએ,તેથી $x = 10!$.
$y$ માટે,આપણે $10$ ઉપલબ્ધ અક્ષરોમાંથી બે વાર પુનરાવર્તિત થતા $2$ અક્ષરોને ${}^{10}C_2$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
બાકીના $6$ સ્થાનો $8$ બાકી રહેલા અક્ષરોમાંથી $6$ અલગ-અલગ અક્ષરો પસંદ કરીને ભરી શકાય છે,જે ${}^{8}C_6$ રીતે કરી શકાય છે.
આ $10$ અક્ષરો માટે કુલ ગોઠવણી (જ્યાં $2$ અક્ષરો બે વાર અને $6$ અક્ષરો એક વાર આવે છે) $\frac{10!}{2! \times 2!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$y = {}^{10}C_2 \times {}^{8}C_6 \times \frac{10!}{2! \times 2!}$.
ગુણોત્તર $\frac{y}{x}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{y}{x} = \frac{{}^{10}C_2 \times {}^{8}C_6 \times \frac{10!}{2! \times 2!}}{10!} = \frac{{}^{10}C_2 \times {}^{8}C_6}{4} = \frac{45 \times 28}{4} = 45 \times 7 = 315$.

(B) ધારો કે $P$ તેના મિત્રોમાંથી $l_1$ સ્ત્રીઓ અને $m_1$ પુરુષોને આમંત્રિત કરે છે,અને $Q$ તેના મિત્રોમાંથી $l_2$ સ્ત્રીઓ અને $m_2$ પુરુષોને આમંત્રિત કરે છે.
આપેલ છે કે $P$ $3$ મિત્રોને આમંત્રિત કરે છે,તેથી $l_1 + m_1 = 3$.
આપેલ છે કે $Q$ $3$ મિત્રોને આમંત્રિત કરે છે,તેથી $l_2 + m_2 = 3$.
આમંત્રિત સ્ત્રીઓની કુલ સંખ્યા $l_1 + l_2 = 3$ છે.
આમંત્રિત પુરુષોની કુલ સંખ્યા $m_1 + m_2 = 3$ છે.
આપણી પાસે નીચેના કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $l_1=3, m_1=0$ અને $l_2=0, m_2=3$. રીતોની સંખ્યા = $^4C_3 \times ^3C_0 \times ^3C_0 \times ^4C_3 = 4 \times 1 \times 1 \times 4 = 16$.
કિસ્સો $2$: $l_1=2, m_1=1$ અને $l_2=1, m_2=2$. રીતોની સંખ્યા = $^4C_2 \times ^3C_1 \times ^3C_1 \times ^4C_2 = 6 \times 3 \times 3 \times 6 = 324$.
કિસ્સો $3$: $l_1=1, m_1=2$ અને $l_2=2, m_2=1$. રીતોની સંખ્યા = $^4C_1 \times ^3C_2 \times ^3C_2 \times ^4C_1 = 4 \times 3 \times 3 \times 4 = 144$.
કિસ્સો $4$: $l_1=0, m_1=3$ અને $l_2=3, m_2=0$. રીતોની સંખ્યા = $^4C_0 \times ^3C_3 \times ^3C_3 \times ^4C_0 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $16 + 324 + 144 + 1 = 485$.

(B) $5$ પ્રશ્નોમાંથી દરેકનો જવાબ $2$ રીતે આપી શકાય છે (ખરું અથવા ખોટું).
$5$ પ્રશ્નો માટે જવાબોના કુલ શક્ય ક્રમ $= 2^5 = 32$.
કોઈ પણ વિદ્યાર્થીએ બધા જ સાચા જવાબો લખ્યા ન હોવાથી,આપણે તે $1$ ક્રમને બાદ કરીએ છીએ જે બધા સાચા જવાબો દર્શાવે છે.
તેથી,વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા $= 32 - 1 = 31$.

(A) કોઈ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય. આપેલા તમામ અંકોનો સરવાળો $0+1+2+3+4+5 = 15$ છે. આપણે $5$ અંકની સંખ્યા બનાવવાની હોવાથી,આપણે એક અંક એવો બાદ કરવો પડે કે જેથી બાકીના $5$ અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
કિસ્સો $1$: $0$ ને બાદ કરો. બાકીના અંકો ${1, 2, 3, 4, 5}$ છે. સરવાળો $15$ છે,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની રીતો $5! = 120$ છે.
કિસ્સો $2$: $3$ ને બાદ કરો. બાકીના અંકો ${0, 1, 2, 4, 5}$ છે. સરવાળો $12$ છે,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની રીતો $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ છે.
કુલ રીતો $= 120 + 96 = 216$.

(D) કિસ્સો $I$: કોઈ છોકરો સામેલ નથી.
$6$ છોકરીઓમાંથી $4$ છોકરીઓની પસંદગી $= {}^{6}C_{4} = 15$.
પસંદ કરેલા $4$ સભ્યોમાંથી $1$ નેતાની પસંદગી $= {}^{4}C_{1} = 4$.
કિસ્સા $I$ માટે કુલ રીતો $= 15 \times 4 = 60$.
કિસ્સો $II$: બરાબર એક છોકરો સામેલ છે.
$6$ છોકરીઓમાંથી $3$ છોકરીઓ અને $4$ છોકરાઓમાંથી $1$ છોકરાની પસંદગી $= {}^{6}C_{3} \times {}^{4}C_{1} = 20 \times 4 = 80$.
પસંદ કરેલા $4$ સભ્યોમાંથી $1$ નેતાની પસંદગી $= {}^{4}C_{1} = 4$.
કિસ્સા $II$ માટે કુલ રીતો $= 80 \times 4 = 320$.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $= 60 + 320 = 380$.

(C) $HULULULU$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $H(1), U(4), L(3)$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $n(S) = \frac{8!}{4!3!} = 280$.
જ્યારે ત્રણેય $L$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી માટે,આપણે $(LLL)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે આપણી પાસે $6$ એકમો છે: $(LLL), H, U, U, U, U$.
ગોઠવણીની સંખ્યા $n(A) = \frac{6!}{4!1!} = 30$.
આમ,જરૂરી સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{30}{280} = \frac{3}{28}$.

(A) $7^{171} + (177)!$ ના એકમના અંકને શોધવા માટે,આપણે દરેક પદને અલગથી તપાસીએ.
પ્રથમ,$7^{171}$ ધ્યાનમાં લો. $7$ ની ઘાત $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $7^1 = 7$,$7^2 = 49$ (અંતે $9$),$7^3 = 343$ (અંતે $3$),$7^4 = 2401$ (અંતે $1$).
ઘાતાંક $171$ ને $4$ વડે ભાગતા: $171 = 4 \times 42 + 3$.
આમ,$7^{171}$ ના એકમનો અંક $7^3$ ના એકમના અંક જેવો જ એટલે કે $3$ છે.
બીજું,$(177)!$ ધ્યાનમાં લો. કોઈપણ $n \ge 5$ માટે,$n!$ ના અંતે $0$ આવે છે કારણ કે તેમાં $2$ અને $5$ અવયવો હોય છે.
તેથી,$(177)!$ ના એકમનો અંક $0$ છે.
આમ,$7^{171} + (177)!$ ના એકમનો અંક $3 + 0 = 3$ છે.

(D) આપેલ છે,$(49^{2}-4)(49^{3}-49)$
$= [(49)^{2}-(2)^{2}][49(49^{2}-1)]$
$= (49+2)(49-2) \cdot 49(49+1)(49-1)$
$= 51 \cdot 47 \cdot 49 \cdot 50 \cdot 48$
$= 47 \cdot 48 \cdot 49 \cdot 50 \cdot 51$
આ $5$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $5!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

(D) $2009!$ ના એકમના સ્થાનનો અંક $0$ છે કારણ કે $2009!$ માં $2$ અને $5$ અવયવો છે,જે તેને $10$ નો ગુણક બનાવે છે.
હવે,$3$ ના ઘાતને ધ્યાનમાં લો:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
એકમના અંકો $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $(3, 9, 7, 1)$.
આપણે ઘાત $7886$ ને $4$ વડે ભાગીએ છીએ:
$7886 = 4 \times 1971 + 2$.
આમ,$3^{7886}$ ના એકમના સ્થાનનો અંક $3^2$ ના એકમના અંક જેવો જ છે,જે $9$ છે.
તેથી,$2009! + 3^{7886}$ ના એકમના સ્થાનનો અંક $0 + 9 = 9$ છે.