Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Hindi

(A) $1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनने वाली $4$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $5$ भिन्न अंकों में से $4$ अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या के बराबर है।
इसकी गणना $^5P_4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{120}{1} = 120$ है।
संख्या के सम होने के लिए,इकाई के स्थान पर एक सम अंक होना चाहिए,जो इस समुच्चय में $2$ या $4$ है।
इकाई के स्थान के लिए $2$ विकल्प हैं।
एक बार इकाई का स्थान भर जाने के बाद,शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों का उपयोग करके भरा जाना है।
इन $3$ स्थानों को भरने के तरीके $^4P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$ हैं।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,सम $4$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $2 \times 24 = 48$ है।

(A) $8$ व्यक्तियों की समिति से,एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष को इस प्रकार चुना जाना है कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद न संभाल सके।
यहाँ,अध्यक्ष और उपाध्यक्ष चुनने के तरीकों की संख्या $8$ विभिन्न वस्तुओं में से एक बार में $2$ वस्तुओं को लेकर बनने वाले क्रमचय (permutations) हैं।
अतः,आवश्यक तरीकों की संख्या $= ^{8}P_{2} = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56$.

(A) दिया गया अनुपात $^{n-1}P_{3} : ^{n}P_{4} = 1 : 9$ है।
सूत्र $^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{^{n-1}P_{3}}{^{n}P_{4}} = \frac{1}{9}$
$\Rightarrow \frac{\frac{(n-1)!}{(n-1-3)!}}{\frac{n!}{(n-4)!}} = \frac{1}{9}$
$\Rightarrow \frac{(n-1)!}{(n-4)!} \times \frac{(n-4)!}{n!} = \frac{1}{9}$
$\Rightarrow \frac{(n-1)!}{n \times (n-1)!} = \frac{1}{9}$
$\Rightarrow \frac{1}{n} = \frac{1}{9}$
$\therefore n = 9$.

(A) दिया गया समीकरण: $^{5}P_{r} = 2 \times ^{6}P_{r-1}$
सूत्र $^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{5!}{(5-r)!} = 2 \times \frac{6!}{(7-r)!}$
$\frac{5!}{(5-r)!} = \frac{12 \times 5!}{(7-r)(6-r)(5-r)!}$
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$1 = \frac{12}{(7-r)(6-r)}$
$(7-r)(6-r) = 12$
$r^{2} - 13r + 30 = 0$
$(r-10)(r-3) = 0$
अतः,$r = 10$ या $r = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $^{5}P_{r}$ के लिए $r \leq 5$ होना आवश्यक है।
इसलिए,$r = 3$ सही उत्तर है।

(C) दिया गया है: $^{5}P_{r} = ^{6}P_{r-1}$
सूत्र $^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{5!}{(5-r)!} = \frac{6!}{(6-(r-1))!}$
$\frac{5!}{(5-r)!} = \frac{6 \times 5!}{(7-r)!}$
$\frac{1}{(5-r)!} = \frac{6}{(7-r)(6-r)(5-r)!}$
$1 = \frac{6}{(7-r)(6-r)}$
$(7-r)(6-r) = 6$
$42 - 7r - 6r + r^{2} = 6$
$r^{2} - 13r + 36 = 0$
$(r-4)(r-9) = 0$
$r = 4$ या $r = 9$
चूंकि $^{n}P_{r}$ को $0 \leq r \leq n$ के लिए परिभाषित किया गया है,$^{5}P_{r}$ के लिए $r \leq 5$ होना चाहिए।
अतः,$r = 9$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
इसलिए,$r = 4$।

(A) $EQUATION$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $E, Q, U, A, T, I, O, N$.
चूंकि सभी अक्षर भिन्न हैं,इसलिए इन $8$ अक्षरों को एक साथ व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $n!$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 8$.
अतः,बनाए जा सकने वाले कुल शब्दों की संख्या $8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$ है.

(A) $MONDAY$ शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $M, O, N, D, A, Y$.
अक्षरों की पुनरावृत्ति के बिना इन $6$ अक्षरों से $4$ अक्षरों वाले शब्दों की संख्या $6$ अलग-अलग वस्तुओं में से $4$ को एक बार में लेकर बनने वाले क्रमचयों (permutations) की संख्या है,जिसे $^{6}P_{4}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
क्रमचय का सूत्र $^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ है।
$n=6$ और $r=4$ रखने पर:
$^{6}P_{4} = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.
अतः,कुल $360$ शब्द बनाए जा सकते हैं।

(A) $MONDAY$ शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $M, O, N, D, A, Y$.
$MONDAY$ शब्द के सभी अक्षरों का एक साथ उपयोग करके बनाए जा सकने वाले शब्दों की संख्या $6$ अलग-अलग वस्तुओं में से $6$ को एक साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या है।
यह सूत्र $^{6}P_{6} = 6!$ द्वारा दिया जाता है।
गणना: $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
अतः,आवश्यक शब्दों की संख्या $720$ है।

(B) $MONDAY$ शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $M, O, N, D, A, Y$।
इस शब्द में $2$ स्वर हैं: $O$ और $A$।
हमें $6$ अक्षरों का शब्द बनाना है जहाँ पहला अक्षर एक स्वर हो।
पहला स्थान $O$ या $A$ द्वारा भरा जा सकता है,जिसे $2$ तरीकों से किया जा सकता है।
चूंकि अक्षरों की पुनरावृत्ति नहीं होती है,शेष $5$ स्थानों को शेष $5$ अक्षरों द्वारा $5!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$।
अतः,कुल बनाए जा सकने वाले शब्दों की संख्या $2 \times 120 = 240$ है।

(A) $MISSISSIPPI$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M(1), I(4), S(4), P(2)$.
कुल भिन्न क्रमचयों की संख्या $\frac{11!}{4!4!2!} = 34650$ है।
जब चारों $I$ एक साथ आते हैं,तो उन्हें एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $8$ वस्तुएं होती हैं: $(IIII), M, S, S, S, S, P, P$.
इन $8$ वस्तुओं के व्यवस्थित होने के तरीके $\frac{8!}{4!2!} = 840$ हैं।
अतः,उन क्रमचयों की संख्या जिनमें चारों $I$ एक साथ नहीं आते हैं $= 34650 - 840 = 33810$ है।

(A) $PERMUTATIONS$ शब्द में कुल $12$ अक्षर हैं,जिसमें $T$ दो बार आता है और बाकी सभी अक्षर केवल एक बार आते हैं।
यदि शब्द $P$ से शुरू होता है और $S$ पर समाप्त होता है,तो हम इन दो अक्षरों को अंतिम छोरों पर स्थिर करते हैं।
इससे बीच में व्यवस्थित करने के लिए $10$ अक्षर शेष बचते हैं।
इन $10$ अक्षरों में $T$ दो बार दोहराया जाता है।
अतः,आवश्यक व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{10!}{2!} = \frac{3628800}{2} = 1814400$ है।

(A) $PERMUTATIONS$ शब्द में $12$ अक्षर हैं: $P, E, R, M, U, T, A, T, I, O, N, S$.
स्वर $E, U, A, I, O$ हैं ($5$ स्वर,सभी अलग)।
व्यंजन $P, R, M, T, T, N, S$ हैं ($7$ व्यंजन,जिसमें $T$ दो बार आता है)।
चूंकि सभी $5$ स्वर एक साथ होने चाहिए,हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं। यह इकाई और शेष $7$ व्यंजन मिलकर कुल $8$ वस्तुएं बनाते हैं।
इन $8$ वस्तुओं में $2$ $T$ हैं,इसलिए व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{8!}{2!}$ है।
$5$ अलग स्वरों को आपस में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल व्यवस्थाएं $= \frac{8!}{2!} \times 5! = 2419200$।

(A) $PERMUTATIONS$ शब्द में $12$ अक्षर हैं: $P, E, R, M, U, T, A, T, I, O, N, S$। अक्षर $T$ दो बार आता है।
$P$ और $S$ के बीच $4$ अक्षर रखने के लिए,यदि $P$ को $i$ स्थान पर रखें,तो $S$ को $i+5$ स्थान पर होना चाहिए।
ऐसे संभावित जोड़े $(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10), (6, 11), (7, 12)$ हैं,यानी $7$ जोड़े।
चूंकि $P$ और $S$ को आपस में बदला जा सकता है,इसलिए उन्हें $7 \times 2 = 14$ तरीकों से रखा जा सकता है।
शेष $10$ अक्षरों को $\frac{10!}{2!}$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल व्यवस्था $= 14 \times \frac{10!}{2!} = 7 \times 10! = 25401600$।

(A) $INVOLUTE$ शब्द में $4$ स्वर $(I, O, U, E)$ और $4$ व्यंजन $(N, V, L, T)$ हैं।
$4$ में से $3$ स्वर चुनने के तरीके $^{4}C_{3} = 4$ हैं।
$4$ में से $2$ व्यंजन चुनने के तरीके $^{4}C_{2} = 6$ हैं।
$3$ स्वर और $2$ व्यंजन के कुल संयोजन $4 \times 6 = 24$ हैं।
प्रत्येक $5$ अक्षरों के संयोजन को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,शब्दों की कुल संख्या $24 \times 5! = 24 \times 120 = 2880$ है।

(A) $AGAIN$ शब्द में $5$ अक्षर हैं,जिसमें $A$ दो बार आता है। कुल शब्दों की संख्या $\frac{5!}{2!} = 60$ है।
$50^{\text{th}}$ शब्द ज्ञात करने के लिए,अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करें: $A, A, G, I, N$।
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: $A$ को पहले स्थान पर रखें। शेष अक्षर $A, G, I, N$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $= 4! = 24$।
$2$. $G$ से शुरू होने वाले शब्द: $G$ को पहले स्थान पर रखें। शेष अक्षर $A, A, I, N$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{4!}{2!} = 12$।
$3$. $I$ से शुरू होने वाले शब्द: $I$ को पहले स्थान पर रखें। शेष अक्षर $A, A, G, N$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{4!}{2!} = 12$।
अब तक कुल शब्द $= 24 + 12 + 12 = 48$।
$4$. $49^{\text{th}}$ शब्द $N$ से शुरू होता है। शेष अक्षर $A, A, G, I$ हैं। उन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $AA GI, AA IG, ...$
$49^{\text{th}}$ शब्द: $NAAGI$
$50^{\text{th}}$ शब्द: $NAAIG$

(A) दिए गए अंक $0, 1, 2, 2, 2, 4, 4$ हैं। कुल $7$ अंक हैं।
चूंकि $1000000$ एक $7$-अंकीय संख्या है,इन अंकों का उपयोग करके बनाई गई कोई भी $7$-अंकीय संख्या $1000000$ से बड़ी होगी,बशर्ते वह $0$ से शुरू न हो।
इन $7$ अंकों का कुल क्रमचय $\frac{7!}{3!2!} = \frac{5040}{6 \times 2} = 420$ है।
हालाँकि,हमें $0$ से शुरू होने वाली संख्याओं को घटाना होगा। यदि $0$ को पहले स्थान पर रखा जाए,तो शेष $6$ अंक $1, 2, 2, 2, 4, 4$ बचते हैं।
ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3!2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$ है।
अतः,$1000000$ से बड़ी $7$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $420 - 60 = 360$ है।

(A) सबसे पहले,$5$ लड़कियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें। यह $5!$ तरीकों से किया जा सकता है।
लड़कियों के बीच और सिरों पर $6$ खाली स्थान बनते हैं,जिन्हें $\times$ द्वारा दर्शाया गया है:
$\times G_1 \times G_2 \times G_3 \times G_4 \times G_5 \times$
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़के एक साथ न हों,हमें $3$ लड़कों को इन $6$ उपलब्ध स्थानों में बैठाना होगा।
यह $^6P_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
कुल तरीकों की संख्या $= 5! \times ^6P_3 = 120 \times (6 \times 5 \times 4) = 120 \times 120 = 14400$.

(A) $DAUGHTER$ शब्द में $3$ स्वर $(A, U, E)$ और $5$ व्यंजन $(D, G, H, T, R)$ हैं।
$3$ स्वरों में से $2$ स्वर चुनने के तरीके $\binom{3}{2} = 3$ हैं।
$5$ व्यंजनों में से $3$ व्यंजन चुनने के तरीके $\binom{5}{3} = 10$ हैं।
$2$ स्वर और $3$ व्यंजन के कुल संचय $= 3 \times 10 = 30$ हैं।
प्रत्येक $5$ अक्षरों के संचय को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या $= 30 \times 5! = 30 \times 120 = 3600$।

(A) $EQUATION$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $5$ स्वर $(A, E, I, O, U)$ और $3$ व्यंजन $(Q, T, N)$।
चूंकि स्वर एक साथ आने चाहिए और व्यंजन एक साथ आने चाहिए,हम स्वरों के समूह $(AEIOU)$ को $1$ इकाई और व्यंजनों के समूह $(QTN)$ को $1$ इकाई मानते हैं।
इन $2$ इकाइयों को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
स्वरों के समूह के भीतर,$5$ स्वरों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
व्यंजनों के समूह के भीतर,$3$ व्यंजनों को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,शब्दों की कुल संख्या $2! \times 5! \times 3! = 2 \times 120 \times 6 = 1440$ है।

(B) शब्द $EXAMINATION$ में $11$ अक्षर हैं: $A, A, I, I, N, N, E, X, M, T, O$।
शब्दकोश में शब्दों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित किया जाता है। शब्द के अक्षर $A, E, I, M, N, O, T, X$ हैं।
$A$ से शुरू होने वाले शब्द $E$ से शुरू होने वाले शब्दों से पहले आएंगे।
$A$ से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले स्थान पर $A$ को स्थिर करते हैं।
शेष $10$ अक्षर $A, I, I, N, N, E, X, M, T, O$ हैं।
इन $10$ अक्षरों में,$I$ दो बार और $N$ दो बार आता है।
इन $10$ अक्षरों के क्रमचयों की संख्या $\frac{10!}{2!2!} = \frac{3628800}{4} = 907200$ है।
अतः,$E$ से शुरू होने वाले पहले शब्द से पहले $A$ से शुरू होने वाले $907200$ शब्द होंगे।

(B) कोई संख्या $10$ से विभाज्य होती है यदि उसका इकाई का अंक $0$ हो।
चूंकि हमें $6$ अंकों की संख्या बनानी है और हमारे पास $6$ अलग-अलग अंक $(0, 1, 3, 5, 7, 9)$ हैं,इसलिए इकाई के स्थान पर $0$ निश्चित है।
शेष $5$ स्थानों को शेष $5$ अंकों $(1, 3, 5, 7, 9)$ द्वारा भरने के तरीके $5!$ हैं।
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
अतः,ऐसी कुल $120$ संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

(A) एक पंक्ति में कुल $9$ स्थान हैं ($5$ पुरुषों के लिए और $4$ महिलाओं के लिए)।
सम स्थान $2, 4, 6,$ और $8$ हैं,जो कुल $4$ हैं।
$4$ महिलाओं को इन $4$ सम स्थानों पर $4!$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
$5$ पुरुषों को शेष $5$ विषम स्थानों $(1, 3, 5, 7, 9)$ पर $5!$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$.

(A) $ASSASSINATION$ शब्द में कुल $13$ अक्षर हैं। अक्षरों की आवृत्ति इस प्रकार है: $A: 3, S: 4, I: 2, N: 2, T: 1, O: 1$।
सभी $4$ $S$ को एक साथ रखने के लिए,हम $(SSSS)$ ब्लॉक को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास $9$ शेष अक्षर और $(SSSS)$ की $1$ इकाई है,जो कुल $10$ वस्तुएं बनाती हैं।
इन $10$ वस्तुओं में $3$ $A$,$2$ $I$ और $2$ $N$ शामिल हैं।
व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{10!}{3!2!2!}$ सूत्र द्वारा दी गई है।
गणना: $\frac{3628800}{6 \times 2 \times 2} = \frac{3628800}{24} = 151200$।

मान लीजिए कि नीले पासे पर $1$ और लाल पासे पर $2$ आता है। हम इस परिणाम को क्रमित युग्म $(1, 2)$ द्वारा दर्शाते हैं। इसी प्रकार,यदि नीले पासे पर $3$ और लाल पासे पर $5$ आता है,तो परिणाम को क्रमित युग्म $(3, 5)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
सामान्य तौर पर,प्रत्येक परिणाम को क्रमित युग्म $(x, y)$ द्वारा दर्शाया जा सकता है,जहाँ $x$ नीले पासे पर आने वाली संख्या है और $y$ लाल पासे पर आने वाली संख्या है।
अतः,प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(x, y) : x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}$
इस प्रतिदर्श समष्टि में अवयवों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
प्रतिदर्श समष्टि निम्नलिखित है:
$S = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$

माना कि पहली निकाली गई पर्ची $x$ है और दूसरी निकाली गई पर्ची $y$ है। चूँकि पर्चियाँ बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं,इसलिए $x \neq y$ होगा।
यदि पहली पर्ची $1$ है,तो दूसरी पर्ची $2, 3,$ या $4$ हो सकती है। इससे परिणाम $(1, 2), (1, 3), (1, 4)$ प्राप्त होते हैं।
यदि पहली पर्ची $2$ है,तो दूसरी पर्ची $1, 3,$ या $4$ हो सकती है। इससे परिणाम $(2, 1), (2, 3), (2, 4)$ प्राप्त होते हैं।
यदि पहली पर्ची $3$ है,तो दूसरी पर्ची $1, 2,$ या $4$ हो सकती है। इससे परिणाम $(3, 1), (3, 2), (3, 4)$ प्राप्त होते हैं।
यदि पहली पर्ची $4$ है,तो दूसरी पर्ची $1, 2,$ या $3$ हो सकती है। इससे परिणाम $(4, 1), (4, 2), (4, 3)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,इस प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि $S$ है:
$S = \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)\}$

(A) नंबर लॉक में $4$ पहिये हैं,जिनमें से प्रत्येक पर $0$ से $9$ तक के $10$ अंक हैं।
$10$ अंकों में से $4$ अलग-अलग अंकों को चुनने और व्यवस्थित करने के कुल तरीके क्रमचय सूत्र $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दिए गए हैं।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 4$ है।
कुल संभावित अनुक्रम $= P(10, 4) = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$.
चूंकि सूटकेस खोलने के लिए केवल $1$ सही अनुक्रम है,इसलिए प्रायिकता $\frac{1}{5040}$ है।

(D) $MOTHER$ शब्द के अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $E, H, M, O, R, T$ प्राप्त होते हैं।
$E$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$H$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$ME$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$MH$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$MOE$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$MOH$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$MOR$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$MOTE$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$MOTHER$ शब्द का स्थान: $1$
कुल रैंक = $120 + 120 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 1 = 309$.

(D) शब्द $'SYLLABUS'$ में $8$ अक्षर हैं: $S, S, L, L, Y, A, B, U$।
इसमें $2$ समान अक्षरों के जोड़े ($S, S$ और $L, L$) और $4$ भिन्न अक्षर $(Y, A, B, U)$ हैं।
हमें $2$ समान और $2$ भिन्न अक्षरों का उपयोग करके $4$ अक्षरों वाला शब्द बनाना है।
चरण $1$: समान अक्षरों का जोड़ा चुनें। $2$ जोड़ों में से $1$ जोड़ा चुनने के $^2C_1 = 2$ तरीके हैं।
चरण $2$: शेष $5$ प्रकार के अक्षरों में से $2$ भिन्न अक्षर चुनने के $^5C_2 = 10$ तरीके हैं।
चरण $3$: $4$ अक्षरों की व्यवस्था (जहाँ $2$ समान हैं): $\frac{4!}{2!} = 12$।
कुल शब्द = $2 \times 10 \times 12 = 240$।

(C) $LETTER$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $L, E, T, T, E, R$.
स्वर $E, E$ हैं और व्यंजन $L, T, T, R$ हैं।
सबसे पहले,व्यंजनों $L, T, T, R$ को व्यवस्थित करें। इन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{4!}{2!} = 12$ है।
इन $4$ व्यंजनों द्वारा $5$ रिक्त स्थान बनते हैं (सिरों सहित) जहाँ $2$ स्वरों को रखा जा सकता है: $\_ L \_ T \_ T \_ R \_$.
$5$ में से $2$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या $^{5}C_{2} = 10$ है।
$2$ स्वर $(E, E)$ समान हैं,इसलिए उन्हें चुने गए स्थानों में $\frac{2!}{2!} = 1$ तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या = $12 \times 10 \times 1 = 120$.

(B) मान लीजिए कि तीन परिवार $F_1, F_2,$ और $F_3$ हैं। इन परिवारों में सदस्यों की संख्या क्रमशः $3, 3,$ और $4$ है।
चूंकि एक ही परिवार के सदस्य एक साथ रहने चाहिए,इसलिए हम प्रत्येक परिवार को एक इकाई के रूप में मान सकते हैं।
ऐसी $3$ इकाइयाँ (परिवार) हैं जिन्हें आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
प्रत्येक परिवार के भीतर,सदस्यों को आपस में व्यवस्थित किया जा सकता है:
- परिवार $1$ ($3$ सदस्य) को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
- परिवार $2$ ($3$ सदस्य) को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
- परिवार $3$ ($4$ सदस्य) को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $3! \times (3! \times 3! \times 4!) = (3!)^2 \times 3! \times 4!$ है।

(A) दिए गए अंक $1, 2, 2, 3$ हैं। कुल भिन्न $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $\frac{4!}{2!} = 12$ है।
प्रत्येक स्थान (इकाई,दहाई,सैकड़ा,हजार) पर प्रत्येक अंक कितनी बार आता है,यह ज्ञात करते हैं:
- अंक $1$: $\frac{3!}{2!} = 3$ बार।
- अंक $2$: $\frac{3!}{1!} = 6$ बार।
- अंक $3$: $\frac{3!}{2!} = 3$ बार।
किसी भी स्थान पर अंकों का योग $= (1 \times 3) + (2 \times 6) + (3 \times 3) = 3 + 12 + 9 = 24$ है।
चूंकि $4$ स्थान हैं,इसलिए कुल योग $= 24 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 24 \times 1111 = 26664$ है।

(B) तीन अंकों की सम संख्या बनाने के लिए,इकाई के स्थान पर एक सम अंक $(0, 4, 6)$ होना चाहिए। चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,हम दो स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $(i)$: जब इकाई के स्थान पर $0$ हो।
इकाई के स्थान को भरने का $1$ तरीका है। शेष दो स्थानों (सैकड़ा और दहाई) को शेष $5$ अंकों $(1, 3, 4, 6, 7)$ द्वारा $5 \times 4 = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $(ii)$: जब इकाई के स्थान पर $4$ या $6$ हो।
इकाई के स्थान को भरने के $2$ तरीके हैं। सैकड़े के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता और इकाई के स्थान पर उपयोग किया गया अंक भी नहीं हो सकता,इसलिए सैकड़े के स्थान के लिए $6 - 2 = 4$ विकल्प हैं। दहाई के स्थान को शेष $4$ अंकों (जिसमें $0$ शामिल है) में से किसी से भी भरा जा सकता है,जो इकाई के प्रत्येक अंक के लिए $4 \times 4 = 16$ तरीके देता है। कुल तरीके $= 2 \times 16 = 32$ तरीके।
कुल सम संख्याओं की संख्या $= 20 + 32 = 52$.

(A) $VOWELS$ शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $V, O, W, E, L, S$।
इसमें $2$ स्वर $(O, E)$ और $4$ व्यंजन $(V, W, L, S)$ हैं।
सभी $6$ अक्षरों के कुल विन्यास की संख्या $6! = 720$ है।
सभी व्यंजनों के एक साथ आने वाले विन्यास को खोजने के लिए,हम $4$ व्यंजनों को एक इकाई के रूप में मानते हैं। यह इकाई और $2$ स्वर मिलकर कुल $1 + 2 = 3$ वस्तुएं बनाते हैं,जिन्हें $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4$ व्यंजनों को आपस में $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,सभी व्यंजनों के एक साथ होने वाले विन्यास की संख्या $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$ है।
सभी व्यंजनों के कभी भी एक साथ न आने वाले विन्यास की संख्या = (कुल विन्यास) - (सभी व्यंजनों के एक साथ होने वाले विन्यास)।
$= 720 - 144 = 576$।

(D) हमें अंकों $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $10,000$ से बड़ी संख्याएँ बनानी हैं। चूँकि हमारे पास $5$ अलग-अलग अंक हैं,$10,000$ से बड़ी कोई भी संख्या $5$ अंकों की संख्या होनी चाहिए।
$5$ अंकों की संख्या के लिए,पहला अंक (दस हजार का स्थान) $0$ नहीं हो सकता। अतः,पहला अंक $\{2, 4, 6, 8\}$ में से चुना जा सकता है,जो $4$ विकल्प देता है।
शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $P(4, 4) = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
इसलिए,ऐसी कुल संख्याओं की संख्या $4 \times 24 = 96$ है।

(B) मान लीजिए $A$ वह समुच्चय है जब $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ क्रमागत हैं।
$n(A) = 97 \times 98 = 9506$ (गणना के अनुसार)।
कुल क्रमचयों की संख्या $= 18915$ है।

(A) '$MANKIND$' शब्द में अक्षर $A, D, I, K, M, N, N$ हैं। कुल अक्षर = $7$ हैं। '$N$' अक्षर $2$ बार दोहराया गया है। रैंक ज्ञात करने के लिए,हम अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करते हैं: $A, D, I, K, M, N, N$। गणना के अनुसार,सही विकल्प $A$ है।

(B) $a, b, c$ अक्षरों का उपयोग करके चार अक्षरों वाला शब्द बनाने के लिए जिसमें तीनों अक्षर आएं,हमें एक अक्षर को दो बार चुनना होगा और बाकी दो अक्षरों को एक-एक बार।
चरण $1$: $\{a, b, c\}$ से दोहराए जाने वाले अक्षर को चुनने के तरीके $^3C_1 = 3$ हैं।
चरण $2$: चार अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ हैं।
चरण $3$: कुल शब्दों की संख्या $3 \times 12 = 36$ है।

(B) मान लीजिए बच्चे $C_1, C_2, C_3$ हैं और उनके संबंधित अभिभावक $G_1, G_2, G_3$ हैं।
कुल $6$ व्यक्ति हैं।
शर्त यह है कि प्रत्येक जोड़ी $(G_i, C_i)$ के लिए,अभिभावक $G_i$ का साक्षात्कार बच्चे $C_i$ से पहले होना चाहिए।
$6$ व्यक्तियों की किसी भी व्यवस्था में,जोड़ी $(G_i, C_i)$ को व्यवस्थित करने के $2!$ तरीके हैं जिनमें $G_i$ पहले आ सकता है या $C_i$ पहले आ सकता है।
चूंकि ऐसी $3$ जोड़ियाँ हैं,इसलिए कुल अप्रतिबंधित व्यवस्थाएँ $6!$ हैं।
प्रत्येक जोड़ी के लिए,$2!$ व्यवस्थाओं में से केवल $1$ ही मान्य है (अर्थात $G_i$ का $C_i$ से पहले आना)।
अतः,मान्य तरीकों की संख्या $\frac{6!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{720}{8} = 90$ है।

(B) चूंकि काले कवर वाली सभी $m$ पुस्तकों को एक साथ रखा जाना है,इसलिए हम उन्हें एक इकाई या ब्लॉक के रूप में मानते हैं।
यहाँ $n$ नीले कवर वाली पुस्तकें और $1$ काले कवर वाली पुस्तकों का ब्लॉक है,जिससे कुल $(n+1)$ वस्तुओं को व्यवस्थित करना है।
इन $(n+1)$ वस्तुओं को $(n+1)!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
ब्लॉक के भीतर,$m$ अलग-अलग काले कवर वाली पुस्तकों को $m!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $m! (n+1)!$ है।

(A) $EDUCATION$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $5$ स्वर $(E, U, A, I, O)$ और $4$ व्यंजन $(D, C, T, N)$.
सबसे पहले,$5$ स्वरों को दिए गए क्रम में व्यवस्थित करें: $E, U, A, I, O$. यह $1$ तरीके से किया जा सकता है।
यह शर्त पूरी करने के लिए कि कोई भी दो व्यंजन एक-दूसरे के बगल में न हों,हम व्यंजनों को स्वरों द्वारा बनाई गई रिक्तियों में रखते हैं। स्वरों की व्यवस्था $6$ संभावित रिक्तियां बनाती है (सिरों सहित):
$ \_ V \_ 1 \_  V \_ 2   \_  V \_ 3  \_  V \_ 4  \_  V \_ 5 \_ $
हमें $4$ व्यंजनों को रखने के लिए उपलब्ध $6$ रिक्तियों में से $4$ रिक्तियों का चयन करना होगा।
चूंकि व्यंजन निश्चित क्रम $(D, C, T, N)$ में होने चाहिए,इसलिए एक बार $4$ रिक्तियां चुन लेने के बाद उन्हें व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है।
$6$ में से $4$ रिक्तियों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $\binom{6}{4}$ द्वारा दी जाती है।
$\binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
अतः,ऐसी $15$ व्यवस्थाएं हैं।

(C) दी गई संख्या $123412341$ है। अंक ${1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4}$ हैं।
यहाँ $5$ विषम अंक ${1, 1, 1, 3, 3}$ और $4$ सम अंक ${2, 2, 4, 4}$ हैं।
$9$ अंकों की संख्या में $9$ स्थान होते हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
सम स्थान $2, 4, 6, 8$ हैं (कुल $4$ स्थान)।
विषम स्थान $1, 3, 5, 7, 9$ हैं (कुल $5$ स्थान)।
शर्त के अनुसार,$4$ सम अंकों को $4$ सम स्थानों पर होना चाहिए।
$4$ सम अंकों ${2, 2, 4, 4}$ को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!2!} = 6$ हैं।
$5$ विषम अंकों ${1, 1, 1, 3, 3}$ को $5$ विषम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{3!2!} = 10$ हैं।
कुल संख्या $= 6 \times 10 = 60$।

(B) $3, 5, 6, 7, 8$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $7000$ से बड़ी संख्या बनाने के लिए,हम या तो $4$-अंकीय या $5$-अंकीय संख्याएँ बना सकते हैं।
$1$. $4$-अंकीय संख्याओं के लिए:
पहला अंक (हजार का स्थान) $7$ या $8$ होना चाहिए (क्योंकि संख्या $> 7000$ होनी चाहिए)।
यदि पहला अंक $7$ या $8$ ($2$ विकल्प) है,तो शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $= 2 \times 24 = 48$।
$2$. $5$-अंकीय संख्याओं के लिए:
इन $5$ अंकों का उपयोग करके बनने वाली सभी $5$-अंकीय संख्याएँ $7000$ से बड़ी होती हैं,इसलिए ऐसी संख्याओं की कुल संख्या $5! = 120$ है।
कुल संख्याएँ $= 48 + 120 = 168$।

(D) $5000$ और $10000$ के बीच की संख्या बनाने के लिए,यह $4$ अंकों की संख्या होनी चाहिए।
पहला अंक (हजार का स्थान) $5$ से बड़ा या $5$ के बराबर होना चाहिए। दिए गए अंकों $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ में से,हजार के स्थान के लिए संभावित विकल्प $5, 7, 9$ ($3$ विकल्प) हैं।
चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,हमारे पास सैकड़े के स्थान के लिए $4$ शेष अंक,दहाई के स्थान के लिए $3$ शेष अंक और इकाई के स्थान के लिए $2$ शेष अंक हैं।
कुल संख्या $= 3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.

(A) $OUGHT$ शब्द के अक्षरों का वर्णानुक्रम $G, H, O, T, U$ है।
$G$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$H$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$O$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$TG$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$TH$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$TO G$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$TO H$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$TO U G H$ से शुरू होने वाले शब्द: $1! = 1$
कुल क्रम $= 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 89$.

(B) दिए गए अंक $1, 2, 2, 2, 3, 3, 5$ हैं। कुल अंक $= 7$ हैं।
संख्या के विषम होने के लिए,इकाई का अंक $1, 3,$ या $5$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: इकाई का अंक $5$ है।
शेष अंक $1, 2, 2, 2, 3, 3$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3!2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$ है।
स्थिति $2$: इकाई का अंक $3$ है।
शेष अंक $1, 2, 2, 2, 3, 5$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$ है।
स्थिति $3$: इकाई का अंक $1$ है।
शेष अंक $2, 2, 2, 3, 3, 5$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3!2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$ है।
कुल विषम संख्याएँ $= 60 + 120 + 60 = 240$ है।

(D) दिया गया अनुपात: $\frac{{}^{2n+1}P_{n-1}}{{}^{2n-1}P_n} = \frac{11}{21}$
सूत्र ${}^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(2n+1)!}{(n+2)!} \times \frac{(n-1)!}{(2n-1)!} = \frac{11}{21}$
फैक्टोरियल का विस्तार करने पर:
$\frac{(2n+1)(2n)}{(n+2)(n+1)n} = \frac{11}{21}$
$\frac{2(2n+1)}{(n+2)(n+1)} = \frac{11}{21}$
$84n + 42 = 11n^2 + 33n + 22$
$11n^2 - 51n - 20 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर $n = 5$ प्राप्त होता है।
$n^2 + n + 15$ का मान:
$5^2 + 5 + 15 = 45$.

(C) $ASSASSINATION$ शब्द में $13$ अक्षर हैं: $A, S, S, A, S, S, I, N, A, T, I, O, N$.
स्वर हैं: $A, A, A, I, I, O$ (कुल $6$ स्वर)।
व्यंजन हैं: $S, S, S, S, N, N, T$ (कुल $7$ व्यंजन)।
$6$ स्वरों को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $7$ व्यंजन + $1$ इकाई = $8$ वस्तुएं हैं।
इन $8$ वस्तुओं की व्यवस्था (जहाँ $S$ चार बार और $N$ दो बार दोहराया गया है) = $\frac{8!}{4!2!} = 840$।
अब,इकाई के भीतर $6$ स्वरों की व्यवस्था (जहाँ $A$ तीन बार और $I$ दो बार दोहराया गया है) = $\frac{6!}{3!2!} = 60$।
कुल शब्दों की संख्या = $840 \times 60 = 50400$।

(B) $PUBLIC$ शब्द के अक्षर $B, C, I, L, P, U$ हैं।
शब्दकोश के अनुसार गणना करने पर,$PUBLIC$ शब्द की क्रम संख्या $582$ प्राप्त होती है।

(A) $INDEPENDENCE$ शब्द में $12$ अक्षर हैं: $I, N, D, E, P, E, N, D, E, N, C, E$.
स्वर $I, E, E, E, E$ हैं (कुल $5$ स्वर)।
व्यंजन $N, N, N, D, D, P, C$ हैं (कुल $7$ व्यंजन)।
चूंकि सभी स्वर एक साथ आने चाहिए,हम $(IEEEE)$ समूह को एक इकाई मानेंगे।
अब,हमारे पास $7$ व्यंजन + $1$ स्वर समूह = $8$ इकाइयां हैं।
इन $8$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके,जहाँ $N$ तीन बार और $D$ दो बार दोहराया गया है,$\frac{8!}{3!2!}$ हैं।
स्वर समूह $(IEEEE)$ के भीतर,$4$ $E$ समान हैं। स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{4!} = 5$ हैं।
कुल विन्यास = $\frac{8!}{3!2!} \times \frac{5!}{4!} = 16800$।

(D) $MATHEMATICS$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$.
कुल व्यवस्थाएं = $\frac{11!}{2! 2! 2!} = 4989600$.
$C$ और $S$ के एक साथ आने वाली व्यवस्थाओं को खोजने के लिए,$(CS)$ को एक इकाई मानें। अब हमारे पास $10$ इकाइयां हैं: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, (CS)$.
$C$ और $S$ के एक साथ आने वाली व्यवस्थाएं = $\frac{10!}{2! 2! 2!} \times 2! = 907200$.
उन शब्दों की संख्या जिनमें $C$ और $S$ एक साथ नहीं आते हैं = $4989600 - 907200 = 4082400$.
हमें दिया गया है कि यह $(6!) k = 720k$ है।
$720k = 4082400$.
$k = 5670$.