Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Hindi

(B) $1^{st}$ रिंग में $10$ अंक $(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ हैं।
$2^{nd}$ रिंग में $2$ से बड़े और $30$ से छोटे अभाज्य अंक हैं: ${3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}$। ऐसे कुल $9$ अंक हैं।
$3^{rd}$ रिंग में सभी स्वर हैं: ${a, e, i, o, u}$। ऐसे कुल $5$ स्वर हैं।
लॉक खोलने के कुल तरीके $= 10 \times 9 \times 5 = 450$।
चूंकि लॉक खोलने के लिए केवल $1$ ही सही संयोजन है,इसलिए असफल प्रयासों की कुल संख्या $= 450 - 1 = 449$।

(B) $1, 2, 3, 4$ अंकों के कुल क्रमचयों की संख्या $4! = 24$ है।
हम उन स्थितियों को बाहर करना चाहते हैं जहाँ $n+1$ अंक $n$ के ठीक बाद आता है। ये पैटर्न $12, 23, 34$ हैं।
माना $S$ सभी क्रमचयों का समुच्चय है। माना $A$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जिनमें $12$ है,$B$ जिनमें $23$ है,और $C$ जिनमें $34$ है।
हम $24 - |A \cup B \cup C|$ ज्ञात करना चाहते हैं।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$|A| = |B| = |C| = 3! = 6$.
$|A \cap B|$ ($123$ युक्त) = $2! = 2$.
$|B \cap C|$ ($234$ युक्त) = $2! = 2$.
$|A \cap C|$ ($12$ और $34$ युक्त) = $2! = 2$.
$|A \cap B \cap C|$ ($1234$ युक्त) = $1! = 1$.
$|A \cup B \cup C| = (6+6+6) - (2+2+2) + 1 = 18 - 6 + 1 = 13$.
कुल मान्य संख्याएँ = $24 - 13 = 11$.

(D) $n$-अंकीय संख्या के प्रत्येक स्थान को $3$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंकों $2, 5$ या $7$ का उपयोग करके)।
अतः,कुल भिन्न $n$-अंकीय संख्याएँ $3^n$ हैं।
हमें $n$ का वह न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात करना है जिसके लिए $3^n \geq 900$ हो।
$3$ की घातों की गणना करने पर:
$3^6 = 729$
$3^7 = 2187$
चूँकि $3^6 = 729 < 900$ और $3^7 = 2187 \geq 900$ है,इसलिए $n$ का न्यूनतम मान $7$ है।

(A) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $3$ से विभाज्य है,तो वह संख्या स्वयं $3$ से विभाज्य होती है।
हजार के स्थान पर $2, 3$ या $4$ आ सकते हैं क्योंकि संख्या $2,000$ और $5,000$ के बीच है।
स्थिति $1$: हजार के स्थान पर $2$ हो।
शेष $3$ अंकों को ${0, 1, 3, 4}$ से इस प्रकार चुनना है कि योग $3$ से विभाज्य हो:
- ${0, 1, 3}$ (योग $= 6$)
- ${0, 3, 4}$ (योग $= 9$)
प्रत्येक समूह को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। कुल $= 2 \times 6 = 12$.
स्थिति $2$: हजार के स्थान पर $3$ हो।
शेष $3$ अंकों को ${0, 1, 2, 4}$ से चुनना है:
- ${0, 1, 2}$ (योग $= 6$)
- ${0, 2, 4}$ (योग $= 9$)
कुल $= 2 \times 6 = 12$.
स्थिति $3$: हजार के स्थान पर $4$ हो।
शेष $3$ अंकों को ${0, 1, 2, 3}$ से चुनना है:
- ${0, 2, 3}$ (योग $= 9$)
कुल $= 1 \times 6 = 6$.
कुल संख्याएँ $= 12 + 12 + 6 = 30$.

(C) $QUEEN$ शब्द के अक्षर $E, E, N, Q, U$ हैं। वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $E, E, N, Q, U$.
$(i)$ $E$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $E, N, Q, U$ हैं। शब्दों की संख्या $= 4! = 24$.
$(ii)$ $N$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $E, E, Q, U$ हैं। शब्दों की संख्या $= \frac{4!}{2!} = 12$.
$(iii)$ $QE$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $E, N, U$ हैं। शब्दों की संख्या $= 3! = 6$.
$(iv)$ $QN$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $E, E, U$ हैं। शब्दों की संख्या $= \frac{3!}{2!} = 3$.
$(v)$ अगला शब्द स्वयं $QUEEN$ है,जो $1$ स्थान पर आता है।
अतः,$QUEEN$ शब्द का रैंक $= 24 + 12 + 6 + 3 + 1 = 46^{th}$.

(B) $MEDITERRANEAN$ शब्द में $13$ अक्षर हैं: $M(1), E(3), D(1), I(1), T(1), R(2), A(2), N(2)$.
हमें $R \_ \_ E$ रूप के $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाने हैं।
बीच के दो स्थानों को दो तरीकों से भरा जा सकता है:
$1$. दोनों अक्षर समान हों: उपलब्ध जोड़े $(E, E), (A, A), (N, N)$ हैं। ऐसे $3$ जोड़े हैं।
$2$. दोनों अक्षर भिन्न हों: हम ${M, E, D, I, T, R, A, N}$ समुच्चय से $2$ भिन्न अक्षर चुनते हैं। कुल $8$ भिन्न अक्षर उपलब्ध हैं। बीच के $2$ स्थानों में $2$ भिन्न अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $^8P_2 = 8 \times 7 = 56$ हैं।
शब्दों की कुल संख्या = $3 56 = 59$.

(B) $3, 4, 5,$ और $6$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $4-$ अंकीय संख्या बनाने के लिए,हमारे पास कुल $4! = 24$ संख्याएँ हैं।
यदि हम इकाई के स्थान पर एक अंक को निश्चित करते हैं,तो शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3! = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
इसलिए,प्रत्येक अंक $3, 4, 5,$ और $6$ इकाई के स्थान पर ठीक $6$ बार आता है।
इकाई के स्थान के अंकों का योग है:
$= (6 \times 3) + (6 \times 4) + (6 \times 5) + (6 \times 6)$
$= 6 \times (3 + 4 + 5 + 6)$
$= 6 \times 18$
$= 108$

(B) कुल $8$ अंक हैं। विषम स्थान $1, 3, 5, 7$ ($4$ स्थान) हैं और सम स्थान $2, 4, 6, 8$ ($4$ स्थान) हैं।
दिए गए अंक $1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ हैं। विषम अंक $1, 1, 3$ (कुल $3$ अंक) हैं और सम अंक $2, 2, 2, 4, 4$ (कुल $5$ अंक) हैं।
शर्त के अनुसार विषम अंक विषम स्थानों पर नहीं होने चाहिए,यानी $3$ विषम अंकों को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करना है।
$3$ विषम अंकों को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!} = 12$ हैं।
शेष $5$ अंकों को शेष $5$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{3!2!} = 10$ हैं।
अतः,कुल संख्याएँ $12 \times 10 = 120$ हैं।

(D) अंकों का समूह $\{2, 3, 5, 7, 9\}$ है। बिना पुनरावृत्ति के बनने वाली कुल $5$-अंकीय संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
$p$ के लिए: संख्याएँ $20000$ से अधिक होनी चाहिए। चूँकि सभी दिए गए अंक $\ge 2$ हैं,इसलिए इन अंकों का उपयोग करके बनने वाली कोई भी $5$-अंकीय संख्या $\ge 23579$ होगी,जो $20000$ से अधिक है। अतः,$p = 5! = 120$.
$q$ के लिए: संख्याएँ $30000$ और $90000$ के बीच होनी चाहिए। इसका मतलब है कि पहला अंक $3, 5,$ या $7$ होना चाहिए।
पहले अंक के लिए $3$ विकल्प हैं। शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $4!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,$q = 3 \times 4! = 3 \times 24 = 72$.
अनुपात $p : q = 120 : 72$ है।
दोनों को $24$ से विभाजित करने पर,हमें $120/24 : 72/24 = 5 : 3$ प्राप्त होता है।

(A) अक्षरों का समूह $\{a, b, c, d, e, f\}$ है,जिसमें $2$ स्वर $(\{a, e\})$ और $4$ व्यंजन $(\{b, c, d, f\})$ हैं।
हमें कम से कम एक स्वर वाले $3$ अक्षरों की व्यवस्था बनानी है।
कम से कम एक स्वर वाली कुल व्यवस्था = ($3$ अक्षरों की कुल व्यवस्था) - (बिना किसी स्वर वाली व्यवस्था)।
$6$ अलग अक्षरों में से $3$ अक्षरों की कुल व्यवस्था = $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$।
बिना किसी स्वर वाली व्यवस्था (केवल व्यंजन) = $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$।
अतः,कम से कम एक स्वर वाली व्यवस्थाओं की कुल संख्या = $120 - 24 = 96$।

(B) हमें ${0, 1, 3, 7, 9}$ अंकों का उपयोग करके $7,000$ से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ ज्ञात करनी हैं।
स्थिति $1$: $1, 2$ या $3$ अंकों वाली संख्याएँ।
$1$ अंक की संख्या के लिए $4$ विकल्प हैं: ${1, 3, 7, 9}$।
$2$ अंकों की संख्या के लिए पहले स्थान पर $4$ और दूसरे पर $5$ विकल्प हैं: $4 \times 5 = 20$।
$3$ अंकों की संख्या के लिए पहले स्थान पर $4$ और बाकी दो स्थानों पर $5$ विकल्प हैं: $4 \times 5 \times 5 = 100$।
कुल $= 4 + 20 + 100 = 124$।
स्थिति $2$: $7,000$ से छोटी $4$ अंकों वाली संख्याएँ।
पहला अंक $1$ या $3$ हो सकता है ($2$ विकल्प)।
बाकी तीन स्थानों के लिए $5$ अंकों में से कोई भी आ सकता है ($5 \times 5 \times 5 = 125$ विकल्प)।
कुल $4$ अंकों की संख्याएँ $= 2 \times 125 = 250$।
कुल संख्या $= 124 + 250 = 374$।

(A) कुल अंकों की संख्या $9$ है। अंक $1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ हैं।
विषम अंक $1, 1, 3$ हैं (कुल $3$ विषम अंक)।
सम अंक $2, 2, 2, 2, 4, 4$ हैं (कुल $6$ सम अंक)।
$4$ सम स्थान $(2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, 8^{th})$ और $5$ विषम स्थान $(1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, 7^{th}, 9^{th})$ हैं।
$4$ सम स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $^4C_3$ हैं।
$3$ विषम अंकों को इन $3$ स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{3!}{2!} = 3$ हैं।
शेष $6$ अंकों को शेष $6$ स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{6!}{4!2!} = 15$ हैं।
कुल संख्याएँ $= ^4C_3 \times \frac{3!}{2!} \times \frac{6!}{4!2!} = 4 \times 3 \times 15 = 180$.

(C) हमें $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ अंकों का उपयोग करके $4321$ से बड़ी चार अंकों की संख्याएँ ज्ञात करनी हैं।
स्थिति $1$: $5$ से शुरू होने वाली संख्याएँ:
पहला अंक $5$ है। शेष $3$ स्थानों को $6$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है।
तरीकों की संख्या $= 1 \times 6 \times 6 \times 6 = 216$.
स्थिति $2$: $44$ या $45$ से शुरू होने वाली संख्याएँ:
पहला अंक $4$ है। दूसरा अंक $4$ या $5$ ($2$ विकल्प) है। शेष $2$ स्थानों को $6$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है।
तरीकों की संख्या $= 1 \times 2 \times 6 \times 6 = 72$.
स्थिति $3$: $43$ से शुरू होने वाली संख्याएँ:
पहले दो अंक $43$ हैं। तीसरा अंक $2$ से बड़ा होना चाहिए,यानी $3, 4, 5$ ($3$ विकल्प)।
चौथा अंक $6$ अंकों में से कोई भी हो सकता है।
तरीकों की संख्या $= 1 \times 1 \times 3 \times 6 = 18$.
स्थिति $4$: $432$ से शुरू होने वाली संख्याएँ:
पहले तीन अंक $432$ हैं। चौथा अंक $1$ से बड़ा होना चाहिए,यानी $2, 3, 4, 5$ ($4$ विकल्प)।
तरीकों की संख्या $= 1 \times 1 \times 1 \times 4 = 4$.
कुल संख्या $= 216 + 72 + 18 + 4 = 310$.

(A) $6$-अंकों की संख्या बनाने के लिए जिसमें सभी पाँच अंक $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ शामिल हों,एक अंक को दो बार और शेष चार अंकों को एक-एक बार आना चाहिए।
चरण $1$: $5$ अंकों में से दोहराए जाने वाले अंक को चुनने के तरीके $^5C_1 = 5$ हैं।
चरण $2$: इन $6$ अंकों का क्रमचय $\frac{6!}{2!}$ है।
चरण $3$: कुल संख्याएँ $^5C_1 \times \frac{6!}{2!} = 5 \times 360 = 1800$ हैं।
नोट: $\frac{5}{2}(6!) = 1800$। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) पाँच अंकों की संख्या को $\_ \;\_\;\_\;\underline{2}\;\_$. के रूप में दर्शाया जा सकता है।
$10$ वाँ स्थान $2$ के रूप में निश्चित है।
$10,000$ वें स्थान के लिए,हम $0$ या $2$ का उपयोग नहीं कर सकते,इसलिए $8$ विकल्प $(1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ हैं।
$1,000$ वें स्थान के लिए,हम $0$ और शेष $7$ अंकों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं,इसलिए $8$ विकल्प हैं।
$100$ वें स्थान के लिए,शेष $7$ विकल्प हैं।
इकाई के स्थान के लिए,शेष $6$ विकल्प हैं।
ऐसी पाँच अंकों की संख्याओं की कुल संख्या $= 8 \times 8 \times 7 \times 6 = 2688$ है।
दिया गया है कि संख्या $336k$ है,इसलिए $336k = 2688$ है।
अतः,$k = \frac{2688}{336} = 8$।

(A) $ROSE$ शब्द में $4$ अलग-अलग अक्षर हैं: $R, O, S, E$।
पुनरावृत्ति के बिना $4$ अक्षरों वाला शब्द बनाने के लिए,हमें इन $4$ अक्षरों को $4$ रिक्त स्थानों में व्यवस्थित करना होगा।
पहला स्थान $4$ तरीकों से भरा जा सकता है।
दूसरा स्थान $3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
तीसरा स्थान $2$ तरीकों से भरा जा सकता है।
चौथा स्थान $1$ तरीके से भरा जा सकता है।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,शब्दों की कुल संख्या $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ है।

(A) $4$ अलग-अलग रंगों के झंडों द्वारा क्रमिक रूप से $2$ रिक्त स्थानों को भरने के जितने तरीके होंगे,उतने ही संकेत बनेंगे।
ऊपरी रिक्त स्थान को $4$ झंडों में से किसी एक द्वारा $4$ अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है।
इसके बाद,निचले रिक्त स्थान को शेष $3$ अलग-अलग झंडों में से किसी एक द्वारा $3$ अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,गुणन सिद्धांत के अनुसार,आवश्यक संकेतों की संख्या $= 4 \times 3 = 12$.

(A) $2$ अंकों की संख्या में दहाई का स्थान और इकाई का स्थान होता है।
संख्या के सम होने के लिए,इकाई के स्थान पर $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ समुच्चय से एक सम अंक होना चाहिए।
उपलब्ध सम अंक $2$ और $4$ हैं। अतः,इकाई के स्थान को $2$ तरीकों से भरा जा सकता है।
चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है,दहाई के स्थान को दिए गए $5$ अंकों $(1, 2, 3, 4, 5)$ में से किसी भी अंक से भरा जा सकता है। अतः,दहाई के स्थान को $5$ तरीकों से भरा जा सकता है।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,कुल $2$ अंकों की सम संख्याएँ $5 \times 2 = 10$ हैं।

(A) दिए गए $5$ अंकों $(1, 2, 3, 4, 5)$ द्वारा $3$ रिक्त स्थानों को भरा जाना है।
चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है,इसलिए प्रत्येक $3$ स्थानों को $5$ अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,कुल $3$-अंकीय संख्याएँ $5 \times 5 \times 5 = 125$ होंगी।

(A) $1, 2, 3, 4$ और $5$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $3$-अंकीय संख्या बनाने के लिए,हमें $3$ स्थानों (सैकड़ा,दहाई और इकाई) को भरना होगा।
सैकड़े के स्थान को $5$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंकों $1, 2, 3, 4, 5$ में से किसी का भी उपयोग करके)।
चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,इसलिए दहाई के स्थान को शेष $4$ अंकों में से भरा जा सकता है।
इकाई के स्थान को शेष $3$ अंकों में से भरा जा सकता है।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,कुल $3$-अंकीय संख्याओं की संख्या $5 \times 4 \times 3 = 60$ है।

(A) $3$ अंकों की सम संख्या बनाने के लिए,इकाई के स्थान पर दिए गए समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ में से एक सम अंक होना चाहिए।
उपलब्ध सम अंक $2, 4, 6$ हैं। अतः,इकाई का स्थान $3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है,दहाई का स्थान $6$ अंकों में से किसी भी अंक द्वारा $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
इसी प्रकार,सैकड़े का स्थान $6$ अंकों में से किसी भी अंक द्वारा $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,$3$ अंकों की कुल सम संख्याएँ $6 \times 6 \times 3 = 108$ हैं।

(A) $4$-अक्षरीय कोड बनाने के तरीकों की संख्या अंग्रेजी वर्णमाला के पहले $10$ अक्षरों का उपयोग करके क्रमिक रूप से $4$ रिक्त स्थानों को भरने के तरीकों के बराबर है,जहाँ पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है।
पहला स्थान $10$ तरीकों से भरा जा सकता है।
दूसरा स्थान $9$ तरीकों से भरा जा सकता है।
तीसरा स्थान $8$ तरीकों से भरा जा सकता है।
चौथा स्थान $7$ तरीकों से भरा जा सकता है।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,कुल तरीकों की संख्या $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$ है।
अतः,$5040$ चार-अक्षरीय कोड बनाए जा सकते हैं।

(A) $5$-अंकीय टेलीफोन नंबर $67$ से शुरू होता है।
इसका मतलब है कि पहले दो स्थान $6$ और $7$ के रूप में निश्चित हैं।
चूंकि किसी भी अंक को दोहराया नहीं जा सकता है,इसलिए हमारे पास शेष $3$ स्थानों को भरने के लिए $10 - 2 = 8$ अंक बचे हैं।
तीसरे स्थान को $8$ तरीकों से भरा जा सकता है।
चौथे स्थान को $7$ तरीकों से भरा जा सकता है।
पांचवें स्थान को $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,ऐसे कुल टेलीफोन नंबरों की संख्या $8 \times 7 \times 6 = 336$ है।

(B) जब एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है,तो परिणामों की संख्या $2$ (चित और पट) होती है।
चूंकि सिक्के को $3$ बार उछाला जाता है,इसलिए गुणन सिद्धांत के अनुसार,कुल संभावित परिणामों की संख्या $2 \times 2 \times 2 = 8$ है।

(A) प्रत्येक संकेत के लिए $2$ झंडों का उपयोग एक के नीचे एक करना आवश्यक है।
संकेतों की संख्या $5$ अलग-अलग रंगों के झंडों का उपयोग करके क्रमिक रूप से $2$ रिक्त स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या के बराबर है।
ऊपरी रिक्त स्थान को $5$ झंडों में से किसी एक द्वारा $5$ अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है।
ऊपरी स्थान को भरने के बाद,निचले रिक्त स्थान को शेष $4$ झंडों में से किसी एक द्वारा $4$ अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,उत्पन्न किए जा सकने वाले कुल अलग-अलग संकेतों की संख्या $5 \times 4 = 20$ है।

(A) एक संख्या $n$ का फैक्टोरियल,जिसे $n!$ द्वारा दर्शाया जाता है,$1$ से $n$ तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है।
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

(A) एक संख्या $n$ का फैक्टोरियल,जिसे $n!$ द्वारा दर्शाया जाता है,$1$ से $n$ तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है।
$7! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = 5040$

(A) हम जानते हैं कि $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1$.
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
अतः,$7! - 5! = 5040 - 120 = 4920$.

(A) हमारे पास $\frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!}$ है।
अंश और हर से $5!$ को काटने पर,हमें $7 \times 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{7!}{5!} = 42$।

(A) किसी संख्या $n$ का फैक्टोरियल $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ के रूप में परिभाषित होता है।
$n = 8$ के लिए,हमारे पास है:
$8! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 = 40320$.

(A) हम जानते हैं कि एक संख्या $n$ का फैक्टोरियल $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ के रूप में परिभाषित होता है।
सबसे पहले,$4!$ की गणना करें:
$4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.
इसके बाद,$3!$ की गणना करें:
$3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$.
अंत में,मानों को घटाएं:
$4! - 3! = 24 - 6 = 18$.

(B) $3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$
$4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$
$\therefore 3! + 4! = 6 + 24 = 30$
$7! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = 5040$
$\therefore 3! + 4! \neq 7!$

(B) दी गई व्यंजक $\frac{n!}{(n-r)!}$ है।
$n=6$ और $r=2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!}$
$= \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!}$
$= 6 \times 5 = 30$.

(A) यहाँ $n=9$ और $r=5$ दिया गया है।
व्यंजक $\frac{n!}{(n-r)!}$ में इन मानों को रखने पर:
$\frac{9!}{(9-5)!} = \frac{9!}{4!}$
$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!}$
$= 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5$
$= 15120$.

(A) $ALLAHABAD$ शब्द में कुल $9$ अक्षर हैं।
इन अक्षरों की आवृत्ति इस प्रकार है:
$A: 4$
$L: 2$
$H: 1$
$B: 1$
$D: 1$
क्रमचय के सूत्र का उपयोग करते हुए,व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{9!}{4! 2!} = \frac{362880}{24 \times 2} = 7560$.

(A) चूंकि अंकों का क्रम मायने रखता है,इसलिए हम $9$ अलग-अलग अंकों में से एक बार में $4$ अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों (permutations) की संख्या ज्ञात कर रहे हैं।
$4$-अंकीय संख्या बनाने के तरीकों की संख्या क्रमचय सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 9$ और $r = 4$ है।
अतः,$4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $= ^9P_4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$.

(A) $100$ और $1000$ के बीच की प्रत्येक संख्या $3$ अंकों की होती है।
$3$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,सैकड़े के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता।
सैकड़े का स्थान $5$ अंकों $(1, 2, 3, 4, 5)$ में से किसी एक से भरा जा सकता है,इसलिए $5$ विकल्प हैं।
दहाई का स्थान शेष $5$ अंकों ($0$ सहित) में से किसी एक से भरा जा सकता है,इसलिए $5$ विकल्प हैं।
इकाई का स्थान शेष $4$ अंकों में से किसी एक से भरा जा सकता है,इसलिए $4$ विकल्प हैं।
अतः,ऐसी कुल $3$ अंकों की संख्याएँ $5 \times 5 \times 4 = 100$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $^{n}P_{5} = 42 \, ^{n}P_{3}$ है।
सूत्र $^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 42 \, n(n-1)(n-2)$.
चूँकि $n > 4$,इसलिए $n(n-1)(n-2) \neq 0$ है। दोनों पक्षों को $n(n-1)(n-2)$ से विभाजित करने पर:
$(n-3)(n-4) = 42$.
$n^{2} - 7n + 12 = 42$.
$n^{2} - 7n - 30 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n-10)(n+3) = 0$.
इससे $n = 10$ या $n = -3$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए और $n > 4$ है,इसलिए $n = -3$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$n = 10$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\frac{^{n}P_{4}}{^{n-1}P_{4}} = \frac{5}{3}$ है।
सूत्र $^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{n!}{(n-4)!}}{\frac{(n-1)!}{(n-5)!}} = \frac{5}{3}$.
इसे सरल करने पर $\frac{n \times (n-1)!}{(n-4) \times (n-5)!} \times \frac{(n-5)!}{(n-1)!} = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
$\frac{n}{n-4} = \frac{5}{3}$.
वज्र-गुणन करने पर $3n = 5(n-4)$.
$3n = 5n - 20$.
$2n = 20$.
$n = 10$.

(A) दिया गया समीकरण: $5 \times ^{4}P_{r} = 6 \times ^{5}P_{r-1}$
सूत्र $^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$5 \times \frac{4!}{(4-r)!} = 6 \times \frac{5!}{(6-r)!}$
चूंकि $5! = 5 \times 4!$,हम लिख सकते हैं:
$5 \times \frac{4!}{(4-r)!} = 6 \times \frac{5 \times 4!}{(6-r)(5-r)(4-r)!}$
दोनों पक्षों को $5 \times 4!$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{6}{(6-r)(5-r)}$
$(6-r)(5-r) = 6$
$r^{2} - 11r + 24 = 0$
$(r-8)(r-3) = 0$
अतः,$r = 8$ या $r = 3$।
लेकिन $^{4}P_{r}$ के लिए,$r \leq 4$ होना चाहिए।
इसलिए,$r = 8$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,$r = 3$।

(A) $DAUGHTER$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $D, A, U, G, H, T, E, R$.
इसमें $3$ स्वर हैं: $A, U, E$ और $5$ व्यंजन हैं: $D, G, H, T, R$.
चूँकि स्वर एक साथ आने चाहिए,हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं: $(AUE)$.
अब,$5$ व्यंजन और $1$ स्वर की इकाई मिलकर कुल $6$ वस्तुएँ होती हैं।
इन $6$ वस्तुओं को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
स्वर इकाई के भीतर,$3$ स्वरों $(A, U, E)$ को आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,कुल व्यवस्थाएँ $= 6! \times 3!$.
$6! = 720$ और $3! = 6$.
कुल व्यवस्थाएँ $= 720 \times 6 = 4320$.

(A) $DAUGHTER$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $D, A, U, G, H, T, E, R$। स्वर $A, U, E$ ($3$ स्वर) हैं और व्यंजन $D, G, H, T, R$ ($5$ व्यंजन) हैं।
$8$ अक्षरों के कुल विन्यास $= 8! = 40320$।
उन विन्यासों को ज्ञात करने के लिए जहाँ सभी स्वर एक साथ हों,$(A, U, E)$ को एक इकाई के रूप में मानें। अब हमारे पास $5$ व्यंजन $+ 1$ इकाई $= 6$ वस्तुएं हैं,जिन्हें $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इकाई के भीतर के $3$ स्वरों को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
उन विन्यासों की संख्या जहाँ स्वर एक साथ हों $= 6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$।
उन विन्यासों की संख्या जहाँ स्वर एक साथ न हों $=$ कुल विन्यास $-$ वे विन्यास जहाँ स्वर एक साथ हों।
$= 40320 - 4320 = 36000$।

(A) डिस्क की कुल संख्या $4 + 3 + 2 = 9$ है।
चूंकि एक ही रंग की डिस्क एक-दूसरे से अलग नहीं की जा सकती हैं,इसलिए हम क्रमचय के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3!}$.
यहाँ,$n = 9$,$n_1 = 4$ (लाल),$n_2 = 3$ (पीली),और $n_3 = 2$ (हरी)।
अतः,व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{9!}{4! 3! 2!} = \frac{362880}{24 \times 6 \times 2} = \frac{362880}{288} = 1260$ है।

(A) $INDEPENDENCE$ शब्द में $12$ अक्षर हैं: $I(1), N(3), D(2), E(4), P(1), C(1)$.
$P$ से शुरू होने वाले विन्यासों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $P$ को पहले स्थान पर स्थिर करते हैं।
अब,हमें शेष $11$ अक्षरों को व्यवस्थित करने की आवश्यकता है: $I(1), N(3), D(2), E(4), C(1)$.
विन्यासों की संख्या $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3! ...}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 11$,$n_1 = 3$ ($N$ के लिए),$n_2 = 2$ ($D$ के लिए),और $n_3 = 4$ ($E$ के लिए)।
विन्यासों की संख्या $= \frac{11!}{3! 2! 4!} = \frac{39916800}{6 \times 2 \times 24} = \frac{39916800}{288} = 138600$.

(A) $INDEPENDENCE$ शब्द में $12$ अक्षर हैं: $I(1), N(3), D(2), E(4), P(1), C(1)$.
इसमें $5$ स्वर हैं: $E, E, E, E, I$.
$5$ स्वरों को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $7$ व्यंजन और $1$ स्वर-समूह है,कुल $8$ वस्तुएं हैं।
इन $8$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके,जहाँ $N$ तीन बार और $D$ दो बार आता है,$\frac{8!}{3!2!}$ हैं।
$5$ स्वरों $(E, E, E, E, I)$ को आपस में $\frac{5!}{4!}$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,कुल विन्यासों की संख्या $\frac{8!}{3!2!} \times \frac{5!}{4!} = 16800$ है।

(B) $INDEPENDENCE$ शब्द में $12$ अक्षर हैं: $I(1), N(3), D(2), E(4), P(1), C(1)$.
कुल विन्यास $= \frac{12!}{3! \times 2! \times 4!} = 1663200$.
सभी स्वरों $(I, E, E, E, E)$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $8$ व्यंजन और $1$ स्वर इकाई है। कुल इकाइयाँ $= 9$.
स्वर एक साथ होने वाले विन्यास $= \frac{9!}{3! \times 2!} \times \frac{5!}{4!} = 151200$.
उन विन्यासों की संख्या जिनमें स्वर कभी एक साथ नहीं आते $= 1663200 - 151200 = 1512000$.

(A) $INDEPENDENCE$ शब्द में $12$ अक्षर हैं: $I(2), N(3), D(2), E(4), P(1)$.
$I$ से शुरू होने वाले और $P$ पर समाप्त होने वाले विन्यासों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $I$ को पहले स्थान पर और $P$ को अंतिम स्थान पर स्थिर करते हैं।
शेष $10$ अक्षर हैं: $I(1), N(3), D(2), E(4)$.
विन्यासों की संख्या $= \frac{10!}{1! 3! 2! 4!} = 12600$.

(A) $1$ से $9$ तक के अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $3$-अंकीय संख्या बनाने के लिए,हमें $9$ में से $3$ अलग-अलग अंकों को व्यवस्थित करने की आवश्यकता है।
अंकों का क्रम महत्वपूर्ण है,इसलिए हम क्रमचय (permutation) सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$n = 9$ और $r = 3$ है।
आवश्यक $3$-अंकीय संख्याओं की संख्या $= ^9P_3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!}$.
$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

(A) $4$-अंकीय संख्या में चार स्थान होते हैं: हजार,सैकड़ा,दहाई और इकाई।
हजार का स्थान ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ के किसी भी अंक से भरा जा सकता है। अतः,हजार के स्थान के लिए $9$ विकल्प हैं।
सैकड़े का स्थान शेष $9$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है ($0$ सहित,लेकिन हजार के स्थान पर उपयोग किए गए अंक को छोड़कर)। अतः,सैकड़े के स्थान के लिए $9$ विकल्प हैं।
दहाई का स्थान शेष $8$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है। अतः,दहाई के स्थान के लिए $8$ विकल्प हैं।
इकाई का स्थान शेष $7$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है। अतः,इकाई के स्थान के लिए $7$ विकल्प हैं।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,बिना किसी अंक की पुनरावृत्ति वाली कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536$ हैं।

(C) $3$-अंकीय सम संख्या बनाने के लिए,इकाई के स्थान पर $\{1, 2, 3, 4, 6, 7\}$ समुच्चय से एक सम अंक होना चाहिए।
उपलब्ध सम अंक $2, 4,$ और $6$ हैं। अतः,इकाई के स्थान को $3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती,इसलिए इकाई के स्थान को भरने के बाद,सैकड़ा और दहाई के स्थान को भरने के लिए $5$ अंक शेष बचते हैं।
शेष $5$ अंकों का उपयोग करके सैकड़ा और दहाई के स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या क्रमचय सूत्र $^5P_2$ द्वारा दी जाती है।
$^5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 5 \times 4 = 20$.
गुणन सिद्धांत के अनुसार,$3$-अंकीय सम संख्याओं की कुल संख्या $3 \times 20 = 60$ है।