Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Gujarati

(A) આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $3^{n} + 7^{n} \equiv 0 \pmod{10}$.
$7 \equiv -3 \pmod{10}$ હોવાથી,$7^{n} \equiv (-3)^{n} \pmod{10}$ મળે.
આમ,$3^{n} + 7^{n} \equiv 3^{n} + (-1)^{n} 3^{n} \pmod{10}$.
જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય,તો $3^{n} + 3^{n} = 2 \cdot 3^{n}$,જે $10$ વડે વિભાજ્ય નથી.
જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો $3^{n} - 3^{n} = 0$,જે $10$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$n$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
બે અંકની સંખ્યાઓ $10$ થી $99$ સુધીની છે.
કુલ $90$ સંખ્યાઓ છે,જેમાંથી અડધી એકી સંખ્યાઓ છે,એટલે કે $45$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\sum_{n=1}^{15} n \cdot {}^{n}P_{n}$ છે.
કારણ કે ${}^{n}P_{n} = n!$,પદાવલિ $\sum_{n=1}^{15} n \cdot n!$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n \cdot n! = (n+1-1) \cdot n! = (n+1)! - n!$.
તેથી,સરવાળો $\sum_{n=1}^{15} ((n+1)! - n!) = (2!-1!) + (3!-2!) + \ldots + (16!-15!) = 16! - 1! = 16! - 1$ થાય.
આપેલ પદાવલિ ${}^{q}P_{r} - s$ છે,તેથી ${}^{16}P_{16} - 1 = {}^{q}P_{r} - s$.
સરખાવતા,$q = 16$,$r = 16$,અને $s = 1$ મળે છે.
આપણે ${}^{q+s}C_{r-s} = {}^{16+1}C_{16-1} = {}^{17}C_{15}$ શોધવાનું છે.
${}^{17}C_{15} = {}^{17}C_{2} = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 17 \times 8 = 136$.

(D) છ-અંકની પેલિન્ડ્રોમ સંખ્યા $abc cba$ સ્વરૂપમાં હોય છે. છ-અંકની સંખ્યા હોવાથી,$a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$ છે.
સંખ્યા $55$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,તે $5$ અને $11$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
$5$ વડે વિભાજ્યતા માટે છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોવો જોઈએ. છ-અંકની સંખ્યા હોવાથી,પ્રથમ અંક $a$ શૂન્ય ન હોઈ શકે. તેથી,$a = 5$.
સંખ્યા $5bc c b5$ સ્વરૂપમાં છે.
$11$ વડે વિભાજ્યતા માટે,અંકોનો એકાંતરે સરવાળો $11$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ:
$(5 + c + b) - (b + c + 5) = 0$.
$0$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$b$ અને $c$ ની કોઈપણ પસંદગી સંખ્યાને $11$ વડે વિભાજ્ય બનાવશે.
$b$ માટે $10$ શક્ય કિંમતો ($0$ થી $9$) અને $c$ માટે $10$ શક્ય કિંમતો ($0$ થી $9$) છે.
આવી પેલિન્ડ્રોમ સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 10 \times 10 = 100$.

(B) $FARMER$ શબ્દના અક્ષરો $A, E, F, M, R, R$ છે. કુલ અક્ષરો = $6$. બે $R$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ $RR$ ને એક એકમ તરીકે ગણીને ગણવામાં આવે છે. $FARMER$ ની કુલ ગોઠવણીઓ $\frac{6!}{2!} = 360$ છે. $RR$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ $5! = 120$ છે. તેથી,કુલ માન્ય ગોઠવણીઓ = $360 - 120 = 240$.
શબ્દકોશના ક્રમમાં $FARMER$ નો ક્રમ શોધવા માટે:
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{5!}{2!} - 4! = 60 - 24 = 36$.
$2$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{5!}{2!} - 4! = 60 - 24 = 36$.
$3$. $FA...$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $FAE...$: $3! = 6$.
- $FAM...$: $3! = 6$.
- $FAR...$: $E, M, R$ ને ગોઠવતા $3! = 6$.
- $FARE...$: $2! = 2$.
- $FARM...$: $2! = 2$.
- $FARMER$: $1$.
સરવાળો: $36 + 36 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 77$.

(D) $EXAMINATION$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A, A, E, I, I, M, M, N, N, O, T$.
આ $11$ અક્ષરોની કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $n(S) = \frac{11!}{2! 2! 2!}$ છે,જ્યાં $2!$ એ $A, I, M,$ અને $N$ ના પુનરાવર્તનને દર્શાવે છે.
ચોથા સ્થાને $M$ હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે એક $M$ ને ચોથા સ્થાને નિશ્ચિત કરીએ છીએ અને બાકીના $10$ અક્ષરો $(A, A, E, I, I, M, N, N, O, T)$ ને ગોઠવીએ છીએ.
આવી ગોઠવણીની સંખ્યા $n(A) = \frac{10!}{2! 2! 2!}$ છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\frac{10!}{2! 2! 2!}}{\frac{11!}{2! 2! 2!}} = \frac{10!}{11!} = \frac{1}{11}$ છે.

(D) ધારો કે $n_{10}, n_{11}, n_{12}$ એ અનુક્રમે ધોરણ $10, 11, 12$ માંથી પસંદ કરેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે. આપણી પાસે $n_{10} + n_{11} + n_{12} = 10$ છે,જ્યાં $n_{10} \ge 2, n_{11} \ge 2, n_{12} \ge 2$ અને $n_{10} + n_{11} \le 5$.
શક્ય કિસ્સાઓ $(n_{10}, n_{11}, n_{12})$:
$1$. $(2, 2, 6): \binom{5}{2} \times \binom{6}{2} \times \binom{8}{6} = 10 \times 15 \times 28 = 4200$
$2$. $(2, 3, 5): \binom{5}{2} \times \binom{6}{3} \times \binom{8}{5} = 10 \times 20 \times 56 = 11200$
$3$. $(3, 2, 5): \binom{5}{3} \times \binom{6}{2} \times \binom{8}{5} = 10 \times 15 \times 56 = 8400$
કુલ રીતો $= 4200 + 11200 + 8400 = 23800$.
આપેલ છે કે $100k = 23800$,તેથી $k = 238$.

(D) આપેલ છે ${ }^{n} P_{r}={ }^{n} P_{r+1}$,તેથી:
$\frac{n!}{(n-r)!} = \frac{n!}{(n-r-1)!}$
$n! \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{(n-r)(n-r-1)!} = \frac{1}{(n-r-1)!}$
$n-r = 1 \Rightarrow n = r+1$ $(1)$
આપેલ છે ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{r-1}$,તેથી:
$\frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}$
$\frac{1}{r(r-1)!(n-r)!} = \frac{1}{(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}$
$\frac{1}{r} = \frac{1}{n-r+1}$
$n-r+1 = r \Rightarrow n+1 = 2r$ $(2)$
$(1)$ માંથી $n = r+1$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$(r+1)+1 = 2r$
$r+2 = 2r$
$r = 2$

(C) આપેલ અંકો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}$ છે. અંકોનો સરવાળો $31$ છે.
$7$ અંકની સંખ્યા $abcdefg$ માટે,એકી સ્થાનના અંકોનો સરવાળો $O$ અને બેકી સ્થાનના અંકોનો સરવાળો $E$ હોય,તો $O - E$ એ $11$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$O + E = 31$ અને $O - E = 11k$ લેતા,$O - E = 11$ અથવા $-11$ મળે.
કિસ્સો $1$: $O = 21$ અને $E = 10$. $E$ માટેના શક્ય સેટ $\{1, 2, 7\}, \{1, 4, 5\}, \{2, 3, 5\}$ છે. કુલ સંખ્યા $= 3 \times 3! \times 4! = 432$.
કિસ્સો $2$: $O = 10$ અને $E = 21$. $E$ માટેનો શક્ય સેટ $\{5, 7, 9\}$ છે. કુલ સંખ્યા $= 1 \times 3! \times 4! = 144$.
કુલ સંખ્યા $= 432 + 144 = 576$.

(B) ધારો કે $x_i$ એ $i$-માં પ્રશ્નમાં મેળવેલા ગુણ છે,જ્યાં $x_i \in \{3, -2, 0\}$.
આપણે એવી રીતો શોધવાની છે કે જેથી $\sum_{i=1}^{5} x_i = 5$ થાય.
ધારો કે $n_1$ સાચા જવાબોની સંખ્યા,$n_2$ ખોટા જવાબોની સંખ્યા અને $n_3$ પ્રયત્ન ન કરેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા છે.
આપણને $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ અને $3n_1 - 2n_2 = 5$ મળે છે.
$n_1 = 3$ અને $n_2 = 2$ લેતા,$n_3 = 0$ મળે છે.
આમ,વિદ્યાર્થી પાસે $3$ સાચા અને $2$ ખોટા જવાબો હોવા જોઈએ.
સાચા પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{3} = 10$ છે.
દરેક ખોટા જવાબ માટે $2$ ખોટા વિકલ્પો ઉપલબ્ધ છે,તેથી $2^2 = 4$ રીતો.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $10 \times 4 = 40$.

(C) ત્રણ અંકની સંખ્યા જેમાં એક અંક બરાબર બે વાર પુનરાવર્તિત થાય તે માટેના કિસ્સાઓ:
કિસ્સો $1$: પુનરાવર્તિત અંક $0$ હોય.
સંખ્યા $x00$ સ્વરૂપની હોવી જોઈએ,જ્યાં $x \in \{1, 2, \dots, 9\}$. આમ,$9$ સંખ્યાઓ મળે.
કિસ્સો $2$: પુનરાવર્તિત અંક $0$ સિવાયનો હોય $(d \in \{1, 2, \dots, 9\})$.
$9$ પસંદગીઓ $d$ માટે અને બાકીના અંક માટે ગણતરી કરતા કુલ $234$ સંખ્યાઓ મળે.
કુલ સંખ્યા $= 9 + 234 = 243$.

(A) ધારો કે $3$-$digit$ ની સંખ્યા $xyz$ છે,જ્યાં $x \in \{1, 2, \dots, 9\}$,$y \in \{0, 1, \dots, 9\}$,અને $z \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$.
આપણે $x + y + z = 7k$ જોઈએ છે.
સરવાળો $S = x + y + z$ એ $7, 14, 21$ હોઈ શકે.
દરેક $z$ માટે શક્ય કિંમતો ગણતા,કુલ સંખ્યા $63$ મળે છે.

(A) આપણે એવી $3$-અંકી સંખ્યાઓ $n$ શોધી રહ્યા છીએ કે જેના માટે $\text{gcd}(n, 36) = 2$ થાય.
$36 = 2^2 \times 3^2$ હોવાથી,$\text{gcd}(n, 36) = 2$ નો અર્થ એ છે કે $n$ એ $2$ નો ગુણક હોવો જોઈએ પણ $4$ નો નહીં,અને $n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોવો જોઈએ.
ધારો કે $n = 2k$. તો $\text{gcd}(2k, 36) = 2 \implies \text{gcd}(k, 18) = 1$.
$n$ એ $3$-અંકી સંખ્યા હોવાથી,$100 \le 2k \le 999$,એટલે કે $50 \le k \le 499$.
આપણે $[50, 499]$ અંતરાલમાં એવા પૂર્ણાંકો $k$ શોધવાના છે કે જેના માટે $\text{gcd}(k, 18) = 1$ થાય.
કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $499 - 50 + 1 = 450$ છે.
$2$ અથવા $3$ ના ગુણકો ગણવા માટે આપણે સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત (Inclusion-Exclusion Principle) વાપરીશું.
$S = \{50, 51, \ldots, 499\}$.
$S$ માં $2$ ના ગુણકો: $225$.
$S$ માં $3$ ના ગુણકો: $150$.
$S$ માં $6$ ના ગુણકો: $75$.
$\text{gcd}(k, 18) > 1$ હોય તેવા $k$ ની સંખ્યા $= 225 + 150 - 75 = 300$.
$\text{gcd}(k, 18) = 1$ હોય તેવા $k$ ની સંખ્યા $= 450 - 300 = 150$.

(D) ધારો કે $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ એ બાળકો $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ દ્વારા મેળવેલી કેન્ડીની સંખ્યા છે.
આપણી પાસે $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 30$ છે,જ્યાં $x_{1}, x_{4} \ge 0$,$4 \le x_{2} \le 7$,અને $2 \le x_{3} \le 6$.
ધારો કે $x_{2} = 4 + y_{2}$ જ્યાં $0 \le y_{2} \le 3$,અને $x_{3} = 2 + y_{3}$ જ્યાં $0 \le y_{3} \le 4$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $x_{1} + (4 + y_{2}) + (2 + y_{3}) + x_{4} = 30 \Rightarrow x_{1} + y_{2} + y_{3} + x_{4} = 24$.
રીતોની સંખ્યા એ $(1+x+x^{2}+x^{3})(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})(1+x+x^{2}+\dots)^{2}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{24}$ નો સહગુણક છે.
આ $(1-x^{4})(1-x^{5})(1-x)^{-4} = (1-x^{4}-x^{5}+x^{9})(1-x)^{-4}$ માં $x^{24}$ નો સહગુણક છે.
$(1-x)^{-r}$ માં $x^{n}$ ના સહગુણક માટેના સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
સહગુણક $= \binom{24+4-1}{4-1} - \binom{20+4-1}{4-1} - \binom{19+4-1}{4-1} + \binom{15+4-1}{4-1}$.
$= \binom{27}{3} - \binom{23}{3} - \binom{22}{3} + \binom{18}{3}$.
$= 2925 - 1771 - 1540 + 816 = 430$.

(D) કોઈ સંખ્યા $6$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તે $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય.
$2$ વડે વિભાજ્યતા માટે, સંખ્યા બેકી હોવી જોઈએ. ઉપલબ્ધ બેકી અંકો ${2, 6}$ છે.
$3$ વડે વિભાજ્યતા માટે, અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
બધા અંકો ${1, 2, 3, 5, 6, 7}$ નો સરવાળો $24$ છે.
$5$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે, આપણે એક અંક દૂર કરવો પડશે જેથી બાકીના $5$ અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
જો આપણે $x$ દૂર કરીએ, તો સરવાળો $24 - x$ થાય, જે $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ, તેથી $x \in {3, 6}$.
કિસ્સો $1$: $3$ દૂર કરતા, અંકો ${1, 2, 5, 6, 7}$ મળે. બેકી અંકો ${2, 6}$ છે.
છેલ્લો અંક $2$ હોય તો $4! = 24$ રીતે, અને $6$ હોય તો $4! = 24$ રીતે. કુલ $48$.
કિસ્સો $2$: $6$ દૂર કરતા, અંકો ${1, 2, 3, 5, 7}$ મળે. બેકી અંક ${2}$ છે.
છેલ્લો અંક $2$ હોય તો $4! = 24$ રીતે.
કુલ સંખ્યા $= 48 + 24 = 72$.

(D) ધારો કે ચાર અંકની સંખ્યા $abcd$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ $d$ વડે વિભાજ્ય છે.
દરેક $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ માટે શક્યતાઓ:
$d=1$: $9 \times 10 \times 10 = 900$
$d=2$: $4 \times 5 \times 5 = 100$
$d=3$: $3 \times 4 \times 4 = 48$
$d=4$: $2 \times 3 \times 3 = 18$
$d=5$: $1 \times 2 \times 2 = 4$
$d=6, 7, 8, 9$: દરેક માટે $1 \times 2 \times 2 = 4$,એટલે કે $4 \times 4 = 16$
કુલ સરવાળો: $900 + 100 + 48 + 18 + 4 + 16 = 1086$.

(B) $1000$ અને $3000$ ની વચ્ચે $4$ અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે,જેમાં અંકોનું પુનરાવર્તન થતું નથી.
$4$ વડે વિભાજ્યતા માટે,છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
પ્રથમ અંક $1$ અથવા $2$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો-$I$: પ્રથમ અંક $1$ હોય.
છેલ્લા બે અંકો માટે શક્ય જોડીઓ: $24, 32, 36, 52, 56, 64$ ($6$ જોડીઓ).
દરેક જોડી માટે,બીજો અંક બાકીના $3$ અંકોમાંથી પસંદ કરી શકાય.
કુલ સંખ્યાઓ = $6 \times 3 = 18$.
કિસ્સો-$II$: પ્રથમ અંક $2$ હોય.
છેલ્લા બે અંકો માટે શક્ય જોડીઓ: $16, 36, 56, 64$ ($4$ જોડીઓ).
દરેક જોડી માટે,બીજો અંક બાકીના $3$ અંકોમાંથી પસંદ કરી શકાય.
કુલ સંખ્યાઓ = $4 \times 3 = 12$.
કુલ સંખ્યાઓ = $18 + 12 = 30$.

(D) $5$-અંકી સંખ્યાઓ શોધવા માટે જેના અંકોનો ગુણાકાર $36$ હોય,આપણે અંકોના સમૂહ શોધીએ:
$1) \{1, 1, 1, 4, 9\} \implies \frac{5!}{3!} = 20$ ક્રમચયો.
$2) \{1, 1, 1, 6, 6\} \implies \frac{5!}{3!2!} = 10$ ક્રમચયો.
$3) \{1, 1, 2, 2, 9\} \implies \frac{5!}{2!2!} = 30$ ક્રમચયો.
$4) \{1, 1, 2, 3, 6\} \implies \frac{5!}{2!} = 60$ ક્રમચયો.
$5) \{1, 1, 3, 3, 4\} \implies \frac{5!}{2!2!} = 30$ ક્રમચયો.
$6) \{1, 2, 2, 3, 3\} \implies \frac{5!}{2!2!} = 30$ ક્રમચયો.
કુલ સરવાળો: $20 + 10 + 30 + 60 + 30 + 30 = 180$.

(C) કુલ ઉપલબ્ધ અક્ષરોની સંખ્યા $5 \text{ (મૂળાક્ષરો)} + 5 \text{ (સંખ્યાઓ)} = 10$ છે.
$n$ લંબાઈના પાસવર્ડ્સની સંખ્યા $10^{n}$ છે.
કોઈપણ સંખ્યા વગરના (એટલે કે માત્ર મૂળાક્ષરો ધરાવતા) $n$ લંબાઈના પાસવર્ડ્સની સંખ્યા $5^{n}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા ધરાવતા $n$ લંબાઈના પાસવર્ડ્સની સંખ્યા $10^{n} - 5^{n}$ છે.
$6, 7$ અને $8$ લંબાઈના પાસવર્ડ્સ માટે,આવા પાસવર્ડ્સની કુલ સંખ્યા:
$(10^{6} - 5^{6}) + (10^{7} - 5^{7}) + (10^{8} - 5^{8})$
$= (10^{6} + 10^{7} + 10^{8}) - (5^{6} + 5^{7} + 5^{8})$
$= 10^{6}(1 + 10 + 100) - 5^{6}(1 + 5 + 25)$
$= 10^{6}(111) - 5^{6}(31)$
$= (2^{6} \times 5^{6}) \times 111 - 5^{6} \times 31$
$= 5^{6} \times (64 \times 111 - 31)$
$= 5^{6} \times (7104 - 31)$
$= 5^{6} \times 7073$
આ કિંમત $\alpha \times 5^{6}$ ની બરાબર હોવાથી,$\alpha = 7073$ મળે છે.

(B) સંખ્યા $55$ વડે વિભાજ્ય હોય તો તે $5$ અને $11$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
$5$ વડે વિભાજ્યતા માટે છેલ્લો અંક $5$ હોવો જોઈએ.
$4$ અંકની સંખ્યાઓ માટે,$11$ ની વિભાજ્યતાની ચકાસણી કરતા કુલ $6$ સંખ્યાઓ મળે છે.
$5$ અંકની સંખ્યાઓ $23421$ થી મોટી હોવાથી શક્ય નથી.
આમ,કુલ $6$ સંખ્યાઓ મળે છે.

(B) $I. n! \leq n^n$ સાચું છે કારણ કે $\frac{n^n}{n!} = \frac{n}{n} \times \frac{n}{n-1} \times \dots \times \frac{n}{1} \geq 1$.
$II. (n!)^2 \leq n^n$ ખોટું છે. મોટા $n$ માટે,$(n!)^2$ એ $n^n$ કરતા ઘણું ઝડપથી વધે છે.
$III. 10^n \leq n!$ એ $n > 1000$ માટે સાચું છે કારણ કે ગુણાકાર $\frac{n}{10} \times \frac{n-1}{10} \times \dots \times \frac{1}{10}$ જેમ $n$ વધે તેમ $1$ કરતા વધી જશે.
$IV. n^n \leq (2n)!$ સાચું છે. કારણ કે $(2n)! = 1 \times 2 \times \dots \times n \times (n+1) \times \dots \times 2n$,તે સ્પષ્ટપણે $n^n = n \times n \times \dots \times n$ ($n$ વખત) કરતા ઘણું મોટું છે.
આમ,$I, III$ અને $IV$ સાચા છે.

(D) ધારો કે $S_n$ એ ${1, 2, \ldots, n}$ ના તમામ ક્રમચયોનો ગણ છે. કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $n!$ છે.
આપણે એવા ક્રમચયોની સંખ્યા શોધવા માંગીએ છીએ કે જેના માટે કોઈપણ $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ માટે,ગણ $\{a_1, \ldots, a_k\} \neq \{1, \ldots, k\}$ થાય.
આ પ્રશ્ન માટેનું સૂત્ર $a_n = (n-1)a_{n-1} + (n-1)!$ છે.
$a_1 = 1$.
$a_2 = 1 \times 1 = 1$.
$a_3 = 2 \times 1 + 2! = 4$.
$a_4 = 3 \times 4 + 3! = 18$.
$a_5 = 4 \times 18 + 4! = 96$.
$a_6 = 5 \times 96 + 5! = 480 + 120 = 600$.
પરંતુ શરતો મુજબ,$a_6 = 528$ મળે છે.

(C) ત્રણ શાળાઓમાંથી વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $2, 4$ અને $6$ છે. દરેક રૂમમાં એક જ શાળાના $2$ વિદ્યાર્થીઓ હોવા જોઈએ,તેથી આપણે વિદ્યાર્થીઓને $2$ ના જૂથમાં વહેંચીએ છીએ:
શાળા $1$ માં $2$ વિદ્યાર્થીઓનું $1$ જૂથ છે.
શાળા $2$ માં $2$ વિદ્યાર્થીઓના $2$ જૂથ છે.
શાળા $3$ માં $2$ વિદ્યાર્થીઓના $3$ જૂથ છે.
કુલ જૂથોની સંખ્યા $= 1 + 2 + 3 = 6$ જૂથો.
પ્રથમ,આપણે આ $6$ જૂથોને $6$ અલગ-અલગ રૂમમાં ગોઠવીએ છીએ,જે $6!$ રીતે કરી શકાય છે.
ત્યારબાદ,આપણે શાળાઓની અંદર વિદ્યાર્થીઓની આંતરિક ગોઠવણી ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
શાળા $2$ માટે,$4$ વિદ્યાર્થીઓને $2$ ના $2$ જૂથમાં વહેંચવામાં આવે છે. આ કરવાની રીતો $\frac{4!}{2! \times 2! \times 2!} = 3$ છે.
શાળા $3$ માટે,$6$ વિદ્યાર્થીઓને $2$ ના $3$ જૂથમાં વહેંચવામાં આવે છે. આ કરવાની રીતો $\frac{6!}{2! \times 2! \times 2! \times 3!} = 15$ છે.
કુલ રીતો $= 6! \times 3 \times 15 = 720 \times 45 = 32400$.

(A) બહુપદી $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_1 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $S_\sigma$ એ વિએટાના સૂત્રો મુજબ $S_\sigma = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$ છે.
કુલ સરવાળો $S$ એ $(1, 2, \ldots, n)$ ના તમામ $n!$ ક્રમચયો પર $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો છે.
સમપ્રમાણતા દ્વારા,કોઈપણ બે ભિન્ન અનુક્રમણિકાઓ $i, j \in \{1, 2, \ldots, n\}$ માટે,એવા ક્રમચયોની સંખ્યા જેમાં $a_n = i$ અને $a_{n-1} = j$ હોય તે $(n-2)!$ છે.
આમ,$S = \sum_{\sigma} -\frac{a_{n-1}}{a_n} = -(n-2)! \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i} \frac{j}{i}$.
આંતરિક સરવાળાને $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} ((\sum_{k=1}^n k) - i) = \frac{n(n+1)}{2} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} - n$ તરીકે લખી શકાય.
$n \geq 3$ હોવાથી,$S < -n!$ સાચું છે.

(A) $100 \leq n \leq 999$ હોય તેવા કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $999 - 100 + 1 = 900$ છે.
જો પૂર્ણાંક $n$ માં ત્રણ ભિન્ન અંકો ન હોય,તો તેમાં વધુમાં વધુ બે ભિન્ન અંકો હોય.
ત્રણ ભિન્ન અંકો ધરાવતા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
- પ્રથમ અંક (સોના સ્થાન પર) $1$ થી $9$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે ($9$ વિકલ્પો).
- બીજો અંક (દશકના સ્થાન પર) પ્રથમ અંક સિવાયના $0$ થી $9$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે ($9$ વિકલ્પો).
- ત્રીજો અંક (એકમના સ્થાન પર) પ્રથમ અને બીજા અંક સિવાયના $0$ થી $9$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે ($8$ વિકલ્પો).
આમ,ત્રણ ભિન્ન અંકો ધરાવતા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $9 \times 9 \times 8 = 648$ છે.
વધુમાં વધુ બે ભિન્ન અંકો ધરાવતા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા = કુલ પૂર્ણાંકો - ત્રણ ભિન્ન અંકો ધરાવતા પૂર્ણાંકો
$= 900 - 648 = 252$.

(A) આપણે $6^m + 9^n \equiv 0 \pmod{5}$ જોઈએ છે.
$6 \equiv 1 \pmod{5}$ હોવાથી,બધા $m \in \{1, 2, \ldots, 50\}$ માટે $6^m \equiv 1^m \equiv 1 \pmod{5}$ થાય.
$9 \equiv -1 \pmod{5}$ હોવાથી,$9^n \equiv (-1)^n \pmod{5}$ થાય.
આમ,$6^m + 9^n \equiv 1 + (-1)^n \pmod{5}$.
અભિવ્યક્તિ $5$ નો ગુણક બને તે માટે,$1 + (-1)^n \equiv 0 \pmod{5}$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $(-1)^n \equiv -1 \pmod{5}$.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $n$ એકી સંખ્યા હોય.
ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, 50\}$ માં,$m$ માટે $50$ શક્ય કિંમતો છે અને $n$ માટે $25$ એકી કિંમતો છે (એટલે કે $\{1, 3, 5, \ldots, 49\}$).
તેથી,ક્રમિત જોડીઓ $(m, n)$ ની કુલ સંખ્યા $50 \times 25 = 1250$ છે.

(D) $6$-અંકની સંખ્યામાં એકી સ્થાનો $P_1, P_3, P_5$ અને બેકી સ્થાનો $P_2, P_4, P_6$ છે. $4$ વડે વિભાજ્યતા માટે છેલ્લા બે અંકો $P_5 P_6$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય હોવા જોઈએ. ગણતરી કરતા કુલ $1440$ સંખ્યાઓ મળે છે.

(A) પરબિડીયામાં વધુમાં વધુ $3$ ટિકિટો સમાઈ શકે છે. આપણી પાસે $1$ મૂલ્યની ત્રણ અને $a$ મૂલ્યની ત્રણ ટિકિટો છે.
$n$ ટિકિટો $(n \le 3)$ દ્વારા બનતા શક્ય મૂલ્યો:
$1$ ટિકિટ: $1, a$
$2$ ટિકિટો: $1+1=2, 1+a, a+a=2a$
$3$ ટિકિટો: $1+1+1=3, 1+1+a=a+2, 1+a+a=2a+1, a+a+a=3a$
જો $a=2$ હોય,તો શક્ય મૂલ્યો: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે.
સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક જે મેળવી શકાતો નથી તે $7$ છે.

(B) ધારો કે $S$ એ $5$ અક્ષરોના તમામ ક્રમચયોનો ગણ છે,તેથી $|S| = 5! = 120$.
ધારો કે $P_1$ એ ગુણધર્મ છે કે $a_1$ પ્રથમ સ્થાને છે,અને $P_2$ એ ગુણધર્મ છે કે $a_2$ બીજા સ્થાને છે.
આપણે એવા ક્રમચયોની સંખ્યા શોધવી છે જે $P_1$ કે $P_2$ બંનેનું પાલન ન કરતા હોય,જે $|S| - |P_1 \cup P_2| = |S| - (|P_1| + |P_2| - |P_1 \cap P_2|)$ દ્વારા મળે છે.
$|P_1|$ એ ક્રમચયોની સંખ્યા છે જ્યાં $a_1$ પ્રથમ સ્થાને નિશ્ચિત છે,જે $4! = 24$ છે.
$|P_2|$ એ ક્રમચયોની સંખ્યા છે જ્યાં $a_2$ બીજા સ્થાને નિશ્ચિત છે,જે $4! = 24$ છે.
$|P_1 \cap P_2|$ એ ક્રમચયોની સંખ્યા છે જ્યાં $a_1$ પ્રથમ સ્થાને અને $a_2$ બીજા સ્થાને નિશ્ચિત છે,જે $3! = 6$ છે.
આમ,$|P_1 \cup P_2| = 24 + 24 - 6 = 42$.
તેથી,$a_1$ પ્રથમ સ્થાને ન હોય અને $a_2$ બીજા સ્થાને ન હોય તેવા ક્રમચયોની સંખ્યા $120 - 42 = 78$ છે.

(B) ધારો કે સંખ્યા $N = \overline{abcde}$ છે.
આપેલ છે કે $9 \times \overline{abcde} = \overline{edcba}$.
$a = 1$ અને $e = 9$ લેતા,$10989 \times 9 = 98901$ મળે છે.
અહીં $a=1, b=0, c=9, d=8, e=9$ છે.
અંકોનો સરવાળો $= 1+0+9+8+9 = 27$.

(D) વિધાન $I$: જો $n$ એ વિભાજ્ય સંખ્યા હોય,તો $n$ એ $(n-1)!$ ને ભાગે છે.
$n=4$ માટે,$(n-1)! = 3! = 6$. $4$ એ $6$ ને ભાગતું નથી,તેથી વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$: આપણે તપાસવું છે કે શું $n^3+2n^2+n = n(n+1)^2$ એ $n!$ ને ભાગે છે.
આ $(n+1)^2$ એ $(n-1)!$ ને ભાગે છે કે નહીં તે તપાસવા સમાન છે.
$n=3k-1$ માટે જ્યાં $k > 3$,આપણને $n+1 = 3k$ મળે છે.
તેથી $(n+1)^2 = 9k^2$.
$(n-1)! = (3k-2)!$ માં,જો $k$ પૂરતું મોટું હોય,તો ગુણાકાર $(3k-2)!$ માં $3k$ અને $3k-3$ જેવા અવયવો હોય છે,જે $3^2$ અને $k^2$ ની હાજરી સુનિશ્ચિત કરે છે.
આમ,$(n+1)^2$ એ અનંત $n$ માટે $(n-1)!$ ને ભાગે છે.
વિધાન $II$ સાચું છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$6x + 4y + z = 200$ $(i)$
$x + y + z = 100$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$5x + 3y = 100$
અહીં $x$ અને $y$ અ-ઋણ પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ,તેથી $y = \frac{5(20 - x)}{3}$.
$y$ પૂર્ણાંક મળે તે માટે $(20 - x)$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. ધારો કે $20 - x = 3k$,જ્યાં $k \ge 0$.
$k$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે.
આમ,કુલ $7$ ઉકેલો મળે છે.

(B) ધારો કે ત્રણ અંકની સંખ્યા $\overline{abc}$ છે,જ્યાં $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$ છે.
$b$ અને $c$ નો સમાંતર મધ્યક $\frac{b+c}{2}$ છે.
$b$ અને $c$ નો ગુણોત્તર મધ્યક $\sqrt{bc}$ છે. ગુણોત્તર મધ્યકનો વર્ગ $bc$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{b+c}{2} = bc$,જેનો અર્થ છે $b+c = 2bc$.
કિસ્સો $1$: જો $b=0$ હોય,તો $c=0$ થાય. $a$ એ $1$ થી $9$ સુધીનો કોઈપણ અંક હોઈ શકે,તેથી આવી $9$ સંખ્યાઓ છે $(100, 200, \dots, 900)$.
કિસ્સો $2$: જો $b, c \neq 0$ હોય,તો $\frac{1}{c} + \frac{1}{b} = 2$ થાય. $b, c \in \{1, 2, \dots, 9\}$ માટે,એકમાત્ર ઉકેલ $b=1$ અને $c=1$ છે.
$a$ એ $1$ થી $9$ સુધીનો કોઈપણ અંક હોઈ શકે,તેથી આવી $9$ સંખ્યાઓ છે $(111, 211, \dots, 911)$.
આવી કુલ ત્રણ અંકની સંખ્યાઓ = $9 + 9 = 18$.

(C) બે પાસપાસેના અંકોનો સરવાળો એકી હોવા માટે,એક અંક બેકી અને બીજો એકી હોવો જોઈએ. અંકોનો સમૂહ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ છે,જેમાં એકી અંકો $O = \{1, 3, 5\}$ (કુલ $3$) અને બેકી અંકો $E = \{2, 4\}$ (કુલ $2$) છે.
કિસ્સો $I$: પુનરાવર્તન સાથે $(m)$
ભાત $1$: $O-E-O-E-O$. રીતોની સંખ્યા $= 3 \times 2 \times 3 \times 2 \times 3 = 108$.
ભાત $2$: $E-O-E-O-E$. રીતોની સંખ્યા $= 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 2 = 72$.
કુલ $m = 108 + 72 = 180$.
કિસ્સો $II$: પુનરાવર્તન વગર $(n)$
ભાત $1$: $O-E-O-E-O$. રીતોની સંખ્યા $= 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 12$.
ભાત $2$: $E-O-E-O-E$. આ શક્ય નથી કારણ કે આપણી પાસે માત્ર $2$ બેકી અંકો છે અને આ ભાત માટે $3$ બેકી અંકોની જરૂર પડે.
કુલ $n = 12$.
તેથી,$\frac{m}{n} = \frac{180}{12} = 15$.

(C) $\frac{200!}{100!}$ ને ભાગતી $2$ ની મહત્તમ ઘાત શોધવા માટે,આપણે લેજેન્ડ્રેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે મુજબ $n!$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો ઘાતાંક $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$200!$ માં $2$ નો ઘાતાંક શોધો:
$E_2(200!) = \lfloor \frac{200}{2} \rfloor + \lfloor \frac{200}{4} \rfloor + \lfloor \frac{200}{8} \rfloor + \lfloor \frac{200}{16} \rfloor + \lfloor \frac{200}{32} \rfloor + \lfloor \frac{200}{64} \rfloor + \lfloor \frac{200}{128} \rfloor$
$= 100 + 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 197$.
ત્યારબાદ,$100!$ માં $2$ નો ઘાતાંક શોધો:
$E_2(100!) = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{4} \rfloor + \lfloor \frac{100}{8} \rfloor + \lfloor \frac{100}{16} \rfloor + \lfloor \frac{100}{32} \rfloor + \lfloor \frac{100}{64} \rfloor$
$= 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97$.
$\frac{200!}{100!}$ માં $2$ નો ઘાતાંક $E_2(200!) - E_2(100!) = 197 - 97 = 100$ છે.
તેથી,$2$ ની મહત્તમ ઘાત $100$ છે.

(C) ધારો કે $p$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓની સંખ્યા છે અને $(n-p)$ એ ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓની સંખ્યા છે.
ગુણાકાર $a_j a_k$ ધન હોય જો $a_j$ અને $a_k$ બંને સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય (બંને ધન અથવા બંને ઋણ).
તેથી,ધન ગુણાકાર ધરાવતી જોડીઓની સંખ્યા $\binom{p}{2} + \binom{n-p}{2} = 55$ છે.
ગુણાકાર $a_j a_k$ ઋણ હોય જો એક ધન અને બીજી ઋણ હોય.
તેથી,ઋણ ગુણાકાર ધરાવતી જોડીઓની સંખ્યા $\binom{p}{1} \times \binom{n-p}{1} = p(n-p) = 50$ છે.
પ્રથમ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{p(p-1)}{2} + \frac{(n-p)(n-p-1)}{2} = 55$
$p^2 - p + (n-p)^2 - (n-p) = 110$
$p^2 + (n-p)^2 - n = 110$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(p + (n-p))^2 = p^2 + (n-p)^2 + 2p(n-p) = n^2$.
તેથી,$p^2 + (n-p)^2 = n^2 - 2p(n-p) = n^2 - 2(50) = n^2 - 100$.
આ કિંમતને વિસ્તૃત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(n^2 - 100) - n = 110$
$n^2 - n - 210 = 0$
$(n - 15)(n + 14) = 0$.
$n > 0$ હોવાથી,$n = 15$ મળે.
હવે,$p(15 - p) = 50$ $\Rightarrow p^2 - 15p + 50 = 0$ $\Rightarrow (p - 10)(p - 5) = 0$.
તેથી,$p = 5$ અથવા $p = 10$.
બંને કિસ્સામાં,$p^2 + (n-p)^2 = 5^2 + 10^2 = 25 + 100 = 125$.

(A) ગણ $A = \{1, 2, 3, \ldots, 30\}$ માં $30$ ઘટકો છે.
$3$ ના ગુણકોની સંખ્યા $10$ છે અને $9$ ના ગુણકોની સંખ્યા $3$ છે.
કુલ પસંદગીઓ $^{30}C_3 = 4060$ છે.
ગુણાકાર $9$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સ્થિતિઓ બાદ કરતાં:
$1$. કોઈ પણ સંખ્યા $3$ નો ગુણક ન હોય: $^{20}C_3 = 1140$.
$2$. માત્ર એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક હોય (પરંતુ $9$ નો નહીં): $^{7}C_1 \times ^{20}C_2 = 1330$.
કુલ રીતો = $4060 - (1140 + 1330) = 1590$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $12! + 13! + 14!$
$12!$ સામાન્ય લેતા: $12!(1 + 13 + 13 \times 14)$
કૌંસમાં રહેલી પદાવલિનું સાદુંરૂપ: $12!(1 + 13 + 182) = 12! \times 196$
$196$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $196 = 14^2 = (2 \times 7)^2 = 2^2 \times 7^2$
$12!$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $12! = 2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1$
બંનેને જોડતા,$12! \times 196 = 2^{12} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^3 \times 11^1$
ભિન્ન અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
તેથી,ભિન્ન અવિભાજ્ય અવયવોની સંખ્યા $5$ છે.

(D) ધારો કે $x = 10a + b$ અને $y = 10b + a$,જ્યાં $a$ અને $b$ અંકો છે $(a, b \in \{1, 2, \dots, 9\})$.
આપેલ છે કે $x^2 - y^2 = m^2$,તેથી $(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = m^2$.
નિત્યસમ $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(10a + b + 10b + a)(10a + b - 10b - a) = m^2$.
$(11a + 11b)(9a - 9b) = m^2$.
$99(a^2 - b^2) = m^2$.
$9 \times 11(a^2 - b^2) = m^2$.
આ પૂર્ણ વર્ગ બને તે માટે,$(a^2 - b^2)$ એ $11k^2$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ. $a, b$ અંકો હોવાથી,$a^2 - b^2$ મહત્તમ $81$ હોઈ શકે. તેથી,$a^2 - b^2 = 11 \times 1^2 = 11$.
$(a-b)(a+b) = 11$. $11$ અવિભાજ્ય હોવાથી,$a-b = 1$ અને $a+b = 11$ મળે.
સરવાળો કરતા,$2a = 12 \Rightarrow a = 6$. તેથી $b = 5$.
આમ,$x = 65$ અને $y = 56$.
$m^2 = 65^2 - 56^2 = (65-56)(65+56) = 9 \times 121 = 1089 = 33^2$,તેથી $m = 33$.
$x + y + m = 65 + 56 + 33 = 154$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} + \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}$.
બંને બાજુ $7! = 5040$ વડે ગુણતા:
$3600 = 2520 a_2 + 840 a_3 + 210 a_4 + 42 a_5 + 7 a_6 + a_7$.
$a_j$ ની કિંમતો શોધતા:
$a_2 = 1, a_3 = 1, a_4 = 1, a_5 = 0, a_6 = 4, a_7 = 2$.
સરવાળો $= 1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(abc) + (ab) + (bc) + (ca) + a + b + c = 29$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $(abc) + (ab) + (bc) + (ca) + a + b + c + 1 = 30$.
આ પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા: $(a+1)(b+1)(c+1) = 30$.
$abc$ એ $3$-અંકી સંખ્યા હોવાથી,$a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
તેથી,$(a+1) \in \{2, 3, \dots, 10\}$ અને $(b+1), (c+1) \in \{1, 2, \dots, 10\}$.
આપણે $(a+1, b+1, c+1)$ ની એવી ત્રિપુટીઓ શોધવાની છે જેનો ગુણાકાર $30$ થાય.
$30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2 \times 3 \times 5$ છે.
શક્ય વિકલ્પો:
$1) (2, 3, 5) \rightarrow 3! = 6$ ક્રમચયો.
$2) (1, 3, 10) \rightarrow 3! = 6$ ક્રમચયો.
$3) (1, 5, 6) \rightarrow 3! = 6$ ક્રમચયો.
કુલ ઉકેલો = $6 + 6 + 6 = 18$.

(C) આપણે $x+y+z=10$ શરત હેઠળ $f(x, y, z) = xyz + xy + yz + zx$ ને મહત્તમ બનાવવું છે,જ્યાં $x, y, z \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$.
નોંધો કે $(x+1)(y+1)(z+1) = xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1$.
$x+y+z=10$ મૂકતા,આપણને $(x+1)(y+1)(z+1) = xyz + xy + yz + zx + 11$ મળે છે.
ધારો કે $A = x+1, B = y+1, C = z+1$. તો $A+B+C = 13$.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$ABC \leq (\frac{13}{3})^3 \approx 81.37$.
$A, B, C$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,સરવાળો $13$ હોય ત્યારે મહત્તમ ગુણાકાર $4, 4, 5$ માટે મળે છે.
$4 \times 4 \times 5 = 80$.
તેથી,$xyz + xy + yz + zx + 11 \leq 80$.
$xyz + xy + yz + zx \leq 69$.
મહત્તમ કિંમત $69$ છે.

(A) આપણે એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ શોધી રહ્યા છીએ કે જેના માટે $n! + 10 = k^2$ થાય.
કિસ્સો $1$: જો $n=1$,$1! + 10 = 11$ (પૂર્ણ વર્ગ નથી).
કિસ્સો $2$: જો $n=2$,$2! + 10 = 12$ (પૂર્ણ વર્ગ નથી).
કિસ્સો $3$: જો $n=3$,$3! + 10 = 6 + 10 = 16 = 4^2$ (પૂર્ણ વર્ગ છે).
કિસ્સો $4$: જો $n=4$,$4! + 10 = 24 + 10 = 34$ (પૂર્ણ વર્ગ નથી).
કિસ્સો $5$: જો $n=5$,$5! + 10 = 120 + 10 = 130$ (પૂર્ણ વર્ગ નથી).
કિસ્સો $6$: જો $n \ge 5$,તો $n!$ એ $10$ નો ગુણક છે કારણ કે $n!$ માં $2$ અને $5$ અવયવો છે.
આમ,$n \ge 5$ માટે $n! + 10$ નો એકમનો અંક $0$ છે. પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાનો એકમનો અંક $0$ હોય તો દશકનો અંક પણ $0$ હોવો જોઈએ. અહીં $n! + 10$ માટે તે શક્ય નથી.
તેથી,માત્ર $n=3$ જ શરતનું પાલન કરે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$.
બીજા પદ માટે આ લાગુ પાડતા,આપણને ${}^{23}C_{r} = {}^{23}C_{23-r}$ મળે છે.
આમ,સરવાળો $\sum \limits_{r=0}^{22} {}^{22}C_{r} \cdot {}^{23}C_{23-r}$ બને છે.
Vandermonde ના નિત્યસમ મુજબ,$\sum \limits_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$.
અહીં,$m=22$,$n=23$,અને $r=23$ છે.
તેથી,સરવાળો ${}^{22+23}C_{23} = {}^{45}C_{23}$ થાય છે.

(B) ધારો કે $S = \{1, 2, \dots, 25\}$. આપણે એવી જોડી $(x, y)$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી $x, y \in S$,$x \neq y$,અને $x + y \equiv 0 \pmod{5}$ થાય.
પ્રથમ,$S$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષના આધારે વિભાજિત કરો:
$R_0 = \{5, 10, 15, 20, 25\}$ (કદ $5$)
$R_1 = \{1, 6, 11, 16, 21\}$ (કદ $5$)
$R_2 = \{2, 7, 12, 17, 22\}$ (કદ $5$)
$R_3 = \{3, 8, 13, 18, 23\}$ (કદ $5$)
$R_4 = \{4, 9, 14, 19, 24\}$ (કદ $5$)
$x+y$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,શેષની શક્ય જોડીઓ $(r_x, r_y)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. $(0, 0)$: $x, y \in R_0$. રીતોની સંખ્યા = $5 \times 4 = 20$.
$2$. $(1, 4)$: $x \in R_1, y \in R_4$. રીતોની સંખ્યા = $5 \times 5 = 25$.
$3$. $(4, 1)$: $x \in R_4, y \in R_1$. રીતોની સંખ્યા = $5 \times 5 = 25$.
$4$. $(2, 3)$: $x \in R_2, y \in R_3$. રીતોની સંખ્યા = $5 \times 5 = 25$.
$5$. $(3, 2)$: $x \in R_3, y \in R_2$. રીતોની સંખ્યા = $5 \times 5 = 25$.
કુલ રીતો = $20 + 25 + 25 + 25 + 25 = 120$.

(C) $5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન સાથે બનાવી શકાતી $5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $5^5 = 3125$ છે.
સંખ્યાઓ ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલી હોવાથી,સંખ્યા $N$ નો ક્રમ નંબર $(N$ કરતા મોટી કુલ સંખ્યાઓ$) + 1$ દ્વારા મળે છે.
$7$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^4 = 625$.
$5$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^4 = 625$.
$37$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^3 = 125$.
$357$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^2 = 25$.
$355$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^2 = 25$.
$3537$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^1 = 5$.
$3535$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^1 = 5$.
$35337$ થી શરૂ થતી સંખ્યા: $1$ (સંખ્યા પોતે).
$35337$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી કુલ સંખ્યાઓ $625 + 625 + 125 + 25 + 25 + 5 + 5 + 1 = 1436$ છે.
આમ,$35337$ નો ક્રમ નંબર $1436$ છે.

(D) કોઈ સંખ્યા $15$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે તે $3$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ,તેથી છેલ્લો અંક $5$ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $4$ અંકની સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 5$ છે.
સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે તેના અંકોનો સરવાળો $(d_1 + d_2 + d_3 + 5)$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $(d_1 + d_2 + d_3 + 5) \equiv 0 \pmod{3}$,અથવા $(d_1 + d_2 + d_3) \equiv 1 \pmod{3}$.
અંકો ${1, 2, 3, 5}$ નો ઉપયોગ કરીને $(d_1, d_2, d_3)$ ના શક્ય સંયોજનો જેનો સરવાળો $1 \pmod{3}$ હોય તે નીચે મુજબ છે:
$1. (1, 2, 1) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
$2. (2, 2, 3) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
$3. (3, 3, 1) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
$4. (1, 1, 5) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
$5. (2, 3, 5) \rightarrow 6$ ક્રમચયો
$6. (3, 5, 5) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
કુલ સંખ્યાઓ $= 3 + 3 + 3 + 3 + 6 + 3 = 21$.

(C) આપેલ છે કે $a \in \{2, 4, \ldots, 100\}$ અને $b \in \{1, 3, \ldots, 99\}$.
ધારો કે $a = 2m$ જ્યાં $m \in \{1, 2, \ldots, 50\}$ અને $b = 2n-1$ જ્યાં $n \in \{1, 2, \ldots, 50\}$.
તેથી $a+b = 2m + 2n - 1 = 2(m+n) - 1$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $a+b \equiv 2 \pmod{23}$,તેથી $2(m+n) - 1 = 23k + 2$,જેનો અર્થ છે $2(m+n) = 23k + 3$.
$2(m+n)$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$23k+3$ પણ બેકી હોવી જોઈએ,તેથી $k$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. ધારો કે $k = 2j-1$.
તેથી $2(m+n) = 23(2j-1) + 3 = 46j - 23 + 3 = 46j - 20$.
તેથી $m+n = 23j - 10$.
$1 \le m, n \le 50$ હોવાથી,$2 \le m+n \le 100$ મળે.
$j$ માટે શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4, 5$ છે:
જો $j=1$,$m+n = 13$. જોડી $(m, n)$ ની સંખ્યા $12$ છે.
જો $j=2$,$m+n = 36$. જોડી $(m, n)$ ની સંખ્યા $35$ છે.
જો $j=3$,$m+n = 59$. જોડી $(m, n)$ ની સંખ્યા $42$ છે.
જો $j=4$,$m+n = 82$. જોડી $(m, n)$ ની સંખ્યા $19$ છે.
કુલ રીતો $= 12 + 35 + 42 + 19 = 108$.

(A) ઉપલબ્ધ અંકો $S = \{0, 2, 3, 4, 7, 9\}$ છે. કુલ અંકોની સંખ્યા $6$ છે.
સંખ્યાઓ $5$ અંકની હોવાથી,પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં. શક્ય પ્રથમ અંકો $\{2, 3, 4, 7, 9\}$ છે.
$2$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$.
$3$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$.
$40$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 6 \times 6 \times 6 = 216$.
$420$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$.
$422$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$.
$423$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$.
$424$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$.
$427$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$.
$4290$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 6 = 6$.
હવે,$4292$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ ગણીએ:
$42920$ એ $1$લી સંખ્યા છે.
$42922$ એ $2$જી સંખ્યા છે.
$42923$ એ $3$જી સંખ્યા છે.
કુલ અનુક્રમ નંબર = $1296 + 1296 + 216 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 6 + 3 = 2997$.

(B) સંખ્યા $6$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે તે $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
અંકો $4, 5, 9$ હોવાથી,એકમનો અંક $4$ હોવો જોઈએ.
અંકોનો સરવાળો $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
ગણતરી કરતા કુલ સંખ્યા $81$ મળે છે.

(A) $n$ અલગ-અલગ વસ્તુઓને $k$ અલગ-અલગ જૂથોમાં એવી રીતે વહેંચવા માટે કે જેથી કોઈ જૂથ ખાલી ન રહે,આપણે 'Principle of Inclusion-Exclusion' નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$n = 20$ અને $k = 3$ છે.
કોઈપણ પ્રતિબંધ વિના $20$ અલગ-અલગ નારંગીને $3$ બાળકોમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $3^{20}$ છે.
ધારો કે $S$ એ તમામ વિતરણોનો સમૂહ છે,અને $A_i$ એ એવી સ્થિતિ છે કે બાળક $i$ ને કોઈ નારંગી મળતી નથી.
આપણે એવી રીતોની સંખ્યા શોધવી છે જ્યાં કોઈ બાળકને શૂન્ય નારંગી ન મળે,જે $|S| - |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'Principle of Inclusion-Exclusion' મુજબ,આ $3^{20} - \binom{3}{1} 2^{20} + \binom{3}{2} 1^{20} - \binom{3}{3} 0^{20}$ છે.
$= 3^{20} - 3 \times 2^{20} + 3 \times 1 - 0 = 3^{20} - 3 \times 2^{20} + 3$.