$MAYANK$ શબ્દના અક્ષરોમાંથી ચાર અક્ષરના કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય કે જેમાં બંને $A$ આવે પરંતુ ક્યારેય સાથે ન હોય?

$7$ બેટ્સમેન અને $6$ બોલરોના જૂથમાંથી,$10$ ખેલાડીઓની ટીમ પસંદ કરવાની છે,જેમાં ઓછામાં ઓછા $4$ બેટ્સમેન અને ઓછામાં ઓછા $4$ બોલર હોવા જોઈએ. એક બેટ્સમેન અને એક બોલર,જેઓ અનુક્રમે ટીમના કેપ્ટન અને વાઇસ-કેપ્ટન છે,તેમને સામેલ કરવાના છે. તો આવી પસંદગી કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $n \geq 3$ એક પૂર્ણાંક છે. $(1, 2, \ldots, n)$ ના ક્રમચય $\sigma = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ માટે,આપણે $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. ધારો કે $S_\sigma$ એ $f_\sigma(x) = 0$ ના બીજનો સરવાળો છે અને $S$ એ $(1, 2, \ldots, n)$ ના તમામ ક્રમચયો $\sigma$ પર $S_\sigma$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો દર્શાવે છે. તો,

$\frac{200!}{100!}$ ને ભાગતી $2$ ની મહત્તમ ઘાત કઈ છે?

જો $^n{P_4} = 30 \times {^n}{C_5}$ હોય,તો $n = $

$10000$ કરતા નાની એવી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ કેટલી છે જેમાં અંક $5$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે છે?