$PERMUTATIONS$ शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है यदि $P$ और $S$ के बीच हमेशा $4$ अक्षर हों?

$MATHEMATICS$ शब्द के अक्षरों को पुनर्व्यवस्थित करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

$1000$ से बड़ी लेकिन $4000$ से बड़ी न होने वाली संख्याएँ जो अंकों $0, 1, 2, 3, 4$ (अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है) के साथ बनाई जा सकती हैं,वे हैं

$S_1, S_2, \ldots, S_{10}$ एक सम्मेलन में वक्ता हैं। यदि $S_1$ केवल $S_2$ के बाद संबोधित करता है,तो वक्ताओं के संबोधित करने के तरीकों की संख्या है

यदि $4 \times ^{15}P_r = 3 \times ^{16}P_{r-1}$ है,तो $r = \dots$

एक नंबर लॉक में तीन रिंग हैं। यदि $1^{st}$ रिंग पर $0$ से $9$ तक के अंक अंकित हैं,$2^{nd}$ रिंग पर $2$ से बड़े लेकिन $30$ से छोटे अभाज्य अंक अंकित हैं,और $3^{rd}$ रिंग पर सभी स्वर (vowels) अंकित हैं,तो असफल प्रयासों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।