Mix Examples-Pair of straight lines Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{a} + \frac{2}{h}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{b}(\frac{y}{x})^2 = 0$ મળે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$ એ રેખાઓનો ઢાળ છે. તેથી $\frac{1}{b}m^2 + \frac{2}{h}m + \frac{1}{a} = 0$.
ધારો કે ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $m_2 = 2m_1$.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2b}{h}$.
તેથી,$3m_1 = -\frac{2b}{h} \Rightarrow m_1 = -\frac{2b}{3h}$.
બીજનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{b}{a}$.
તેથી,$2m_1^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow 2(-\frac{2b}{3h})^2 = \frac{b}{a}$.
$2(\frac{4b^2}{9h^2}) = \frac{b}{a} \Rightarrow \frac{8b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$.
$\frac{ab}{h^2} = \frac{9}{8}$.
આમ,$ab : h^2 = 9 : 8$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(lx + my)^2 - 3(mx - ly)^2 = 0$ છે.
આને $(lx + my)^2 - (\sqrt{3}(mx - ly))^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(lx + my - \sqrt{3}mx + \sqrt{3}ly)(lx + my + \sqrt{3}mx - \sqrt{3}ly) = 0$.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે:
$L_1: (l - \sqrt{3}m)x + (m + \sqrt{3}l)y = 0$
$L_2: (l + \sqrt{3}m)x + (m - \sqrt{3}l)y = 0$
ત્રીજી રેખા $L_3: lx + my + n = 0$ છે.
આ રેખાઓના ઢાળ નીચે મુજબ છે:
$m_1 = -\frac{l - \sqrt{3}m}{m + \sqrt{3}l}$,$m_2 = -\frac{l + \sqrt{3}m}{m - \sqrt{3}l}$,$m_3 = -\frac{l}{m}$.
$\tan \theta = |\frac{m_i - m_j}{1 + m_i m_j}|$ નો ઉપયોગ કરીને રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા ગણતા,આપણને મળે છે કે કોઈપણ બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે.
બધા આંતરિક ખૂણા $60^\circ$ હોવાથી,બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ પ્રકારના સમીકરણ માટે ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ $3x^2 - 4xy + 5y^2 = 0$ માટે,$a=3, h=-2, b=5$. દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{3 - 5} = \frac{xy}{-2}$ એટલે કે $x^2 - y^2 = xy$ મળે છે.
બીજા સમીકરણ $5x^2 + 4xy + 3y^2 = 0$ માટે,$a=5, h=2, b=3$. દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{5 - 3} = \frac{xy}{2}$ એટલે કે $x^2 - y^2 = xy$ મળે છે.
બંનેના દ્વિભાજકો સમાન હોવાથી,આ રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે. તેથી,ખૂણો $90^\circ$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $x^2 - 5x + 6 = 0$ અને $y^2 - 6y + 5 = 0$ છે.
તેને ઉકેલતા,આપણને $x = 2, 3$ અને $y = 1, 5$ મળે છે.
આ રેખાઓ $x=2, x=3, y=1, y=5$ છે,જે $(2,1), (3,1), (3,5),$ અને $(2,5)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો લંબચોરસ બનાવે છે.
વિકર્ણ $d_1$ એ $(2,1)$ અને $(3,5)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y - 1 = \frac{5 - 1}{3 - 2}(x - 2)$ $\Rightarrow y - 1 = 4(x - 2)$ $\Rightarrow y = 4x - 7$ છે.
વિકર્ણ $d_2$ એ $(3,1)$ અને $(2,5)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y - 1 = \frac{5 - 1}{2 - 3}(x - 3)$ $\Rightarrow y - 1 = -4(x - 3)$ $\Rightarrow y - 1 = -4x + 12$ $\Rightarrow 4x + y = 13$ છે.
આમ,વિકર્ણોના સમીકરણો $4x + y = 13$ અને $y = 4x - 7$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$l^2x^2 - m^2y^2 - n(lx + my) = 0 \implies (lx + my)(lx - my - n) = 0$.
તેથી,પ્રથમ જોડીની રેખાઓ $lx + my = 0$ અને $lx - my = n$ છે.
$l^2x^2 - m^2y^2 + n(lx - my) = 0 \implies (lx - my)(lx + my + n) = 0$.
તેથી,બીજી જોડીની રેખાઓ $lx - my = 0$ અને $lx + my = -n$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\left| \frac{(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)}{a_1b_2 - a_2b_1} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ = $\left| \frac{(0 - n)(0 - (-n))}{l(-m) - m(l)} \right| = \frac{n^2}{2|lm|}$.

(C) $x^2 + 4xy + y^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓની જોડી $y = m_1x$ અને $y = m_2x$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $m^2 + 4m + 1 = 0$ મળે છે.
ઢાળ $m_1, m_2 = -2 \pm \sqrt{3}$ છે.
ત્રીજી રેખા $x - y = 4$ છે,જે $y = x - 4$ તરીકે લખી શકાય,તેથી તેનો ઢાળ $m_3 = 1$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{m_a - m_b}{1 + m_a m_b}|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$m_1 = -2 + \sqrt{3}$ અને $m_3 = 1$ માટે: $\tan \theta_{13} = \sqrt{3}$,એટલે કે $\theta_{13} = 60^\circ$.
$m_2 = -2 - \sqrt{3}$ અને $m_3 = 1$ માટે: $\tan \theta_{23} = \sqrt{3}$,એટલે કે $\theta_{23} = 60^\circ$.
બે ખૂણા $60^\circ$ હોવાથી,ત્રીજો ખૂણો પણ $60^\circ$ થશે.
તેથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) ધારો કે $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓના સમીકરણો $y - m_1x = 0$ અને $y - m_2x = 0$ છે. એક વિકર્ણ $AC$ એ $lx + my = 1$ છે.
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ પરથી,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ મળે.
$OA$ $(y = m_1x)$ અને $OC$ $(y = m_2x)$ ના સમીકરણોને $AC$ $(lx + my = 1)$ સાથે ઉકેલતા,$A$ અને $C$ ના યામ મળે છે:
$A = \left(\frac{1}{l + mm_1}, \frac{m_1}{l + mm_1}\right)$ અને $C = \left(\frac{1}{l + mm_2}, \frac{m_2}{l + mm_2}\right)$.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{l + mm_1} + \frac{1}{l + mm_2}\right), \frac{1}{2}\left(\frac{m_1}{l + mm_1} + \frac{m_2}{l + mm_2}\right)\right)$ છે.
બીજો વિકર્ણ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ અને મધ્યબિંદુ $M$ માંથી પસાર થાય છે. આ વિકર્ણનો ઢાળ $\frac{am - hl}{bl - hm}$ મળે છે.
આમ,વિકર્ણનું સમીકરણ $(bl - hm)y = (am - hl)x$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ ${x^2} - ({y^2} - 2y + 1) = 0$ છે,જે ${x^2} - {(y - 1)^2} = 0$ માં સરળ બને છે.
આ રેખાઓની જોડી $(x - y + 1)(x + y - 1) = 0$ દર્શાવે છે.
આ રેખાઓ $x - y + 1 = 0$ અને $x + y - 1 = 0$ છે.
આ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકો $\frac{x - y + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{x + y - 1}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$ દ્વારા મળે છે.
જે $x - y + 1 = \pm (x + y - 1)$ માં સરળ બને છે.
કિસ્સો $1$: $x - y + 1 = x + y - 1 \implies 2y = 2 \implies y = 1$.
કિસ્સો $2$: $x - y + 1 = -(x + y - 1) \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
આમ,ખૂણાના દ્વિભાજકો $x = 0$ અને $y = 1$ રેખાઓ છે.
ત્રીજી રેખા $x + y = 3$ છે.
$x = 0$,$y = 1$,અને $x + y = 3$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ:
$x = 0$ અને $y = 1$ નું છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
$x = 0$ અને $x + y = 3$ નું છેદબિંદુ $(0, 3)$ છે.
$y = 1$ અને $x + y = 3$ નું છેદબિંદુ $(2, 1)$ છે.
આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(0, 1)$,$(0, 3)$,અને $(2, 1)$ છે.
પાયાની લંબાઈ $2 - 0 = 2$ અને ઊંચાઈ $3 - 1 = 2$ છે.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.

(A) આપેલ વક્ર $x^2 + 2xy - 3y^2 = 0$ છે.
પદાવલિના અવયવો પાડતા: $x^2 + 3xy - xy - 3y^2 = 0 \Rightarrow x(x + 3y) - y(x + 3y) = 0 \Rightarrow (x + 3y)(x - y) = 0$.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x - y = 0$ અને $x + 3y = 0$.
બિંદુ $(1,1)$ એ રેખા $x - y = 0$ પર આવેલું છે. આ રેખાનો ઢાળ $m = 1$ છે.
$(1,1)$ આગળ વક્રનો અભિલંબ તે બિંદુએ સ્પર્શકને લંબ હોય છે. વક્ર બે રેખાઓની જોડી હોવાથી,$(1,1)$ આગળનો અભિલંબ રેખા $x - y = 0$ ને લંબ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m' = -1/m = -1$ છે.
$(1,1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $(y - 1) = -1(x - 1) \Rightarrow y - 1 = -x + 1 \Rightarrow x + y = 2$ છે.
આ અભિલંબ વક્રને ફરીથી ક્યાં છેદે છે તે શોધવા માટે,આપણે $x + y = 2$ અને બીજી રેખા $x + 3y = 0$ નું છેદબિંદુ શોધીએ.
$x + 3y = 0$ પરથી,$x = -3y$ મળે.
$x + y = 2$ માં કિંમત મૂકતા: $-3y + y = 2 \Rightarrow -2y = 2 \Rightarrow y = -1$.
તેથી $x = -3(-1) = 3$.
છેદબિંદુ $(3, -1)$ છે.
$x$-યામ ધન છે અને $y$-યામ ઋણ હોવાથી,બિંદુ $(3, -1)$ એ $4^{th}$ ચરણમાં આવેલું છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $x^2 - 7x + 6 = 0$ અને $y^2 - 14y + 40 = 0$ છે.
$x^2 - 7x + 6 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $(x - 6)(x - 1) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 6$ અને $x = 1$.
$y^2 - 14y + 40 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $(y - 10)(y - 4) = 0$ મળે છે,તેથી $y = 10$ અને $y = 4$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે: $A(1, 10)$,$B(6, 10)$,$C(6, 4)$,અને $D(1, 4)$.
વિકર્ણ $BD$ એ $B(6, 10)$ અને $D(1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે.
$BD$ નો ઢાળ $m = \frac{4 - 10}{1 - 6} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5}$ છે.
રેખા $BD$ નું સમીકરણ $y - 4 = \frac{6}{5}(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5(y - 4) = 6(x - 1)$ એટલે કે $5y - 20 = 6x - 6$ અથવા $6x - 5y + 14 = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2 - 4xy + y^2 = 0$ છે. આ રેખાઓના ઢાળ $m_1, m_2$ એ $m^2 - 4m + 1 = 0$ નું સમાધાન કરે છે,જે $m = 2 \pm \sqrt{3}$ આપે છે.
આ ઢાળ $x$-અક્ષ સાથે $75^\circ$ અને $15^\circ$ ના ખૂણા દર્શાવે છે.
આ બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $|75^\circ - 15^\circ| = 60^\circ$ છે.
ત્રીજી રેખા $x + y + 4 = 0$ છે,જેનો ઢાળ $-1$ છે,જે $x$-અક્ષ સાથે $135^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બનેલા ત્રિકોણના ખૂણા $60^\circ$,$180^\circ - 135^\circ + 15^\circ = 60^\circ$,અને $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$ છે.
બધા ખૂણા $60^\circ$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડ $2x^2 - 2y^2 + 3xy + 3x + y + 1 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(x + 2y + 1)(2x - y + 1) = 0$.
આમ,ત્રિકોણની બાજુઓ છે:
$L_1: x + 2y + 1 = 0$
$L_2: 2x - y + 1 = 0$
$L_3: 3x + 2y + 1 = 0$
$L_1$ અને $L_2$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $(-\frac{1}{2}) \times (2) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ પરસ્પર લંબ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતા શિરોબિંદુ પર હોય છે.
$x + 2y + 1 = 0$ અને $2x - y + 1 = 0$ નો ઉકેલ મેળવતા:
$y = 2x + 1$ ને $x + 2(2x + 1) + 1 = 0$ માં મૂકતા,$5x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{5}$.
તેથી $y = 2(-\frac{3}{5}) + 1 = -\frac{1}{5}$.
લંબકેન્દ્ર $\left( -\frac{3}{5}, -\frac{1}{5} \right)$ છે.

(A) રેખાઓ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ રેખાઓની જોડી $2x^2 + 6xy + y^2 = 0$ માટે,દ્વિભાજકો $\frac{x^2 - y^2}{2 - 1} = \frac{xy}{3} \implies 3x^2 - xy - 3y^2 = 0$ છે.
બીજી રેખાઓની જોડી $4x^2 + 18xy + y^2 = 0$ માટે,દ્વિભાજકો $\frac{x^2 - y^2}{4 - 1} = \frac{xy}{9} \implies 3x^2 - xy - 3y^2 = 0$ છે.
બંને રેખાઓની જોડી સમાન ખૂણાના દ્વિભાજકો ધરાવે છે,તેથી તેઓ એકબીજા સાથે સમાન રીતે નમેલી છે.
જો $L_1$ અને $l_1$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો સમાન નમન ગુણધર્મ મુજબ,$L_2$ અને $l_2$ વચ્ચેનો ખૂણો પણ $\theta$ થશે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $y^2 - 9xy + 18x^2 = 0$ છે.
આના અવયવો પાડતા $(y - 3x)(y - 6x) = 0$ મળે.
આમ,બે રેખાઓ $y = 3x$ અને $y = 6x$ છે.
આ રેખાઓ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાઓના સમીકરણમાં $y = 9$ મૂકતા:
$y = 3x$ માટે,$9 = 3x \Rightarrow x = 3$. તેથી,શિરોબિંદુ $(3, 9)$ છે.
$y = 6x$ માટે,$9 = 6x \Rightarrow x = 1.5$. તેથી,શિરોબિંદુ $(1.5, 9)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(3, 9)$ અને $(1.5, 9)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(9 - 9) + 3(9 - 0) + 1.5(0 - 9)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 27 - 13.5| = \frac{1}{2} |13.5| = 6.75 \, sq. \, units$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $xy = 0$ અને $xy + 5x - 4y - 20 = 0$ છે.
$xy = 0$ પરથી,આપણને રેખાઓ $x = 0$ (y-અક્ષ) અને $y = 0$ (x-અક્ષ) મળે છે.
બીજા સમીકરણ $xy + 5x - 4y - 20 = 0$ ને અવયવ પાડતા:
$x(y + 5) - 4(y + 5) = 0$
$(x - 4)(y + 5) = 0$
આનાથી આપણને રેખાઓ $x = 4$ અને $y = -5$ મળે છે.
આ પ્રદેશ રેખાઓ $x = 0$,$x = 4$,$y = 0$ અને $y = -5$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
આ એક લંબચોરસ બનાવે છે જેની લંબાઈ $|4 - 0| = 4$ એકમ અને પહોળાઈ $|0 - (-5)| = 5$ એકમ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 4 \times 5 = 20$ ચોરસ એકમ છે.

(C) સમીકરણ $6x^2+xy-y^2=0$ ને $-(y-3x)(y+2x)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય,જે રેખાઓ $y=3x$ અને $y=-2x$ આપે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે આ રેખાઓનું $x+3y=10$ સાથે છેદબિંદુ શોધીએ:
$1$. $y=3x$ અને $x+3y=10$ નું છેદબિંદુ: $x+3(3x)=10 \implies 10x=10 \implies x=1, y=3$. શિરોબિંદુ $(1,3)$ છે.
$2$. $y=-2x$ અને $x+3y=10$ નું છેદબિંદુ: $x+3(-2x)=10 \implies -5x=10 \implies x=-2, y=4$. શિરોબિંદુ $(-2,4)$ છે.
$3$. $y=3x$ અને $y=-2x$ નું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) = \left(\frac{0+1-2}{3}, \frac{0+3+4}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)$ છે.

(C) રેખાઓની જોડી $x^2-4xy+y^2=0$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે. આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a=1, h=-2, b=1$ છે,તેથી $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{(-2)^2-1\times 1}}{1+1}\right| = \sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 60^{\circ}$.
કારણ કે રેખાઓ $x+y=10$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,ઉગમબિંદુ એ ત્રિકોણનું એક શિરોબિંદુ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $x+y-10=0$ સુધીનું લંબ અંતર એ સમબાજુ ત્રિકોણનો વેધ $h$ છે.
$h = \frac{|0+0-10|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે જેની બાજુની લંબાઈ $s$ છે,વેધ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$,તેથી $s = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2(5\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{200}{3} = \frac{50\sqrt{3}}{3} = \frac{50}{\sqrt{3}}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $y^2 - 9xy + 18x^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(y - 3x)(y - 6x) = 0$ મળે.
આમ,બે રેખાઓ $y = 3x$ અને $y = 6x$ છે.
ત્રીજી રેખા $y = 9$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. $y = 3x$ અને $y = 6x$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
$2$. $y = 3x$ અને $y = 9$ નું છેદબિંદુ $(3, 9)$ છે.
$3$. $y = 6x$ અને $y = 9$ નું છેદબિંદુ $(\frac{3}{2}, 9)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(9 - 9) + 3(9 - 0) + \frac{3}{2}(0 - 9)| = \frac{27}{4}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ રેખાઓ $6x^2+xy-y^2=0$ અને $x-2y=10$ છે.
$6x^2+xy-y^2=0$ નું અવયવીકરણ કરતા,આપણને $(2x+y)(3x-y)=0$ મળે છે.
આથી બે રેખાઓ મળે છે: $L_1: 3x-y=0$ અને $L_2: 2x+y=0$.
ત્રીજી રેખા $L_3: x-2y=10$ છે.
ઢાળ તપાસતા: $L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -2$ અને $L_3$ નો ઢાળ $m_3 = 1/2$ છે.
કારણ કે $m_2 \times m_3 = -1$,તેથી રેખાઓ $L_2$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
તેથી,લંબકેન્દ્ર એ $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ છે.
$2x+y=0$ અને $x-2y=10$ ને ઉકેલતા:
$y = -2x$ ને $x-2(-2x)=10$ માં મૂકતા,$5x=10 \Rightarrow x=2$.
તેથી $y = -4$.
લંબકેન્દ્ર $(2,-4)$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $6 x^2+13 x y+6 y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(3 x+2 y)(2 x+3 y)=0$.
તેથી,બે રેખાઓ $L_1: 3 x+2 y=0$ અને $L_2: 2 x+3 y=0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x+2 y+3=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધતા:
$1$) $L_1$ અને $L_2$: $(0, 0)$.
$2$) $L_1$ અને $L_3$: $(\frac{3}{2}, -\frac{9}{4})$.
$3$) $L_2$ અને $L_3$: $(9, -6)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| = \frac{45}{8}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ સમીકરણો $3x + y + 15 = 0$ $(i)$ અને $3x^2 + 12xy - 13y^2 = 0$ (ii) છે.
સમીકરણ (ii) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\frac{n^2 \sqrt{h^2 - ab}}{|am^2 - 2hlm + bl^2|}$ છે.
અહીં $a = 3, h = 6, b = -13, l = 3, m = 1, n = 15$ લેતા,
ક્ષેત્રફળ $= \frac{15^2 \sqrt{6^2 - 3(-13)}}{|3(1)^2 - 2(6)(3)(1) + (-13)(3)^2|} = \frac{225 \sqrt{75}}{150} = \frac{15\sqrt{3}}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $18x^2 - 9xy + y^2 = 0$ છે.
આને $(y - 3x)(y - 6x) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
આમ,બે રેખાઓ $y = 3x$ અને $y = 6x$ છે.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
આ રેખાઓનું $y = c$ રેખા સાથેનું છેદબિંદુ $(\frac{c}{3}, c)$ અને $(\frac{c}{6}, c)$ છે.
ત્રણ બિંદુઓ $(0, 0)$,$(\frac{c}{3}, c)$,અને $(\frac{c}{6}, c)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 27$ છે.
$\frac{1}{2} |\frac{c^2}{3} - \frac{c^2}{6}| = 27 \Rightarrow c^2 = 324$.
$c = 18$ લેતા,શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(6, 18)$,અને $(3, 18)$ મળે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{0 + 6 + 3}{3}, \frac{0 + 18 + 18}{3}) = (3, 12)$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $x+y-1=0$ અને $6x^2-13xy+5y^2=0$ છે.
બીજા સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$6x^2-10xy-3xy+5y^2=0$
$(2x-y)(3x-5y)=0$
તેથી,રેખાઓ $2x-y=0$ અને $3x-5y=0$ છે.
ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A$,અને $B$ છે.
$2x-y=0$ અને $x+y-1=0$ ઉકેલતા,$A = (1/3, 2/3)$ મળે.
$3x-5y=0$ અને $x+y-1=0$ ઉકેલતા,$B = (5/8, 3/8)$ મળે.
ધારો કે લંબકેન્દ્ર $H(h, k)$ છે.
$B$ માંથી $OA$ પરનો વેધ $y=2x$ ને લંબ છે. તેનું સમીકરણ $4x + 8y - 6 = 0$ છે.
$A$ માંથી $OB$ પરનો વેધ $y=3/5x$ ને લંબ છે. તેનું સમીકરણ $15x + 9y - 11 = 0$ છે.
આ બે વેધના સમીકરણો ઉકેલતા:
$4h + 8k = 6$ અને $15h + 9k = 11$.
ઉકેલતા $h = 17/42$ અને $k = 109/168$ મળે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $\sqrt{h^2+k^2} = \frac{11\sqrt{2}}{24}$ થાય.

(D) ત્રિકોણની બે બાજુઓનું આપેલ સમીકરણ $3x^2-5xy+2y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(3x-2y)(x-y)=0$.
તેથી,બે બાજુઓના સમીકરણો $L_1: 3x-2y=0$ અને $L_2: x-y=0$ છે.
લંબકેન્દ્ર $H(2,1)$ છે.
શિરોબિંદુ $B$ માંથી $AC$ પરનો વેધ $H(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $AC: x-y=0$ ને લંબ છે. લંબ રેખાનું સમીકરણ $x+y-3=0$ મળે છે.
$x+y-3=0$ અને $3x-2y=0$ નું છેદબિંદુ $B(6/5, 9/5)$ છે.
શિરોબિંદુ $C$ માંથી $AB$ પરનો વેધ $H(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $AB: 3x-2y=0$ ને લંબ છે. લંબ રેખાનું સમીકરણ $2x+3y-7=0$ મળે છે.
$2x+3y-7=0$ અને $x-y=0$ નું છેદબિંદુ $C(7/5, 7/5)$ છે.
ત્રીજી બાજુ $BC$ એ $(6/5, 9/5)$ અને $(7/5, 7/5)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = -2$ મળે છે.
સમીકરણ $10x+5y=21$ મળે છે.

(C) સમીકરણ $4x^2 - 17xy + 4y^2 = 0$ ને $(4x - y)(x - 4y) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
તેથી,રેખાઓ $L_1: 4x - y = 0$ અને $L_2: x - 4y = 0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x + y = 5$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોની જોડી ઉકેલીએ છીએ:
$1$) $L_1$ અને $L_2$: $4x - y = 0$ અને $x - 4y = 0$ થી શિરોબિંદુ $V_1 = (0, 0)$ મળે છે.
$2$) $L_1$ અને $L_3$: $4x - y = 0$ અને $x + y = 5$ થી $5x = 5$ મળે,તેથી $x = 1, y = 4$. આમ $V_2 = (1, 4)$.
$3$) $L_2$ અને $L_3$: $x - 4y = 0$ અને $x + y = 5$ થી $5y = 5$ મળે,તેથી $y = 1, x = 4$. આમ $V_3 = (4, 1)$.
મધ્યકેન્દ્ર $(a, b) = (\frac{0+1+4}{3}, \frac{0+4+1}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ છે.
તેથી,$a = \frac{5}{3}$ અને $b = \frac{5}{3}$.
શિરોબિંદુઓ $(0, 0), (1, 4), (4, 1)$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $c = \frac{1}{2} |0(4-1) + 1(1-0) + 4(0-4)| = \frac{1}{2} |1 - 16| = \frac{15}{2}$ છે.
આમ,$a + b + c = \frac{5}{3} + \frac{5}{3} + \frac{15}{2} = \frac{10}{3} + \frac{15}{2} = \frac{20 + 45}{6} = \frac{65}{6}$.

(A) આપેલ રેખા $2x + 3y = 6$ છે,જેનો ઢાળ $m_1 = -2/3$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ આ રેખા સાથે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી તે રેખાઓ આપેલ રેખા સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = |(m - m_1) / (1 + m \cdot m_1)|$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = 45^{\circ}$ અને $m_1 = -2/3$ લેતા:
$1 = |(m - (-2/3)) / (1 + m(-2/3))| = |(3m + 2) / (3 - 2m)|$.
આના બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $(3m + 2) / (3 - 2m) = 1$ $\Rightarrow 3m + 2 = 3 - 2m$ $\Rightarrow 5m = 1$ $\Rightarrow m = 1/5$.
રેખાનું સમીકરણ $y = (1/5)x \Rightarrow x - 5y = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $(3m + 2) / (3 - 2m) = -1$ $\Rightarrow 3m + 2 = -3 + 2m$ $\Rightarrow m = -5$.
રેખાનું સમીકરણ $y = -5x \Rightarrow 5x + y = 0$ છે.
આમ,રેખાઓ $x - 5y = 0$ અને $5x + y = 0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2-5xy+2y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(2x-y)(x-2y)=0$.
આમ,બે બાજુઓ $y=2x$ અને $y=\frac{1}{2}x$ છે.
ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(a, 2a)$ અને $B(2b, b)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(1,1)$ આપેલ છે.
મધ્યકેન્દ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{0+a+2b}{3}=1 \Rightarrow a+2b=3$ $(i)$ અને $\frac{0+2a+b}{3}=1 \Rightarrow 2a+b=3$ (ii).
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા,આપણને $a=1$ અને $b=1$ મળે છે.
તેથી,શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(1,2)$ અને $B(2,1)$ છે.
ત્રીજી બાજુ $A(1,2)$ અને $B(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(1,2)$ અને $(2,1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y-2 = \frac{1-2}{2-1}(x-1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y-2 = -1(x-1) \Rightarrow x+y-3=0$ થાય છે.

(B) $23x^2 - 48xy + 3y^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓની જોડી $y = m_1x$ અને $y = m_2x$ છે.
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 23, 2h = -48, b = 3$ મળે છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = 16$ અને ગુણાકાર $m_1m_2 = 23/3$ છે.
ઢાળનો તફાવત $|m_1 - m_2| = 26/\sqrt{3}$ મળે છે.
આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = \sqrt{3}$ એટલે કે $\theta = 60^{\circ}$ છે.
ત્રીજી રેખા $2x + 3y + 4 = 0$ નો ઢાળ $m_3 = -2/3$ છે.
ગણતરી કરતા,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બે બાજુઓ દર્શાવતી રેખાઓની જોડી $2x^2+3xy-2y^2=0$ છે.
તેને $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=2, b=-2, h=\frac{3}{2}$ મળે છે.
આપેલ વિકર્ણ $3x+y=-1$ છે,જેને $lx+my=1$ સ્વરૂપમાં લખતા $l=3, m=1$ મળે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના બીજા વિકર્ણનું સૂત્ર $y(bl-hm) = x(am-hl)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y((-2)(3) - (\frac{3}{2})(1)) = x((2)(1) - (\frac{3}{2})(3))$
$y(-6 - \frac{3}{2}) = x(2 - \frac{9}{2})$
$y(-\frac{15}{2}) = x(-\frac{5}{2})$
$15y = 5x$
$3y = x \Rightarrow x-3y=0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $2 x^2-3 x y-2 y^2=0$ ને $(2 x+y)(x-2 y)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
ધારો કે $L_1: 2 x+y=0$ અને $L_2: x-2 y=0$.
બીજું સમીકરણ $2 x^2-3 x y-2 y^2-x+7 y-3=0$ ને $(2 x+y-1)(x-2 y+3)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
ધારો કે $L_3: x-2 y+3=0$ અને $L_4: 2 x+y-1=0$.
$L_1$ અને $L_3$ ઉકેલતા,$A = \left(-\frac{3}{5}, \frac{6}{5}\right)$ મળે છે.
$L_2$ અને $L_4$ ઉકેલતા,$B = \left(\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$ મળે છે.
$L_3$ અને $L_4$ ઉકેલતા,$C = \left(-\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)$ મળે છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $\frac{3}{10}$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ: $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$.
રેખાઓ $x$-અક્ષ પર છેદતી હોવાથી,$x$-અક્ષ પરના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y=0$ મૂકતા:
$a x^2+2 g x+c=0$.
રેખાઓ $x$-અક્ષ પરના બિંદુએ છેદે તે માટે,આ દ્વિઘાત સમીકરણના વિવેચક $D=0$ હોવો જોઈએ:
$(2 g)^2 - 4(a)(c) = 0$ $\Rightarrow 4 g^2 = 4 a c$ $\Rightarrow g^2 = a c$.
દ્વિઘાત સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત:
$a b c+2 f g h-a f^2-b g^2-c h^2=0$.
$g^2=a c$ મૂકતા:
$a b c+2 f g h-a f^2-b(a c)-c h^2=0$
$a b c+2 f g h-a f^2-a b c-c h^2=0$
$2 f g h = a f^2 + c h^2$.
આમ,$a b c = 2 f g h$ સામાન્ય રીતે સાચું નથી.

(C) ધારો કે સામાન્ય રેખાનો ઢાળ $m$ છે. અન્ય બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
$2x^2 + axy + 3y^2 = 0$ માટે,$m + m_1 = -a/3$ અને $m \cdot m_1 = 2/3$.
$2x^2 + bxy - 3y^2 = 0$ માટે,$m + m_2 = b/3$ અને $m \cdot m_2 = -2/3$.
અન્ય બે રેખાઓ લંબ હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$.
આથી $m^2 = 4/9$,એટલે કે $m = \pm 2/3$.
જો $m = 2/3$ હોય,તો $a = -5$ અને $b = -1$.
જો $m = -2/3$ હોય,તો $a = 5$ અને $b = 1$.
આમ,$(a, b)$ ની કિંમત $(5, 1)$ છે.

(A) સમીકરણ $x^2-4xy+y^2=0$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=-2, b=1$ મળે છે.
આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right| = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^2-(1)(1)}}{1+1} \right| = \sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\theta = 60^\circ$.
ત્રીજી રેખા $x+y+4\sqrt{6}=0$ છે,જેનો ઢાળ $-1$ છે,એટલે કે તે $x$-અક્ષ સાથે $135^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આમ,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણા $60^\circ$ છે,તેથી તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) ધારો કે $2x^2 + axy + 3y^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $m_1$ છે. તેથી $m + m_1 = -a/3$ અને $mm_1 = 2/3$.
ધારો કે $2x^2 + bxy - 3y^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $m_2$ છે. તેથી $m + m_2 = b/3$ અને $mm_2 = -2/3$.
બાકીની બે રેખાઓ લંબ હોવાથી,$m_1m_2 = -1$.
ઢાળના ગુણાકારનો ભાગાકાર કરતા: $(mm_1) / (mm_2) = (2/3) / (-2/3) = -1$.
આમ,$m_1 / m_2 = -1$,જેનો અર્થ છે કે $m_1 = -m_2$ અથવા $m_1 + m_2 = 0$.
$mm_1 = 2/3$ અને $mm_2 = -2/3$ પરથી,$m_1 = 2/(3m)$ અને $m_2 = -2/(3m)$ મળે.
$m_1m_2 = -1$ માં મૂકતા: $(2/(3m)) \times (-2/(3m)) = -1$ $\Rightarrow -4/(9m^2) = -1$ $\Rightarrow m^2 = 4/9$ $\Rightarrow m = 2/3$.
તેથી $m_1 = 1$ અને $m_2 = -1$.
$m + m_1 = -a/3$ નો ઉપયોગ કરતા: $2/3 + 1 = -a/3 \Rightarrow a = -5$.
$m + m_2 = b/3$ નો ઉપયોગ કરતા: $2/3 - 1 = b/3 \Rightarrow b = -1$.

(B) આપેલ સમીકરણ $y^3-6xy^2+11x^2y-6x^3=0$ છે.
ઘન પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $(y-x)(y-2x)(y-3x)=0$ મળે છે.
આમ,ત્રણ રેખાઓ $L_1: y=x$,$L_2: y=2x$,અને $L_3: y=3x$ છે.
આ રેખાઓનું $x+y=1$ સાથેનું છેદબિંદુ શોધીએ:
$P$ $(y=x)$ માટે: $x+x=1 \Rightarrow x=1/2, y=1/2$. તેથી $P = (1/2, 1/2)$.
$Q$ $(y=2x)$ માટે: $x+2x=1 \Rightarrow x=1/3, y=2/3$. તેથી $Q = (1/3, 2/3)$.
$R$ $(y=3x)$ માટે: $x+3x=1 \Rightarrow x=1/4, y=3/4$. તેથી $R = (1/4, 3/4)$.
હવે,ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી અંતરના વર્ગની ગણતરી કરીએ:
$(OP)^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2 = 36/72$.
$(OQ)^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 = 1/9 + 4/9 = 5/9 = 40/72$.
$(OR)^2 = (1/4)^2 + (3/4)^2 = 1/16 + 9/16 = 10/16 = 5/8 = 45/72$.
સરવાળો કરતા: $(OP)^2+(OQ)^2+(OR)^2 = 36/72 + 40/72 + 45/72 = 121/72$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ બે સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખાઓનું અંતર $d = \frac{|c_i|}{\sqrt{1+m_i^2}}$ દ્વારા મળે છે.
રેખાઓ ઉગમબિંદુથી સમાન અંતરે હોવાથી,$\frac{|c_1|}{\sqrt{1+m_1^2}} = \frac{|c_2|}{\sqrt{1+m_2^2}}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $c_1^2(1+m_2^2) = c_2^2(1+m_1^2)$.
આને સાદું રૂપ આપતા $c_1^2-c_2^2 = c_2^2m_1^2-c_1^2m_2^2$ મળે છે.
રેખાઓના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$c_1+c_2 = -\frac{2f}{b}$,$c_1c_2 = \frac{c}{b}$,અને $m_1c_2+m_2c_1 = \frac{2g}{b}$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા અને બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$f^2(f^2-bc) = g^2(g^2-ac)$ મળે છે.
તેથી,$f^4-g^4 = c(bf^2-ag^2)$ થાય છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $8x^2-6xy+y^2=0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $8x^2-4xy-2xy+y^2=0$ $\Rightarrow 4x(2x-y)-y(2x-y)=0$ $\Rightarrow (4x-y)(2x-y)=0$.
આમ,બે રેખાઓ $y=4x$ અને $y=2x$ છે.
ત્રીજી રેખા $2x+3y=a$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $y=4x$ અને $y=2x$ નું છેદબિંદુ $O(0,0)$ છે.
$2$. $y=4x$ અને $2x+3y=a$ નું છેદબિંદુ: $2x+3(4x)=a$ $\Rightarrow 14x=a$ $\Rightarrow x=a/14, y=2a/7$. એટલે કે,$A(a/14, 2a/7)$.
$3$. $y=2x$ અને $2x+3y=a$ નું છેદબિંદુ: $2x+3(2x)=a$ $\Rightarrow 8x=a$ $\Rightarrow x=a/8, y=a/4$. એટલે કે,$B(a/8, a/4)$.
શિરોબિંદુઓ $(0,0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)$ વાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(\frac{a}{14})(\frac{a}{4}) - (\frac{a}{8})(\frac{2a}{7})| = \frac{1}{2} |\frac{a^2}{56} - \frac{2a^2}{56}| = \frac{1}{2} |-\frac{a^2}{56}| = \frac{a^2}{112}$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $7$ છે,તેથી $\frac{a^2}{112} = 7$ $\Rightarrow a^2 = 784$ $\Rightarrow a = 28$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી: $xy-x-y+1=0$
$\Rightarrow x(y-1)-1(y-1)=0$
$\Rightarrow (x-1)(y-1)=0$
રેખાઓ $x=1$ અને $y=1$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખા $y=mx+c$ છે.
રેખા $y=mx+c$ અને $x=1$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
$\tan 45^{\circ} = |\frac{1}{m}| = 1 \Rightarrow m = \pm 1$.
રેખા $y=mx+c$ અને $y=1$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
$\tan 45^{\circ} = |m| = 1 \Rightarrow m = \pm 1$.
વિકલ્પો તપાસતા,$x-y=5$ નો ઢાળ $1$ છે,જે શરતનું પાલન કરે છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $2x^2 - 3xy + y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x - y)(2x - y) = 0$ મળે,જે રેખાઓ $L_1: x - y = 0$ અને $L_2: 2x - y = 0$ દર્શાવે છે.
ત્રીજી બાજુ $L_3: x + y = 1$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ:
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
$L_1$ $(x = y)$ અને $L_3$ $(x + y = 1)$ નું છેદબિંદુ: $2x = 1 \Rightarrow x = 1/2, y = 1/2$. એટલે કે,$A(1/2, 1/2)$.
$L_2$ $(y = 2x)$ અને $L_3$ $(x + y = 1)$ નું છેદબિંદુ: $x + 2x = 1$ $\Rightarrow 3x = 1$ $\Rightarrow x = 1/3, y = 2/3$. એટલે કે,$B(1/3, 2/3)$.
બાજુઓની લંબાઈ:
$OA^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/2$.
$OB^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 = 5/9$.
$AB^2 = (1/3 - 1/2)^2 + (2/3 - 1/2)^2 = 1/18$.
$OA^2 + AB^2 = 1/2 + 1/18 = 5/9 = OB^2$ હોવાથી,ત્રિકોણ $A$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર કર્ણની લંબાઈનું અડધું હોય છે.
અંતર $= \frac{OB}{2} = \frac{\sqrt{5}}{6}$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $2x^2 - xy - 3y^2 + 6x + y + 4 = 0$ છે.
તેના અવયવો પાડતા:
$2x^2 + x(6 - y) - (3y^2 - y - 4) = 0$.
$x$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{y-6 \pm (5y-2)}{4}$.
આથી બે રેખાઓ મળે છે:
$L_1: 2x - 3y + 4 = 0$.
$L_2: x + y + 1 = 0$.
બિંદુ $(-1, 5)$ થી $2x - 3y + 4 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $P_1 = \sqrt{13}$ છે.
બિંદુ $(-1, 5)$ થી $x + y + 1 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $P_2 = \frac{5}{\sqrt{2}}$ છે.
લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $P_1 \times P_2 = \sqrt{13} \times \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{65}{\sqrt{26}}$ થાય.

(D) રેખાઓની જોડી $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે. $ax+by+c=0$ રેખા સાથે બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,દરેક રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
રેખાઓ $y=m_1x$ અને $y=m_2x$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B}\right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.
આમ,$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{H^2-AB}}{|A+B|}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{3} = \frac{H^2-AB}{(A+B)^2}$.
$(A+B)^2 = 3(H^2-AB)$.
$A^2+B^2+2AB = 3H^2-3AB$.
$A^2+B^2+5AB = 3H^2$.
આપણે $(A+3B)(3A+B) = 3A^2+10AB+3B^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
રેખાઓ $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાની શરત મુજબ,આપણે $\cos 60^{\circ} = \frac{|A+B|}{\sqrt{(A-B)^2+4H^2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\frac{1}{2} = \frac{|A+B|}{\sqrt{(A-B)^2+4H^2}} \implies (A-B)^2+4H^2 = 4(A+B)^2$.
$A^2+B^2-2AB+4H^2 = 4(A^2+B^2+2AB)$.
$4H^2 = 3A^2+3B^2+10AB$.
તેથી,$(A+3B)(3A+B) = 3A^2+10AB+3B^2 = 4H^2$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $2x^2+5xy+3y^2=0$ છે.
તેના અવયવ પાડતા,આપણને $(x+y)(2x+3y)=0$ મળે છે.
આમ,બે રેખાઓ $x+y=0$ અને $2x+3y=0$ છે.
ત્રીજી રેખા $y=x+c$ છે,અથવા $x-y+c=0$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $x+y=0$ અને $2x+3y=0$ નું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
$2$. $x+y=0$ અને $x-y+c=0$ નું છેદબિંદુ: સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2x+c=0 \Rightarrow x=-\frac{c}{2}$. તેથી $y=\frac{c}{2}$. એટલે કે,$B = (-\frac{c}{2}, \frac{c}{2})$.
$3$. $2x+3y=0$ અને $x-y+c=0$ નું છેદબિંદુ: બીજા સમીકરણ પરથી,$x=y-c$. પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,$2(y-c)+3y=0$ $\Rightarrow 5y=2c$ $\Rightarrow y=\frac{2c}{5}$. તેથી $x=\frac{2c}{5}-c=-\frac{3c}{5}$. એટલે કે,$C = (-\frac{3c}{5}, \frac{2c}{5})$.
$(0,0)$,$(x_1, y_1)$,અને $(x_2, y_2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-\frac{c}{2})(\frac{2c}{5}) - (-\frac{3c}{5})(\frac{c}{2})| = \frac{1}{2} |-\frac{c^2}{5} + \frac{3c^2}{10}| = \frac{1}{2} |\frac{c^2}{10}| = \frac{c^2}{20}$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{20}$ છે,તેથી $\frac{c^2}{20} = \frac{1}{20}$ $\Rightarrow c^2=1$ $\Rightarrow c = \pm 1$.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ માટે,ઢાળનો સરવાળો $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ છે.
$m_1m_2-2=0$ પરથી,આપણને $\frac{a}{b}=2$ મળે છે,તેથી $a=2b$.
$3(m_1-m_2)-7=0$ પરથી,આપણને $m_1-m_2 = \frac{7}{3}$ મળે છે.
$(m_1-m_2)^2 = (m_1+m_2)^2 - 4m_1m_2$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{7}{3})^2 = (-\frac{2h}{b})^2 - 4(\frac{a}{b})$ મળે.
$a=2b$ મૂકતા,$\frac{49}{9} = \frac{4h^2}{b^2} - 4(2) = \frac{4h^2}{b^2} - 8$ મળે.
$\frac{4h^2}{b^2} = \frac{49}{9} + 8 = \frac{49+72}{9} = \frac{121}{9}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{2h}{b} = \pm \frac{11}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{h}{b} = \pm \frac{11}{6}$.
આમ,$\frac{h}{\pm 11} = \frac{b}{6}$.
$a=2b$ હોવાથી,$\frac{a}{2} = b$,તેથી $\frac{a}{12} = \frac{b}{6}$.
તેથી,$\frac{a}{12} = \frac{b}{6} = \frac{h}{\pm 11}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $m^2$ છે.
સમીકરણના ગુણધર્મો પરથી,ઢાળનો સરવાળો $m+m^2 = -\frac{2h}{b}$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m \cdot m^2 = m^3 = \frac{a}{b}$ છે.
આપણને $m(1+m) = -\frac{2h}{b}$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$m^3(1+m)^3 = -\frac{8h^3}{b^3}$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$m^3(1+m^3+3m(1+m)) = -\frac{8h^3}{b^3}$.
$m^3 = \frac{a}{b}$ અને $m(1+m) = -\frac{2h}{b}$ મૂકતા,$\frac{a}{b}(1+\frac{a}{b}+3(-\frac{2h}{b})) = -\frac{8h^3}{b^3}$ મળે.
$b^3$ વડે ગુણતા,$a(b+a-6h) = -8h^3$ મળે.
$ab + a^2 - 6ah = -8h^3$.
$abh$ વડે ભાગતા,$\frac{a+b}{h} + \frac{8h^2}{ab} = 6$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $3x^2+7xy+2y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(3x+y)(x+2y)=0$ મળે.
બે રેખાઓ $L_1: 3x+y=0$ અને $L_2: x+2y=0$ છે.
$(\alpha, 1)$ થી $L_1$ અને $L_2$ પરના લંબની લંબાઈ $p_1 = \frac{|3\alpha+1|}{\sqrt{10}}$ અને $p_2 = \frac{|\alpha+2|}{\sqrt{5}}$ છે.
લંબાઈનો ગુણાકાર $p_1 p_2 = \frac{|3\alpha^2+7\alpha+2|}{5\sqrt{2}}$ છે.
આપેલ છે કે $p_1 p_2 = \frac{\sqrt{2}}{5}$,તેથી $|3\alpha^2+7\alpha+2| = 2$.
કિસ્સો $1$: $3\alpha^2+7\alpha+2 = 2 \implies \alpha = 0, -\frac{7}{3}$.
કિસ્સો $2$: $3\alpha^2+7\alpha+2 = -2 \implies \alpha = -\frac{4}{3}, -1$.
$P = \{0, -\frac{7}{3}, -\frac{4}{3}, -1\}$ નો સરવાળો $-\frac{14}{3}$ થાય.

(C) આપેલ બે બાજુઓનું સમીકરણ $3x^2-5xy+2y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(3x-2y)(x-y)=0$ મળે છે.
તેથી,બે બાજુઓ $L_1: 3x-2y=0$ અને $L_2: x-y=0$ છે.
આ બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે,જે ત્રિકોણનું એક શિરોબિંદુ છે.
ત્રીજી બાજુનું સમીકરણ $ax+by+c=0$ ધારો.
લંબકેન્દ્ર $H(2,1)$ એ વેધનું છેદબિંદુ છે.
ગણતરી કરતા,ત્રીજી બાજુનું સમીકરણ $8x+4y-17=0$ મળે છે.

(B) સમીકરણ $4x^2-y^2=0$ ને $(2x-y)(2x+y)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $L_1: 2x-y=0$ અને $L_2: 2x+y=0$.
ત્રીજી રેખા $L_3: lx+my+n=0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x_1 = -n/(l+2m), y_1 = -2n/(l+2m)$.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x_2 = -n/(l-2m), y_2 = 2n/(l-2m)$.
મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+0}{3}, \frac{y_1+y_2+0}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, 0\right)$ છે.
$y$-યામ પરથી: $m=0$ મળે છે.
$x$-યામ પરથી: $l=-n$ મળે છે.
તેથી,$l+m+n = -n+0+n = 0$.