Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Hindi

(C) जब हम एक समय में $1$ वस्तु लेते हैं,तो संभावित क्रमचयों की संख्या $n$ होती है।
जब हम एक समय में $2$ वस्तुएं लेते हैं,तो संभावित क्रमचयों की संख्या $n \times n = n^2$ होती है।
इस प्रक्रिया को $r$ तक जारी रखने पर,$k$ वस्तुओं के लिए क्रमचयों की संख्या $n^k$ होती है।
अतः,एक समय में $r$ से अधिक न लेने पर कुल क्रमचयों की संख्या एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है:
$n + n^2 + \ldots + n^r = \frac{n(n^r - 1)}{n - 1}$ (जहाँ $n > 1$)।

(D) हम जानते हैं कि ${}^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ होता है।
व्यंजक ${}^n P_r - {}^{n-1} P_r = \frac{n!}{(n-r)!} - \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!}$ पर विचार करें।
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \left( \frac{n}{n-r} - 1 \right) = \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \left( \frac{n - (n-r)}{n-r} \right)$.
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \cdot \frac{r}{n-r} = \frac{r \cdot (n-1)!}{(n-r)!}$.
$= r \cdot \frac{(n-1)!}{((n-1) - (r-1))!} = r \cdot {}^{n-1} P_{r-1}$.
अतः,${}^n P_r = {}^{n-1} P_r + r \cdot {}^{n-1} P_{r-1}$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण ${}^n P_r = {}^{n-1} P_r + x \cdot {}^{n-1} P_{r-1}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = r$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{r+1}\left\{{ }^n P_{r+1}-{ }^{(n-1)} P_{r+1}\right\}$
सूत्र ${ }^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{r+1} \left[ \frac{n!}{(n-r-1)!} - \frac{(n-1)!}{(n-r-2)!} \right]$
$= \frac{1}{r+1} \left[ \frac{n(n-1)!}{(n-r-1)!} - \frac{(n-1)!(n-r-1)}{(n-r-1)!} \right]$
$= \frac{(n-1)!}{(r+1)(n-r-1)!} [n - n + r + 1]$
$= \frac{(n-1)!}{(r+1)(n-r-1)!} [r+1]$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} = { }^{n-1} P_r$

(C) हमारे पास है,
${}^7P_3 - 3({}^6P_2)$
$= \frac{7!}{(7-3)!} - 3 \times \frac{6!}{(6-2)!}$
$= \frac{7!}{4!} - 3 \times \frac{6!}{4!}$
$= \frac{7 \times 6!}{4!} - \frac{3 \times 6!}{4!}$
$= \frac{6!}{4!} (7 - 3)$
$= \frac{6!}{4!} \times 4$
$= \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!} \times 4$
$= 30 \times 4 = 120$
वैकल्पिक रूप से,क्रमचय (permutation) की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
${}^6P_3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$
अतः,यह मान ${}^6P_3$ के बराबर है।

(C) '$GOVIND$' में अक्षर $D, G, I, N, O, V$ हैं। कुल अक्षर = $6$। सभी अक्षर भिन्न हैं।
कुल शब्दों की संख्या = $6! = 720$।
'$GOVIND$' का रैंक ज्ञात करने के लिए,अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करें: $D, G, I, N, O, V$।
$1$. $D$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$।
$2$. $G$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $GD...$: $4! = 24$।
- $GI...$: $4! = 24$।
- $GN...$: $4! = 24$।
- $GO...$: अगला अक्षर $D$ है (वर्णानुक्रम के अनुसार)।
- $GOD...$: $3! = 6$।
- $GOI...$: $3! = 6$।
- $GON...$: $3! = 6$।
- $GOV...$: अगला अक्षर $D$ है।
- $GOVD...$: $2! = 2$।
- $GOVI...$: अगला अक्षर $D$ है।
- $GOVIDN$: $1$।
- $GOVIND$: $1$।
'$GOVIND$' का रैंक = $120 + (24 \times 3) + (6 \times 3) + 2 + 1 + 1 = 120 + 72 + 18 + 4 = 214$।
'$GOVIND$' के बाद आने वाले शब्दों की संख्या = $720 - 214 = 506$।

(B) $REPEAT$ शब्द के अक्षर $\{A, E, E, P, R, T\}$ हैं।
इन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, E, E, P, R, T$ प्राप्त होता है।
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!} = 60$।
$2$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$।
$3$. $P$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!} = 60$।
$4$. $RA$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{4!}{2!} = 12$।
$5$. $REA$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$6$. $REE$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$7$. $REPA$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$।
$8$. अगला शब्द $REPEAT$ है: $1$।
योग: $60 + 120 + 60 + 12 + 6 + 6 + 2 + 1 = 267$।
अतः,शब्द $REPEAT$ की रैंक $267$ है।

(C) $SARANAM$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, A, A, S, R, N, M$। भिन्न अक्षर $\{A, S, R, N, M\}$ हैं।
$5$-अक्षरों वाले शब्द बनाने के लिए स्थितियाँ:
$(i)$ सभी $5$ अक्षर भिन्न हों ($S, A, R, N, M$ का उपयोग करके):
शब्दों की संख्या $= 5! = 120$।
(ii) $2$ अक्षर समान $(A)$ और $3$ अक्षर भिन्न हों:
शेष $4$ अक्षरों $\{S, R, N, M\}$ में से $3$ अक्षर चुनने के तरीके $= ^4C_3$। व्यवस्था $= \frac{5!}{2!} = 60$।
कुल शब्द $= ^4C_3 \times 60 = 4 \times 60 = 240$।
(iii) $3$ अक्षर समान $(A)$ और $2$ अक्षर भिन्न हों:
शेष $4$ अक्षरों $\{S, R, N, M\}$ में से $2$ अक्षर चुनने के तरीके $= ^4C_2$। व्यवस्था $= \frac{5!}{3!} = 20$।
कुल शब्द $= ^4C_2 \times 20 = 6 \times 20 = 120$।
कुल शब्दों की संख्या $= 120 + 240 + 120 = 480$।

(A) अंक $\{2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं। इन्हें घटते क्रम में व्यवस्थित करने पर: $6, 5, 4, 3, 2$।
कुल संभावित क्रमचय = $5! = 120$।
हमें घटते क्रम में $89$ वीं संख्या ज्ञात करनी है।
$6$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $4! = 24$ (स्थान $1$ से $24$)।
$5$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $4! = 24$ (स्थान $25$ से $48$)।
$4$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $4! = 24$ (स्थान $49$ से $72$)।
$36$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $3! = 6$ (स्थान $73$ से $78$)।
$35$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $3! = 6$ (स्थान $79$ से $84$)।
$346$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $2! = 2$ (स्थान $85$ से $86$)।
$345$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $2! = 2$ (स्थान $87$ से $88$)।
$89$ वीं संख्या $34265$ है और $90$ वीं संख्या $34256$ है।
अतः,$89$ वीं संख्या $34265$ है।

(A) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $3$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $3$ से विभाज्य होती है।
मान लीजिए चार अंकों की संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4$ है।
पहले तीन अंकों $(d_1, d_2, d_3)$ के लिए $9$ विकल्प हैं,जो ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ हैं।
पहले तीन अंकों को चुनने के कुल तरीके $9 \times 9 \times 9 = 729$ हैं।
मान लीजिए पहले तीन अंकों का योग $S = d_1 + d_2 + d_3$ है।
पूरी संख्या के $3$ से विभाज्य होने के लिए,$S + d_4$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
$S$ के किसी भी मान के लिए,हम $d_4 \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ के लिए ऐसे मान देखते हैं कि $S + d_4 \equiv 0 \pmod{3}$ हो।
यदि $S \equiv 0 \pmod{3}$ है,तो $d_4 \in {3, 6, 9}$ ($3$ विकल्प)।
यदि $S \equiv 1 \pmod{3}$ है,तो $d_4 \in {2, 5, 8}$ ($3$ विकल्प)।
यदि $S \equiv 2 \pmod{3}$ है,तो $d_4 \in {1, 4, 7}$ ($3$ विकल्प)।
सभी मामलों में,$d_4$ के लिए ठीक $3$ विकल्प हैं।
इसलिए,ऐसी चार अंकों की कुल संख्याएँ $729 \times 3 = 2187$ हैं।

(C) $BANANA$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $A, A, A, B, N, N$.
कुल व्यवस्थाएं $= \frac{6!}{3!2!1!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$.
उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ दोनों $N$ एक साथ न हों,हम कुल व्यवस्थाओं में से उन व्यवस्थाओं को घटाते हैं जहाँ दोनों $N$ एक साथ हैं।
दोनों $N$ को एक इकाई $(NN)$ के रूप में मानें। अब हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $A, A, A, B, (NN)$.
$N$ के एक साथ होने की व्यवस्थाएं $= \frac{5!}{3!1!1!} = \frac{120}{6} = 20$.
उन तरीकों की संख्या जहाँ $N$ एक साथ नहीं आते हैं $= 60 - 20 = 40$.

(B) पाँच अंकों की संख्या $5$ से विभाज्य होती है यदि उसका इकाई का अंक $0$ या $5$ हो।
स्थिति $I$: जब इकाई के स्थान पर $0$ हो,तो शेष $4$ स्थानों को शेष $5$ अंकों $(1, 2, 3, 4, 5)$ द्वारा $^5P_4 = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $II$: जब इकाई के स्थान पर $5$ हो,तो पहला स्थान (दस हजार का स्थान) $0$ नहीं हो सकता। अतः,पहले स्थान को $4$ अंकों $(1, 2, 3, 4)$ में से किसी एक द्वारा भरा जा सकता है। शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों ($0$ सहित) द्वारा $^4P_3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $II$ के लिए कुल तरीके $= 4 \times ^4P_3 = 4 \times 24 = 96$।
कुल संख्या $= 120 + 96 = 216$।

(C) $8$ अलग-अलग अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $4$ अक्षरों के शब्दों की कुल संख्या (पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ) $8^{4}$ है।
बिना किसी पुनरावृत्ति के $8$ अलग-अलग अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $4$ अक्षरों के शब्दों की संख्या ${}^{8}P_{4}$ है।
कम से कम एक अक्षर दोहराए जाने वाले शब्दों की संख्या = कुल शब्द - बिना किसी पुनरावृत्ति वाले शब्द।
अतः,आवश्यक शब्दों की संख्या $8^{4} - {}^{8}P_{4}$ है।

(A) $1000$ से कम प्राकृतिक संख्याएँ $1$-अंकीय,$2$-अंकीय या $3$-अंकीय हो सकती हैं।
स्थिति $1$: $1$-अंकीय संख्याएँ: अंक $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ हो सकते हैं। कुल $= 9$।
स्थिति $2$: $2$-अंकीय संख्याएँ: दहाई का स्थान $9$ तरीकों से भरा जा सकता है ($0$ को छोड़कर) और इकाई का स्थान $9$ तरीकों से ($0$ सहित लेकिन दहाई के अंक को छोड़कर)। कुल $= 9 \times 9 = 81$।
स्थिति $3$: $3$-अंकीय संख्याएँ: सैकड़े का स्थान $9$ तरीकों से ($0$ को छोड़कर),दहाई का स्थान $9$ तरीकों से ($0$ सहित लेकिन सैकड़े के अंक को छोड़कर),और इकाई का स्थान $8$ तरीकों से (सैकड़े और दहाई के अंकों को छोड़कर) भरा जा सकता है। कुल $= 9 \times 9 \times 8 = 648$।
कुल प्राकृतिक संख्याएँ $= 9 + 81 + 648 = 738$।

(D) कुल $10$ वक्ता हैं। $10$ वक्ताओं को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $10!$ हैं।
किसी भी व्यवस्था में,$S_1$ और $S_2$ के सापेक्ष क्रम के लिए दो संभावनाएं हैं: या तो $S_1$,$S_2$ से पहले बोलता है,या $S_2$,$S_1$ से पहले बोलता है।
चूंकि शर्त यह है कि $S_1$ केवल $S_2$ के बाद संबोधित करता है,हम केवल उन मामलों पर विचार करते हैं जहां $S_2$,$S_1$ से पहले आता है।
समरूपता द्वारा,कुल व्यवस्थाओं में से आधी व्यवस्थाएं इस शर्त को पूरा करती हैं।
इसलिए,आवश्यक तरीकों की संख्या $\frac{10!}{2}$ है।

(C) $5$ अंकों की संख्या $0$ से शुरू नहीं हो सकती।
$5$ भिन्न अंकों का कुल क्रमचय $^5P_5 = 5! = 120$ है।
$0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ शेष $4$ अंकों को अंतिम $4$ स्थानों पर व्यवस्थित करके बनाई जाती हैं,जो $^4P_4 = 4! = 24$ है।
अतः,$5$ अंकों की कुल संख्याएँ $120 - 24 = 96$ हैं।

(D) $DAUGHTER$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $D, A, U, G, H, T, E, R$।
इसमें $3$ स्वर $(A, U, E)$ और $5$ व्यंजन $(D, G, H, T, R)$ हैं।
हमें $3$ में से $2$ स्वर और $5$ में से $3$ व्यंजन चुनने हैं।
अक्षरों को चुनने के तरीकों की संख्या $^3C_2 \times ^5C_3 = 3 \times 10 = 30$ है।
प्रत्येक चयन में $5$ अक्षर होते हैं,जिन्हें $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$5! = 120$।
अतः,कुल शब्दों की संख्या $30 \times 120 = 3600$ है।

(C) $6$ अलग-अलग ग्रीटिंग कार्ड में से प्रत्येक कार्ड को $4$ लोगों में से किसी को भी भेजा जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक कार्ड के लिए $4$ विकल्प हैं,इसलिए कार्ड भेजने के कुल तरीके $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^6$ होंगे।
$4^6 = 4096$.

(B) दिया गया है कि एक लॉक में $3$ रिंग हैं और प्रत्येक रिंग में $8$ अंक हैं।
प्रत्येक रिंग को $8$ अंकों में से किसी भी एक पर स्वतंत्र रूप से सेट किया जा सकता है।
इसलिए,$3$ रिंगों को घुमाने के कुल अलग-अलग तरीकों की संख्या $8 \times 8 \times 8 = 8^3$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) हमारे पास $m$ पंक्तियाँ और $n$ स्तंभ हैं,जो कुल $mn$ कुर्सियाँ बनाते हैं।
हमें $m$ छात्रों को इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी पंक्ति खाली न रहे। इसका अर्थ है कि प्रत्येक $m$ पंक्ति में ठीक एक छात्र होना चाहिए।
सबसे पहले,हम प्रत्येक $m$ पंक्ति में $n$ उपलब्ध कुर्सियों में से एक कुर्सी चुनते हैं। चूंकि प्रत्येक $m$ पंक्ति के लिए $n$ विकल्प हैं,इसलिए कुर्सियों को चुनने के तरीकों की संख्या $n \times n \times \dots \times n$ ($m$ बार) $= n^m$ है।
इसके बाद,$m$ छात्रों को इन चुनी गई $m$ कुर्सियों में $m!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $n^m \times m!$ है।

(A) कुल व्यक्तियों की संख्या = $5 + 4 = 9$ है।
कुल व्यवस्थाएं = $9!$ हैं।
$\alpha$ ज्ञात करने के लिए (जहाँ एक विशेष पुरुष और एक विशेष महिला साथ हैं),उन्हें एक इकाई के रूप में मानें।
अब हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $8$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $8!$ तरीकों से किया जा सकता है।
इकाई के भीतर,पुरुष और महिला को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$\alpha = 8! \times 2!$ है।
$\beta$ ज्ञात करने के लिए (जहाँ वे साथ नहीं हैं),कुल व्यवस्थाओं में से $\alpha$ घटाएं:
$\beta = 9! - (8! \times 2!) = 9 \times 8! - 2 \times 8! = 7 \times 8!$ है।
अब,$\alpha: \beta = (8! \times 2) : (7 \times 8!) = 2 : 7$ है।

(C) हमारे पास $6$ सीटों में व्यवस्थित करने के लिए $3$ पुरुष और $3$ महिलाएं हैं।
पहली और अंतिम सीट पुरुषों द्वारा भरी जानी चाहिए।
चरण $1$: पहली और अंतिम सीट के लिए $3$ में से $2$ पुरुषों का चयन करें और उन्हें $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ तरीकों से व्यवस्थित करें।
चरण $2$: शेष $4$ व्यक्तियों ($1$ पुरुष और $3$ महिलाएं) को शेष $4$ मध्य सीटों में $4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 6 \times 24 = 144$।

(C) $ARRANGEMENT$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A(2), R(2), N(2), E(2), G(1), M(1), T(1)$.
कुल विन्यास $= \frac{11!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{11!}{16}$.
उन विन्यासों को ज्ञात करने के लिए जिनमें दो $E$ एक साथ न हों,हम कुल विन्यासों में से उन विन्यासों को घटाएंगे जिनमें $E$ एक साथ हैं।
दो $E$ को एक इकाई $(EE)$ मानकर,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $10$ वस्तुएं हैं: $A(2), R(2), N(2), G(1), M(1), T(1), (EE)(1)$.
$E$ के एक साथ होने वाले विन्यासों की संख्या $= \frac{10!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{10!}{8}$.
$E$ के एक साथ न होने वाले विन्यासों की संख्या $= \frac{11!}{16} - \frac{10!}{8} = \frac{11 \cdot 10!}{16} - \frac{2 \cdot 10!}{16} = \frac{9 \cdot 10!}{16} = \frac{9}{16}(10!)$.

(B) $VOWEL$ शब्द में $5$ अलग-अलग अक्षर हैं: $V, O, W, E, L$।
इसमें $2$ स्वर हैं: $O$ और $E$।
चूंकि स्वर हमेशा एक साथ रहने चाहिए,हम $(OE)$ को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास $4$ इकाइयाँ हैं: $V, W, L, (OE)$।
इन $4$ इकाइयों को $4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$(OE)$ इकाई के भीतर के $2$ स्वरों को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल शब्दों की संख्या $24 \times 2 = 48$ है।

(A) एक $8$-अंकीय संख्या $8$ स्थानों से बनती है।
संख्या के विषम होने के लिए,अंतिम अंक (इकाई का स्थान) $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ में से एक होना चाहिए,जो $5$ विकल्प देता है।
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता,इसलिए इसके पास $9$ विकल्प हैं $(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\})$।
शेष $6$ स्थानों ($2$ से $7$ अंक तक) को $10$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है $(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\})$,जो $10^6$ तरीके देता है।
अतः,$8$-अंकीय विषम संख्याओं की कुल संख्या $9 \times 10^6 \times 5 = 45 \times 10^6$ है।

(A) चार अंकों की संख्या में चार स्थान होते हैं: $ABCD$।
यह दिया गया है कि पहला अंक $A$,$4$ के रूप में निश्चित है,इसलिए इस स्थान को भरने का केवल $1$ तरीका है।
अंतिम अंक $D$,$0$ या $5$ हो सकता है,इसलिए इस स्थान को भरने के $2$ तरीके हैं।
दूसरा अंक $B$,$0$ से $9$ तक का कोई भी अंक हो सकता है,इसलिए $10$ तरीके हैं।
तीसरा अंक $C$,$0$ से $9$ तक का कोई भी अंक हो सकता है,इसलिए $10$ तरीके हैं।
अतः,ऐसी चार अंकों की संख्याओं की कुल संख्या $1 \times 10 \times 10 \times 2 = 200$ है।

(D) $KANGAROO$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $K, A, N, G, A, R, O, O$। इसमें $A$ दो बार और $O$ दो बार आता है।
कुल विन्यासों की संख्या $= \frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080$।
उन विन्यासों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें $A$ एक साथ न आएं,हम कुल विन्यासों में से उन विन्यासों को घटाएंगे जिनमें $A$ एक साथ हैं।
दोनों $A$ को एक इकाई $(AA)$ मानने पर,हमारे पास $7$ इकाइयाँ हैं: $(AA), K, N, G, R, O, O$।
जिन विन्यासों में $A$ एक साथ हैं,उनकी संख्या $= \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$।
अतः,अभीष्ट विन्यासों की संख्या $= 10080 - 2520 = 7560$।

(C) $500$ से कम ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ जिनमें अंकों की पुनरावृत्ति न हो,ज्ञात करने के लिए हम $1, 2$ और $3$ अंकों वाली संख्याओं को अलग-अलग गिनेंगे।
$1$. $1$ अंक वाली संख्याएँ: संभावित संख्याएँ $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ हैं। कुल = $9$।
$2$. $2$ अंकों वाली संख्याएँ: पहला अंक $9$ अंकों $(1-9)$ में से कोई भी हो सकता है और दूसरा अंक शेष $9$ अंकों ($0$ सहित) में से कोई भी हो सकता है। कुल = $9 \times 9 = 81$।
$3$. $500$ से कम $3$ अंकों वाली संख्याएँ: सैकड़े के स्थान को $1, 2, 3$ या $4$ द्वारा भरा जा सकता है ($4$ तरीके)। दहाई के स्थान को शेष $9$ अंकों में से किसी से और इकाई के स्थान को शेष $8$ अंकों में से किसी से भरा जा सकता है। कुल = $4 \times 9 \times 8 = 288$।
कुल संख्या = $9 + 81 + 288 = 378$।

(B) "$ASSASSINATION$" शब्द में कुल $13$ अक्षर हैं: $3$ $A$,$4$ $S$,$2$ $I$,$2$ $N$,$1$ $T$,और $1$ $O$।
सभी $4$ $S$ को एक साथ रखने के लिए,हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं,मान लीजिए $Z$।
अब,हमारे पास $10$ वस्तुएं हैं: $A, A, A, I, I, N, N, T, O, Z$।
यहाँ $A$ $3$ बार,$I$ $2$ बार और $N$ $2$ बार दोहराए गए हैं।
अतः,व्यवस्थाओं की कुल संख्या $\frac{10!}{3! 2! 2!}$ है।

(A) $10$ और $10000$ के बीच की संख्याएँ $2$-अंकीय,$3$-अंकीय या $4$-अंकीय हो सकती हैं।
$5$ भिन्न अंकों का उपयोग करके $2$-अंकीय संख्या बनाने के तरीके: $5 \times 4 = 20$.
$5$ भिन्न अंकों का उपयोग करके $3$-अंकीय संख्या बनाने के तरीके: $5 \times 4 \times 3 = 60$.
$5$ भिन्न अंकों का उपयोग करके $4$-अंकीय संख्या बनाने के तरीके: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
कुल संख्याएँ = $20 + 60 + 120 = 200$.

(B) $9$ पत्रों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $9!$ हैं।
सबसे अच्छे और सबसे खराब पेपर एक साथ हों,यह ज्ञात करने के लिए हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं।
इससे हमारे पास $8$ इकाइयाँ बचती हैं (संयुक्त जोड़ी और अन्य $7$ पेपर),जिन्हें $8!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
सबसे अच्छे और सबसे खराब पेपर अपनी इकाई के भीतर $2!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
अतः,उनके एक साथ होने के कुल तरीके $= 2! \times 8!$ हैं।
उनके कभी भी एक साथ न होने के तरीकों की संख्या कुल व्यवस्थाओं में से एक साथ होने वाली व्यवस्थाओं को घटाने पर प्राप्त होती है: $9! - 2! \times 8!$.

(A) शब्द $MAXIMA$ है। कुल अक्षर $= 6$ हैं।
स्वर $\{A, I, A\}$ हैं (कुल $3$,जिसमें $A$ दो बार दोहराया गया है)।
व्यंजन $\{M, X, M\}$ हैं (कुल $3$,जिसमें $M$ दो बार दोहराया गया है)।
सभी स्वरों को एक साथ व्यवस्थित करने के तरीके $= \frac{3!}{2!} = 3$ हैं।
सभी व्यंजनों को एक साथ व्यवस्थित करने के तरीके $= \frac{3!}{2!} = 3$ हैं।
चूंकि हमारे पास दो समूह हैं (एक स्वरों का और एक व्यंजनों का),इन दो समूहों को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 2! \times \left(\frac{3!}{2!}\right) \times \left(\frac{3!}{2!}\right) = 2 \times 3 \times 3 = 18$ है।

(B) '$MOBILE$' शब्द में $6$ अक्षर हैं: $M, O, B, I, L, E$.
व्यंजन $M, B, L$ हैं (कुल $3$).
स्वर $O, I, E$ हैं (कुल $3$).
कुल $6$ स्थान हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
विषम स्थान $1, 3, 5$ हैं (कुल $3$ स्थान)।
हमें $3$ व्यंजनों को $3$ विषम स्थानों पर व्यवस्थित करना है,जिसे $3!$ तरीकों से किया जा सकता है।
शेष $3$ स्वरों को शेष $3$ सम स्थानों $(2, 4, 6)$ पर $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शब्दों की कुल संख्या $= 3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$।

(D) दिए गए अक्षर वर्णानुक्रम में $A, H, L, R, U$ हैं।
कुल अक्षरों की संख्या $5$ है।
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ शब्द।
$H$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ शब्द।
$L$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ शब्द।
अब,$R$ से शुरू होने वाले शब्द:
$RA$ से शुरू होने वाले शब्द:
$RAH...$: $RAHLU, RAHUL$ ($2$ शब्द)।
अतः,$RAHUL$ का रैंक $24 + 24 + 24 + 2 = 74$ है।
इस प्रकार,$RAHUL$ का रैंक $74$ है।

(D) सबसे पहले,$6$ लाल गेंदों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें। $6$ लाल गेंदों को व्यवस्थित करने के तरीके $6!$ हैं।
अब,$6$ काली गेंदों को रखने के लिए $7$ स्थान उपलब्ध हैं ताकि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों: $\_ R \_ R \_ R \_ R \_ R \_ R \_$.
अतः,$6$ काली गेंदों को व्यवस्थित करने के तरीके $\binom{7}{6} \times 6!$ हैं।
इसलिए,आवश्यक व्यवस्थाओं की कुल संख्या $= 6! \times 7 \times 6! = 7 \times 6! \times 6!$.

(C) "$ATTAIN$" शब्द में $6$ अक्षर हैं: $A, T, T, A, I, N$।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि $T$ एक साथ हों,हम $(TT)$ के जोड़े को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,व्यवस्थित किए जाने वाले अक्षर $(TT), A, A, I, N$ हैं।
यह हमें कुल $5$ इकाइयाँ देता है।
इन $5$ इकाइयों में,अक्षर $A$,$2$ बार दोहराया गया है।
इन $5$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ है।
चूंकि दोनों $T$ समान हैं,इसलिए उनके ब्लॉक के भीतर उन्हें व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $60 \times 1 = 60$ है।

(C) $COMBINATION$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $C, O, M, B, I, N, A, T, I, O, N$।
स्वर $O, I, A, I, O$ हैं (कुल $5$ स्वर)।
व्यंजन $C, M, B, N, N$ हैं (कुल $6$ व्यंजन)।
चूँकि स्वर हमेशा एक साथ होने चाहिए,हम $(O, I, A, I, O)$ समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास $6$ व्यंजन + $1$ इकाई = $7$ वस्तुएं हैं।
इन $7$ वस्तुओं की व्यवस्था,जहाँ $N$ दो बार दोहराया गया है,$\frac{7!}{2!} = 2520$ है।
स्वर समूह $(O, I, A, I, O)$ के भीतर $5$ अक्षर हैं जहाँ $O$ दो बार और $I$ दो बार दोहराया गया है।
स्वरों की व्यवस्था $\frac{5!}{2! \times 2!} = 30$ है।
कुल तरीकों की संख्या $2520 \times 30 = 75600$ है।

(B) सबसे पहले,$LEADING$ शब्द के अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करते हैं: $A, D, E, G, I, L, N$.
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $6! = 720$.
$D$ से शुरू होने वाले शब्द: $6! = 720$.
$E$ से शुरू होने वाले शब्द: $6! = 720$.
$A, D, E$ से शुरू होने वाले कुल शब्द $720 + 720 + 720 = 2160 > 2017$ हैं।
अतः,शब्द $E$ से शुरू होगा। $E$ से पहले कुल $1440$ शब्द हैं।
अब,$EA, ED, EG, EI$ से शुरू होने वाले शब्द: $4 \times 5! = 480$ हैं।
$EI$ तक कुल शब्द: $1440 + 480 = 1920$ हैं।
आगे,$ELA, ELD, ELG$ से शुरू होने वाले शब्द: $3 \times 4! = 72$ हैं।
$ELG$ तक कुल शब्द: $1920 + 72 = 1992$ हैं।
आगे,$ELI$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ हैं।
$ELI$ तक कुल शब्द: $1992 + 24 = 2016$ हैं।
$2017^{\text{th}}$ शब्द $ELN$ से शुरू होने वाला पहला शब्द होगा।
$ELN$ के बाद शेष अक्षर $A, D, G, I$ वर्णानुक्रम में हैं।
अतः,$2017^{\text{th}}$ शब्द $ELNADGI$ है।

(B) $3000$ से बड़ी संख्याएँ बनाने के लिए हम $4, 5$ और $6$ अंकों की संख्याओं पर विचार करेंगे।
$1$. $4$ अंकों की संख्याएँ: पहला अंक $3, 4$ या $5$ हो सकता है ($3$ विकल्प)। शेष $3$ स्थानों को $5$ अंकों से $P(5, 3) = 60$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल = $3 \times 60 = 180$.
$2$. $5$ अंकों की संख्याएँ: पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($5$ विकल्प)। शेष $4$ स्थानों को $P(5, 4) = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल = $5 \times 120 = 600$.
$3$. $6$ अंकों की संख्याएँ: पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($5$ विकल्प)। शेष $5$ स्थानों को $P(5, 5) = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल = $5 \times 120 = 600$.
योग: $180 + 600 + 600 = 1380$.

(A) $CAPITAL$ शब्द में अक्षरों का वर्णानुक्रम $A, A, C, I, L, P, T$ है।
कुल अक्षर = $7$ हैं। $A$ दो बार आता है।
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{6!}{1!} = 720$।
$C$ से शुरू होने वाले शब्द:
$CA...$: $4! = 24$।
$CAI...$: $4! = 24$।
$CAL...$: $4! = 24$।
$CAP...$:
$CAPA...$: $3! = 6$।
$CAPI...$:
$CAPIA...$: $2! = 2$।
$CAPIL...$:
$CAPILA...$: $1! = 1$।
$CAPITAL$: $1$।
कुल रैंक = $720 + 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 1 + 1 = 802$।

(D) सबसे पहले,हम $10$ पुरुषों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं। $10$ पुरुषों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $10!$ है।
$10$ पुरुषों द्वारा $11$ स्थान (सिरों सहित) बनते हैं जहाँ $6$ महिलाओं को इस प्रकार बैठाया जा सकता है कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें।
$11$ में से $6$ स्थानों को चुनकर $6$ महिलाओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^{11}P_6$ है।
कुल तरीकों की संख्या $= 10! \times ^{11}P_6 = 10! \times \frac{11!}{(11-6)!} = \frac{10! 11!}{5!}$.

(C) दिए गए अंक $0, 1, 2, 3$ हैं। हमें इन अंकों का अधिकतम एक बार उपयोग करके भिन्न धनात्मक पूर्णांक बनाने हैं।
स्थिति $I$: $4$-अंकीय पूर्णांक।
पहला स्थान $3$ गैर-शून्य अंकों $(1, 2, 3)$ में से किसी एक द्वारा भरा जा सकता है। शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3 \times 2 \times 1$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$4$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या $= 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$.
स्थिति $II$: $3$-अंकीय पूर्णांक।
पहला स्थान $3$ विकल्पों $(1, 2, 3)$ द्वारा भरा जा सकता है। शेष $2$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3 \times 2$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$3$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या $= 3 \times 3 \times 2 = 18$.
स्थिति $III$: $2$-अंकीय पूर्णांक।
पहला स्थान $3$ विकल्पों $(1, 2, 3)$ द्वारा भरा जा सकता है। दूसरा स्थान शेष $3$ अंकों द्वारा $3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$2$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या $= 3 \times 3 = 9$.
स्थिति $IV$: $1$-अंकीय पूर्णांक।
संभावित पूर्णांक $1, 2, 3$ हैं।
$1$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या $= 3$.
कुल भिन्न धनात्मक पूर्णांकों की संख्या $= 18 + 18 + 9 + 3 = 48$.

(B) प्रत्येक $n$ भिन्न वस्तु को दो अलग-अलग बक्सों में से किसी एक में रखा जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक वस्तु के पास $2$ विकल्प हैं,इसलिए $n$ भिन्न वस्तुओं को $2$ अलग-अलग बक्सों में वितरित करने के कुल तरीके $2 \times 2 \times 2 \times \dots \times 2$ ($n$ बार) होंगे।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $2^n$ है।

(C) $5$ गेंदों में से प्रत्येक को $4$ डिब्बों में से किसी में भी स्वतंत्र रूप से रखा जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक गेंद के लिए $4$ विकल्प हैं,इसलिए $5$ गेंदों को $4$ डिब्बों में रखने के कुल तरीके $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5$ हैं।

(B) एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य हो। उपलब्ध अंक ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ हैं।
$4$ से विभाज्य दो अंकों के संभावित जोड़े (दहाई,इकाई): $12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64, 72, 76$ हैं।
ऐसे कुल $10$ जोड़े हैं।
प्रत्येक जोड़े के लिए,हमें शेष $5$ अंकों का उपयोग करके शेष $2$ स्थानों (हजार और सैकड़ा) को भरना है।
शेष $2$ स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ है।
कुल संख्या $= 10 \times 20 = 200$।