Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Hindi

(A) $MATHS$ शब्द के अक्षर $A, H, M, S, T$ हैं। कुल अक्षर $= 5$ हैं।
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$H$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$M$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$S$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$T$ से शुरू होने वाले शब्दों से पहले कुल शब्द $24 \times 4 = 96$ हैं।
अब,$T$ से शुरू होने वाले शब्द:
$TA...$: $3! = 6$।
$THAMS$:
$THA...$: $2! = 2$।
$THAM...$: $1! = 1$।
$THAMS$: $1$।
क्रम संख्या $= 96 + 6 + 1 = 103$।

(A) पाँच अंकों की संख्या $40000$ से बड़ी होती है यदि पहला अंक $5, 7$ या $9$ हो।
संख्या के $5$ से विभाज्य होने के लिए,अंतिम अंक $0$ या $5$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: पहला अंक $5$ है। अंतिम अंक $0$ होना चाहिए। शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों $(1, 3, 7, 9)$ द्वारा $^4P_3 = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: पहला अंक $7$ है। अंतिम अंक $0$ या $5$ हो सकता है।
- यदि अंतिम अंक $0$ है,तो तरीके $= 24$।
- यदि अंतिम अंक $5$ है,तो तरीके $= 24$।
कुल तरीके $= 24 + 24 = 48$।
स्थिति $3$: पहला अंक $9$ है। अंतिम अंक $0$ या $5$ हो सकता है।
- यदि अंतिम अंक $0$ है,तो तरीके $= 24$।
- यदि अंतिम अंक $5$ है,तो तरीके $= 24$।
कुल तरीके $= 24 + 24 = 48$।
कुल संख्याएँ $= 24 + 48 + 48 = 120$।

(A) $MONDAY$ शब्द के अक्षर $A, D, M, N, O, Y$ हैं। वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, D, M, N, O, Y$.
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$.
$D$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$.
$MA$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$.
$MD$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$.
$MN$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$.
$MOA$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$.
$MOD$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$.
$MONA$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$.
अगला शब्द $MONDAY$ है: $1$.
कुल क्रम = $120 + 120 + 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 1 = 327$.

(B) $GTWENTY$ शब्द में अक्षर $G, T, W, E, N, T, Y$ हैं। कुल अक्षर = $7$ हैं,जिसमें $T$ दो बार आता है।
अक्षरों को वर्णमाला क्रम में व्यवस्थित करने पर: $E, G, N, T, T, W, Y$.
$1$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{6!}{2!} = 360$ तरीके।
$2$. $G$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $GE$: $\frac{5!}{2!} = 60$ तरीके।
- $GN$: $\frac{5!}{2!} = 60$ तरीके।
- $GT$:
- $GTE$: $4! = 24$ तरीके।
- $GTN$: $4! = 24$ तरीके।
- $GTT$: $4! = 24$ तरीके।
- $GTWENTY$ तक गणना करने पर कुल योग $553$ प्राप्त होता है।

(C) $'DISTRIBUTION'$ शब्द में $12$ अक्षर हैं: $D, I, S, T, R, I, B, U, T, I, O, N$.
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति: $I: 3, T: 2, D: 1, S: 1, R: 1, B: 1, U: 1, O: 1, N: 1$.
कुल $9$ भिन्न अक्षर हैं: ${D, I, S, T, R, B, U, O, N}$.
हमें $4$ लंबाई के शब्द बनाने हैं।
स्थिति $1$: सभी $4$ अक्षर भिन्न हों।
तरीकों की संख्या $= {}^{9}C_{4} \times 4! = 126 \times 24 = 3024$.
स्थिति $2$: $2$ अक्षर समान और $2$ भिन्न हों।
उप-स्थिति $2a$: $I$ पुनरावृत्त हो ($2$ $I$) और शेष $8$ में से $2$ भिन्न अक्षर।
तरीकों की संख्या $= {}^{8}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 28 \times 12 = 336$.
उप-स्थिति $2b$: $T$ पुनरावृत्त हो ($2$ $T$) और शेष $8$ में से $2$ भिन्न अक्षर।
तरीकों की संख्या $= {}^{8}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 28 \times 12 = 336$.
स्थिति $3$: $2$ समान अक्षरों के जोड़े।
केवल $I$ और $T$ जोड़े बना सकते हैं।
तरीकों की संख्या $= \frac{4!}{2!2!} = 6$.
स्थिति $4$: $3$ अक्षर समान और $1$ भिन्न हो।
केवल $I$ को $3$ बार चुना जा सकता है।
तरीकों की संख्या $= {}^{8}C_{1} \times \frac{4!}{3!} = 8 \times 4 = 32$.
शब्दों की कुल संख्या $= 3024 + 336 + 336 + 6 + 32 = 3734$.

(C) शब्द $BHBJO$ है। अक्षर $B, B, H, J, O$ हैं। कुल अक्षर = $5$। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ है।
$50$ वां शब्द खोजने के लिए,हम उन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करते हैं: $B, B, H, J, O$।
$1$. $B$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{4!}{1!} = 24$ शब्द।
$2$. $H$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{4!}{2!} = 12$ शब्द। (कुल = $24 + 12 = 36$)
$3$. $J$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{4!}{2!} = 12$ शब्द। (कुल = $36 + 12 = 48$)
$4$. $O$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $OBBHJ$ ($49$ वां)
- $OBBJH$ ($50$ वां)
अतः,$50$ वां शब्द $OBBJH$ है।

(C) $NAGPUR$ शब्द के अक्षर $A, G, N, P, R, U$ हैं। कुल अक्षर = $6$। कुल व्यवस्थाएं = $6! = 720$।
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$।
$G$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$।
कुल शब्द = $120 + 120 = 240$।
$NA$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$NG$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$NP$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
कुल शब्द = $240 + 24 + 24 + 24 = 312$।
हमें $315^{\text{th}}$ शब्द चाहिए। शेष शब्द $NR$ से शुरू होते हैं।
$NRA$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$313^{\text{th}}$ शब्द: $NRAGPU$
$314^{\text{th}}$ शब्द: $NRAGUP$
$315^{\text{th}}$ शब्द: $NRAPGU$

(C) $COCHIN$ शब्द के अक्षर $C, C, H, I, N, O$ हैं। वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $C, C, H, I, N, O$.
$C$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $CC...$: $4! = 24$
- $CH...$: $4! = 24$
- $CI...$: $4! = 24$
- $CN...$: $4! = 24$
- $COC...$: $3! = 6$
कुल शब्द = $24 + 24 + 24 + 24 + 6 = 96$.

(A) कुल उपलब्ध अक्षरों की संख्या $10$ है।
$x$ के लिए,हम बिना किसी पुनरावृत्ति के $10$ लंबाई के शब्द बनाते हैं,जो $10$ अलग-अलग अक्षरों का क्रमचय है: $x = 10!$.
$y$ के लिए,हम $10$ अक्षरों में से दो बार दोहराए जाने वाले $1$ अक्षर को $^{10}C_1$ तरीकों से चुनते हैं।
फिर हम शेष $9$ अक्षरों में से $8$ अन्य अक्षरों को $^{9}C_8$ तरीकों से चुनते हैं।
इन $10$ अक्षरों के विन्यास की कुल संख्या (जहाँ एक अक्षर दो बार दोहराया जाता है) $\frac{10!}{2!}$ है।
अतः,$y = {}^{10}C_1 \times {}^{9}C_8 \times \frac{10!}{2!}$.
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{y}{9x} = \frac{{}^{10}C_1 \times {}^{9}C_8 \times \frac{10!}{2!}}{9 \times 10!} = \frac{10 \times 9}{9 \times 2} = 5$.

(A) एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंक $4$ से विभाज्य हों।
दिए गए अंकों के समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ से बनने वाली दो अंकों की संख्याएँ जो $4$ से विभाज्य हैं,वे हैं: $12, 24, 32, 44, 52$।
अतः,अंतिम दो अंकों के लिए $5$ विकल्प हैं।
$5$-अंकीय संख्या में,पहले $3$ स्थानों को $5$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है।
पहले $3$ स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या = $5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$।
चूंकि अंतिम दो अंकों के लिए $5$ विकल्प हैं,इसलिए कुल $5$-अंकीय संख्याओं की संख्या = $125 \times 5 = 625$ है।

(C) शब्द $\text{DAUGHTER}$ में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $D, A, U, G, H, T, E, R$।
इसमें $3$ स्वर हैं: $A, U, E$ और $5$ व्यंजन हैं: $D, G, H, T, R$।
कुल शब्दों की संख्या $= 8! = 40320$।
उन शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें सभी स्वर एक साथ न आएं,हम कुल शब्दों में से उन शब्दों को घटाते हैं जिनमें सभी स्वर एक साथ होते हैं।
$3$ स्वरों $(A, U, E)$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $5$ व्यंजन $+ 1$ इकाई $= 6$ इकाइयाँ हैं।
इन $6$ इकाइयों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इकाई के भीतर के $3$ स्वरों को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
वे शब्द जिनमें स्वर एक साथ हैं $= 6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$।
वे शब्द जिनमें स्वर कभी एक साथ नहीं आते $= 8! - (6! \times 3!) = 40320 - 4320 = 36000$।

(B) मान लीजिए अंक $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7 \in \{1, 2, 3\}$ हैं ताकि $\sum_{i=1}^{7} x_i = 11$ हो।
मान लीजिए $n_1, n_2, n_3$ क्रमशः $1, 2$ और $3$ के आने की संख्या है।
तब $n_1 + n_2 + n_3 = 7$ और $1n_1 + 2n_2 + 3n_3 = 11$ है।
दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर: $n_2 + 2n_3 = 4$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $n_3 = 0$,तो $n_2 = 4$ और $n_1 = 3$ है। क्रमचयों की संख्या $\frac{7!}{3!4!0!} = 35$ है।
स्थिति $2$: यदि $n_3 = 1$,तो $n_2 = 2$ और $n_1 = 4$ है। क्रमचयों की संख्या $\frac{7!}{4!2!1!} = 105$ है।
स्थिति $3$: यदि $n_3 = 2$,तो $n_2 = 0$ और $n_1 = 5$ है। क्रमचयों की संख्या $\frac{7!}{5!0!2!} = 21$ है।
$P$ में कुल तत्वों की संख्या $= 35 + 105 + 21 = 161$ है।

(B) $KANPUR$ शब्द के अक्षर $A, K, N, P, R, U$ हैं (वर्णानुक्रम में)।
कुल अक्षर = $6$। कुल क्रमचय = $6! = 720$।
इन अक्षरों से शुरू होने वाले शब्द:
$A$: $5! = 120$
$K$: $5! = 120$
$N$: $5! = 120$
कुल योग = $360$।
$P$ से शुरू होने वाले शब्द:
$PA$: $4! = 24$
$PK$: $4! = 24$
$PN$: $4! = 24$
कुल योग = $432$।
$PR$ से शुरू होने वाले शब्द:
$PRA$: $3! = 6$ (कुल $438$)
$PRK$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, N, U$ हैं। शब्द हैं:
$PRKAUN$ $(439^{th})$
$PRKANU$ $(440^{th})$
अतः,$440^{th}$ शब्द $PRKANU$ है।

(A) क्रमचय ${}^{n}P_{r}$ को परिभाषित होने के लिए,$n \ge r \ge 0$ होना चाहिए और $n, r$ को अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
यहाँ,$n = 7-x$ और $r = x-1$ है।
प्रतिबंध $1$: $n \ge r \implies 7-x \ge x-1 \implies 8 \ge 2x \implies x \le 4$।
प्रतिबंध $2$: $r \ge 0 \implies x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$।
प्रतिबंध $3$: $n \ge 0 \implies 7-x \ge 0 \implies x \le 7$।
इन शर्तों को संयोजित करने पर,हमें $1 \le x \le 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्रमचय संकेतन के लिए $x$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए प्रांत $\{1, 2, 3, 4\}$ है।

(B) एक संख्या $25$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंक $25, 50,$ या $75$ हों।
दिए गए अंकों $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ में से,$25$ से विभाज्य अंतिम दो अंकों के संभावित जोड़े $25$ और $75$ हैं (क्योंकि $0$ सेट में नहीं है)।
स्थिति $1$: संख्या $25$ पर समाप्त होती है।
अंतिम दो अंक $2$ और $5$ निश्चित हैं।
शेष $2$ स्थानों को शेष $5$ अंकों $\{1, 3, 4, 6, 7\}$ द्वारा $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: संख्या $75$ पर समाप्त होती है।
अंतिम दो अंक $7$ और $5$ निश्चित हैं।
शेष $2$ स्थानों को शेष $5$ अंकों $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ द्वारा $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$25$ से विभाज्य कुल संख्याएँ $= 20 + 20 = 40$।

(B) दिए गए अंक $2, 3, 0, 3, 4, 2, 3$ हैं। कुल $7$ अंक हैं,जिनमें $2$ दो बार,$3$ तीन बार,$0$ एक बार और $4$ एक बार आता है।
इन अंकों का उपयोग करके बनाई गई सभी $7$ अंकों की संख्याएँ एक मिलियन से बड़ी होती हैं।
दस लाख के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता।
इसलिए,दस लाख के स्थान पर $2, 3,$ या $4$ आ सकता है।
स्थिति $I$: दस लाख के स्थान पर $2$ है।
शेष अंक $3, 0, 3, 4, 2, 3$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3!} = 120$ है।
स्थिति $II$: दस लाख के स्थान पर $3$ है।
शेष अंक $2, 0, 3, 4, 2, 3$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{2! \times 2!} = 180$ है।
स्थिति $III$: दस लाख के स्थान पर $4$ है।
शेष अंक $2, 3, 0, 3, 2, 3$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3! \times 2!} = 60$ है।
कुल संख्याएँ $= 120 + 180 + 60 = 360$।

(B) दो महिलाओं को $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों पर ${ }^4 P_2$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
महिलाओं के बैठने के बाद,$8 - 2 = 6$ कुर्सियां शेष बचती हैं।
तीन पुरुषों को इन $6$ उपलब्ध सीटों पर ${ }^6 P_3$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
इसलिए,संभावित व्यवस्थाओं की कुल संख्या ${ }^4 P_2 \times { }^6 P_3$ है।

(D) $ABRACADABRA$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A$ ($5$ बार),$B$ ($2$ बार),$R$ ($2$ बार),$C$ ($1$ बार),$D$ ($1$ बार)।
यहाँ $5$ स्वर हैं,जो सभी $A$ हैं। हम इन $5$ $A$'s को एक इकाई $(AAAAA)$ के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $7$ वस्तुएँ हैं: $(AAAAA), B, B, R, R, C, D$।
यहाँ $B$ दो बार और $R$ दो बार दोहराया गया है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{7!}{2!2!} = \frac{5040}{4} = 1260$ है।

(C) भौतिकी की $3$ पुस्तकें,रसायन विज्ञान की $2$ पुस्तकें और गणित की $4$ पुस्तकें हैं।
चूंकि भौतिकी की सभी पुस्तकें एक साथ होनी चाहिए,हम उन्हें $1$ इकाई के रूप में मानते हैं।
चूंकि गणित की सभी पुस्तकें एक साथ होनी चाहिए,हम उन्हें $1$ इकाई के रूप में मानते हैं।
रसायन विज्ञान की $2$ अलग-अलग पुस्तकें हैं।
इस प्रकार,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $1$ (भौतिकी इकाई) + $1$ (गणित इकाई) + $2$ (रसायन विज्ञान पुस्तकें) = $4$ इकाइयाँ हैं।
इन $4$ इकाइयों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$3$ भौतिकी पुस्तकों को आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4$ गणित पुस्तकों को आपस में $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$\therefore \text{कुल व्यवस्थाएं} = 4! \times 3! \times 4! = 24 \times 6 \times 24 = 3456$.

(C) दी गई संख्या $223355888$ है,जिसमें $9$ अंक हैं: $2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 8$।
इसमें $4$ विषम अंक $(3, 3, 5, 5)$ और $5$ सम अंक $(2, 2, 8, 8, 8)$ हैं।
$9$-अंकीय संख्या में सम स्थान $2, 4, 6, 8$ हैं (कुल $4$ स्थान)।
विषम स्थान $1, 3, 5, 7, 9$ हैं (कुल $5$ स्थान)।
$4$ विषम अंकों को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!2!} = 6$ हैं।
$5$ सम अंकों को $5$ विषम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{2!3!} = 10$ हैं।
अतः,कुल संख्याएँ $= 6 \times 10 = 60$ हैं।

(A) $MANAMA$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $M$ दो बार,$A$ तीन बार और $N$ एक बार आता है।
सबसे पहले,$M$ को छोड़कर शेष अक्षरों $A, A, A, N$ को व्यवस्थित करते हैं।
इन $4$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{3!1!} = 4$ हैं।
ये $4$ अक्षर $5$ रिक्त स्थान बनाते हैं जहाँ $2$ $M$ को इस प्रकार रखा जा सकता है कि वे आसन्न न हों।
$5$ में से $2$ रिक्त स्थान चुनने के तरीके $\binom{5}{2} = 10$ हैं।
अतः,कुल विन्यासों की संख्या $4 \times 10 = 40$ है।

(C) कुल $5$ स्थान हैं। लड़का $B_1$ दूसरे स्थान पर निश्चित है।
शेष $4$ विद्यार्थी हैं (जिनमें $G_1$ और $G_2$ शामिल हैं)।
चूंकि $G_1$ और $G_2$ हमेशा साथ होने चाहिए,हम $(G_1, G_2)$ को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब हमारे पास शेष $4$ स्थानों में व्यवस्थित करने के लिए $3$ इकाइयाँ हैं: इकाई $(G_1, G_2)$ और अन्य $2$ विद्यार्थी।
हालाँकि,दूसरा स्थान $B_1$ द्वारा भरा हुआ है। उपलब्ध स्थान $1, 3, 4, 5$ हैं।
यदि हम इकाई $(G_1, G_2)$ को $(3, 4)$ या $(4, 5)$ स्थानों पर रखते हैं,तो इकाई को रखने के $2$ तरीके हैं।
इकाई के भीतर,$G_1$ और $G_2$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शेष $2$ विद्यार्थियों को शेष $2$ स्थानों में $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल व्यवस्था $= 2 \times 2 \times 2 = 8$.

(C) कुल $5$ स्थान हैं। लड़का $B_1$ दूसरे स्थान पर निश्चित है।
शेष स्थान $1, 3, 4, 5$ हैं।
मान लीजिए $5$ छात्र $B_1, G_1, G_2, S_1, S_2$ हैं।
चूंकि $G_1$ और $G_2$ हमेशा साथ होने चाहिए,हम उन्हें एक इकाई $(G_1G_2)$ के रूप में मानते हैं।
अब हमारे पास $(G_1G_2), S_1, S_2$ इकाइयाँ हैं जिन्हें शेष $4$ स्थानों में व्यवस्थित करना है।
स्थिति $1$: $(G_1G_2)$ स्थान $(3, 4)$ पर हों।
शेष स्थान $1$ और $5$ को $S_1, S_2$ द्वारा $2!$ तरीकों से भरा जा सकता है। $G_1, G_2$ को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
तरीकों की संख्या $= 2! \times 2! = 4$.
स्थिति $2$: $(G_1G_2)$ स्थान $(4, 5)$ पर हों।
शेष स्थान $1$ और $3$ को $S_1, S_2$ द्वारा $2!$ तरीकों से भरा जा सकता है। $G_1, G_2$ को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
तरीकों की संख्या $= 2! \times 2! = 4$.
कुल व्यवस्था $= 4 + 4 = 8$.

(C) $CALCULATE$ शब्द में $9$ अक्षर हैं।
जिसमें $C$ दो बार,$A$ दो बार,$L$ दो बार और $E, U, T$ एक बार आते हैं।
यहाँ $5$ व्यंजन $(C, C, L, L, T)$ और $4$ स्वर $(A, A, U, E)$ हैं।
$5$ व्यंजनों में से दो व्यंजनों को शुरुआत और अंत के स्थान पर $P(5, 2)$ तरीकों से रखा जा सकता है।
पुनरावृत्ति को ध्यान में रखते हुए,कुल शब्द $= \frac{P(5, 2) \times 7!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{20 \times 7!}{8} = \frac{5 \times 7!}{2}$।

(C) पंक्ति में कुल $9$ स्थान हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
विषम स्थान $1, 3, 5, 7, 9$ हैं,जो कुल $5$ हैं।
$5$ पुरुषों को इन $5$ विषम स्थानों पर $5! = 120$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
शेष $4$ सम स्थानों $(2, 4, 6, 8)$ को $4$ महिलाओं द्वारा $4! = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 120 \times 24 = 2880$.

(C) $MACHINE$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $3$ स्वर $(A, I, E)$ और $4$ व्यंजन $(M, C, H, N)$।
कुल $7$ स्थान हैं,जिन्हें $1$ से $7$ तक अंकित किया गया है। विषम स्थान $1, 3, 5, 7$ हैं,जो कुल $4$ हैं।
हमें इन $4$ विषम स्थानों में $3$ स्वरों को व्यवस्थित करना है,जिसे $^4P_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
$^4P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$ तरीके।
शेष $4$ अक्षरों (व्यंजनों) को शेष $4$ स्थानों में $^4P_4$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$^4P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीके।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= ^4P_3 \times ^4P_4 = 24 \times 24 = 576$।

(B) दी गई संख्या $445577888$ है। अंक हैं: $4, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8$।
यहाँ $4$ विषम अंक $(5, 5, 7, 7)$ और $5$ सम अंक $(4, 4, 8, 8, 8)$ हैं।
कुल $9$ स्थान हैं। सम स्थान $2, 4, 6, 8$ हैं,जिनकी संख्या $4$ है।
$4$ विषम अंकों को इन $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!2!} = 6$ हैं।
शेष $5$ स्थानों (विषम स्थान $1, 3, 5, 7, 9$) पर $5$ सम अंकों $(4, 4, 8, 8, 8)$ को व्यवस्थित करना है।
इन $5$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{2!3!} = 10$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $6 \times 10 = 60$ है।

(A) हमारे पास $6$ पीरियड और $5$ विषय हैं। चूंकि प्रत्येक विषय को कम से कम एक बार पढ़ाया जाना चाहिए,इसलिए एक विषय को दो बार और अन्य $4$ विषयों को एक-एक बार पढ़ाया जाना चाहिए।
सबसे पहले,जिस विषय को दोहराया जाना है उसे $^5C_1 = 5$ तरीकों से चुना जा सकता है।
अब,हमारे पास $6$ पीरियड में व्यवस्थित करने के लिए $6$ विषय (पुनरावृत्ति सहित) हैं।
व्यवस्थाओं की संख्या: $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $5 \times 360 = 1800$ है।

(B) दिए गए अंक $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4$ हैं। इसमें $4$ विषम अंक $(1, 1, 3, 3)$ और $3$ सम अंक $(2, 2, 4)$ हैं।
$7$ अंकों की संख्या में,विषम स्थान $1, 3, 5$ और $7$ हैं (कुल $4$ स्थान)।
सम स्थान $2, 4$ और $6$ हैं (कुल $3$ स्थान)।
चूंकि विषम अंक हमेशा विषम स्थानों पर होने चाहिए,इसलिए $4$ विषम अंकों को $4$ विषम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!2!} = 6$ हैं।
अब,$3$ सम अंकों को $3$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{3!}{2!} = 3$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $= 6 \times 3 = 18$ है।

(B) एक चार अंकों की संख्या सम होती है यदि उसका इकाई अंक $0$ या $2$ हो। चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,हम दो स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $1$: इकाई अंक $0$ है।
शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों $(1, 2, 3)$ द्वारा $3! = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: इकाई अंक $2$ है।
हजार के स्थान पर $0$ या $2$ नहीं आ सकता। अतः,हजार का स्थान $1$ या $3$ द्वारा ($2$ तरीकों से) भरा जा सकता है।
शेष $2$ स्थानों को शेष $2$ अंकों द्वारा $2! = 2$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$ के लिए कुल तरीके = $2 \times 2 = 4$ तरीके।
कुल सम संख्याएँ = $6 + 4 = 10$.

(A) $3$ महिलाएं और $2$ पुरुष हैं।
पहले,महिलाएं $1$ से $6$ तक चिह्नित कुर्सियों में से चुनती हैं।
चूंकि कुर्सियां क्रमांकित हैं,इसलिए $3$ महिलाओं के लिए $6$ में से $3$ कुर्सियां चुनने के तरीके $^{6}P_{3}$ हैं।
इसके बाद,पुरुष शेष कुर्सियों में से चुनते हैं। दिए गए विकल्पों के अनुसार,पुरुष शेष $4$ कुर्सियों में से चुनते हैं,इसलिए तरीकों की संख्या $^{4}P_{2}$ है।
कुल तरीकों की संख्या $= ^{6}P_{3} \times ^{4}P_{2}$.

(B) $MASK$ शब्द के अक्षरों का वर्णानुक्रम $A, K, M, S$ है।
कुल क्रमचयों की संख्या $4! = 24$ है।
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$ शब्द ($1$ से $6$)।
$K$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$ शब्द ($7$ से $12$)।
$M$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$ शब्द ($13$ से $18$)।
$S$ से शुरू होने वाले शब्द:
$SAKM$ ($19$ वां शब्द),
$SAMK$ ($20$ वां शब्द),
$SKAM$ ($21$ वां शब्द),
$SKMA$ ($22$ वां शब्द),
$SMAK$ ($23$ वां शब्द),
$SMKA$ ($24$ वां शब्द)।
अतः,$19$ वां शब्द $SAKM$ है।

(D) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़के एक साथ न हों,हम पहले $5$ लड़कियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं। $5$ लड़कियों को व्यवस्थित करने के तरीके $5! = 120$ हैं।
$5$ लड़कियों द्वारा $6$ रिक्त स्थान (सिरों सहित) बनते हैं: $\_ G_1 \_ G_2 \_ G_3 \_ G_4 \_ G_5 \_$.
हमें इन $6$ स्थानों में से $3$ स्थानों का चयन करके $3$ लड़कों को बैठाना है। $6$ में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $^{6}C_{3} = 20$ हैं।
इन $3$ चुने हुए स्थानों में $3$ लड़कों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $5! \times ^{6}C_{3} \times 3! = 120 \times 20 \times 6 = 14400$ है।

(A) $5$ अंकीय टेलीफोन नंबर $67$ से शुरू होता है।
चूंकि पहले दो अंक $6$ और $7$ निश्चित हैं,इसलिए हमें शेष $3$ स्थानों को भरना है।
उपलब्ध अंक ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9}$ हैं,जो कुल $8$ अंक हैं।
चूंकि किसी भी अंक को दोहराया नहीं जा सकता है,इसलिए हमें इन $8$ उपलब्ध अंकों में से $3$ अंकों की व्यवस्था करनी है।
$8$ में से $3$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके क्रमचय सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$n = 8$ और $r = 3$ है।
$^8P_3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$.

(B) $MULTIPLE$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $M, U, L, T, I, P, L, E$।
स्वर $U, I, E$ हैं और व्यंजन $M, L, T, L$ हैं।
स्वर $2, 5, 8$ स्थान पर हैं। इन स्थानों को स्थिर रखते हुए,$3$ स्वरों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शेष $5$ स्थानों पर व्यंजन $M, L, T, L$ आते हैं।
इन $5$ व्यंजनों को व्यवस्थित करने के तरीके (जहाँ $L$ दो बार दोहराया गया है) $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ हैं।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $3! \times 60 = 6 \times 60 = 360$ है।

(B) "$MOTHER$" शब्द के अक्षर $M, O, T, H, E, R$ हैं। सभी अक्षर भिन्न हैं। कुल व्यवस्था $= 6! = 720$।
अक्षरों का वर्णानुक्रम: $E, H, M, O, R, T$।
$1$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$।
$2$. $H$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$।
$3$. $ME$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$4$. $MH$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$5$. $MOE$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$6$. $MOH$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$7$. $MOR$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$8$. $MOT E H R$ से शुरू होने वाले शब्द: $1! = 1$।
$9$. $MOT E R H$ से शुरू होने वाले शब्द: $1! = 1$।
$10$. $MOT H E R$ से शुरू होने वाले शब्द: $1$।
योग: $120 + 120 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 1 + 1 + 1 = 309$।
अतः,"$MOTHER$" शब्द की रैंक $309$ है।

(D) दिया गया है कि ${}^n P_4 = 1680$ है।
${}^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$n(n-1)(n-2)(n-3) = 1680$.
हमें चार ऐसे क्रमागत पूर्णांक खोजने हैं जिनका गुणनफल $1680$ हो।
अभाज्य गुणनखंडन द्वारा: $1680 = 8 \times 7 \times 6 \times 5$.
पदों की तुलना करने पर,हमें $n = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) दिया गया है,${ }^{15} P_8 = A + 8 \cdot { }^{14} P_7$
$\Rightarrow \frac{15!}{7!} = A + 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$\Rightarrow A = \frac{15!}{7!} - 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$\Rightarrow A = \frac{15 \cdot 14!}{7!} - \frac{8 \cdot 14!}{7!}$
$\Rightarrow A = \frac{14!}{7!} (15 - 8)$
$\Rightarrow A = \frac{14!}{7!} \cdot 7$
$\Rightarrow A = \frac{14!}{6!} = { }^{14} P_8$

(B) $PERFECTION$ शब्द में $10$ अक्षर हैं: $P, E, R, F, E, C, T, I, O, N$.
स्वर $E, E, I, O$ हैं ($4$ स्वर)।
व्यंजन $P, R, F, C, T, N$ हैं ($6$ व्यंजन)।
किन्हीं भी दो स्वरों के बीच ठीक दो व्यंजन होने की व्यवस्था के तरीकों की संख्या $3! \times 6!$ है।

(C) $LETTER$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $E, E, L, R, T, T$। अक्षरों की आवृत्ति $E: 2, L: 1, R: 1, T: 2$ है।
शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित करने पर,$TETLER$ का रैंक $141$ प्राप्त होता है।

(A) उपलब्ध अंक ${0, 1, 2, 3, 5, 7}$ हैं। एक $5$-अंकीय संख्या $0$ से शुरू नहीं हो सकती।
$1$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$।
$2$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$।
$3$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$।
$5$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$।
$1, 2, 3, 5$ से शुरू होने वाली कुल संख्याएँ $120 \times 4 = 480$ हैं।
अब,$7$ से शुरू होने वाली संख्याओं पर विचार करें:
$70123, 70125, 70132, 70135, 70152, 70153, 70213, 70215, 70231, 70235, 70251, 70253, 70312, 70315, 70321, 70325, 70351, 70352, 70512, 70513$।
इनकी गणना करने पर,$70513$ संख्या $7$ से शुरू होने वाली $20$वीं संख्या है।
रैंक $= 480 + 20 = 500$।

(D) दिया गया समीकरण ${}^{27}P_{r+7} = 7722 \times {}^{25}P_{r+4}$ है।
सूत्र ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{27!}{(27-(r+7))!} = 7722 \times \frac{25!}{(25-(r+4))!}$
$\frac{27!}{(20-r)!} = 7722 \times \frac{25!}{(21-r)!}$
$\frac{27 \times 26 \times 25!}{(20-r)!} = 7722 \times \frac{25!}{(21-r)(20-r)!}$
$27 \times 26 = \frac{7722}{21-r}$
$702 = \frac{7722}{21-r}$
$21-r = \frac{7722}{702} = 11$
$r = 21 - 11 = 10$.
अतः,$r = 10$।

(D) '$AGAIN$' शब्द में $5$ अक्षर हैं: $A, A, G, I, N$. कुल क्रमचय की संख्या $\frac{5!}{2!} = 60$ है।
शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, A, G, I, N$।
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, G, I, N$ हैं। क्रमचय = $4! = 24$।
$2$. $G$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, A, I, N$ हैं। क्रमचय = $\frac{4!}{2!} = 12$। कुल = $24 + 12 = 36$।
$3$. $I$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, A, G, N$ हैं। क्रमचय = $\frac{4!}{2!} = 12$। कुल = $36 + 12 = 48$।
$4$. $N$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $NAAIG$ $49^{th}$ शब्द है।
- $NAAGI$ $50^{th}$ शब्द है।

(B) $6000$ से बड़ी पूर्णांक संख्या बनाने के लिए,हम $4$-अंकीय या $5$-अंकीय संख्याएँ बना सकते हैं।
स्थिति $1$: $6000$ से बड़ी $4$-अंकीय संख्याएँ।
पहला अंक $6, 7, 8,$ या $9$ हो सकता है ($4$ विकल्प)।
शेष $3$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $= 4 \times 60 = 240$।
स्थिति $2$: $5$-अंकीय संख्याएँ।
इन अंकों का उपयोग करके बनने वाली सभी $5$-अंकीय संख्याएँ $6000$ से बड़ी होती हैं।
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($5$ विकल्प)।
शेष $4$ स्थानों के लिए $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ तरीके।
कुल $5$-अंकीय संख्याएँ $= 5 \times 120 = 600$।
कुल संख्याएँ $= 240 + 600 = 840$।

(B) $CRICKET$ शब्द के अक्षर $C, C, E, I, K, R, T$ हैं। कुल $7$ अक्षर हैं,जिसमें $C$ दो बार आता है।
शब्दकोश के क्रम के अनुसार व्यवस्थित करने पर,$CRICKET$ शब्द की रैंक $531$ प्राप्त होती है।

(C) $MASTER$ शब्द के अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, E, M, R, S, T$.
$MASTER$ की रैंक ज्ञात करने के लिए,हम शब्दकोश के क्रम में इससे पहले आने वाले शब्दों की गणना करते हैं:
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$2$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$3$. $MA E...$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$4$. $MA R...$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$5$. $MA S E...$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$6$. $MA S R...$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$7$. अगला शब्द $MASTER$ है: $1$
कुल रैंक $= 120 + 120 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 257$.

(C) '$REPETITION$' शब्द में $10$ अक्षर हैं: $R, E, E, P, E, T, I, T, I, O, N$। भिन्न अक्षर ${R, E, P, T, I, O, N}$ हैं,जिनमें $E, I, T$ दो बार आते हैं।
स्थिति-$I$: सभी $4$ अक्षर अलग हों।
$7$ भिन्न अक्षरों में से $4$ अक्षर चुनकर व्यवस्थित करने पर: $^7P_4 = 840$।
स्थिति-$II$: $2$ अक्षर समान और $2$ अक्षर अलग हों।
$3$ जोड़ों ${E, E}, {I, I}, {T, T}$ में से $1$ जोड़ा और शेष $6$ अक्षरों में से $2$ अक्षर चुनने पर: $^3C_1 \times ^6C_2 \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 15 \times 12 = 540$।
स्थिति-$III$: $2$ अक्षर एक प्रकार के और $2$ अक्षर दूसरे प्रकार के हों।
$3$ जोड़ों में से $2$ जोड़े चुनने पर: $^3C_2 \times \frac{4!}{2!2!} = 3 \times 6 = 18$।
कुल क्रमचय $= 840 + 540 + 18 = 1398$।

(B) एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य हो। उपलब्ध अंक $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।
$4$-अंकीय संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4$ के लिए,$d_1 \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ विकल्प),$d_2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ विकल्प)।
अंतिम दो अंक $d_3 d_4$ ऐसी संख्या बनानी चाहिए जो $4$ से विभाज्य हो। संभावित जोड़े $(d_3, d_4)$ हैं:
$00, 04, 12, 20, 24, 32, 40, 44$।
ऐसे $8$ जोड़े हैं।
कुल संख्याएँ $= 4 \times 5 \times 8 = 160$।

(D) हमें $\{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ अंकों का उपयोग करके छह अंकों की संख्या बनानी है।
कुल $8$ अंक उपलब्ध हैं।
छह अंकों की संख्या के लिए,पहला अंक (लाख के स्थान पर) $0$ नहीं हो सकता है। इसलिए,पहले अंक के लिए $7$ विकल्प हैं $(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\})$।
चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है,शेष $5$ स्थानों में से प्रत्येक को $8$ उपलब्ध अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है।
इसलिए,छह अंकों की संख्याओं की कुल संख्या:
$7 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 7 \times 8^5$
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$।
अतः,ऐसी छह अंकों की संख्याओं की कुल संख्या $7 \times 2^{15}$ है।