Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Hindi

(C) $5$ अंकों की एक संख्या $5$ स्थानों से बनती है: दस हजार,हजार,सौ,दहाई और इकाई का स्थान।
दस हजार के स्थान को $1$ से $9$ तक के किसी भी अंक से भरा जा सकता है (क्योंकि यह $0$ नहीं हो सकता),जो $9$ विकल्प देता है।
शेष $4$ स्थानों (हजार,सौ,दहाई और इकाई) को $0$ से $9$ तक के किसी भी अंक से भरा जा सकता है,जो प्रत्येक स्थान के लिए $10$ विकल्प देता है।
$5$ अंकों की कुल संख्या $= 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90000$.

(B) $1, 2, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के संख्याएँ बनाने के लिए,हम $1, 2, 3$ या $4$ लंबाई की संख्याएँ बना सकते हैं।
$1$ लंबाई की संख्या के लिए,तरीकों की संख्या $^4P_1$ है।
$2$ लंबाई की संख्या के लिए,तरीकों की संख्या $^4P_2$ है।
$3$ लंबाई की संख्या के लिए,तरीकों की संख्या $^4P_3$ है।
$4$ लंबाई की संख्या के लिए,तरीकों की संख्या $^4P_4$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $^4P_1 + ^4P_2 + ^4P_3 + ^4P_4$ होगी।

(D) $4$ अंकों की विषम संख्या बनाने के लिए,इकाई का स्थान विषम अंक होना चाहिए। उपलब्ध विषम अंक $1, 3, 5, 7$ हैं। अतः,इकाई का स्थान $4$ तरीकों से भरा जा सकता है।
हजार का स्थान $0$ नहीं हो सकता,इसलिए इसे ${1, 2, 3, 5, 7}$ में से किसी भी अंक द्वारा $5$ तरीकों से भरा जा सकता है।
सैकड़े का स्थान $6$ अंकों ${0, 1, 2, 3, 5, 7}$ में से किसी भी अंक द्वारा $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
दहाई का स्थान भी $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $4$ अंकों की विषम संख्याएँ $= 5 \times 6 \times 6 \times 4 = 720$.

(A) $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ अंकों का उपयोग करके बनने वाली $4$ अंकों की कुल संख्याएँ (जहाँ पहला अंक $0$ नहीं हो सकता) $= 7 \times 8 \times 8 \times 8 = 3584$.
$1$ अंक का उपयोग किए बिना बनने वाली $4$ अंकों की कुल संख्याएँ (अंकों ${0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ का उपयोग करके) $= 6 \times 7 \times 7 \times 7 = 2058$.
कम से कम एक अंक $1$ वाली $4$ अंकों की संख्याएँ $= 3584 - 2058 = 1526$.

(B) दिए गए अंक $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4$ हैं। यहाँ $4$ विषम अंक $(1, 1, 3, 3)$ और $3$ सम अंक $(2, 2, 4)$ हैं।
कुल $7$ स्थान हैं। विषम स्थान $1, 3, 5$ और $7$ हैं (कुल $4$ स्थान)।
इन $4$ विषम अंकों को $4$ विषम स्थानों पर $\frac{4!}{2! \times 2!} = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शेष $3$ सम अंकों $(2, 2, 4)$ को शेष $3$ स्थानों पर $\frac{3!}{2!} = 3$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल संख्याएँ $= 6 \times 3 = 18$ होंगी।

(D) $MOTHER$ शब्द के अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $E, H, M, O, R, T$ प्राप्त होते हैं।
$E$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$H$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$ME$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$MH$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$MOE$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$MOH$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$MOR$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$MOT...$ क्रम में: $1 + 1 = 2$
कुल योग: $120 + 120 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 1 = 309$।

(B) $DHOLPUR$ शब्द में $7$ भिन्न अक्षर हैं: $D, H, O, L, P, U, R$।
यदि $L$ और $P$ को बाहर रखा जाए,तो हमारे पास $7 - 2 = 5$ भिन्न अक्षर बचते हैं: $D, H, O, U, R$।
हमें इन $5$ अक्षरों का उपयोग करके $4$ भिन्न अक्षरों वाले शब्द बनाने हैं।
$n$ भिन्न वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 5$ और $r = 4$ है।
शब्दों की संख्या = $^5P_4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{120}{1} = 120$।

(B) '$ARTICLE$' शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $A, R, T, I, C, L, E$.
इसमें $3$ स्वर $(A, I, E)$ और $4$ व्यंजन $(R, T, C, L)$ हैं।
कुल $7$ स्थान हैं। विषम स्थान $1, 3, 5, 7$ (कुल $4$ स्थान) हैं और सम स्थान $2, 4, 6$ (कुल $3$ स्थान) हैं।
चूंकि $3$ स्वरों को विषम स्थानों पर होना चाहिए,हम $4$ विषम स्थानों में से $3$ चुनकर उन्हें $^4P_3$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं।
$^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
शेष $4$ व्यंजनों को शेष $4$ स्थानों में $^4P_4$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$^4P_4 = 4! = 24$.
शब्दों की कुल संख्या = $^4P_3 \times ^4P_4 = 24 \times 24 = 576$.

(B) $1000$ से बड़ी और $4000$ के बराबर या उससे छोटी संख्याएँ $4$ अंकों की होंगी।
प्रथम स्थान $d_1$ के लिए $1, 2, 3$ या $4$ चुना जा सकता है।
यदि $d_1 \in \{1, 2, 3\}$ है,तो शेष $3$ स्थानों के लिए $5$ विकल्प हैं,अर्थात $3 \times 5 \times 5 \times 5 = 375$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
इसमें $1000$ शामिल है,जो $1000$ से बड़ी नहीं है,इसलिए $375 - 1 = 374$ संख्याएँ मिलती हैं।
यदि $d_1 = 4$ है,तो $4000$ एकमात्र ऐसी संख्या है जो $4000$ से बड़ी नहीं है।
कुल संख्याएँ = $374 + 1 = 375$।

(A) ग्रामीण $5$ रास्तों में से किसी भी एक रास्ते से शहर जा सकता है।
शहर पहुँचने के बाद,वह $5$ रास्तों में से किसी भी एक रास्ते से वापस गाँव आ सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $5 \times 5 = 25$ है।

(B) $1000$ से छोटी संख्याएँ $1$-अंकीय,$2$-अंकीय या $3$-अंकीय हो सकती हैं।
स्थिति $1$: ${0, 1, 2, 4, 5}$ का उपयोग करके $1$-अंकीय संख्याएँ। $0$ को आमतौर पर $1$-अंकीय संख्या नहीं माना जाता है,इसलिए $4$ विकल्प $(1, 2, 4, 5)$ हैं।
स्थिति $2$: $2$-अंकीय संख्याएँ। पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($4$ विकल्प: $1, 2, 4, 5$)। दूसरा अंक शेष $4$ अंकों में से कोई भी हो सकता है। कुल = $4 \times 4 = 16$.
स्थिति $3$: $3$-अंकीय संख्याएँ। पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($4$ विकल्प)। दूसरा अंक शेष $4$ अंकों में से कोई भी हो सकता है। तीसरा अंक शेष $3$ अंकों में से कोई भी हो सकता है। कुल = $4 \times 4 \times 3 = 48$.
कुल संख्या = $4 + 16 + 48 = 68$.

(B) किन्हीं दो स्टेशनों के बीच यात्रा करने के लिए,एक टिकट एक विशिष्ट प्रारंभिक स्टेशन और एक विशिष्ट गंतव्य स्टेशन के लिए जारी किया जाना चाहिए।
चूंकि $15$ स्टेशन हैं,इसलिए प्रारंभिक स्टेशन और गंतव्य स्टेशन चुनने के तरीकों की संख्या क्रमचय सूत्र $^{n}P_{r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 15$ और $r = 2$ है।
कुल टिकटों की संख्या = $^{15}P_{2} = \frac{15!}{(15-2)!} = 15 \times 14 = 210$.
अतः,$210$ विभिन्न प्रकार के टिकटों की आवश्यकता होगी।

(B) $BHARAT$ शब्द में $6$ अक्षर हैं,जिसमें $A$ दो बार दोहराया गया है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ है।
उन शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें $B$ और $H$ एक साथ हैं,हम $(BH)$ को एक इकाई मानते हैं।
अब,हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $(BH), A, R, A, T$।
इन $5$ इकाइयों की व्यवस्था,जहाँ $A$ दो बार दोहराया गया है,$\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ है।
चूँकि $B$ और $H$ आपस में $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं,इसलिए $B$ और $H$ के एक साथ होने की कुल व्यवस्था $60 \times 2 = 120$ है।
अतः,उन शब्दों की संख्या जिनमें $B$ और $H$ कभी एक साथ नहीं हैं $= \text{कुल व्यवस्था} - B \text{ और } H \text{ के एक साथ होने की व्यवस्था}$.
$= 360 - 120 = 240$।

(C) $SALOON$ शब्द में $6$ अक्षर हैं,जिसमें $O$ दो बार आता है।
कुल विन्यासों की संख्या = $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
दोनों $O$ के एक साथ आने वाले विन्यासों को ज्ञात करने के लिए,दोनों $O$ को एक इकाई $(OO)$ मान लें।
अब,हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $S, A, L, N, (OO)$.
दोनों $O$ के एक साथ आने वाले विन्यासों की संख्या = $5! = 120$.
अतः,दोनों $O$ के एक साथ न आने वाले विन्यासों की संख्या = $360 - 120 = 240$.

(A) गणित के लिए प्रथम और द्वितीय पुरस्कार $20 \times 19$ तरीकों से दिए जा सकते हैं।
भौतिकी के लिए प्रथम और द्वितीय पुरस्कार $20 \times 19$ तरीकों से दिए जा सकते हैं।
रसायन विज्ञान के लिए प्रथम पुरस्कार $20$ तरीकों से दिया जा सकता है।
अंग्रेजी के लिए प्रथम पुरस्कार $20$ तरीकों से दिया जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक पुरस्कार स्वतंत्र है,इसलिए कुल तरीकों की संख्या $20 \times 19 \times 20 \times 19 \times 20 \times 20 = 20^4 \times 19^2$ है।

(A) $ARRANGE$ शब्द में कुल $7$ अक्षर हैं।
अक्षरों की आवृत्ति इस प्रकार है: $A = 2$,$R = 2$,$N = 1$,$G = 1$,$E = 1$।
बनाए जा सकने वाले भिन्न शब्दों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र:
$\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} = \frac{7!}{2! 2! 1! 1! 1!} = \frac{5040}{2 \times 2} = \frac{5040}{4} = 1260$।

(D) दिया गया समीकरण: $7 \cdot ^nP_3 = 20 \cdot ^{n+1}P_2$
सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$7 \cdot \frac{n!}{(n-3)!} = 20 \cdot \frac{(n+1)!}{(n-1)!}$
$7 \cdot \frac{n!}{(n-3)!} = 20 \cdot \frac{(n+1)n!}{(n-1)(n-2)(n-3)!}$
दोनों पक्षों को $n!$ से विभाजित करने और $(n-3)!$ से गुणा करने पर:
$7 = \frac{20(n+1)}{(n-1)(n-2)}$
$7(n^2 - 3n + 2) = 20n + 20$
$7n^2 - 21n + 14 = 20n + 20$
$7n^2 - 41n - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$7n^2 - 42n + n - 6 = 0$
$7n(n - 6) + 1(n - 6) = 0$
$(7n + 1)(n - 6) = 0$
चूंकि $n \in \mathbb{N}$,इसलिए $n = 6$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास $5$ गणित,$4$ भौतिकी और $2$ रसायन विज्ञान की किताबें हैं।
चूंकि एक ही विषय की किताबें एक साथ रहनी चाहिए,इसलिए हम प्रत्येक विषय समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
ऐसे $3$ समूह हैं (गणित समूह,भौतिकी समूह और रसायन विज्ञान समूह),जिन्हें आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अपने संबंधित समूहों के भीतर,$5$ गणित की किताबों को $5!$ तरीकों से,$4$ भौतिकी की किताबों को $4!$ तरीकों से और $2$ रसायन विज्ञान की किताबों को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $3! \times 5! \times 4! \times 2!$ है।

(A) $CRICKET$ शब्द के अक्षर $C, C, E, I, K, R, T$ हैं। कुल अक्षर $= 7$ हैं।
अक्षरों का वर्णानुक्रम: $C, E, I, K, R, T$ है।
क्रमबद्ध गणना करने पर,$CRICKET$ शब्द से पहले आने वाले शब्दों की कुल संख्या $530$ है।

(A) $8$ अलग-अलग खिलौनों में से प्रत्येक को $5$ बच्चों में से किसी को भी दिया जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक खिलौने के लिए $5$ विकल्प हैं,इसलिए खिलौनों को वितरित करने के कुल तरीके $5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^8$ हैं।

(B) $3, 4, 5$ और $6$ अंकों का बिना पुनरावृत्ति के उपयोग करके कुल $4! = 24$ संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।
इन $24$ संख्याओं में,प्रत्येक अंक इकाई के स्थान पर समान बार आता है।
चूँकि $4$ अंक हैं,प्रत्येक अंक इकाई के स्थान पर $24 / 4 = 6$ बार आएगा।
अतः,इकाई अंकों का योग $6 \times (3 + 4 + 5 + 6) = 6 \times 18 = 108$ होगा।

(B) $6$ पेपरों को व्यवस्थित करने के कुल तरीकों की संख्या $= 6! = 720$ है।
सबसे अच्छे और सबसे खराब पेपर के एक साथ होने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं। इससे हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $5$ इकाइयाँ बचती हैं,जिन्हें $5!$ तरीकों से किया जा सकता है। इकाई के भीतर के दो पेपरों को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
उनके एक साथ होने के तरीकों की संख्या $= 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$ है।
उनके कभी भी एक साथ न होने के तरीकों की संख्या $= \text{कुल तरीके} - \text{एक साथ होने के तरीके} = 720 - 240 = 480$।

(A) $SCHOLAR$ शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $S, C, H, O, L, A, R$।
हमें $A$ से शुरू होने वाले और $S$ पर समाप्त होने वाले शब्द बनाने हैं।
पहले स्थान पर $A$ और अंतिम स्थान पर $S$ को निश्चित करने पर,हमारे पास बीच के $5$ स्थानों के लिए $5$ अक्षर $(C, H, O, L, R)$ बचते हैं।
इन $5$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $5!$ है।
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$।
अतः,ऐसे $120$ शब्द बनाए जा सकते हैं।

(C) दी गई संख्या $223355888$ है। अंक: $2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 8$.
कुल अंक = $9$.
विषम अंक: $3, 3, 5, 5$ (कुल $4$ अंक)।
सम अंक: $2, 2, 8, 8, 8$ (कुल $5$ अंक)।
स्थान: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
सम स्थान: $2, 4, 6, 8$ (कुल $4$ स्थान)।
विषम स्थान: $1, 3, 5, 7, 9$ (कुल $5$ स्थान)।
$4$ विषम अंकों को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके = $\frac{4!}{2!2!} = 6$.
$5$ सम अंकों को $5$ विषम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके = $\frac{5!}{2!3!} = 10$.
कुल तरीके = $6 \times 10 = 60$.

(C) $6$ व्यक्तियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $6! = 720$ हैं।
किसी भी व्यवस्था में,$A, B, C$ और $D$ के सापेक्ष क्रम के कुल $4! = 24$ तरीके संभव हैं।
इन $24$ संभावित क्रमों में से,केवल $1$ क्रम ऐसा है जिसमें वे $ABCD$ के अनुक्रम में आते हैं।
अतः,अभीष्ट व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{4!} = \frac{720}{24} = 30$ है।

(A) हम जानते हैं कि $_{n-1}P_r = \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!}$ और $_{n-1}P_{r-1} = \frac{(n-1)!}{(n-r)!}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$_{n-1}P_r + r \cdot (_{n-1}P_{r-1}) = \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} + r \cdot \frac{(n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! \cdot (n-r)}{(n-r)!} + \frac{r \cdot (n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r)!} \cdot (n - r + r)$
$= \frac{(n-1)! \cdot n}{(n-r)!}$
$= \frac{n!}{(n-r)!} = _nP_r$

(C) $ARRANGE$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, R, R, A, N, G, E$।
यहाँ,$A$ दो बार,$R$ दो बार और $N, G, E$ एक-एक बार आते हैं।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या = $\frac{7!}{2! \times 2!} = \frac{5040}{4} = 1260$।
दो $A$ एक साथ न आएं,ऐसी व्यवस्थाओं को खोजने के लिए हम गैप विधि का उपयोग करेंगे।
पहले शेष अक्षरों $R, R, N, G, E$ को $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ तरीकों से व्यवस्थित करें।
ये $5$ अक्षर $6$ रिक्त स्थान (गैप) बनाते हैं: $\_ R \_ R \_ N \_ G \_ E \_$।
हमें इन $6$ गैप में $2$ $A$ को रखना है। इसके तरीकों की संख्या $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ है।
कुल व्यवस्थाएं जिनमें $A$ एक साथ नहीं हैं = $60 \times 15 = 900$।

(D) $MAXIMUM$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $M, A, X, I, M, U, M$.
व्यंजन $M, X, M, M$ (कुल $4$) हैं और स्वर $A, I, U$ (कुल $3$) हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो स्वर एक साथ न हों,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
पहले व्यंजनों को व्यवस्थित करें: $M, X, M, M$। इन्हें व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{3!} = 4$ हैं।
इन व्यंजनों द्वारा $5$ रिक्त स्थान (gaps) बनते हैं: $\_ M \_ X \_ M \_ M \_$.
हमें इन $5$ रिक्त स्थानों में $3$ स्वर रखने हैं,जिसे $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ तरीकों से किया जा सकता है।
कुल व्यवस्था = $4 \times 60 = 240$.
अतः सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(A) $10$ वक्ताओं के लिए $10$ स्थान उपलब्ध हैं।
सबसे पहले,हम $10$ में से $A, B$ और $C$ के लिए $3$ स्थान चुनते हैं,जिसे $^{10}C_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
एक बार ये $3$ स्थान चुन लिए जाने के बाद,$A, B$ और $C$ को इस तरह व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है कि $A, B$ से पहले बोले और $B, C$ से पहले बोले (अर्थात,क्रम $A, B, C$ होना चाहिए)।
शेष $7$ व्यक्तियों को शेष $7$ स्थानों में $7!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $^{10}C_3 \times 1 \times 7!$ है।
कुल तरीके $= \frac{10!}{3! \times 7!} \times 7! = \frac{10!}{3!} = \frac{10!}{6}$.

(A) $PEACE$ शब्द में $5$ अक्षर हैं: $P, E, A, C, E$।
इन अक्षरों के कुल विन्यासों की संख्या $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ है।
उन विन्यासों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ दोनों $E$ एक साथ आते हैं,हम दोनों $E$ को एक इकाई $(EE)$ मानते हैं। अब हमारे पास $4$ इकाइयाँ हैं: $P, A, C, (EE)$।
इन $4$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $4! = 24$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$ है।

(B) $SMALL$ में अक्षर $A, L, L, M, S$ हैं। वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, L, L, M, S$.
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $L, L, M, S$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{4!}{2!} = 12$ है।
$2$. $L$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, L, M, S$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
$3$. $M$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, L, L, S$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{4!}{2!} = 12$ है।
$4$. $SA$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $L, L, M$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{3!}{2!} = 3$ है।
$5$. $SL$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, L, M$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $3! = 6$ है।
$6$. अगला शब्द स्वयं $SMALL$ है।
कुल रैंक $= 12 + 24 + 12 + 3 + 6 + 1 = 58$.
अतः,शब्द $SMALL$ का स्थान $58^{th}$ है।

(D) चरण $1$: दो महिलाएं $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों में से अपनी कुर्सी चुनती हैं। चूंकि चयन का क्रम मायने रखता है,इसलिए तरीकों की संख्या $^4{P_2} = 4 \times 3 = 12$ है।
चरण $2$: महिलाओं द्वारा $2$ कुर्सियां लेने के बाद,$8 - 2 = 6$ कुर्सियां शेष बचती हैं।
चरण $3$: तीन पुरुष शेष $6$ कुर्सियों में से अपनी कुर्सी चुनते हैं। तरीकों की संख्या $^6{P_3} = 6 \times 5 \times 4 = 120$ है।
चरण $4$: कुल व्यवस्थाओं की संख्या $^4{P_2} \times ^6{P_3} = 12 \times 120 = 1440$ है।
अतः सही विकल्प $(d)$ है।

(D) $4$ अलग-अलग व्यक्तियों $(P, Q, R, S)$ को एक क्रम में व्यवस्थित करना है।
$n$ अलग-अलग वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $n!$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 4$ है,इसलिए तरीकों की संख्या $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ है।
वैकल्पिक रूप से,क्रमपरिवर्तन (permutations) का उपयोग करते हुए,तरीकों की संख्या $^4P_4 = 24$ है।

(C) $3000$ से बड़ी संख्याएँ ज्ञात करने के लिए हम $4, 5$ और $6$ अंकों की संख्याओं पर विचार करेंगे।
$1$. $3000$ से बड़ी $4$ अंकों की संख्याएँ:
पहला अंक $3, 4$ या $5$ हो सकता है ($3$ विकल्प)।
शेष $3$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $^5P_3 = 60$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $4$ अंकों की संख्याएँ $= 3 \times 60 = 180$।
$2$. $5$ अंकों की संख्याएँ:
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($5$ विकल्प: $1, 2, 3, 4, 5$)।
शेष $4$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $^5P_4 = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $5$ अंकों की संख्याएँ $= 5 \times 120 = 600$।
$3$. $6$ अंकों की संख्याएँ:
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($5$ विकल्प: $1, 2, 3, 4, 5$)।
शेष $5$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $5! = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $6$ अंकों की संख्याएँ $= 5 \times 120 = 600$।
कुल संख्याएँ $= 180 + 600 + 600 = 1380$।

(D) $INSURANCE$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $I, N, S, U, R, A, N, C, E$.
स्वर $I, U, A, E$ हैं ($4$ स्वर)।
व्यंजन $N, S, R, N, C$ हैं ($5$ व्यंजन)।
चूंकि सभी स्वर एक साथ आने चाहिए,हम $(I, U, A, E)$ समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास $(IUAE)$ इकाई और $5$ व्यंजन $(N, S, R, N, C)$ हैं,जो कुल $6$ इकाइयाँ बनाते हैं।
इन $6$ इकाइयों को $\frac{6!}{2!}$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है (क्योंकि $N$ दो बार दोहराया गया है)।
स्वर इकाई के भीतर,$4$ स्वरों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या = $\frac{6!}{2!} \times 4! = 360 \times 24 = 8640$.
अतः सही विकल्प $D$ है।

(B) प्रत्येक लैंप के लिए $2$ संभावनाएं हैं: या तो वह चालू हो सकता है या बंद हो सकता है।
चूंकि $10$ लैंप हैं,इसलिए उन्हें चालू करने के कुल तरीके $2 \times 2 \times \dots \times 2$ ($10$ बार) हैं,जो $2^{10} = 1024$ के बराबर है।
हालाँकि,हॉल तभी रोशन होता है जब कम से कम एक लैंप चालू हो।
इसलिए,हमें उस स्थिति को बाहर करना होगा जिसमें सभी लैंप बंद हैं।
हॉल को रोशन करने के तरीकों की संख्या $2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$ है।

(A) $KRISNA$ शब्द के अक्षर $A, I, K, N, R, S$ हैं। कुल अक्षर = $6$ हैं।
वर्णानुक्रम: $A, I, K, N, R, S$ है।
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ हैं।
$2$. $I$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ हैं।
$3$. $K$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $KA$: $4! = 24$ हैं।
- $KI$: $4! = 24$ हैं।
- $KN$: $4! = 24$ हैं।
- $KR$:
- $KRA$: $3! = 6$ हैं।
- $KRI$:
- $KRIA$: $2! = 2$ हैं।
- $KRIN$: $2! = 2$ हैं।
- $KRIS$:
- $KRISA$: $1! = 1$ हैं।
- $KRISN$:
- $KRISNA$: $1! = 1$ हैं।
कुल रैंक = $120 + 120 + 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 2 + 1 + 1 = 324$ है।

(A) कुल $6$ पुरस्कार हैं: गणित में $1^{st}$,गणित में $2^{nd}$,भौतिकी में $1^{st}$,भौतिकी में $2^{nd}$,रसायन विज्ञान में $1^{st}$ और अंग्रेजी में $1^{st}$।
सबसे पहले,$4$ प्रथम पुरस्कारों पर विचार करें। इनमें से प्रत्येक पुरस्कार $20$ लड़कों में से किसी को भी दिया जा सकता है। एक लड़का एक से अधिक प्रथम पुरस्कार जीत सकता है,इसलिए इन $4$ पुरस्कारों को देने के तरीके $20 \times 20 \times 20 \times 20 = 20^4$ हैं।
इसके बाद,$2$ द्वितीय पुरस्कारों पर विचार करें। जिस लड़के ने उसी विषय में प्रथम पुरस्कार जीता है,वह द्वितीय पुरस्कार नहीं जीत सकता। इसलिए,गणित के $2^{nd}$ पुरस्कार के लिए $20 - 1 = 19$ विकल्प हैं और भौतिकी के $2^{nd}$ पुरस्कार के लिए $20 - 1 = 19$ विकल्प हैं।
कुल तरीकों की संख्या $20^4 \times 19 \times 19 = 20^4 \times 19^2$ है।

(A) $INTEGER$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $I, N, T, E, G, E, R$. अक्षर $E$ दो बार आता है।
$m_1$ ज्ञात करने के लिए ($I$ और $N$ साथ न हों):
$INTEGER$ के कुल विन्यास $\frac{7!}{2!} = 2520$ हैं।
$I$ और $N$ साथ हों ऐसे विन्यास: $(IN)$ को एक इकाई मानें। हमारे पास $6$ इकाइयाँ हैं: $(IN), T, E, G, E, R$. इन्हें $\frac{6!}{2!} \times 2! = 720$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$m_1 = 2520 - 720 = 1800$.
$m_2$ ज्ञात करने के लिए ($I$ से शुरू और $R$ पर समाप्त होने वाले शब्द):
$I$ को पहले स्थान पर और $R$ को अंतिम स्थान पर रखें। शेष $5$ अक्षर $N, T, E, G, E$ हैं। इन्हें $\frac{5!}{2!} = 60$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$m_2 = 60$.
इसलिए,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1800}{60} = 30$.

(B) $EARTHQUAKE$ शब्द में $10$ अक्षर हैं: $E, A, R, T, H, Q, U, A, K, E$।
आवृत्तियाँ हैं: $E: 2, A: 2, R: 1, T: 1, H: 1, Q: 1, U: 1, K: 1$।
$RAHU$ ब्लॉक वाले क्रमचयों को खोजने के लिए,हम $RAHU$ को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,व्यवस्थित करने के लिए कुल $7$ इकाइयाँ हैं: ${RAHU}, E, A, T, Q, K, E$।
यहाँ $E$ दो बार दोहराया गया है।
क्रमचयों की संख्या $\frac{7!}{2!}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $RAJASTHAN$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $R, A, J, A, S, T, H, A, N$.
व्यंजन हैं: $R, J, S, T, H, N$ ($6$ अक्षर)।
स्वर हैं: $A, A, A$ ($3$ अक्षर)।
सबसे पहले,$6$ व्यंजनों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित करें।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि स्वर एकांतर हों,उन्हें व्यंजनों द्वारा बनाई गई रिक्त जगहों में रखें।
$6$ व्यंजनों के लिए $7$ रिक्त स्थान उपलब्ध हैं: $\_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_$.
$3$ स्वरों के लिए $7$ में से $3$ स्थान चुनने के तरीके $^7C_3$ हैं।
चूंकि सभी $3$ स्वर समान $(A)$ हैं,इसलिए उन्हें चुने गए स्थानों में व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है।
कुल शब्दों की संख्या $= 6! \times ^7C_3$।

(C) स्थिति $(I)$: कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें।
हम $6$ लड़कों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं। यह $7$ रिक्त स्थान (सिरों सहित) बनाता है जहाँ $5$ लड़कियों को बैठाया जा सकता है।
व्यवस्थाओं की संख्या $p = 6! \times {}^{7}P_{5} = 6! \times \frac{7!}{2!} = 6! \times 2520$.
स्थिति $(II)$: सभी लड़कियाँ एक साथ बैठें।
$5$ लड़कियों को एक इकाई के रूप में मानें। अब हमारे पास $6$ लड़के और $1$ लड़कियों की इकाई है,कुल $7$ इकाइयाँ।
इन $7$ इकाइयों को $7!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इकाई के भीतर की $5$ लड़कियों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
व्यवस्थाओं की संख्या $q = 7! \times 5!$.
अनुपात $p/q = \frac{6! \times \frac{7!}{2!}}{7! \times 5!} = \frac{6!}{2! \times 5!} = \frac{720}{2 \times 120} = \frac{720}{240} = 3$.

(D) $DEBAC$ की रैंक ज्ञात करने के लिए,हम अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करते हैं: $A, B, C, D, E$.
स्थितीय विधि का उपयोग करते हुए:
$D$ चौथा अक्षर है ($3$ अक्षर इससे पहले हैं: $A, B, C$): $3 \times 4! = 72$
$E$ शेष अक्षरों में चौथा है ($3$ अक्षर इससे पहले हैं: $A, B, C$): $3 \times 3! = 18$
$B$ शेष अक्षरों में दूसरा है ($1$ अक्षर इससे पहले है: $A$): $1 \times 2! = 2$
$A$ शेष अक्षरों में पहला है ($0$ अक्षर इससे पहले हैं): $0 \times 1! = 0$
$C$ शेष अक्षरों में पहला है ($0$ अक्षर इससे पहले हैं): $0 \times 0! = 0$
रैंक = $72 + 18 + 2 + 0 + 0 + 1 = 93$.

(B) कुल $6$ वस्तुएं हैं।
हमें दिया गया है कि $O_1$ और $O_2$ को सबसे नीचे के $2$ स्थानों पर होना चाहिए।
इन $2$ स्थानों पर $O_1$ और $O_2$ को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $2!$ है।
शेष $4$ वस्तुओं $(O_3, O_4, O_5, O_6)$ को शेष $4$ स्थानों पर $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $2! \times 4!$ है।

(C) शब्द $ALLEN$ में $5$ अक्षर हैं: $A, L, L, E, N$।
स्वर $A$ और $E$ हैं।
बिना किसी प्रतिबंध के कुल व्यवस्था $\frac{5!}{2!} = 60$ है।
इन $60$ व्यवस्थाओं में,स्वर $A$ और $E$ दो क्रमों में आ सकते हैं ($AE$ या $EA$)।
चूंकि हमें स्वरों को वर्णानुक्रम में ($A$ पहले $E$ के) रखना है,इसलिए हम केवल $AE$ वाली स्थिति पर विचार करेंगे।
अतः,आवश्यक शब्दों की संख्या $\frac{60}{2!} = 30$ है।

(C) एक मिलियन से बड़ी संख्या में $7$ अंक होने चाहिए। दिए गए अंक $0, 2, 2, 3, 3, 3, 4$ हैं।
चूंकि संख्या एक मिलियन से बड़ी होनी चाहिए,इसलिए पहला अंक $0$ नहीं हो सकता।
स्थिति $1$: पहला अंक $2$ है। शेष अंक $0, 2, 3, 3, 3, 4$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3!} = 120$ है।
स्थिति $2$: पहला अंक $3$ है। शेष अंक $0, 2, 2, 3, 3, 4$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{2!2!} = 180$ है।
स्थिति $3$: पहला अंक $4$ है। शेष अंक $0, 2, 2, 3, 3, 3$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{2!3!} = 60$ है।
कुल संख्या = $120 + 180 + 60 = 360$.

(A) $SATAYPAUL$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $S, A, T, A, Y, P, A, U, L$।
यहाँ $3$ $A$ हैं और $6$ अन्य अक्षर $(S, T, Y, P, U, L)$ हैं।
कुल $9$ अक्षर हैं,इसलिए मध्य स्थान $5$वाँ स्थान है।
व्यंजन $S, T, Y, P, L$ हैं।
मध्य स्थान के लिए $5$ विकल्प हैं।
शेष $5$ अक्षरों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$A$ को व्यवस्थित करने के लिए $6$ स्थान उपलब्ध हैं।
कुल विन्यास = $5 \times 5! \times ^6C_3 = 12000$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $A$ है।

(B) वर्णमाला में कुल अक्षर = $26$।
सममित अक्षरों की संख्या = $10$।
असममित अक्षरों की संख्या = $26 - 10 = 16$।
हमें कम से कम एक सममित अक्षर के साथ $3$-अक्षर का पासवर्ड बनाना है।
पुनरावृत्ति के बिना $3$-अक्षर का पासवर्ड बनाने के कुल तरीके = $P(26, 3) = 26 \times 25 \times 24 = 15600$।
केवल असममित अक्षरों का उपयोग करके $3$-अक्षर का पासवर्ड बनाने के तरीके = $P(16, 3) = 16 \times 15 \times 14 = 3360$।
कम से कम एक सममित अक्षर के साथ तरीके = $\text{कुल तरीके} - \text{बिना किसी सममित अक्षर वाले तरीके} = 15600 - 3360 = 12240$।

(A) कुल $5$ वक्ता हैं। $5$ वक्ताओं को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
किसी भी व्यवस्था में,$S_1, S_2$ और $S_3$ का सापेक्ष क्रम $3! = 6$ संभावित तरीकों से हो सकता है।
ये तरीके हैं: $(S_1, S_2, S_3), (S_1, S_3, S_2), (S_2, S_1, S_3), (S_2, S_3, S_1), (S_3, S_1, S_2), (S_3, S_2, S_1)$।
इन $6$ तरीकों में से,$S_3$ केवल $2$ मामलों में $S_1$ और $S_2$ दोनों के बाद बोलता है: $(S_1, S_2, S_3)$ और $(S_2, S_1, S_3)$।
अतः,$S_3$ के $S_1$ और $S_2$ के बाद बोलने की प्रायिकता $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
इसलिए,अनुकूल तरीकों की संख्या $\frac{1}{3} \times 5! = \frac{120}{3} = 40$ है।

(D) $MATHEMAGICA$ शब्द में कुल $11$ अक्षर हैं।
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति इस प्रकार है: $M: 2, A: 3, T: 1, H: 1, E: 1, G: 1, I: 1, C: 1$।
क्रमचयों की कुल संख्या का सूत्र $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$ है।
मान रखने पर: $\frac{11!}{2! 3!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{2 \times 1 \times 6} = \frac{7920}{12} \times 7! = 660 \times 7!$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।