$x_1 + x_2 = 100$ સમીકરણના કેટલા પ્રાકૃતિક ઉકેલો મળે,જેમાં $x_1$ અને $x_2$ એ $5$ ના ગુણક ન હોય?

List-$I$ ની વસ્તુઓને List-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો:

	List-$I$		List-$II$
$(A)$	$n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $(n-r)$ વસ્તુઓ પસંદ ન કરવાની રીતોની સંખ્યા	$(I)$	$1+n+{ }^n C_2+\ldots+{ }^n C_r$
$(B)$	$(n-r+1) \cdot{ }^n C_{r-1}$	$(II)$	$(r+1) \cdot{ }^n C_{r+1}$
$(C)$	$n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી ઓછામાં ઓછી $(n-r)$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા	$(III)$	$r\left({ }^n C_r\right)$
$(D)$	$(n-r)\left({ }^{n-1} C_{r-1}+{ }^{n-1} C_r\right)$	$(IV)$	$2^n-1-n-{ }^n C_2-\ldots-{ }^n C_r$
		$(V)$	${ }^n C_{n-r}$

સાચી જોડ છે:

${}^{47}C_4 + \sum_{j=1}^5 {}^{(52-j)}C_3$ ની કિંમત શોધો.

એક ભાષાકીય ક્લબમાં $6$ છોકરીઓ અને $4$ છોકરાઓ છે. આ જૂથમાંથી $4$ સભ્યોની એક ટીમ પસંદ કરવાની છે,જેમાં ટીમના નેતાની પસંદગી (આ $4$ સભ્યોમાંથી) પણ સામેલ છે. જો ટીમમાં વધુમાં વધુ એક છોકરો હોય,તો ટીમ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$12! + 13! + 14!$ ને ભાગતા ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $m = (9n^2 + 54n + 80)(9n^2 + 45n + 54)(9n^2 + 36n + 35)$. તમામ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $m$ ને ભાગતી સૌથી મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ છે?