જો પાંચ અલગ-અલગ ધ્વજ ઉપલબ્ધ હોય,તો એક ઊભી લાકડી પર ક્રમમાં (એકની નીચે એક) ઓછામાં ઓછા $2$ ધ્વજ ગોઠવીને કેટલા અલગ-અલગ સંકેતો બનાવી શકાય?

નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I.$ જો $n$ એ વિભાજ્ય સંખ્યા હોય,તો $n$ એ $(n-1)!$ ને ભાગે છે.
$II.$ એવી અનંત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ છે કે જેના માટે $n^3+2n^2+n$ એ $n!$ ને ભાગે છે.

$'SAHARANPUR'$ શબ્દના અક્ષરોમાંથી બનાવી શકાય તેવા $3$ અક્ષરના શબ્દોની કુલ સંખ્યા કેટલી થાય?

ધારો કે અંકો $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે. આ ત્રણ અંકોમાંથી દરેકનો ત્રણ વાર ઉપયોગ કરીને નવ-અંકની સંખ્યાઓ એવી રીતે બનાવવાની છે કે જેથી ત્રણ ક્રમિક અંકો ઓછામાં ઓછી એક વાર $A.P.$ માં હોય. આવી કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય?

ત્રિપુટીઓ $(x, y, z)$ ની સંખ્યા,જ્યાં $x, y, z$ એ $x+y+z=15$ નું સમાધાન કરતા ભિન્ન અ-ઋણ પૂર્ણાંકો છે,તે શોધો.

એક પરબિડીયામાં વધુમાં વધુ $3$ ટિકિટો માટે જગ્યા છે. જો તમને $1$ મૂલ્યની ત્રણ ટિકિટો અને $a$ મૂલ્યની ત્રણ ટિકિટો $(a > 1)$ આપવામાં આવે,તો તે સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક કયો છે જે ટિકિટના મૂલ્ય તરીકે મેળવી શકાતો નથી?