Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Gujarati

(D) ધારો કે ગણ $S$ માં $2n + 1$ ઘટકો છે. આપણે $n$ કરતા વધારે ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવી છે,એટલે કે $n+1, n+2, \dots, 2n+1$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો.
આવા ઉપગણોની સંખ્યાનો સરવાળો: $S = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1}$.
સંચયના ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\binom{2n+1}{n+1} = \binom{2n+1}{n}$,$\binom{2n+1}{n+2} = \binom{2n+1}{n-1}$,વગેરે.
તેથી,$S = \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n-1} + \dots + \binom{2n+1}{0}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2n+1$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $\sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1}$ છે.
કારણ કે $\binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n} = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1} = S$,તેથી $2S = 2^{2n+1}$.
આમ,$S = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$.

(B) ધારો કે પૂર્ણાંક $n$ છે. આપણે પદાવલિ $n^3 - n$ તપાસીએ.
પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા,આપણને $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$ મળે છે.
આ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે: $(n - 1)$,$n$,અને $(n + 1)$.
કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી ( $2$ વડે વિભાજ્ય) હોય છે અને બરાબર એક સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આથી,આ ગુણાકાર $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય છે,અને $\text{gcd}(2, 3) = 1$ હોવાથી,તે $2 \times 3 = 6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$n^3 - n$ હંમેશા $6$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) $1, 2, 3, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનાવી શકાતી કુલ સંખ્યાઓમાં $1$-અંકી,$2$-અંકી,$3$-અંકી અને $4$-અંકી સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.
$1$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $= ^4P_1 = 4$.
$2$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $= ^4P_2 = 4 \times 3 = 12$.
$3$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $= ^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
$4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $= ^4P_4 = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
કુલ સંખ્યાઓ $= ^4P_1 + ^4P_2 + ^4P_3 + ^4P_4 = 4 + 12 + 24 + 24 = 64$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $0, 1, 2, \dots, 9$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા $5$ અંકના કુલ ટેલિફોન નંબરોની સંખ્યા $10^5 = 100000$ છે (કારણ કે દરેક સ્થાન $10$ રીતે ભરી શકાય છે).
કોઈપણ અંકનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય તેવા $5$ અંકના ટેલિફોન નંબરોની સંખ્યા $^{10}P_5 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક અંક પુનરાવર્તિત થતો હોય તેવા ટેલિફોન નંબરોની સંખ્યા = કુલ ટેલિફોન નંબરો - કોઈ પણ અંક પુનરાવર્તિત ન થતા હોય તેવા નંબરો.
જરૂરી સંખ્યા $= 100000 - 30240 = 69760$.

(B) $10$ પ્રાણીઓ અને $10$ પાંજરા છે. $4$ પાંજરા નાના છે,એટલે કે $5$ ચોક્કસ પ્રાણીઓ તેમાં પ્રવેશી શકતા નથી.
આ $5$ પ્રાણીઓને બાકીના $6$ મોટા પાંજરામાં ગોઠવવાની રીતો $^6P_5 = 720$ છે.
બાકીના $5$ પ્રાણીઓને બાકીના $5$ પાંજરામાં ગોઠવવાની રીતો $5! = 120$ છે.
કુલ રીતો = $^6P_5 \times 5! = 720 \times 120 = 86400$.

(C) ઓછામાં ઓછો એક $1$ ધરાવતી $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પૂરક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
અંકો $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ નો ઉપયોગ કરીને બનતી કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓ (જ્યાં પ્રથમ સ્થાને $0$ ન હોઈ શકે) $7 \times 8 \times 8 \times 8 = 3584$ છે.
અંક $1$ ન ધરાવતી $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા (અંકો $\{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ નો ઉપયોગ કરીને) $6 \times 7 \times 7 \times 7 = 2058$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક $1$ ધરાવતી $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $3584 - 2058 = 1526$ છે.

(C) ધારો કે $P = (A - 1)(B - 2)(C - 3) ..... (K - 11)$.
અવયવોનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો: $S = (A - 1) + (B - 2) + (C - 3) + ..... + (K - 11)$.
$S = (A + B + C + ..... + K) - (1 + 2 + 3 + ..... + 11)$.
કારણ કે $(A, B, ....., K)$ એ $(1, 2, ....., 11)$ નો ક્રમચય છે,તેથી $(A + B + C + ..... + K) = (1 + 2 + 3 + ..... + 11) = 66$.
આમ,$S = 66 - 66 = 0$.
કોઈપણ પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,તફાવતો $(A_i - i)$ નો સરવાળો શૂન્ય થાય છે. $11$ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $0$ (બેકી સંખ્યા) થવા માટે,સરવાળામાં એકી સંખ્યાના પદોની સંખ્યા બેકી હોવી જોઈએ.
કુલ $11$ પદો હોવાથી (જે એકી સંખ્યા છે),ઓછામાં ઓછું એક પદ $(A_i - i)$ બેકી હોવું જોઈએ.
જો ગુણાકારમાં ઓછામાં ઓછો એક અવયવ બેકી હોય,તો સમગ્ર ગુણાકાર બેકી જ હોય.
તેથી,આ ગુણાકાર હંમેશા બેકી હોય છે.

(C) પગલું $1$: $100$ રૂપિયાની $4$ નોટોને $3$ બાળકો વચ્ચે એવી રીતે વહેંચો કે દરેક બાળકને ઓછામાં ઓછી એક નોટ મળે. આ $x_1 + x_2 + x_3 = 4$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા સમાન છે,જ્યાં $x_i \ge 1$. સ્ટાર્સ અને બાર્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,રીતોની સંખ્યા $\binom{4-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ છે.
પગલું $2$: અન્ય $5$ અલગ નોટોને $3$ બાળકો વચ્ચે વહેંચો. દરેક $5$ નોટ કોઈપણ $3$ બાળકને $3$ રીતે આપી શકાય છે. આમ,આ $5$ નોટો માટે કુલ રીતો $3^5$ છે.
પગલું $3$: વહેંચણીની કુલ રીતો એ પગલું $1$ અને પગલું $2$ ની રીતોનો ગુણાકાર છે,જે $3 \times 3^5 = 3^6$ છે.

(D) દરેક પ્રશ્નનો જવાબ $4$ રીતે આપી શકાય છે.
$3$ પ્રશ્નો હોવાથી,બધા પ્રશ્નોના જવાબ આપવાની કુલ રીતો $4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$ છે.
બધા જવાબો સાચા હોય તેવી માત્ર $1$ જ રીત છે.
તેથી,બધા જવાબો સાચા ન મેળવી શકાય તેવી રીતોની સંખ્યા $64 - 1 = 63$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha = ^mC_2 = \frac{m(m-1)}{2}$.
આપણે $^\alpha C_2 = \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}$ શોધવાનું છે.
$\alpha = \frac{m(m-1)}{2}$ મૂકતા:
$^\alpha C_2 = \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m(m-1)}{2} - 1 \right)}{2}$
$= \frac{m(m-1)}{4} \left( \frac{m^2 - m - 2}{2} \right)$
$= \frac{m(m-1)(m-2)(m+1)}{8}$
$= 3 \cdot \frac{(m+1)m(m-1)(m-2)}{24}$
$= 3 \cdot ^{m+1}C_4$.

(A) આપણી પાસે $52$ પત્તાના બે પેક છે,જે કુલ $104$ પત્તા બનાવે છે.
પ્રથમ પેકના દરેક પત્તા માટે બીજા પેકમાં સમાન પત્તું (સમાન સૂટ અને સમાન મૂલ્ય) હોય છે.
$26$ પત્તા એવી રીતે પસંદ કરવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે પત્તા સમાન સૂટ અને સમાન મૂલ્યના ન હોય,આપણે પહેલા $52$ ઉપલબ્ધ પ્રકારોમાંથી $26$ અલગ પ્રકારના પત્તા પસંદ કરવા પડશે. આ $^{52}C_{26}$ રીતે કરી શકાય છે.
આ પસંદ કરેલા $26$ પત્તામાંથી દરેક માટે,આપણી પાસે $2$ વિકલ્પો છે (કાં તો પ્રથમ પેકમાંથી અથવા બીજા પેકમાંથી).
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $^{52}C_{26} \times 2^{26}$ છે.

(B) $30$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{30}C_3$ છે.
ગણતરી: $^{30}C_3 = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060$.
$1$ થી $30$ ની વચ્ચે $15$ બેકી સંખ્યાઓ છે. $3$ બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{15}C_3$ છે.
ગણતરી: $^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$.
બધી બેકી સંખ્યાઓ ન હોય તેવી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો કુલ રીતોમાંથી બધી બેકી સંખ્યાઓ હોય તેવી રીતો બાદ કરવાથી મળે: $4060 - 455 = 3605$.

(A) $1, 2, 3, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બે પ્રકારની સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે જેથી દરેક અંક $6$-અંકની સંખ્યામાં ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે:
$(i)$ એક અંક $3$ વાર પુનરાવર્તિત થાય અને બાકીના ત્રણ અંકો દરેક એક વાર આવે (દા.ત.,$1, 1, 1, 2, 3, 4$).
આવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{6!}{3!1!1!1!} \times \binom{4}{1} = \frac{720}{6} \times 4 = 120 \times 4 = 480$ છે.
$(ii)$ બે અંકો દરેક $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય અને બાકીના બે અંકો દરેક એક વાર આવે (દા.ત.,$1, 1, 2, 2, 3, 4$).
આવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{6!}{2!2!1!1!} \times \binom{4}{2} = \frac{720}{4} \times 6 = 180 \times 6 = 1080$ છે.
તેથી,આવી $6$-અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $480 + 1080 = 1560$ છે.

(D) '$MATHEMATICS$' શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$. જેમાં $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $\{M, A, T, H, E, I, C, S\}$.
કિસ્સો $I$: $2$ સમાન અને બીજા $2$ સમાન અક્ષરો.
$3$ જોડીમાંથી $2$ જોડી પસંદ કરવાની રીત $^3C_2 = 3$ છે.
ગોઠવણીની સંખ્યા = $3 \times \frac{4!}{2!2!} = 18$.
કિસ્સો $II$: $2$ સમાન અને $2$ ભિન્ન અક્ષરો.
$3$ જોડીમાંથી $1$ જોડી પસંદ કરવાની રીત $^3C_1 = 3$ અને બાકીના $7$ માંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરવાની રીત $^7C_2 = 21$ છે.
ગોઠવણીની સંખ્યા = $3 \times 21 \times \frac{4!}{2!} = 756$.
કિસ્સો $III$: બધા $4$ અક્ષરો ભિન્ન હોય.
$8$ માંથી $4$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરવાની રીત $^8C_4 = 70$ છે.
ગોઠવણીની સંખ્યા = $70 \times 4! = 1680$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા = $18 + 756 + 1680 = 2454$.

(A) આપેલ છે કે $^nC_r = ^nC_{r-1}$. ગુણધર્મ $^nC_a = ^nC_b \implies a = b$ અથવા $a + b = n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $r + (r-1) = n$ મળે છે,એટલે કે $r = \frac{n+1}{2}$.
આપેલ છે કે $^nP_r = ^nP_{r+1}$. આપણે જાણીએ છીએ કે $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ અને $^nP_{r+1} = \frac{n!}{(n-r-1)!}$.
સરખાવતા: $\frac{n!}{(n-r)!} = \frac{n!}{(n-r-1)!} \implies \frac{1}{n-r} = 1 \implies n-r = 1 \implies r = n-1$.
$r = n-1$ ને $r = \frac{n+1}{2}$ માં મૂકતા:
$n-1 = \frac{n+1}{2} \implies 2n - 2 = n + 1 \implies n = 3$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રમચયનું સૂત્ર $^n{P_r} = \frac{n!}{(n - r)!}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંચયનું સૂત્ર $^n{C_r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}$ છે.
હવે,બંને પદોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{^n{P_r}}{^n{C_r}} = \frac{\frac{n!}{(n - r)!}}{\frac{n!}{r!(n - r)!}}$
$= \frac{n!}{(n - r)!} \times \frac{r!(n - r)!}{n!}$
$= r!$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $4$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $9999 - 999 = 9000$ છે.
$4$ અંકની સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેનો છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોય.
પ્રથમ અંક માટે $9$ વિકલ્પો છે $(1-9)$.
બીજા અને ત્રીજા અંક માટે $10$ વિકલ્પો છે $(0-9)$.
છેલ્લા અંક માટે $2$ વિકલ્પો છે ($0$ અથવા $5$).
તેથી,$5$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $4$ અંકની સંખ્યાઓ $9 \times 10 \times 10 \times 2 = 1800$ છે.
આમ,$5$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી $4$ અંકની સંખ્યાઓ $9000 - 1800 = 7200$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $^n{P_r} = ^n{C_r} \times r!$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $840 = 35 \times r!$.
$r! = \frac{840}{35} = 24$.
$4! = 24$ હોવાથી,$r = 4$ મળે.
હવે,$^n{C_r} = 35$ માં $r = 4$ મૂકતા:
$^n{C_4} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 35$.
$n(n-1)(n-2)(n-3) = 35 \times 24 = 840$.
કિંમતો ચકાસતા,$n = 7$ માટે: $7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$.
આમ,$n = 7$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $^nP_3 + ^nC_{n-2} = 14n$
આપણે જાણીએ છીએ કે $^nP_3 = \frac{n!}{(n-3)!} = n(n-1)(n-2)$
અને $^nC_{n-2} = ^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $n(n-1)(n-2) + \frac{n(n-1)}{2} = 14n$
$n \geq 3$ હોવાથી,આપણે $n$ વડે ભાગી શકીએ: $(n-1)(n-2) + \frac{n-1}{2} = 14$
$2$ વડે ગુણતા: $2(n^2 - 3n + 2) + n - 1 = 28$
$2n^2 - 6n + 4 + n - 1 = 28$
$2n^2 - 5n - 25 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2n + 5)(n - 5) = 0$
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 5$.

(C) પસંદગીઓની સંખ્યા એ $(1 + x + x^2 + \dots + x^8)(1 + x + x^2 + \dots + x^8)(1 + x)^8$ ના વિસ્તરણમાં $x^8$ નો સહગુણક છે.
આ $\left(\frac{1 - x^9}{1 - x}\right)^2 (1 + x)^8$ માં $x^8$ નો સહગુણક છે.
આપણે $x^8$ નો સહગુણક શોધી રહ્યા હોવાથી,$(1 - x^9)^2$ પદને અવગણી શકાય છે કારણ કે તે $x^8$ ના સહગુણકમાં માત્ર $1$ નો ફાળો આપે છે.
આમ,આપણે $(1 - x)^{-2} (1 + x)^8$ માં $x^8$ નો સહગુણક શોધવાની જરૂર છે.
$(1 - x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + 9x^8 + \dots$
$(1 + x)^8 = \sum_{r=0}^{8} {}^8C_r x^r = {}^8C_0 + {}^8C_1 x + {}^8C_2 x^2 + \dots + {}^8C_8 x^8$.
$x^8$ નો સહગુણક $\sum_{r=0}^{8} (r+1) {}^8C_r = {}^8C_0 + 2{}^8C_1 + 3{}^8C_2 + \dots + 9{}^8C_8$ છે.
ધારો કે $f(x) = \sum_{r=0}^{8} {}^8C_r x^{r+1} = x(1 + x)^8$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f'(x) = \sum_{r=0}^{8} (r+1) {}^8C_r x^r = (1 + x)^8 + 8x(1 + x)^7$.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $\sum_{r=0}^{8} (r+1) {}^8C_r = (1 + 1)^8 + 8(1)(1 + 1)^7 = 2^8 + 8 \cdot 2^7 = 2^7(2 + 8) = 10 \cdot 2^7$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $^n{P_4} = 30 \times {^n}{C_5}$
સૂત્રો $^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ અને $^n{C_r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n!}{(n-4)!} = 30 \times \frac{n!}{5!(n-5)!}$
બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{(n-4)!} = \frac{30}{120 \times (n-5)!}$
$\frac{1}{(n-4)(n-5)!} = \frac{1}{4 \times (n-5)!}$
છેદ સરખાવતા:
$n - 4 = 4$
$n = 8$

(C) આપેલ સમીકરણ: $^{n}P_{4} = 24 \times ^{n}C_{5}$
$^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ અને $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$n(n-1)(n-2)(n-3) = 24 \times \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}$
$n \geq 5$ હોવાથી,બંને બાજુ $n(n-1)(n-2)(n-3)$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{24 \times (n-4)}{120}$
$1 = \frac{n-4}{5}$
$5 = n - 4$
$n = 9$

(A) આપણી પાસે પદાવલિ $E = {2^n} \{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1) \}$ છે.
આને સરળ બનાવવા માટે,બેકી સંખ્યાઓના ગુણાકાર $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)$ વડે ગુણો અને ભાગો:
$E = \frac{{2^n} \{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1) \} \cdot \{ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}$
$E = \frac{(2n)!}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 2 \cdot n}$
$E = \frac{(2n)!}{{2^n} \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n)}$
$E = \frac{(2n)!}{{2^n} \cdot n!} \cdot {2^n} = \frac{(2n)!}{n!}$.

(C) ઉમેદવારે કુલ $6$ પ્રશ્નો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $2$ પ્રશ્નો પસંદ થાય.
$6$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા માટેની શક્યતાઓ:
કિસ્સો $1$: ભાગ $A$ માંથી $2$ પ્રશ્નો અને ભાગ $B$ માંથી $4$ પ્રશ્નો.
રીતોની સંખ્યા $= {^5C_2} \times {^5C_4} = 10 \times 5 = 50$.
કિસ્સો $2$: ભાગ $A$ માંથી $3$ પ્રશ્નો અને ભાગ $B$ માંથી $3$ પ્રશ્નો.
રીતોની સંખ્યા $= {^5C_3} \times {^5C_3} = 10 \times 10 = 100$.
કિસ્સો $3$: ભાગ $A$ માંથી $4$ પ્રશ્નો અને ભાગ $B$ માંથી $2$ પ્રશ્નો.
રીતોની સંખ્યા $= {^5C_4} \times {^5C_2} = 5 \times 10 = 50$.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 50 + 100 + 50 = 200$.

(A) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. આપેલા તમામ અંકો ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ નો સરવાળો $15$ છે. $5$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે એક અંકને એવી રીતે બાકાત રાખવો જોઈએ કે જેથી બાકીના $5$ અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
કિસ્સો $1$: $0$ ને બાકાત રાખો. બાકીના અંકો ${1, 2, 3, 4, 5}$ છે. સરવાળો $15$ છે,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
કિસ્સો $2$: $3$ ને બાકાત રાખો. બાકીના અંકો ${0, 1, 2, 4, 5}$ છે. સરવાળો $12$ છે,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ છે (જ્યાં $0$ પ્રથમ સ્થાને હોય તેવા કિસ્સાઓ બાદ કરતાં).
કુલ રીતો = $120 + 96 = 216$.

(B) $1$ થી $1000$ સુધીની સંખ્યાઓમાં અંક $3$ કેટલી વાર આવે છે તે શોધવા માટે,આપણે $000$ થી $999$ સુધીની તમામ સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
દરેક સ્થાન (એકમ,દશક,સો) $10$ અંકો $(0-9)$ માંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે.
કુલ $1000$ સંખ્યાઓ છે,જેમાં દરેક $3$ અંકની છે,તેથી કુલ $3000$ અંકો લખાય છે.
દરેક $10$ અંક સમાન સંખ્યામાં આવતા હોવાથી,દરેક અંકની આવૃત્તિ $\frac{3000}{10} = 300$ છે.
આમ,અંક $3$ એ $300$ વખત આવે છે.

(C) ધારો કે બોક્સ $A, B, C$ છે. આપણે ખાતરી કરવી પડશે કે કોઈ બોક્સ ખાલી ન રહે અને પાંચેય દડા મૂકવામાં આવે.
$5$ દડાઓને $3$ બોક્સમાં એવી રીતે વહેંચવાની બે શક્યતાઓ છે કે કોઈ બોક્સ ખાલી ન રહે:
$(i)$ બે બોક્સમાં $1-1$ દડો અને ત્રીજા બોક્સમાં $3$ દડા હોય.
દડા પસંદ કરવાની રીતો $^5C_1 \times ^4C_1 \times ^3C_3 = 5 \times 4 \times 1 = 20$ છે.
કારણ કે $3$ દડા ધરાવતું બોક્સ $3$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે,તેથી આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો $20 \times 3 = 60$ છે.
$(ii)$ બે બોક્સમાં $2-2$ દડા અને ત્રીજા બોક્સમાં $1$ દડો હોય.
દડા પસંદ કરવાની રીતો $^5C_2 \times ^3C_2 \times ^1C_1 = 10 \times 3 \times 1 = 30$ છે.
કારણ કે $1$ દડો ધરાવતું બોક્સ $3$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે,તેથી આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો $30 \times 3 = 90$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $60 + 90 = 150$ છે.

(C) $1$ થી $1000$ સુધીની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં અંક $5$ કેટલી વાર આવે છે તે શોધવા માટે,આપણે $000$ થી $999$ સુધીની સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
દરેક સ્થાન (એકમ,દશક,સો) $10$ શક્ય અંકો $(0-9)$ લઈ શકે છે.
$1000$ સંખ્યાઓમાં,દરેક સ્થાન પર અંક $5$ એ $1000/10 = 100$ વખત આવે છે.
ત્રણ સ્થાન હોવાથી,અંક $5$ કુલ $3 \times 100 = 300$ વખત આવે છે.
$1000$ માં $5$ આવતો નથી,તેથી કુલ સંખ્યા $300$ જ રહેશે.

(D) $(n + 1)$ સફેદ દડા અને $(n + 1)$ કાળા દડાને એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે પાસપાસેના દડા સમાન રંગના ન હોય,દડાઓના રંગ એકાંતરે હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: ગોઠવણી સફેદ દડાથી શરૂ થાય છે.
ક્રમ $W, B, W, B, \dots, W, B$ હોવો જોઈએ.
$(n + 1)$ સફેદ દડાને $(n + 1)!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે,અને $(n + 1)$ કાળા દડાને $(n + 1)!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો $= (n + 1)! \times (n + 1)! = \{(n + 1)!\}^2$.
કિસ્સો $2$: ગોઠવણી કાળા દડાથી શરૂ થાય છે.
ક્રમ $B, W, B, W, \dots, B, W$ હોવો જોઈએ.
તે જ રીતે,આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો $= (n + 1)! \times (n + 1)! = \{(n + 1)!\}^2$.
આ બંને કિસ્સાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= \{(n + 1)!\}^2 + \{(n + 1)!\}^2 = 2 \{(n + 1)!\}^2$ છે.

(C) $PROPORTION$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $P:2, R:2, O:3, T:2, I:1, N:1$. કુલ $6$ પ્રકારના અક્ષરો છે. $4$ અક્ષરોની ગોઠવણી માટેના વિવિધ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેતા,કુલ ગોઠવણીઓ $758$ મળે છે.

(B) આપણી પાસે $30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$ છે.
$abc = 30$ માટે ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3,$ અને $5$ ને ચલ $a, b,$ અને $c$ માં વિતરિત કરીએ છીએ.
દરેક અવિભાજ્ય અવયવને $3$ ચલમાંથી કોઈપણ એકને $3$ રીતે સોંપી શકાય છે.
અહીં $3$ અલગ-અલગ અવિભાજ્ય અવયવો હોવાથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 = 27$ થશે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $n \geq 5$ માટે $n!$ નો એકમનો અંક $0$ હોય છે. $183 \geq 5$ હોવાથી,$183!$ નો એકમનો અંક $0$ છે.
હવે,$3^{183}$ નો એકમનો અંક શોધીએ. $3$ ની ઘાત $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81$. એકમના અંકો $3, 9, 7, 1$ છે.
ઘાત $183$ ને $4$ વડે ભાગતા: $183 = 4 \times 45 + 3$.
તેથી,$3^{183}$ નો એકમનો અંક $3^3$ ના એકમના અંક જેટલો એટલે કે $7$ છે.
આમ,$(183!) + (3^{183})$ નો એકમનો અંક $0 + 7 = 7$ થાય.

(B) $n$ ની કિંમતો નક્કી કરવા માટે જેના માટે $2^n(n - 1)! < n^n$ સાચું છે,આપણે $n \in \mathbb{N}$ ની નાની કિંમતો ચકાસીએ:
$n = 1$ માટે: $2^1(0)! = 2(1) = 2$ અને $1^1 = 1$. $2 \not< 1$ હોવાથી,શરત ખોટી છે.
$n = 2$ માટે: $2^2(1)! = 4(1) = 4$ અને $2^2 = 4$. $4 \not< 4$ હોવાથી,શરત ખોટી છે.
$n = 3$ માટે: $2^3(2)! = 8(2) = 16$ અને $3^3 = 27$. $16 < 27$ હોવાથી,શરત સાચી છે.
$n = 4$ માટે: $2^4(3)! = 16(6) = 96$ અને $4^4 = 256$. $96 < 256$ હોવાથી,શરત સાચી છે.
આમ,અસમતા $n > 2$ માટે સાચી છે.

(D) આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \geq 1$ માટે અસમતા $(n!)^2 > n^n$ ચકાસીએ:
$n=1$ માટે: $(1!)^2 = 1$ અને $1^1 = 1$. $1 > 1$ અસત્ય હોવાથી,અસમતા સાચી નથી.
$n=2$ માટે: $(2!)^2 = 4$ અને $2^2 = 4$. $4 > 4$ અસત્ય હોવાથી,અસમતા સાચી નથી.
$n=3$ માટે: $(3!)^2 = 36$ અને $3^3 = 27$. $36 > 27$ સત્ય હોવાથી,અસમતા સાચી છે.
$n=4$ માટે: $(4!)^2 = 576$ અને $4^4 = 256$. $576 > 256$ સત્ય હોવાથી,અસમતા સાચી છે.
આમ,અસમતા $(n!)^2 > n^n$ એ તમામ $n \geq 3$ માટે સાચી છે.

(A) $20$ માંથી $4$ પગરખાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{20}{4} = 4845$ છે.
એક પણ જોડી પસંદ ન થાય તેવી રીતો:
પહેલા $10$ જોડીમાંથી $4$ જોડી પસંદ કરો: $\binom{10}{4}$ રીતો.
પછી,આ $4$ જોડીમાંથી દરેકમાંથી $1$ પગરખું પસંદ કરો: $2^4$ રીતો.
કુલ રીતો $= \binom{10}{4} \times 2^4 = 210 \times 16 = 3360$.
એક પણ જોડી ન મળે તેની સંભાવના $= \frac{3360}{4845} = \frac{224}{323}$.
ઓછામાં ઓછી એક જોડી મળે તેની સંભાવના $= 1 - \frac{224}{323} = \frac{99}{323}$.

(B) $ASSASSIN$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $A(2), S(4), I(1), N(1)$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $ = \frac{8!}{2!4!1!1!} = 840$.
કોઈ પણ બે $S$ સાથે ન આવે તે માટે,આપણે પહેલા બાકીના અક્ષરો $A, A, I, N$ ને ગોઠવીએ. આ $4$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
આ $4$ અક્ષરો $5$ ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે: $\_ L_1 \_ L_2 \_ L_3 \_ L_4 \_$.
આપણે $5$ જગ્યાઓમાંથી $4$ જગ્યાઓ $S$ માટે પસંદ કરવાની છે. જે $\binom{5}{4} = 5$ રીતે થઈ શકે.
સાનુકૂળ ગોઠવણી $ = 12 \times 5 = 60$.
જરૂરી સંભાવના $ = \frac{60}{840} = \frac{1}{14}$.

(C) $UNIVERSITY$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે,જેમાં $I$ બે વાર આવે છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $ = \frac{10!}{2!}$.
બંને $I$ સાથે આવે તેની સંભાવના શોધવા માટે,આપણે બે $I$ ને એક એકમ $(II)$ તરીકે ગણીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $9$ એકમો છે: $(U, N, V, E, R, S, T, Y, (II))$.
$I$ સાથે આવે તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $ = 9!$.
$I$ સાથે આવે તેની સંભાવના $ = \frac{9!}{\frac{10!}{2!}} = \frac{9! \times 2!}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
તેથી,બંને $I$ સાથે ન આવે તેની સંભાવના $ = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(A) $25$ પુસ્તકોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $25!$ છે.
$25$ સ્થાનોમાંથી,આપણે ગણિતના $5$ ગ્રંથો માટે $5$ સ્થાનો ${}^{25}C_5$ રીતે પસંદ કરી શકીએ છીએ.
એકવાર આ $5$ સ્થાનો પસંદ થઈ જાય,પછી ગણિતના $5$ ગ્રંથોને વધતા ક્રમમાં ગોઠવવાની માત્ર $1$ જ રીત છે.
બાકીના $20$ પુસ્તકોને બાકીના $20$ સ્થાનોમાં $20!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,સાનુકૂળ ગોઠવણીઓની સંખ્યા ${}^{25}C_5 \times 1 \times 20! = \frac{25!}{5! \times 20!} \times 20! = \frac{25!}{5!}$ છે.
સંભાવના $\frac{\text{સાનુકૂળ રીતો}}{\text{કુલ રીતો}} = \frac{25! / 5!}{25!} = \frac{1}{5!}$ થાય.

(A) ઉપલબ્ધ અંકોનો સમૂહ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$ છે. કુલ અંકોની સંખ્યા $n = 7$ છે.
આ $7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતી $5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $^7P_5 = 2520$ છે.
$5$ અંકની સંખ્યાના બંને છેડે બેકી અંકો હોય તે માટે,બેકી અંકો $\{2, 4, 6, 8\}$ છે. કુલ $4$ બેકી અંકો છે.
પ્રથમ અને છેલ્લા સ્થાનને બેકી અંકોથી ભરવાની રીતો $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ છે.
બાકીના $3$ સ્થાનોને બાકીના $5$ અંકો વડે $^5P_3 = 60$ રીતે ભરી શકાય છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $12 \times 60 = 720$ છે.
સંભાવના $\frac{720}{2520} = \frac{2}{7}$ છે.

(A) એક હરોળમાં $10$ વિદ્યાર્થીઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $10!$ છે.
બે ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ સાથે બેસે તેની સંભાવના શોધવા માટે,આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
ત્યાં $9$ એકમો છે (જોડી + $8$ અન્ય વિદ્યાર્થીઓ),જેને $9!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
જોડીની અંદરના બે વિદ્યાર્થીઓને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ સાથે બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા $2 \times 9!$ છે.
તેઓ સાથે બેસે તેની સંભાવના $\frac{2 \times 9!}{10!} = \frac{2 \times 9!}{10 \times 9!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ છે.
તેથી,તેઓ એકબીજાની બાજુમાં ન બેઠા હોય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.

(B) $n \geq 10$ માટે,$n!$ ના છેલ્લા બે અંકો $00$ હોય છે (કારણ કે $10! = 3628800$),તેથી $n \geq 10$ માટે દશકનો અંક $0$ થાય છે.
તેથી,$1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 16! + 17!$ ના સરવાળાનો દશકનો અંક એ $1! + 4! + 7!$ ના સરવાળાના દશકના અંક જેટલો જ હોય.
સરવાળો ગણતા: $1! = 1$,$4! = 24$,$7! = 5040$.
$1 + 24 + 5040 = 5065$.
દશકનો અંક $6$ છે.
$6$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપણી પાસે $2^n \{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)\}$ પદ છે.
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \frac{2^n \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n)}{n!}$
$= \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1) \cdot (2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n)}{n!}$
$= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2n - 1) \cdot (2n)}{n!}$
$= \frac{(2n)!}{n!}$.

(A) એક અથવા વધુ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $(n_1 + 1)(n_2 + 1)(n_3 + 1) - 1$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n_1, n_2, n_3$ એ દરેક રંગના દડાની સંખ્યા છે.
અહીં,$n_1 = 10, n_2 = 9, n_3 = 7$.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $= (10 + 1)(9 + 1)(7 + 1) - 1$.
$= (11)(10)(8) - 1$.
$= 880 - 1 = 879$.

(C) પ્રથમ,$5$ વ્યંજનમાંથી $3$ અને $4$ સ્વરમાંથી $2$ વ્યંજન પસંદ કરો:
$^5C_3 \times ^4C_2 = 10 \times 6 = 60$.
આ $5$ પસંદ કરેલા અક્ષરોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે:
$5! = 120$.
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 60 \times 120 = 7200$.

(C) $p \geq 5$ માટે,$p!$ નો એકમનો અંક $0$ છે કારણ કે તેમાં $2$ અને $5$ અવયવો છે.
પ્રથમ સરવાળો ધ્યાનમાં લો: $S_1 = \sum\limits_{1 < p < 100} {p!} = 2! + 3! + 4! + \sum\limits_{5 \leq p < 100} {p!} = 2 + 6 + 24 + 0 = 32$.
$S_1$ નો એકમનો અંક $2$ છે.
બીજો સરવાળો ધ્યાનમાં લો: $S_2 = \sum\limits_{n = 1}^{50} {(2n)!} = 2! + 4! + \sum\limits_{n = 3}^{50} {(2n)!}$.
$n \geq 3$ માટે $(2n)!$ માં $6! = 720$ આવે છે,જેનો એકમનો અંક $0$ છે,તેથી $n \geq 3$ માટેના તમામ પદોનો એકમનો અંક $0$ થશે.
$S_2 = 2 + 24 + 0 = 26$.
$S_2$ નો એકમનો અંક $6$ છે.
$S_1 - S_2$ નો એકમનો અંક $32 - 26 = 6$ થશે.

(D) દરેક પ્રશ્ન માટે $4$ વિકલ્પો છે અને માત્ર $1$ સાચો જવાબ છે.
$3$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાની કુલ રીતો $= 4 \times 4 \times 4 = 64$.
બધા જ પ્રશ્નોના સાચા જવાબ આપવાની માત્ર $1$ રીત છે.
તેથી,નાપાસ થવાની રીતોની સંખ્યા કુલ રીતોમાંથી પાસ થવાની રીત બાદ કરવાથી મળે.
નાપાસ થવાની રીતોની સંખ્યા $= 64 - 1 = 63$.

(C) Rs. $100$ ની $4$ નોટ છે. દરેક $3$ બાળકને Rs. $100$ ની એક નોટ મળે તે માટે,પહેલા $3$ બાળકોને $3$ નોટ વહેંચી દઈએ,જે $1$ રીતે થઈ શકે.
હવે,Rs. $100$ ની $1$ નોટ અને બીજી $5$ અલગ નોટો બાકી રહે છે.
કુલ $6$ નોટો વહેંચવાની છે.
દરેક નોટ $3$ બાળકોમાંથી કોઈને પણ આપી શકાય,તેથી દરેક નોટ માટે $3$ વિકલ્પો છે.
કુલ વહેંચણીની રીતો = $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 14 \times 360 = 14k$.
તેથી,$7!$ એ $14$ વડે વિભાજ્ય છે.
કોઈપણ $n \geq 7$ માટે,$n! = 7! \times 8 \times 9 \times \dots \times n$ એ પણ $14$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$(1! + 2! + 3! + \dots + 200!)$ ને $14$ વડે ભાગતા મળતી શેષ એ $(1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6!)$ ને $14$ વડે ભાગતા મળતી શેષ જેટલી જ હોય.
સરવાળો કરતા: $1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 = 873$.
$873$ ને $14$ વડે ભાગતા: $873 = 14 \times 62 + 5$.
આમ,શેષ $5$ મળે છે.

(C) $5$ દડા $3$ નાના ખોખામાં સમાતા નથી.
બાકીના $6$ ખોખામાંથી $5$ ની પસંદગી કરી આ દડા $^6P_5$ રીતે મૂકી શકાશે.
હવે,$6$ માંથી વધેલું $1$ ખોખું અને નાનાં $3$ ખોખાં એમ કુલ $4$ ખોખામાં વધેલાં $4$ દડા $4!$ રીતે મૂકી શકાશે.
બધા દડા મૂકવાના પ્રકાર = $^6P_5 \times 4! = 720 \times 24 = 17280$.