Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Gujarati

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\binom{n}{r} = \frac{_nP_r}{r!}$.
આપેલ છે કે $_nP_r = 30240$ અને $\binom{n}{r} = 252$.
તેથી,$r! = \frac{30240}{252} = 120$.
કારણ કે $120 = 5!$,તેથી $r = 5$.
હવે,$\binom{n}{5} = 252$.
$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!} = 252$.
$n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 252 \times 120 = 30240$.
કિંમતો ચકાસતા,$10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$.
આમ,$n = 10$.
તેથી,$(n, r) = (10, 5)$.

(B) $3$ ટપાલને $4$ ટપાલપેટીમાં નાખવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $= 4^3 = 64$ છે.
બધી જ ટપાલ એક જ પેટીમાં નાખવામાં આવે તેવી $4$ રીતો છે.
તેથી,બધી જ ટપાલ એક જ પેટીમાં ન નાખવામાં આવે તેવી રીતોની સંખ્યા $= 64 - 4 = 60$ છે.

(A) કોઈ એક શિષ્યવૃતિ એનાયત કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા એ દરેક વિષયના અરજદારોની સંખ્યાનો સરવાળો છે.
સરવાળાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતાં:
કુલ રીતો $= 3 + 5 + 4 = 12$.

(B) $6$ માંથી $4$ નવલકથાઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{6}{4} = 15$ છે.
$3$ માંથી $1$ શબ્દકોશ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{3}{1} = 3$ છે.
આ $5$ વસ્તુઓને ($4$ નવલકથાઓ અને $1$ શબ્દકોશ) એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી શબ્દકોશ હંમેશા વચ્ચે રહે,આપણે શબ્દકોશને વચ્ચેની જગ્યાએ $1$ રીતે ગોઠવીએ છીએ.
બાકીની $4$ નવલકથાઓને બાકીની $4$ જગ્યાઓ પર $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ ગોઠવણીઓ $= \binom{6}{4} \times \binom{3}{1} \times 4! = 15 \times 3 \times 24 = 1080$.
$1080 \geq 1000$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $p$ અને $q$ નો લ.સા.અ. $r^2t^4s^2$ આપેલ છે.
કોઈ અવિભાજ્ય અવયવ $p_i^n$ માટે,જો $p = p_i^{a}$ અને $q = p_i^{b}$ હોય,તો $\max(a, b) = n$ થાય. શક્ય જોડીઓ $(a, b)$ ની સંખ્યા $(0, n), (1, n), \dots, (n, n)$ અને $(n, 0), (n, 1), \dots, (n, n-1)$ છે.
આમ,દરેક અવિભાજ્ય અવયવ માટે કુલ $(n+1) + n = 2n+1$ શક્યતાઓ મળે.
$r^2$ માટે,શક્ય જોડીઓ $2(2)+1 = 5$ છે.
$t^4$ માટે,શક્ય જોડીઓ $2(4)+1 = 9$ છે.
$s^2$ માટે,શક્ય જોડીઓ $2(2)+1 = 5$ છે.
દરેક અવિભાજ્ય અવયવ માટેની પસંદગી સ્વતંત્ર હોવાથી,કુલ ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(p, q) = 5 \times 9 \times 5 = 225$ થાય.

(D) $ASSASSIN$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $A(2), S(4), I(2), N(1)$.
પ્રથમ,$S$ સિવાયના અક્ષરો $A, A, I, I, N$ ને ગોઠવો. આ $5$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{2!2!} = \frac{120}{4} = 30$ છે.
આ $5$ અક્ષરો $6$ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બનાવે છે: $\_ A \_ A \_ I \_ I \_ N \_$.
આપણે $6$ જગ્યાઓમાંથી $4$ જગ્યાઓ $S$ માટે પસંદ કરવાની છે જેથી કોઈ પણ બે $S$ સાથે ન આવે. $6$ માંથી $4$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^6C_4 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા = $30 \times 15 = 450$.

(A) કોઈ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય. આપેલા તમામ અંકોનો સરવાળો $0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ છે. આપણે $5$ અંકની સંખ્યા બનાવવાની હોવાથી,આપણે એક અંક એવો બાકાત રાખવો પડે કે જેથી બાકીના $5$ અંકોનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય.
કિસ્સો $1$: $0$ ને બાકાત રાખો. બાકીના અંકો ${1, 2, 3, 4, 5}$ છે. સરવાળો $15$ છે,જે $3$ વડે ભાગી શકાય છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
કિસ્સો $2$: $3$ ને બાકાત રાખો. બાકીના અંકો ${0, 1, 2, 4, 5}$ છે. સરવાળો $12$ છે,જે $3$ વડે ભાગી શકાય છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ છે (જ્યારે $0$ પ્રથમ સ્થાને હોય તેવા કિસ્સાઓ બાદ કરતાં).
કુલ સંખ્યાઓ = $120 + 96 = 216$.

(A) ધારો કે ત્રણ ખોખામાં દડાની સંખ્યા $(n_1, n_2, n_3)$ છે,જ્યાં $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ અને $n_i \ge 1$.
$5$ ના $3$ ભાગ પાડવાની શક્યતાઓ $(3, 1, 1)$ અને $(2, 2, 1)$ છે.
કિસ્સો $1$: વિભાજન $(3, 1, 1)$.
દડા ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{5!}{3!1!1!} \times \frac{3!}{2!} = 20 \times 3 = 60$ છે.
કિસ્સો $2$: વિભાજન $(2, 2, 1)$.
દડા ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{5!}{2!2!1!} \times \frac{3!}{2!} = 30 \times 3 = 90$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $60 + 90 = 150$.

(D) કોઈ સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે તેના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
ગણ ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ માંથી શક્ય જોડીઓ $(xy)$ છે: $12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64, 72$.
આવી કુલ $10$ જોડીઓ છે.
દરેક જોડી માટે,પ્રથમ બે અંકો $7 \times 7 = 49$ રીતે ભરી શકાય છે (પુનરાવર્તન શક્ય હોવાથી).
કુલ સંખ્યાઓ = $10 \times 49 = 490$.
વિધાન-$1$ માં $200$ સંખ્યાઓ હોવાનો દાવો છે,જે ખોટું છે.
વિધાન-$2$ પણ ખોટું છે કારણ કે $4$ ની વિભાજ્યતાની ચાવી છેલ્લા બે અંકો પર આધાર રાખે છે,માત્ર એકમના અંક પર નહીં.
આમ,બંને વિધાનો ખોટા છે.

(C) પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં.
$5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $= 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90,000$ છે.
જેમાં અંકોનું પુનરાવર્તન થતું ન હોય તેવી $5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ:
પ્રથમ સ્થાન માટે $9$ વિકલ્પો $(1-9)$.
બીજા સ્થાન માટે $9$ વિકલ્પો ($0-9$ માંથી પ્રથમ અંક બાદ કરતા).
ત્રીજા સ્થાન માટે $8$ વિકલ્પો.
ચોથા સ્થાન માટે $7$ વિકલ્પો.
પાંચમા સ્થાન માટે $6$ વિકલ્પો.
પુનરાવર્તન વગરની કુલ સંખ્યાઓ $= 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 27,216$.
ઓછામાં ઓછા એક અંકનું પુનરાવર્તન થતું હોય તેવી સંખ્યાઓ $= 90,000 - 27,216 = 62,784$.

(C) આપણે $S = \sum_{n=1}^{100} (n!)^2$ ને $100$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ થોડા પદોની ગણતરી કરતા:
$(1!)^2 = 1^2 = 1$
$(2!)^2 = 2^2 = 4$
$(3!)^2 = 6^2 = 36$
$(4!)^2 = 24^2 = 576 \equiv 76 \pmod{100}$
$(5!)^2 = 120^2 = 14400 \equiv 0 \pmod{100}$
બધા $n \ge 5$ માટે,$n!$ માં $5$ ના ઓછામાં ઓછા બે અવયવો અને $2$ ના બે અવયવો હોય છે,તેથી $n!$ એ $10$ નો ગુણક છે. આમ,$(n!)^2$ એ $100$ નો ગુણક છે.
તેથી,સરવાળો $S \equiv 1 + 4 + 36 + 76 \pmod{100}$
$S \equiv 117 \pmod{100}$
$S \equiv 17 \pmod{100}$
શેષ $17$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $_n{P_4} = 720 \binom{n}{r}$.
સૂત્રો: $_n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ અને $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n!}{(n-4)!} = 720 \times \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
અહીં $720 = 6!$ હોવાથી,સમીકરણ $r! = 6!$ માં પરિણમે છે.
તેથી,$r = 6$.

(D) દડાઓને એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે સમાન રંગના દડા પાસપાસે ન હોય,આપણે રંગોને એકાંતરે ગોઠવવા પડશે.
શરૂઆત કરવા માટે બે શક્યતાઓ છે: સફેદ અથવા કાળો.
કિસ્સો $1$: સફેદ દડાથી શરૂઆત કરતા.
આપણે $(n + 1)$ સફેદ દડાઓને $(n + 1)!$ રીતે ગોઠવી શકીએ છીએ.
આ સફેદ દડાઓ દ્વારા $(n + 1)$ જગ્યાઓ બને છે,અને આપણી પાસે $(n + 1)$ કાળા દડા છે,તેથી તેમને એકાંતરે ગોઠવવાની માત્ર એક જ રીત છે: $W B W B ... W B$.
આમ,સફેદ દડાથી શરૂઆત કરીને ગોઠવણીના કુલ પ્રકાર = $(n + 1)! \times (n + 1)! = {(n + 1)!}^2$.
કિસ્સો $2$: કાળા દડાથી શરૂઆત કરતા.
તે જ રીતે,કાળા દડાથી શરૂઆત કરીને ગોઠવણીના કુલ પ્રકાર = $(n + 1)! \times (n + 1)! = {(n + 1)!}^2$.
કુલ ગોઠવણીના પ્રકાર = ${(n + 1)!}^2 + {(n + 1)!}^2 = 2{(n + 1)!}^2$.

(D) $3n$ ભિન્ન વસ્તુઓને $3$ જૂથોમાં,દરેક જૂથમાં $n$ વસ્તુઓ હોય તે રીતે વહેંચવાની રીતો: $\frac{(3n)!}{n! n! n!} = \frac{(3n)!}{(n!)^3}$.
અહીં $3$ વ્યક્તિઓ ભિન્ન હોવાથી,આ જૂથોને $3$ વ્યક્તિઓને વહેંચવા માટે $3!$ વડે ગુણવા પડે.
તેથી,કુલ રીતો = $\frac{(3n)!}{(n!)^3} \times 3!$.

(C) ધારો કે અંકો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7 \in \{1, 2, 3\}$ છે જેથી $\sum_{i=1}^{7} x_i = 10$ થાય.
ધારો કે $n_1, n_2, n_3$ એ અનુક્રમે $1, 2,$ અને $3$ અંકો કેટલી વાર આવે છે તે દર્શાવે છે.
આપણને મળે છે $n_1 + n_2 + n_3 = 7$ અને $1n_1 + 2n_2 + 3n_3 = 10$.
પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા: $n_2 + 2n_3 = 3$.
કિસ્સો $1$: જો $n_3 = 1$ હોય,તો $n_2 = 1$ અને $n_1 = 5$ થાય. ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{7!}{5!1!1!} = 42$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_3 = 0$ હોય,તો $n_2 = 3$ અને $n_1 = 4$ થાય. ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{7!}{4!3!0!} = 35$ છે.
કુલ સંખ્યાઓ = $42 + 35 = 77$.

(B) આપેલ છે કે $P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} = 1680$ $(i)$ અને $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!} = 70$ $(ii)$.
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{P(n, r)}{C(n, r)} = r! = \frac{1680}{70} = 24$ મળે છે.
$r! = 24$ હોવાથી,$r = 4$ મળે.
$r = 4$ ને $P(n, 4) = 1680$ માં મૂકતા,$n(n - 1)(n - 2)(n - 3) = 1680$ મળે.
$8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$ હોવાથી,$n = 8$ મળે.
હવે,$69n + r! = 69(8) + 4! = 552 + 24 = 576$.

(B) આ પ્રશ્ન $5$ ઘટકોના ગણથી $3$ ઘટકોના ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા શોધવા સમાન છે.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન (Inclusion-Exclusion) ના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,રીતોની સંખ્યા $3^5 - \binom{3}{1} \times 2^5 + \binom{3}{2} \times 1^5$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતોની ગણતરી કરતા: $3^5 = 243$,$2^5 = 32$,અને $1^5 = 1$.
રીતોની સંખ્યા = $243 - 3 \times 32 + 3 \times 1$.
રીતોની સંખ્યા = $243 - 96 + 3 = 150$.

(C) ધારો કે $S = \sum_{r=0}^n \frac{r}{\binom{n}{r}}$.
ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$S = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{\binom{n}{n-r}} = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{\binom{n}{r}}$.
$S$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2S = \sum_{r=0}^n \frac{r}{\binom{n}{r}} + \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{\binom{n}{r}} = \sum_{r=0}^n \frac{r + n - r}{\binom{n}{r}} = \sum_{r=0}^n \frac{n}{\binom{n}{r}}$.
$2S = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{\binom{n}{r}} = n a_n$.
તેથી,$S = \frac{n}{2} a_n$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $_n{P_4} = 24 \times \binom{n}{5}$
$_n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ અને $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n!}{(n-4)!} = 24 \times \frac{n!}{5!(n-5)!}$
$\frac{n!}{(n-4)(n-5)!} = 24 \times \frac{n!}{120(n-5)!}$
બંને બાજુથી $n!$ અને $(n-5)!$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{n-4} = \frac{24}{120}$
$\frac{1}{n-4} = \frac{1}{5}$
$n - 4 = 5$
$n = 9$

(C) $n$ અલગ-અલગ ઈનામો $n$ છોકરાઓ વચ્ચે વહેંચવાની કુલ રીતો $n^n$ છે,કારણ કે દરેક ઈનામ કોઈપણ $n$ છોકરાને આપી શકાય છે.
અહીં $n$ કિસ્સાઓ એવા છે જેમાં એક જ છોકરાને બધા $n$ ઈનામો મળે છે (દા.ત. છોકરો $1$ ને બધા મળે,છોકરો $2$ ને બધા મળે,વગેરે).
તેથી,એવી રીતોની સંખ્યા જેમાં કોઈ પણ છોકરાને બધા ઈનામો ન મળે તે કુલ રીતોમાંથી તે $n$ કિસ્સાઓ બાદ કરવાથી મળે.
પરિણામ $= n^n - n$.

(A) $INTERMEDIATE$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $I(2), N(1), T(2), E(3), R(1), M(1), D(1), A(1)$.
કુલ ગોઠવણી $= \frac{12!}{2! \times 2! \times 3!}$.
ત્રણ $E$ સાથે ન આવે તેની સંભાવના શોધવા માટે,આપણે પહેલા બાકીના $9$ અક્ષરોને ગોઠવીએ: $I, I, N, T, T, R, M, D, A$. આ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{9!}{2! \times 2!}$ છે.
આ $9$ અક્ષરો દ્વારા $10$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે. આપણે $3$ $E$ ને આ $10$ જગ્યાઓમાં $^{10}C_3$ રીતે મૂકી શકીએ.
સાનુકૂળ ગોઠવણી $= \frac{9!}{2! \times 2!} \times ^{10}C_3$.
સંભાવના $= \frac{\frac{9!}{2! \times 2!} \times ^{10}C_3}{\frac{12!}{2! \times 2! \times 3!}} = \frac{9! \times 120 \times 3!}{12!} = \frac{120 \times 6}{12 \times 11 \times 10} = \frac{720}{1320} = \frac{6}{11}$.

(C) $ATTEMPT$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A, T, T, E, M, P, T$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $n(S) = \frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840$.
બધા $T$ સાથે આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,$(TTT)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો.
હવે આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $(TTT), A, E, M, P$.
આ $5$ એકમોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,$n(E) = 5! = 120$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{120}{840} = \frac{1}{7}$.

(B) $MISSISSIPPI$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M(1), I(4), S(4), P(2)$.
કોઈ પણ બે $S$ પાસપાસે ન આવે તે માટે,આપણે પહેલા બાકીના $7$ અક્ષરો $M, I, I, I, I, P, P$ ને ગોઠવીએ.
આ $7$ અક્ષરોની ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{7!}{4!2!} = 105$ છે.
આ $7$ અક્ષરો દ્વારા $8$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે,જેમાં $4$ $S$ મૂકી શકાય.
$8$ માંથી $4$ જગ્યા પસંદ કરવાની રીત $^8C_4 = 70$ છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $105 \times 70 = 7350$ થાય.

(C) પગલું $1$: $6$ અલગ-અલગ નવલકથાઓમાંથી $4$ નવલકથાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^6C_4$ છે.
$^6C_4 = 15$ રીતો.
પગલું $2$: $3$ અલગ-અલગ શબ્દકોશોમાંથી $1$ શબ્દકોશ પસંદ કરવાની રીતો $^3C_1$ છે.
$^3C_1 = 3$ રીતો.
પગલું $3$: $4$ પસંદ કરેલી નવલકથાઓ અને $1$ શબ્દકોશને એવી રીતે ગોઠવો કે શબ્દકોશ હંમેશા વચ્ચે રહે.
શબ્દકોશ વચ્ચે નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે બાકીની $4$ જગ્યાઓમાં $4$ નવલકથાઓ ગોઠવવાની છે.
$4$ નવલકથાઓ ગોઠવવાની રીતો $4! = 24$ છે.
પગલું $4$: કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા = $^6C_4 \times ^3C_1 \times 4! = 15 \times 3 \times 24 = 1080$.

(D) $n_1$ સમાન વસ્તુઓ,$n_2$ સમાન વસ્તુઓ અને $n_3$ સમાન વસ્તુઓમાંથી પસંદગી કરવાની રીતોની સંખ્યા $(n_1 + 1)(n_2 + 1)(n_3 + 1)$ છે.
અહીં,$n_1 = 10$ (સફેદ),$n_2 = 9$ (લીલા),અને $n_3 = 7$ (કાળા).
કોઈપણ દડો પસંદ ન કરવામાં આવે તે કિસ્સા સહિત કુલ રીતો $= (10 + 1) \times (9 + 1) \times (7 + 1) = 11 \times 10 \times 8 = 880$.
આપણે એક કે તેથી વધુ દડા પસંદ કરવાના હોવાથી,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરીશું જેમાં કોઈ દડો પસંદ થતો નથી (એટલે કે $1$ બાદ કરો).
રીતોની સંખ્યા $= 880 - 1 = 879$.

(C) $6000$ થી મોટી સંખ્યાઓ બનાવવા માટે આપણે ${3, 5, 6, 7, 8}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીશું.
કિસ્સો $1$: $5$ અંકની સંખ્યાઓ.
બધા $5$ અંકો ઉપલબ્ધ હોવાથી,કુલ સંખ્યાઓ $5! = 120$ થશે.
કિસ્સો $2$: $4$ અંકની સંખ્યાઓ.
$4$ અંકની સંખ્યા $6000$ થી મોટી હોવા માટે,પ્રથમ અંક $6, 7,$ અથવા $8$ હોવો જોઈએ.
પ્રથમ અંક માટે $3$ વિકલ્પો છે.
બાકીના $3$ સ્થાનો માટે $4$ અંકોમાંથી પસંદગી કરવાની છે,જે $P(4, 3) = 24$ રીતે થઈ શકે.
કુલ $4$ અંકની સંખ્યાઓ $= 3 \times 24 = 72$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 120 + 72 = 192$.

(B) $X$ પાસે $4$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો છે. $Y$ પાસે $3$ સ્ત્રીઓ અને $4$ પુરુષો છે.
કુલ $3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો પસંદ કરવાના છે,જેથી $X$ ના જૂથમાંથી $3$ અને $Y$ ના જૂથમાંથી $3$ મિત્રો પસંદ થાય.
ધારો કે $X$ એ $l_1$ સ્ત્રીઓ અને $m_1$ પુરુષો પસંદ કર્યા,અને $Y$ એ $l_2$ સ્ત્રીઓ અને $m_2$ પુરુષો પસંદ કર્યા.
શરતો: $l_1 + m_1 = 3$,$l_2 + m_2 = 3$,$l_1 + l_2 = 3$,$m_1 + m_2 = 3$.
શક્ય કિસ્સાઓ:
$1. (l_1, m_1) = (3, 0) \implies (l_2, m_2) = (0, 3)$. રીતો: $\binom{4}{3}\binom{3}{0} \times \binom{3}{0}\binom{4}{3} = 16$.
$2. (l_1, m_1) = (2, 1) \implies (l_2, m_2) = (1, 2)$. રીતો: $\binom{4}{2}\binom{3}{1} \times \binom{3}{1}\binom{4}{2} = 324$.
$3. (l_1, m_1) = (1, 2) \implies (l_2, m_2) = (2, 1)$. રીતો: $\binom{4}{1}\binom{3}{2} \times \binom{3}{2}\binom{4}{1} = 144$.
$4. (l_1, m_1) = (0, 3) \implies (l_2, m_2) = (3, 0)$. રીતો: $\binom{4}{0}\binom{3}{3} \times \binom{3}{3}\binom{4}{0} = 1$.
કુલ રીતો = $16 + 324 + 144 + 1 = 485$.

(B) ધારો કે સાત અંકની સંખ્યા $x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7$ છે.
પ્રથમ અંક $x_1$ એ $\{1, 2, 3, ..., 9\}$ માંથી કોઈ પણ કિંમત લઈ શકે છે ($9$ વિકલ્પો).
અંકો $x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ દરેક $\{0, 1, 2, ..., 9\}$ માંથી કોઈ પણ કિંમત લઈ શકે છે ($10$ વિકલ્પો).
$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ ની કોઈપણ નિશ્ચિત કિંમતો માટે,સરવાળો $S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6$ કાં તો બેકી અથવા એકી હોય છે.
આપણે કુલ સરવાળો $S + x_7$ બેકી થાય તે જોઈએ છે.
જો $S$ બેકી હોય,તો $x_7$ બેકી હોવો જોઈએ (એટલે કે $x_7 \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$),જે $5$ વિકલ્પો આપે છે.
જો $S$ એકી હોય,તો $x_7$ એકી હોવો જોઈએ (એટલે કે $x_7 \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$),જે પણ $5$ વિકલ્પો આપે છે.
આમ,પ્રથમ છ અંકોના કોઈપણ સંયોજન માટે,કુલ સરવાળો બેકી બનાવવા માટે $x_7$ માટે બરાબર $5$ વિકલ્પો છે.
આવી સાત અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 5 = 4500000$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$.
ધારો કે $b_n = \sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$.
ગુણધર્મ $^nC_r = ^nC_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b_n = \frac{0}{^nC_0} + \frac{1}{^nC_1} + \frac{2}{^nC_2} + \dots + \frac{n}{^nC_n}$.
તે જ રીતે,$b_n = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{^nC_r}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2b_n = \sum_{r=0}^n \frac{r + (n-r)}{^nC_r} = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r} = na_n$.
તેથી,$b_n = \frac{1}{2}na_n$.

(B) આપણે ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે અસમતા $n! < {\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)^n}$ ચકાસીએ.
$n = 1$ માટે: $1! < {\left( {\frac{1 + 1}{2}} \right)^1} \Rightarrow 1 < 1$,જે ખોટું છે.
$n = 2$ માટે: $2! < {\left( {\frac{2 + 1}{2}} \right)^2}$ $\Rightarrow 2 < {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}$ $\Rightarrow 2 < 2.25$,જે સાચું છે.
આપણે સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$ શોધી રહ્યા છીએ,અને $n=1$ માટે અસમતા ખોટી છે જ્યારે $n=2$ માટે સાચી છે,તેથી સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $2$ છે.

(A) $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$(i)$ સંચય $^{16-x}C_{2x-1}$ માટે:
$16-x \ge 2x-1 \ge 0$ અને $16-x, 2x-1$ અઋણ પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ.
$16-x \ge 2x-1 \Rightarrow 3x \le 17 \Rightarrow x \le 5.66$
$2x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0.5$
(ii) ક્રમચય $^{20-3x}P_{4x-5}$ માટે:
$20-3x \ge 4x-5 \ge 0$ અને $20-3x, 4x-5$ અઋણ પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ.
$20-3x \ge 4x-5 \Rightarrow 7x \le 25 \Rightarrow x \le 3.57$
$4x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1.25$
(iii) તમામ અસમતાઓનું સંયોજન:
$x \ge 0.5$,$x \le 5.66$,$x \ge 1.25$,$x \le 3.57$.
આમ,$1.25 \le x \le 3.57$.
(iv) દ્વિપદી સહગુણક અને ક્રમચય વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે $x$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $x$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $2$ અને $3$ છે.
તેથી,પ્રદેશ ${2, 3}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $P_m = ^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!}$.
સામાન્ય પદ $T_m = m \cdot P_m = m \cdot \frac{n!}{(n-m)!}$ છે.
સરવાળો $\sum_{m=1}^{n} m \cdot ^nP_m$ ની ગણતરી કરતા,આપણને $(n+1)! - 1$ મળે છે.

(B) ધારો કે $E = (2n + 1) (2n + 3) (2n + 5) \dots (4n - 1)$.
અંશ અને છેદને $(2n + 2) (2n + 4) \dots (4n)$ વડે ગુણતા:
$E = \frac{(4n)!}{2^n (n + 1) (n + 2) \dots (2n)}$
છેદને સરળ બનાવવા માટે $n!$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$E = \frac{(4n)! n!}{2^n (2n)!}$

(A) આપણને $S_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$ અને $T_n = \sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$ આપેલ છે.
$r$ ને $n-r$ સાથે બદલીને $T_n$ માટેનું પદ ધ્યાનમાં લો:
$T_n = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{^nC_{n-r}} = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{^nC_r} = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r} - \sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $T_n = n S_n - T_n$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $2T_n = n S_n$ મળે છે.
તેથી,$\frac{T_n}{S_n} = \frac{n}{2}$.

(B) $1$ થી $10^{10}$ ની વચ્ચેની એવી સંખ્યાઓ કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક અંક $1$ હોય તે શોધવા માટે:
$0$ થી $10^{10}-1$ સુધીની કુલ સંખ્યાઓ $10^{10}$ છે.
દરેક સંખ્યાને $10$ અંકની સ્ટ્રિંગ તરીકે દર્શાવો (શૂન્ય ઉમેરીને).
આવી કુલ $10^{10}$ સ્ટ્રિંગ છે.
જે સ્ટ્રિંગમાં અંક $1$ ન હોય તેવી સંખ્યાઓ ${0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય.
દરેક $10$ સ્થાન માટે $9$ વિકલ્પો છે,તેથી આવી $9^{10}$ સ્ટ્રિંગ છે.
આમ,ઓછામાં ઓછો એક $1$ ધરાવતી સ્ટ્રિંગની સંખ્યા $10^{10} - 9^{10}$ છે.
આ સ્ટ્રિંગ $0$ થી $10^{10}-1$ સુધીની સંખ્યાઓ દર્શાવે છે. $0000000000$ એ $0$ દર્શાવે છે,જેમાં $1$ નથી. $10^{10}$ પોતે $1$ ધરાવે છે.
તેથી,$1$ થી $10^{10}$ ની વચ્ચેની સંખ્યાઓ માટે,કુલ સંખ્યા $10^{10} - 9^{10} + 1$ થશે.

(A) $'GANGARAM'$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $G, G, N, R, M$ (વ્યંજન) અને $A, A, A$ (સ્વર).
બરાબર બે સ્વર સાથે હોય તે માટે,$3$ માંથી $2$ સ્વર પસંદ કરો ($^3C_2 = 3$ રીતે) અને તેમને એક એકમ તરીકે ગણો. બાકીનો એક સ્વર આ જોડીથી અલગ હોવો જોઈએ.
ગણતરી મુજબ,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $1320$ મળે છે.

(A) ઓછામાં ઓછા એક પુનરાવર્તન સાથે અને કોઈ પણ બે સમાન અક્ષરો સાથે ન હોય તેવા $4$ અક્ષરોના શબ્દો બે કિસ્સામાં બનાવી શકાય છે:
કિસ્સો $1$: બે અક્ષરો સમાન અને બે અલગ (દા.ત.,$AABC$ પ્રકાર).
પુનરાવર્તિત થતા $1$ અક્ષરને પસંદ કરવાની રીતો: $^6C_1 = 6$.
બાકીના $5$ માંથી $2$ અન્ય અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો: $^5C_2 = 10$.
$AABC$ ને એવી રીતે ગોઠવવાની રીતો કે જેથી કોઈ પણ બે સમાન અક્ષરો સાથે ન હોય: $6$.
કુલ $6 \times 10 \times 6 = 360$.
કિસ્સો $2$: બે સમાન અક્ષરોની બે જોડી (દા.ત.,$AABB$ પ્રકાર).
$6$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો: $^6C_2 = 15$.
$AABB$ ને એવી રીતે ગોઠવવાની રીતો કે જેથી કોઈ પણ બે સમાન અક્ષરો સાથે ન હોય: $2$ $(ABAB, BABA)$.
કુલ $15 \times 2 = 30$.
શબ્દોની કુલ સંખ્યા = $360 + 30 = 390$.

(A) $1$ થી $100$ ની વચ્ચે અંક $5$ કેટલી વાર આવે છે તે શોધવા માટે,આપણે એકમના સ્થાન અને દશકના સ્થાનમાં આવતા અંકોની ગણતરી કરીએ.
$1$. એકમના સ્થાનમાં: સંખ્યાઓ $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95$ છે. આવી કુલ $10$ સંખ્યાઓ છે.
$2$. દશકના સ્થાનમાં: સંખ્યાઓ $50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59$ છે. આવી કુલ $10$ સંખ્યાઓ છે.
નોંધો કે સંખ્યા $55$ બંને યાદીમાં ગણાય છે (એકવાર એકમના સ્થાન માટે અને એકવાર દશકના સ્થાન માટે),જે સાચું છે કારણ કે $55$ માં અંક $5$ બે વાર આવે છે.
કુલ ગણતરી = $10 + 10 = 20$.

(C) પ્રથમ,"ned needs nineteen nets" શબ્દસમૂહમાં દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ ગણો:
$n: 6$
$e: 7$
$d: 2$
$s: 2$
$t: 2$
$i: 1$
પસંદગીઓની સંખ્યા દરેક અલગ અક્ષર માટે (આવૃત્તિ + $1$) નો ગુણાકાર કરીને અને તેમાંથી $1$ બાદ કરીને (કોઈપણ અક્ષર પસંદ ન થાય તે કિસ્સો બાદ કરવા) મેળવવામાં આવે છે:
પસંદગીઓની સંખ્યા $= (6+1) \times (7+1) \times (2+1) \times (2+1) \times (2+1) \times (1+1) - 1$
$= 7 \times 8 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 - 1$
$= 3024 - 1$
$= 3023$

(D) કોઈ અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ એ $n!$ ને કેટલી વાર ભાગે છે તે લેજેન્ડ્રના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
$^{80}C_{40} = \frac{80!}{40!40!}$ માટે,અવિભાજ્ય $p$ નો ઘાતાંક $E_p(80!) - 2E_p(40!)$ છે.
$(a)$ $p=7$ માટે: $E_7(80!) = 12$ અને $E_7(40!) = 5$. ઘાતાંક $= 12 - 2(5) = 2$. $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
$(b)$ $p=23$ માટે: $E_{23}(80!) = 3$ અને $E_{23}(40!) = 1$. ઘાતાંક $= 3 - 2(1) = 1$. $23$ વડે વિભાજ્ય છે.
$(c)$ $p=11$ માટે: $E_{11}(80!) = 7$ અને $E_{11}(40!) = 3$. ઘાતાંક $= 7 - 2(3) = 1$. $11$ વડે વિભાજ્ય છે.
$(d)$ $p=29$ માટે: $E_{29}(80!) = 2$ અને $E_{29}(40!) = 1$. ઘાતાંક $= 2 - 2(1) = 0$. તેથી $29$ વડે વિભાજ્ય નથી.

(C) આપણે એવી જોડીઓ $(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ શોધી રહ્યા છીએ કે જેથી $1 \le xy < 100$ થાય.
$xy > 0$ હોવાથી,$x$ અને $y$ બંને સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $x, y > 0$.
નિશ્ચિત $x$ માટે,$y$ એ $1 \le y < \frac{100}{x}$ શરતનું પાલન કરતી કોઈપણ પૂર્ણાંક સંખ્યા હોઈ શકે.
કુલ સંખ્યા $\sum_{x=1}^{99} \lfloor \frac{99}{x} \rfloor = 473$ થાય છે.
કિસ્સો $2$: $x, y < 0$.
ધારો કે $x = -a$ અને $y = -b$ જ્યાં $a, b > 0$. તો $xy = ab < 100$. આ કિસ્સો $1$ જેવો જ છે,તેથી તેમાં પણ $473$ જોડીઓ મળે.
કુલ જોડીઓની સંખ્યા $= 473 + 473 = 946$.

(A) $APPLICATION$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A, P, P, L, I, C, A, T, I, O, N$.
સ્વરો $A, I, A, I, O$ ($5$ સ્વરો) છે અને વ્યંજનો $P, P, L, C, T, N$ ($6$ વ્યંજનો) છે.
પ્રથમ,$6$ વ્યંજનોને ગોઠવો: $\frac{6!}{2!} = 360$ રીતે.
$6$ વ્યંજનો દ્વારા $7$ જગ્યાઓ બને છે જેમાં $5$ સ્વરોને એવી રીતે ગોઠવી શકાય કે કોઈ પણ બે સ્વરો સાથે ન આવે.
$7$ માંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^7C_5 = 21$ છે.
$5$ સ્વરો $(A, A, I, I, O)$ ને આ $5$ જગ્યાઓમાં $\frac{5!}{2!2!} = 30$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ શબ્દો $= 360 \times 21 \times 30 = 226800 = (45)7!$.

(A) કુલ અક્ષરો $8$ છે ($4$ $A$,$3$ $B$,$1$ $C$).
ધારો કે $P$ એ એવા ક્રમચયોનો ગણ છે જેમાં બધા $4$ $A$ સાથે આવે છે. $AAAA$ ને એક એકમ તરીકે લેતા,આપણી પાસે $5$ એકમો છે $(AAAA, B, B, B, C)$. ક્રમચયોની સંખ્યા $n(P) = \frac{5!}{3!} = 20$ છે.
ધારો કે $Q$ એ એવા ક્રમચયોનો ગણ છે જેમાં બધા $3$ $B$ સાથે આવે છે. $BBB$ ને એક એકમ તરીકે લેતા,આપણી પાસે $6$ એકમો છે $(A, A, A, A, BBB, C)$. ક્રમચયોની સંખ્યા $n(Q) = \frac{6!}{4!} = 30$ છે.
$P \cap Q$ એ એવા ક્રમચયોનો ગણ છે જેમાં $AAAA$ અને $BBB$ બંને સાથે આવે છે. $3$ એકમો $(AAAA, BBB, C)$ ને ગોઠવતા,$n(P \cap Q) = 3! = 6$ મળે.
સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત મુજબ,$n(P \cup Q) = 20 + 30 - 6 = 44$.

(C) $90$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$ છે.
ધારો કે $x = 2^{x_1} 3^{y_1} 5^{z_1}$,$y = 2^{x_2} 3^{y_2} 5^{z_2}$,અને $z = 2^{x_3} 3^{y_3} 5^{z_3}$,જ્યાં $x_i, y_i, z_i \ge 0$.
$xyz = 90$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$x_1 + x_2 + x_3 = 1$
$y_1 + y_2 + y_3 = 2$
$z_1 + z_2 + z_3 = 1$
સ્ટાર્સ અને બાર્સ સૂત્ર $\binom{n+k-1}{k-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,દરેક ચલ માટે ઉકેલોની સંખ્યા:
$x$ માટે: $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$
$y$ માટે: $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$
$z$ માટે: $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $3 \times 6 \times 3 = 54$.

(B) $1, 2, 3, 4,$ અને $5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન સાથે બનાવી શકાય તેવી ચાર અંકની કુલ સંખ્યાઓ $5^4 = 625$ છે.
બધા અંકો ભિન્ન હોય તેવી ચાર અંકની સંખ્યાઓ $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ છે.
ઓછામાં ઓછા બે અંકો સમાન હોય તેવી સંખ્યાઓ શોધવા માટે,કુલ સંખ્યામાંથી બધા અંકો ભિન્ન હોય તેવી સંખ્યાઓ બાદ કરતા:
જરૂરી સંખ્યા $= 625 - 120 = 505$.

(C) $'SAHARANPUR'$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $S: 1, A: 3, H: 1, R: 2, N: 1, P: 1, U: 1$.
આપણે $3$ અક્ષરના શબ્દો બનાવવાના છે. શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
કિસ્સો $1$: ત્રણેય અક્ષરો સમાન હોય.
આપણી પાસે ફક્ત એક અક્ષર '$A$' છે જે $3$ વાર આવે છે. રીતોની સંખ્યા = $\binom{1}{1} \times \frac{3!}{3!} = 1$.
કિસ્સો $2$: ત્રણેય અક્ષરો અલગ હોય.
અહીં $7$ અલગ અક્ષરો ઉપલબ્ધ છે $(S, A, H, R, N, P, U)$. રીતોની સંખ્યા = $\binom{7}{3} \times 3! = 210$.
કિસ્સો $3$: $2$ અક્ષરો સમાન અને $1$ અલગ હોય.
$2$ અક્ષરો એવા છે જે બે કે તેથી વધુ વાર આવે છે ($A$ અને $R$).
જો આપણે '$A$' ને જોડી તરીકે લઈએ: $\binom{1}{1} \times \binom{6}{1} \times \frac{3!}{2!} = 18$.
જો આપણે '$R$' ને જોડી તરીકે લઈએ: $\binom{1}{1} \times \binom{6}{1} \times \frac{3!}{2!} = 18$.
આ કિસ્સા માટે કુલ = $18 + 18 = 36$.
શબ્દોની કુલ સંખ્યા = $1 + 210 + 36 = 247$.

(C) ધારો કે સ્પર્ધકોની સંખ્યા $n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મતદાર મહત્તમ $n-1$ ઉમેદવારોને મત આપી શકે છે.
મતદાર જે રીતે મત આપી શકે તે કુલ રીતોની સંખ્યા $1, 2, \dots, (n-1)$ ઉમેદવારોને $n$ સ્પર્ધકોમાંથી પસંદ કરવાની રીતોનો સરવાળો છે.
આથી: $^{n}C_{1} + ^{n}C_{2} + \dots + ^{n}C_{n-1} = 62$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{n} {^{n}C_{k}} = 2^{n}$ થાય છે.
તેથી,$^{n}C_{0} + ^{n}C_{1} + \dots + ^{n}C_{n-1} + ^{n}C_{n} = 2^{n}$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $1 + (62) + 1 = 2^{n}$.
$64 = 2^{n}$.
$2^{6} = 2^{n}$,જેનો અર્થ છે કે $n = 6$.