Mix Examples-Pair of straight lines Questions in Gujarati

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $2x^2 + xy - y^2 - x + 2y - 1 = 0$ છે.
સમઘાત ભાગના અવયવ પાડતા $2x^2 + xy - y^2 = (2x - y)(x + y)$.
ધારો કે રેખાઓ $(2x - y + c_1)(x + y + c_2) = 0$ છે. આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને રેખાઓ $(2x - y + 1) = 0$ અને $(x + y - 1) = 0$ મળે છે.
$(1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને આ રેખાઓને લંબ રેખાઓ:
$2x - y + 1 = 0$ ને લંબ રેખા $L_1$ એ $x + 2y + k_1 = 0$ છે. તે $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$1 + 2(1) + k_1 = 0 \implies k_1 = -3$. તેથી,$x + 2y - 3 = 0$.
$x + y - 1 = 0$ ને લંબ રેખા $L_2$ એ $x - y + k_2 = 0$ છે. તે $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$1 - 1 + k_2 = 0 \implies k_2 = 0$. તેથી,$x - y = 0$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 2y - 3)(x - y) = 0$ છે.
$x^2 - xy + 2xy - 2y^2 - 3x + 3y = 0 \implies x^2 + xy - 2y^2 - 3x + 3y = 0$.
$ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 3y = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1, 2h = 1, b = -2, 2g = -3$ મળે છે.
આમ,$\frac{b}{a} = \frac{-2}{1} = -2$.

(C) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ $y^2-8xy-9x^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(y-9x)(y+x)=0$ મળે છે.
તેથી,બે રેખાઓ $L_1: y=9x$ અને $L_2: y=-x$ છે.
શિરોબિંદુ $V(\alpha, \beta)$ લો. $V$ માંથી પસાર થતી બાજુઓ $VA$ અને $VB$ છે.
રેખા $L_1: y=9x$ એ $VA$ નો લંબદ્વિભાજક છે. $L_1$ નો ઢાળ $9$ છે,તેથી $VA$ નો ઢાળ $-1/9$ છે.
$VA$ નું સમીકરણ $y-\beta = -\frac{1}{9}(x-\alpha) \Rightarrow x+9y = \alpha+9\beta$ છે.
$VA$ અને $L_1$ નું છેદબિંદુ $VA$ નું મધ્યબિંદુ $M$ છે. $y=9x$ અને $x+9y=\alpha+9\beta$ ઉકેલતા,$x+81x = \alpha+9\beta \Rightarrow x = \frac{\alpha+9\beta}{82}$ અને $y = \frac{9\alpha+81\beta}{82}$ મળે છે.
$M$ એ $VA$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જો $A$ એ $(x_A, y_A)$ હોય,તો $\frac{x_A+\alpha}{2} = \frac{\alpha+9\beta}{82} \Rightarrow x_A = \frac{-40\alpha+9\beta}{41}$ અને $\frac{y_A+\beta}{2} = \frac{9\alpha+81\beta}{82} \Rightarrow y_A = \frac{9\alpha+40\beta}{41}$ મળે છે.
તે જ રીતે,$L_2: y=-x$ એ $VB$ નો લંબદ્વિભાજક છે. $L_2$ નો ઢાળ $-1$ છે,તેથી $VB$ નો ઢાળ $1$ છે.
$VB$ નું સમીકરણ $y-\beta = 1(x-\alpha) \Rightarrow x-y = \alpha-\beta$ છે.
$VB$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $VB$ નું મધ્યબિંદુ $N$ છે. $y=-x$ અને $x-y=\alpha-\beta$ ઉકેલતા,$x+x = \alpha-\beta \Rightarrow x = \frac{\alpha-\beta}{2}$ અને $y = \frac{\beta-\alpha}{2}$ મળે છે.
$N$ એ $VB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જો $B$ એ $(x_B, y_B)$ હોય,તો $\frac{x_B+\alpha}{2} = \frac{\alpha-\beta}{2} \Rightarrow x_B = -\beta$ અને $\frac{y_B+\beta}{2} = \frac{\beta-\alpha}{2} \Rightarrow y_B = -\alpha$ મળે છે.
$\triangle VAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(\frac{\alpha+x_A+x_B}{3}, \frac{\beta+y_A+y_B}{3})$ છે.
ગણતરી કરતા,$G = \frac{1}{123}(\alpha-32\beta, \beta+32\alpha)$ મળે છે. તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) $12x^2+7xy-12y^2=0$ ના અવયવો પાડતા:
$12x^2+16xy-9xy-12y^2=0$
$4x(3x+4y)-3y(3x+4y)=0$
$(4x-3y)(3x+4y)=0$
તેથી,રેખાઓ $4x-3y=0$ અને $3x+4y=0$ છે. તેમના ઢાળ $4/3$ અને $-3/4$ હોવાથી,તેઓ પરસ્પર લંબ છે.
$12x^2+7xy-12y^2-x+7y-1=0$ ના અવયવો પાડતા:
ધારો કે સમીકરણ $(4x-3y+c_1)(3x+4y+c_2)=0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $12x^2+7xy-12y^2 + (4c_2+3c_1)x + (4c_1-3c_2)y + c_1c_2 = 0$.
સરખાવતા: $4c_2+3c_1 = -1$ અને $4c_1-3c_2 = 7$.
ઉકેલતા,$c_1=1$ અને $c_2=-1$ મળે છે.
તેથી રેખાઓ $4x-3y+1=0$ અને $3x+4y-1=0$ છે.
સમાંતર રેખાઓ $4x-3y=0$ અને $4x-3y+1=0$ વચ્ચેનું અંતર $d_1 = \frac{|1-0|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{1}{5}$.
સમાંતર રેખાઓ $3x+4y=0$ અને $3x+4y-1=0$ વચ્ચેનું અંતર $d_2 = \frac{|-1-0|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}$.
રેખાઓ લંબ હોવાથી અને સમાંતર જોડીઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવાથી,આ આકૃતિ $1/5$ બાજુવાળો ચોરસ છે.
ક્ષેત્રફળ $= (1/5)^2 = 1/25$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $2y^2+5xy-3x^2=0$ છે,જેને $3x^2-5xy-2y^2=0$ તરીકે લખી શકાય.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $3x^2-6xy+xy-2y^2=0$ $\Rightarrow 3x(x-2y)+y(x-2y)=0$ $\Rightarrow (x-2y)(3x+y)=0$.
આમ,બે રેખાઓ $L_1: x-2y=0$ અને $L_2: 3x+y=0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x+y=k$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$O(0,0)$ એ $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ છે.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x-2y=0$ અને $x+y=k$ $\Rightarrow 3y=k$ $\Rightarrow y=\frac{k}{3}, x=\frac{2k}{3}$. તેથી,$A(\frac{2k}{3}, \frac{k}{3})$.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $3x+y=0$ અને $x+y=k$ $\Rightarrow 2x=-k$ $\Rightarrow x=-\frac{k}{2}, y=\frac{3k}{2}$. તેથી,$B(-\frac{k}{2}, \frac{3k}{2})$.
$\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{0+\frac{2k}{3}-\frac{k}{2}}{3}, \frac{0+\frac{k}{3}+\frac{3k}{2}}{3}) = (\frac{\frac{k}{6}}{3}, \frac{\frac{11k}{6}}{3}) = (\frac{k}{18}, \frac{11k}{18})$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{1}{18}, \frac{11}{18})$ આપેલ હોવાથી,$\frac{k}{18} = \frac{1}{18}$,જેનો અર્થ છે કે $k=1$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $12x^2 - 20xy + 7y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(6x - 7y)(2x - y) = 0$.
તેથી,બે બાજુઓના સમીકરણો $L_1: 6x - 7y = 0$ અને $L_2: 2x - y = 0$ છે.
ત્રીજી બાજુ $L_3: 2x - 3y + 4 = 0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધતા: $A = (0, 0)$,$B = (1, 2)$,અને $C = (7, 6)$ મળે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{0+1+7}{3}, \frac{0+2+6}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right)$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડ $3x^2+11xy-4y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(3x-y)(x+4y)=0$ મળે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1=3$ અને $m_2=-\frac{1}{4}$ છે.
તેમને લંબ રેખાઓના ઢાળ $m_1'=-\frac{1}{3}$ અને $m_2'=-4$ થશે.
આ રેખાઓ $(1,1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેમના સમીકરણો:
$y-1=-\frac{1}{3}(x-1) \Rightarrow x+3y-4=0$
$y-1=-4(x-1) \Rightarrow 4x-y-3=0$
સંયુક્ત સમીકરણ $(x+3y-4)(4x-y-3)=0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $4x^2+11xy-3y^2-19x-5y+12=0$.
સરખામણી કરતા $a=4, h=\frac{11}{2}, b=-3, g=-\frac{19}{2}, f=-\frac{5}{2}$ મળે.
$2(a-h+b-g+f-12) = -19$.

(D) સમીકરણ $6x^2 - xy - 5y^2 = 0$ ના અવયવો $(6x + 5y)(x - y) = 0$ થાય છે.
આથી બે રેખાઓ મળે છે: $y = x$ અને $y = -\frac{6x}{5}$.
કિસ્સો $1$: જો $y = x$ સામાન્ય રેખા હોય,તો $3x^2 - 5xy + Py^2 = 0$ માં $y = x$ મૂકતા $3x^2 - 5x^2 + Px^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2(P - 2) = 0$,તેથી $P = 2$.
કિસ્સો $2$: જો $y = -\frac{6x}{5}$ સામાન્ય રેખા હોય,તો $3x^2 - 5xy + Py^2 = 0$ માં $y = -\frac{6x}{5}$ મૂકતા $3x^2 - 5x(-\frac{6x}{5}) + P(-\frac{6x}{5})^2 = 0$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $3x^2 + 6x^2 + P(\frac{36x^2}{25}) = 0$ એટલે કે $9x^2 + \frac{36Px^2}{25} = 0$ થાય છે.
$9x^2$ વડે ભાગતા,$1 + \frac{4P}{25} = 0$ મળે,તેથી $P = -\frac{25}{4}$.
$P$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $2 + (-\frac{25}{4}) = \frac{8 - 25}{4} = -\frac{17}{4}$ થાય છે.

(C) સમીકરણ $x^2+4xy+y^2=0$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
સમીકરણ $x-y=4$ એ ત્રીજી રેખા દર્શાવે છે.
આ ત્રણ રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની બાજુઓના ઢાળ અને ખૂણાઓ તપાસતા,તે $60^\circ$ ના ખૂણા બનાવે છે,તેથી તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) આપેલ છે કે,રેખાઓની જોડી $3x^2+2hxy-3y^2=0$ એ બે લંબ રેખાઓ દર્શાવે છે કારણ કે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $3 + (-3) = 0$ છે.
રેખાઓની જોડી $3x^2+2hxy-3y^2+2x-4y+c=0$ ચોરસ બનાવે તે માટે,રેખાઓ લંબ હોવી જોઈએ અને સમાંતર જોડીઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવું જોઈએ.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,$xy$ નો સહગુણક $a+b=0$ નું પાલન કરતું હોવું જોઈએ,જે $3-3=0$ છે (જે પહેલેથી જ સંતોષાયેલ છે).
રેખાઓ ચોરસ બનાવે તે માટે,સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવું જોઈએ. રેખાઓ $3x^2+2hxy-3y^2=0$ અને $3x^2+2hxy-3y^2+2x-4y+c=0$ છે.
ચોરસનું કેન્દ્ર એ $3x^2+2hxy-3y^2+2x-4y+c=0$ રેખાઓનું છેદબિંદુ છે,જે $\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $a=3, b=-3, h=h, g=1, f=-2$.
છેદબિંદુ $= \left(\frac{h(-2)-(-3)(1)}{-9-h^2}, \frac{(1)(h)-(3)(-2)}{-9-h^2}\right) = \left(\frac{3-2h}{9+h^2}, \frac{h+6}{9+h^2}\right)$.
રેખાઓ ચોરસ બનાવે તે માટે,સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવું જોઈએ. સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $h=4$ અને $c=-1$ મળે છે જે ચોરસ બનાવવા માટેની શરત સંતોષે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $8 x^2-14 x y+3 y^2+10 x+10 y-25=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(4 x-y-5)(2 x-3 y+5)=0$ મળે છે.
રેખાઓ $L_1: 4 x-y-5=0$ અને $L_2: 2 x-3 y+5=0$ છે.
તેમનું છેદબિંદુ $(2,3)$ છે.
ધારો કે $S=0$ એ $(4 x-y+c_1)(2 x-3 y+c_2)=0$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ માટે વિકર્ણોનું છેદબિંદુ એ રેખાઓના છેદબિંદુઓનું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે $S=0$ નું છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. $(2,3)$ અને $(x_1, y_1)$ નું મધ્યબિંદુ $(3,2)$ છે.
તેથી,$\frac{x_1+2}{2}=3 \Rightarrow x_1=4$ અને $\frac{y_1+3}{2}=2 \Rightarrow y_1=1$.
$(4,1)$ ને $4 x-y+c_1=0$ માં મૂકતા $c_1=-15$ મળે છે.
$(4,1)$ ને $2 x-3 y+c_2=0$ માં મૂકતા $c_2=-5$ મળે છે.
સમીકરણ $S=0$ એ $(4 x-y-15)(2 x-3 y-5)=0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા,$8 x^2-14 x y+3 y^2-50 x+50 y+75=0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $6x^2+13xy+6y^2=0$ અને $6x^2+13xy+6y^2+10x+10y+4=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$6x^2+9xy+4xy+6y^2=0$
$3x(2x+3y)+2y(2x+3y)=0$
$(3x+2y)(2x+3y)=0$
તેથી,રેખાઓ $L_1: 3x+2y=0$ અને $L_2: 2x+3y=0$ છે.
બીજા સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$6x^2+13xy+6y^2+10x+10y+4=0$
$(3x+2y+2)(2x+3y+2)=0$
તેથી,રેખાઓ $L_3: 3x+2y+2=0$ અને $L_4: 2x+3y+2=0$ છે.
રેખાઓ $L_1$ અને $L_3$ સમાંતર છે,અને $L_2$ અને $L_4$ સમાંતર છે,તેથી આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમાંતર રેખાઓ $ax+by+c_1=0$ અને $ax+by+c_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ છે.
$L_1$ અને $L_3$ વચ્ચેનું અંતર: $d_1 = \frac{|2-0|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
$L_2$ અને $L_4$ વચ્ચેનું અંતર: $d_2 = \frac{|2-0|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
કારણ કે $d_1 = d_2$ અને રેખાઓ લંબ નથી (ઢાળ $-3/2$ અને $-2/3$ છે),તેથી આકૃતિ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(D) પ્રથમ જોડીની રેખાઓ $xy+4x-3y-12=0$ છે,જેનું અવયવીકરણ $(x-3)(y+4)=0$ થાય છે. તેથી,રેખાઓ $x=3$ અને $y=-4$ છે.
બીજી જોડીની રેખાઓ $xy-3x+4y-12=0$ છે,જેનું અવયવીકરણ $(x+4)(y-3)=0$ થાય છે. તેથી,રેખાઓ $x=-4$ અને $y=3$ છે.
ચોરસ બનાવતી ચાર રેખાઓ $x=3, x=-4, y=-4, y=3$ છે.
ચોરસના શિરોબિંદુઓ $(3, 3), (3, -4), (-4, -4), (-4, 3)$ છે.
વિકર્ણો $(3, 3)$ થી $(-4, -4)$ અને $(3, -4)$ થી $(-4, 3)$ ને જોડે છે.
$(3, 3)$ અને $(-4, -4)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણનું સમીકરણ $y-3 = \frac{-4-3}{-4-3}(x-3)$ છે,જે $y-3 = x-3$ એટલે કે $x-y=0$ માં પરિણમે છે.
$(3, -4)$ અને $(-4, 3)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણનું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{-4-3}(x-3)$ છે,જે $y+4 = -1(x-3)$ એટલે કે $x+y+1=0$ માં પરિણમે છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y)(x+y+1) = x^2+xy+x-xy-y^2-y = x^2-y^2+x-y=0$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $x+y=1$ અને $2y^2-xy-6x^2=0$ છે.
બીજા સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2y^2-4xy+3xy-6x^2=0$ $\Rightarrow 2y(y-2x)+3x(y-2x)=0$ $\Rightarrow (2y+3x)(y-2x)=0$.
આમ,ત્રિકોણની બાજુઓ $L_1: x+y=1$,$L_2: y-2x=0$,અને $L_3: 2y+3x=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધતા:
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ $A(0,0)$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $x+2x=1 \Rightarrow x=1/3, y=2/3$,તેથી $B(1/3, 2/3)$.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x+(-3x/2)=1$ $\Rightarrow -x/2=1$ $\Rightarrow x=-2, y=3$,તેથી $C(-2, 3)$.
$A(0,0)$ માંથી $BC$ $(x+y=1)$ પરનો વેધ: $BC$ નો ઢાળ $-1$ છે,તેથી વેધનો ઢાળ $1$ થાય. સમીકરણ: $y-0=1(x-0) \Rightarrow x-y=0$.
$C(-2,3)$ માંથી $AB$ $(y-2x=0)$ પરનો વેધ: $AB$ નો ઢાળ $2$ છે,તેથી વેધનો ઢાળ $-1/2$ થાય. સમીકરણ: $y-3 = -1/2(x+2)$ $\Rightarrow 2y-6 = -x-2$ $\Rightarrow x+2y=4$.
$x-y=0$ અને $x+2y=4$ ઉકેલતા: $y+2y=4$ $\Rightarrow 3y=4$ $\Rightarrow y=4/3$. તેથી $x=4/3$.
લંબકેન્દ્ર $\left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$ છે.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2 + 2hxy + 6y^2 = 0$ છે. ધારો કે ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. તેથી $m_1 + m_2 = -\frac{h}{3}$ અને $m_1 m_2 = \frac{1}{6}$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \frac{1}{7}$ છે.
આનાથી $|m_1 - m_2| = \frac{1}{6}$ મળે છે.
$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ નો ઉપયોગ કરતા,$h = -\frac{5}{2}$ મળે છે.
રેખાઓ $x - 2y = 0$ અને $x - 3y = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ થી લંબ અંતરનો ગુણાકાર $\frac{\sqrt{2}}{5}$ થાય છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2+xy-2y^2=0$ અને $3y^2-5xy-2x^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x+2y)(x-y)=0$. રેખાઓ $L_1: x+2y=0$ અને $L_2: x-y=0$ છે.
બીજા સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3y+x)(y-2x)=0$. રેખાઓ $L_3: x+3y=0$ અને $L_4: 2x-y=0$ છે.
લંબતા તપાસતા: $L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -1/2$ અને $L_4$ નો ઢાળ $m_4 = 2$ છે. $m_1 \times m_4 = -1$ હોવાથી,$L_1$ અને $L_4$ લંબ છે.
બાકી રહેલી રેખાઓ $L_2: x-y=0$ અને $L_3: x+3y=0$ છે.
તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y)(x+3y)=0 \implies x^2+2xy-3y^2=0$ છે.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, 2h=2, b=-3$ મળે.
તેથી,$a+2h+b = 1+2-3 = 0$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $2x^2+xy-6y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(2x-3y)(x+2y)=0$.
તેથી,બે રેખાઓ $L_1: 2x-3y=0$ અને $L_2: x+2y=0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x+y-1=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધતા:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0,0)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $(3/5, 2/5)$.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $(2, -1)$.
બાજુઓની લંબાઈ:
$OA = \frac{\sqrt{13}}{5}$,$OB = \sqrt{5}$,$AB = \frac{7\sqrt{2}}{5}$.
બધી બાજુઓ અલગ હોવાથી,ત્રિકોણ વિષમબાજુ છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $3x^2 - 4xy + 5y^2 = 0$ છે. આ રેખાઓને લંબ અને $(a, b)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓનું સમીકરણ $5(x-a)^2 + 4(x-a)(y-b) + 3(y-b)^2 = 0$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા: $5(x^2 - 2ax + a^2) + 4(xy - bx - ay + ab) + 3(y^2 - 2by + b^2) = 0$.
$5x^2 + 4xy + 3y^2 - (10a + 4b)x - (4a + 6b)y + (5a^2 + 4ab + 3b^2) = 0$.
$lx^2 + 2hxy + my^2 - 32x - 26y + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$l=5, 2h=4 \implies h=2, m=3$.
$10a + 4b = 32 \implies 5a + 2b = 16$.
$4a + 6b = 26 \implies 2a + 3b = 13$.
ઉકેલતા,$a=2, b=3$.
તેથી $c = 5(2)^2 + 4(2)(3) + 3(3)^2 = 20 + 24 + 27 = 71$.
અંતે,$\frac{a+b+c}{l+h+m} = \frac{2+3+71}{5+2+3} = \frac{76}{10} = \frac{38}{5}$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $2x^2 - 3xy + y^2 = 0$ છે.
તેના અવયવ પાડતા,$(2x - y)(x - y) = 0$ મળે છે.
તેથી,બે રેખાઓ $L_1: y = 2x$ અને $L_2: y = x$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x + y = 1$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x + 2x = 1 \implies 3x = 1 \implies x = 1/3, y = 2/3$. શિરોબિંદુ $(1/3, 2/3)$ છે.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x + x = 1 \implies 2x = 1 \implies x = 1/2, y = 1/2$. શિરોબિંદુ $(1/2, 1/2)$ છે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(1/3, 2/3)$,અને $C(1/2, 1/2)$ છે.
$B$ માંથી $AC$ પરના વેધનું સમીકરણ $y = -x + 1$ મળે છે.
$C$ માંથી $AB$ પરના વેધનું સમીકરણ $y = -1/2x + 3/4$ મળે છે.
આ બંનેને ઉકેલતા,લંબકેન્દ્ર $(1/2, 1/2)$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $3x^2-4xy+y^2=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3x^2-3xy-xy+y^2=0$ $\Rightarrow 3x(x-y)-y(x-y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(x-y)=0$.
તેથી,બે રેખાઓ $L_1: 3x-y=0$ અને $L_2: x-y=0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: 2x-y=6$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0,0)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $3x-y=0$ અને $2x-y=6$. બાદબાકી કરતા $x=-6$,તેથી $y=-18$. બિંદુ $(-6, -18)$ છે.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x-y=0$ અને $2x-y=6$. બાદબાકી કરતા $x=6$,તેથી $y=6$. બિંદુ $(6, 6)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(-18-6) + (-6)(6-0) + 6(0-(-18))| = \frac{1}{2} |0 - 36 + 108| = \frac{1}{2} |72| = 36 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ સમીકરણોને આ રીતે અવયવ પાડી શકાય:
પ્રથમ જોડી: $(\lambda x + my)(\lambda x - my - n) = 0$,જે રેખાઓ $L_1: \lambda x + my = 0$ અને $L_2: \lambda x - my = n$ દર્શાવે છે.
બીજી જોડી: $(\lambda x + my)(\lambda x - my + n) = 0$,જે રેખાઓ $L_3: \lambda x + my = -n$ અને $L_4: \lambda x - my = 0$ દર્શાવે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\left| \frac{(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)}{a_1 b_2 - a_2 b_1} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,ક્ષેત્રફળ $= \left| \frac{(0 - n)(0 - (-n))}{\lambda(-m) - m(\lambda)} \right| = \frac{n^2}{2|\lambda m|}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ સમીકરણો રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
પ્રથમ વક્ર $3x^2-y^2-2xy+4x+1=0$ માટે,તેને $3x^2+(4-2y)x+(1-y^2)=0$ તરીકે લખી શકાય. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{-(4-2y) \pm \sqrt{(4-2y)^2 - 4(3)(1-y^2)}}{6} = \frac{(2y-4) \pm \sqrt{16-16y+4y^2-12+12y^2}}{6} = \frac{(2y-4) \pm \sqrt{16y^2-16y+4}}{6} = \frac{(2y-4) \pm 2(2y-1)}{6} = \frac{(y-2) \pm (2y-1)}{3}$.
આ બે રેખાઓ આપે છે: $L_1: x-y+1=0$ અને $L_2: 3x+y+1=0$.
બીજા વક્ર $3x^2-y^2-2xy+6x+2y=0$ માટે,તેને $3x^2+(6-2y)x+(2y-y^2)=0$ તરીકે લખી શકાય. $x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{-(6-2y) \pm \sqrt{(6-2y)^2 - 4(3)(2y-y^2)}}{6} = \frac{(2y-6) \pm \sqrt{36-24y+4y^2-24y+12y^2}}{6} = \frac{(2y-6) \pm \sqrt{16y^2-48y+36}}{6} = \frac{(2y-6) \pm 2(2y-3)}{6} = \frac{(y-3) \pm (2y-3)}{3}$.
આ બે રેખાઓ આપે છે: $L_3: x-y+2=0$ અને $L_4: 3x+y=0$.
આ પ્રદેશ આ ચાર રેખાઓના છેદથી બનતો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. શિરોબિંદુઓ છે:
$A = L_3 \cap L_4 = (-1/2, 3/2)$
$B = L_1 \cap L_4 = (-1/4, 3/4)$
$C = L_1 \cap L_2 = (-1/2, 1/2)$
$D = L_2 \cap L_3 = (-3/4, 5/4)$
રેખાઓ $a_1x+b_1y+c_1=0, a_1x+b_1y+c_2=0, a_2x+b_2y+d_1=0, a_2x+b_2y+d_2=0$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{|(c_1-c_2)(d_1-d_2)|}{|a_1b_2-a_2b_1|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$L_1: x-y+1=0, L_3: x-y+2=0 \implies |c_1-c_2| = |1-2| = 1$.
$L_2: 3x+y+1=0, L_4: 3x+y=0 \implies |d_1-d_2| = |1-0| = 1$.
છેદ $|(1)(1) - (3)(-1)| = |1+3| = 4$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1 \times 1}{4} = \frac{1}{4}$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડ $12x^2 - 20xy + 7y^2 = 0$ છે. તેના અવયવ પાડતા:
$12x^2 - 14xy - 6xy + 7y^2 = 0$
$2x(6x - 7y) - y(6x - 7y) = 0$
$(2x - y)(6x - 7y) = 0$
તેથી,બે રેખાઓ $2x - y = 0$ અને $6x - 7y = 0$ છે.
ત્રીજી રેખા $2x - 3y + 4 = 0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે રેખાઓની જોડ ઉકેલતા:
$1$. $2x - y = 0$ અને $6x - 7y = 0$ નું છેદબિંદુ:
ઉકેલતા,$x = 0, y = 0$. તેથી,શિરોબિંદુ $A = (0, 0)$.
$2$. $2x - y = 0$ અને $2x - 3y + 4 = 0$ નું છેદબિંદુ:
બાદબાકી કરતા: $(2x - y) - (2x - 3y + 4) = 0$ $\Rightarrow 2y - 4 = 0$ $\Rightarrow y = 2$.
$2x - y = 0$ માં $y = 2$ મૂકતા,$x = 1$. તેથી,શિરોબિંદુ $B = (1, 2)$.
$3$. $6x - 7y = 0$ અને $2x - 3y + 4 = 0$ નું છેદબિંદુ:
$6x - 7y = 0$ પરથી,$x = \frac{7y}{6}$. $2x - 3y + 4 = 0$ માં મૂકતા:
$2(\frac{7y}{6}) - 3y + 4 = 0$ $\Rightarrow \frac{7y}{3} - 3y + 4 = 0$ $\Rightarrow -\frac{2y}{3} = -4$ $\Rightarrow y = 6$.
તેથી $x = \frac{7(6)}{6} = 7$. તેથી,શિરોબિંદુ $C = (7, 6)$.
મધ્યકેન્દ્ર $(\alpha, \beta) = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$:
$\alpha = \frac{0 + 1 + 7}{3} = \frac{8}{3}$
$\beta = \frac{0 + 2 + 6}{3} = \frac{8}{3}$
આમ,$\alpha + 2\beta = \frac{8}{3} + 2(\frac{8}{3}) = \frac{8 + 16}{3} = \frac{24}{3} = 8$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $2x^2 + 5xy + 2y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $2x^2 + 4xy + xy + 2y^2 = 0$ $\Rightarrow 2x(x + 2y) + y(x + 2y) = 0$ $\Rightarrow (2x + y)(x + 2y) = 0$.
રેખાઓ $L_1: 2x + y = 0$ અને $L_2: x + 2y = 0$ છે.
તેમના ઢાળ $m_1 = -2$ અને $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x - 2y + 1 = 0$ નો ઢાળ $m_3 = \frac{1}{2}$ છે.
કારણ કે $m_1 \times m_3 = (-2) \times (\frac{1}{2}) = -1$,તેથી રેખાઓ $L_1$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે. આમ,તેઓ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે પરસ્પર લંબ રેખાઓની શરત $a + b = 0$ છે. કારણ $(R)$ સાચું છે.
જોકે,$(R)$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાની શરત છે,ત્રીજી રેખા સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવવાની શરત નથી. તેથી,$(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) દ્વિઘાતનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 - xy + ky^2 + 6x + y + 4 = 0$ માટે,$a=2, h=-1/2, b=k, g=3, f=1/2, c=4$ છે.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત $\Delta = 2(4k - 1/4) + 1/2(-2 - 3/2) + 3(-1/4 - 3k) = 0$ છે.
સાદું રૂપ આપતા,$8k - 1/2 - 7/4 - 3/4 - 9k = 0$,જે $-k - 3 = 0$ આપે છે,તેથી $k = -3$.
રેખાઓની જોડી $(2x - 3y + 4)(x + y + 1) = 0$ છે.
$(-1, 5)$ થી આ રેખાઓના લંબ અંતર $d_1 = \sqrt{13}$ અને $d_2 = \frac{5}{\sqrt{2}}$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $\frac{65}{\sqrt{26}}$ થાય છે.
અંતે,$37k^2 + 92k = 37(-3)^2 + 92(-3) = 333 - 276 = 57$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $2y^2-xy-6x^2=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2y^2-4xy+3xy-6x^2=0$
$2y(y-2x)+3x(y-2x)=0$
$(y-2x)(2y+3x)=0$
આમ,ત્રિકોણની બાજુઓ $x+y=1$,$y-2x=0$ અને $2y+3x=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે સમીકરણો ઉકેલતા:
$1$. $x+y=1$ અને $y-2x=0$: $y=2x$ ને $x+y=1$ માં મૂકતા $3x=1$,તેથી $x=1/3$ અને $y=2/3$. શિરોબિંદુ: $(1/3, 2/3)$.
$2$. $x+y=1$ અને $2y+3x=0$: $y=1-x$ ને $2y+3x=0$ માં મૂકતા $2(1-x)+3x=0$,તેથી $2+x=0$,$x=-2$ અને $y=3$. શિરોબિંદુ: $(-2, 3)$.
$3$. $y-2x=0$ અને $2y+3x=0$: ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છેદબિંદુ છે. શિરોબિંદુ: $(0,0)$.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$.
$G = \left(\frac{1/3+0-2}{3}, \frac{2/3+0+3}{3}\right) = \left(\frac{-5/3}{3}, \frac{11/3}{3}\right) = \left(\frac{-5}{9}, \frac{11}{9}\right)$.

(D) આપેલ સમીકરણ $(7 x^2-4 x y+8 y^2)^2+(4 x-8 y-32)(7 x^2-4 x y+8 y^2)=0$ છે.
$(7 x^2-4 x y+8 y^2)$ સામાન્ય લેતા,આપણને $(7 x^2-4 x y+8 y^2)(7 x^2-4 x y+8 y^2+4 x-8 y-32)=0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $7 x^2-4 x y+8 y^2=0$ અથવા $7 x^2-4 x y+8 y^2+4 x-8 y-32=0$.
પ્રથમ ભાગ $7 x^2-4 x y+8 y^2=0$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. વિવેચક $B^2-4AC = (-4)^2 - 4(7)(8) = 16 - 224 = -208 < 0$ હોવાથી,આ રેખાઓ કાલ્પનિક છે.
બીજો ભાગ $7 x^2-4 x y+8 y^2+4 x-8 y-32=0$ પણ કાલ્પનિક રેખાઓ દર્શાવે છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવતી રેખાઓ વાસ્તવિક ન હોવાથી,પ્રશ્ન મુજબ વાસ્તવિક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનતો નથી. તેથી,આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી છે:
$(i)$ $xy+4x-5y-20=0 \Rightarrow (x-5)(y+4)=0$. આ રેખાઓ $x=5$ અને $y=-4$ દર્શાવે છે.
(ii) $xy-5x+4y-20=0 \Rightarrow (x+4)(y-5)=0$. આ રેખાઓ $x=-4$ અને $y=5$ દર્શાવે છે.
આ ચાર રેખાઓ શિરોબિંદુઓ $A(-4,-4)$,$B(5,-4)$,$C(5,5)$,અને $D(-4,5)$ વાળો ચોરસ બનાવે છે.
વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ છે.
$(-4,-4)$ અને $(5,5)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણ $AC$ નું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{5-(-4)}{5-(-4)}(x-(-4))$ $\Rightarrow y+4 = x+4$ $\Rightarrow x-y=0$ છે.
$(5,-4)$ અને $(-4,5)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણ $BD$ નું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{5-(-4)}{-4-5}(x-5)$ $\Rightarrow y+4 = -1(x-5)$ $\Rightarrow x+y-1=0$ છે.
વિકર્ણોનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y)(x+y-1)=0$ છે.
$x^2+xy-x-xy-y^2+y=0 \Rightarrow x^2-y^2-x+y=0$.
આને $x^2-y^2-kx+ly=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k=1$ અને $l=1$ મળે છે.
તેથી,$k+l = 1+1 = 2$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીના સમીકરણો છે:
$xy+6y-4x-24=0$ $\Rightarrow (x+6)(y-4)=0$ $\Rightarrow x+6=0$ અને $y-4=0$.
$xy+6x-4y-24=0$ $\Rightarrow (x-4)(y+6)=0$ $\Rightarrow x-4=0$ અને $y+6=0$.
આમ,ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(4,4)$,$B(4,-6)$,$C(-6,-6)$,અને $D(-6,4)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ એ $(4,4)$ અને $(-6,-6)$ ને જોડે છે. તેનો ઢાળ $m = \frac{-6-4}{-6-4} = 1$ છે. સમીકરણ $y-4 = 1(x-4) \Rightarrow x-y=0$ છે.
વિકર્ણ $BD$ એ $(4,-6)$ અને $(-6,4)$ ને જોડે છે. તેનો ઢાળ $m = \frac{4-(-6)}{-6-4} = -1$ છે. સમીકરણ $y-4 = -1(x+6) \Rightarrow x+y+2=0$ છે.
વિકર્ણોનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y)(x+y+2)=0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2+xy+2x-xy-y^2-2y=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2-y^2+2x-2y=0$ થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2-3xy+2y^2=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2-2xy-xy+2y^2=0$ $\Rightarrow x(x-2y)-y(x-2y)=0$ $\Rightarrow (x-y)(x-2y)=0$.
આમ,બે રેખાઓ $L_1: x-y=0$ અને $L_2: x-2y=0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x+y+1=0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0,0)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x-y=0$ અને $x+y=-1$ $\Rightarrow 2x=-1$ $\Rightarrow x=-\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{2}$. બિંદુ $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ છે.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x=2y$ અને $2y+y=-1$ $\Rightarrow 3y=-1$ $\Rightarrow y=-\frac{1}{3}, x=-\frac{2}{3}$. બિંદુ $(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3})) + (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{3} - 0) + (-\frac{2}{3})(0 - (-\frac{1}{2}))|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3}| = \frac{1}{2} |-\frac{1}{6}| = \frac{1}{12}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ રેખાઓ $x+3y=10$ અને $6x^2+xy-y^2=0$ છે.
બીજા સમીકરણના અવયવ પાડતા: $6x^2+3xy-2xy-y^2=0$ $\Rightarrow 3x(2x+y)-y(2x+y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(2x+y)=0$.
ત્રિકોણ બનાવતી ત્રણ રેખાઓ $L_1: x+3y=10$,$L_2: 3x-y=0$,અને $L_3: 2x+y=0$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ ઉકેલતા: $x+3(3x)=10$ $\Rightarrow 10x=10$ $\Rightarrow x=1, y=3$. શિરોબિંદુ $B = (1,3)$.
$L_2$ અને $L_3$ ઉકેલતા: $x=0, y=0$. શિરોબિંદુ $A = (0,0)$.
$L_1$ અને $L_3$ ઉકેલતા: $x+3(-2x)=10$ $\Rightarrow -5x=10$ $\Rightarrow x=-2, y=4$. શિરોબિંદુ $C = (-2,4)$.
$A$ માંથી $BC$ $(x+3y=10)$ પરના વેધનો ઢાળ $3$ છે. સમીકરણ: $y-0=3(x-0) \Rightarrow 3x-y=0$.
$B$ માંથી $AC$ $(2x+y=0)$ પરના વેધનો ઢાળ $1/2$ છે. સમીકરણ: $y-3=\frac{1}{2}(x-1)$ $\Rightarrow 2y-6=x-1$ $\Rightarrow x-2y=-5$.
વેધના સમીકરણો $3x-y=0$ અને $x-2y=-5$ ઉકેલતા: $y=3x$ $\Rightarrow x-2(3x)=-5$ $\Rightarrow -5x=-5$ $\Rightarrow x=1, y=3$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(1,3)$ છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ સમીકરણ માટે રેખાઓ $y - mx = 0$ અને $y - m_1x = 0$ છે,અને બીજા સમીકરણ માટે $y - mx = 0$ અને $y - m_2x = 0$ છે,જ્યાં $y - mx = 0$ સામાન્ય રેખા છે.
$2x^2 + \alpha xy + 3y^2 = 0$ માટે,$3(y/x)^2 + \alpha(y/x) + 2 = 0$.
ધારો કે $m$ અને $m_1$ બીજ છે. તો $m + m_1 = -\alpha/3$ અને $m \cdot m_1 = 2/3$.
$2x^2 + \beta xy - 3y^2 = 0$ માટે,$3(y/x)^2 - \beta(y/x) - 2 = 0$.
ધારો કે $m$ અને $m_2$ બીજ છે. તો $m + m_2 = \beta/3$ અને $m \cdot m_2 = -2/3$.
આપેલ છે કે અન્ય બે રેખાઓ $y - m_1x = 0$ અને $y - m_2x = 0$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $m_1 \cdot m_2 = -1$.
$m \cdot m_1 = 2/3$ પરથી,$m_1 = 2/(3m)$.
$m \cdot m_2 = -2/3$ પરથી,$m_2 = -2/(3m)$.
$m_1 \cdot m_2 = -1$ માં મૂકતા: $(2/(3m)) \cdot (-2/(3m)) = -1$ $\Rightarrow -4/(9m^2) = -1$ $\Rightarrow m^2 = 4/9$ $\Rightarrow m = \pm 2/3$.
જો $m = 2/3$ હોય,તો $m_1 = 1$ અને $m_2 = -1$.
તેથી $\alpha = -3(m + m_1) = -5$ અને $\beta = 3(m + m_2) = -1$.
$|\alpha + \beta| = |-5 - 1| = 6$.

(C) $\triangle ABC$ માટે,બાજુઓ $2x^2-y^2=0$ અને $x+y-1=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(\sqrt{2}-1, 2-\sqrt{2})$,અને $(-\sqrt{2}-1, 2+\sqrt{2})$ મળે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = (-\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$ છે.
$\triangle PQR$ માટે,બાજુઓ $2x^2-5xy+2y^2=0$ અને $7x-2y-12=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(4,8)$,અને $(2,1)$ મળે છે.
લંબકેન્દ્ર $H$ અને $G$ વચ્ચેનું અંતર $2\sqrt{29}$ મળે છે.

(B) બાજુઓ $OA$ અને $OC$ નું સંયુક્ત સમીકરણ $2x^2-y^2=0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y^2=2x^2$,અથવા $y=\pm\sqrt{2}x$.
$A$ અને $C$ એ રેખા $x+y-1=0$ પર આવેલા હોવાથી,આપણે $y=\sqrt{2}x$ અને $y=-\sqrt{2}x$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકીને તેમના યામ મેળવીએ છીએ.
$A$ માટે: $x+\sqrt{2}x=1 \implies x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$. તેથી $A=(\sqrt{2}-1, 2-\sqrt{2})$.
$C$ માટે: $x-\sqrt{2}x=1 \implies x=\frac{1}{1-\sqrt{2}}=-(1+\sqrt{2})$. તેથી $C=(-1-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})$.
$D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $D=\left(\frac{\sqrt{2}-1-1-\sqrt{2}}{2}, \frac{2-\sqrt{2}+2+\sqrt{2}}{2}\right) = (-1, 2)$.
$OABC$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,વિકર્ણો $OB$ અને $AC$ એકબીજાને $D$ પર દુભાગે છે. તેથી $D$ એ $OB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $O=(0,0)$ હોવાથી,$B=2D=(-2, 4)$.
$\triangle OAC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{0+(\sqrt{2}-1)+(-1-\sqrt{2})}{3}, \frac{0+(2-\sqrt{2})+(2+\sqrt{2})}{3}\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$.
અંતર $BG = \sqrt{(-2 - (-2/3))^2 + (4 - 4/3)^2} = \sqrt{(-4/3)^2 + (8/3)^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{80}{9}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $(ax+by)^2 - 3(bx-ay)^2 = 0$ છે.
આને $(ax+by)^2 = 3(bx-ay)^2$ તરીકે લખી શકાય,જેનો અર્થ છે $ax+by = \pm \sqrt{3}(bx-ay)$.
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{c^2}{\sqrt{3}(a^2+b^2)}$ મળે છે.

(A) સમીકરણ $ax^2+6xy-2y^2=0$ લંબ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
$a + (-2) = 0 \Rightarrow a = 2$.
સમીકરણ $9x^2+2hxy+4y^2=0$ સંપાતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે,તેથી શરત $h^2 - ab = 0$ સંતોષાવી જોઈએ,જ્યાં સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$A=9$,$B=4$,અને $xy$ નો સહગુણક $2h$ છે,તેથી શરત $h^2 - AB = 0$ છે.
$h^2 - (9)(4) = 0 \Rightarrow h^2 = 36$.
$h > 0$ હોવાથી,$h = 6$.
$a = 2$ આપેલ હોવાથી,$h$ ને $a$ ના સ્વરૂપમાં $h = 3a$ તરીકે લખી શકાય (કારણ કે $3 \times 2 = 6$).

(B) આપેલ રેખા $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ છે,જેને $2x+3y=6$ અથવા $y=-\frac{2}{3}x+2$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1=-\frac{2}{3}$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી પરસ્પર લંબ હોવાથી અને આપેલ રેખા સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવતી હોવાથી,તેઓ આપેલ રેખા સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે રેખાઓની જોડીના ઢાળ $m$ અને $-\frac{1}{m}$ છે.
રેખા $y=mx$ અને $y=-\frac{2}{3}x+2$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - (-2/3)}{1 + m(-2/3)} \right| = 1$
$1 = \left| \frac{3m+2}{3-2m} \right|$
$3m+2 = 3-2m$ અથવા $3m+2 = -(3-2m)$
$5m = 1 \Rightarrow m = \frac{1}{5}$ અથવા $m+5 = 0 \Rightarrow m = -5$.
રેખાઓ $y=\frac{1}{5}x$ અને $y=-5x$ છે,એટલે કે $x-5y=0$ અને $5x+y=0$.
તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x-5y)(5x+y) = 0$ છે.
$5x^2 + xy - 25xy - 5y^2 = 0$
$5x^2 - 24xy - 5y^2 = 0$
$5(x^2-y^2) - 24xy = 0$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $S \equiv 2x^2+3xy-2y^2-7x+y+3=0$ છે.
હોમોજીનિયસ ભાગનું અવયવીકરણ: $2x^2+3xy-2y^2 = (x+2y)(2x-y) = 0$.
ધારો કે રેખાઓ $(x+2y+c_1)(2x-y+c_2) = 2x^2+3xy-2y^2-7x+y+3$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $2c_1+c_2 = -7$ અને $2c_2-c_1 = 1$.
આને ઉકેલતા,આપણને $c_1 = -3$ અને $c_2 = -1$ મળે છે.
તેથી,રેખાઓ $x+2y-3=0$ અને $2x-y-1=0$ છે.
રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ આ રેખાઓને લંબ છે અને $(3,-4)$ માંથી પસાર થાય છે.
$x+2y-3=0$ ને લંબ રેખા $2x-y+k_1=0$ છે. $(3,-4)$ માંથી પસાર થતા: $2(3)-(-4)+k_1=0 \Rightarrow k_1=-10$. તેથી,$2x-y-10=0$.
$2x-y-1=0$ ને લંબ રેખા $x+2y+k_2=0$ છે. $(3,-4)$ માંથી પસાર થતા: $3+2(-4)+k_2=0 \Rightarrow k_2=5$. તેથી,$x+2y+5=0$.
આ ચાર રેખાઓ દ્વારા બનતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ એ સમાંતર જોડીઓ વચ્ચેના અંતરનો ગુણાકાર છે.
$x+2y-3=0$ અને $x+2y+5=0$ વચ્ચેનું અંતર $d_1 = \frac{|5-(-3)|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$ છે.
$2x-y-1=0$ અને $2x-y-10=0$ વચ્ચેનું અંતર $d_2 = \frac{|-10-(-1)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{9}{\sqrt{5}}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= d_1 \times d_2 = \frac{8}{\sqrt{5}} \times \frac{9}{\sqrt{5}} = \frac{72}{5} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(\tan ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha) x^2 - (2 \tan \alpha) xy + (\sin ^2 \alpha) y^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $(\sin ^2 \alpha) m^2 - (2 \tan \alpha) m + (\tan ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) = 0$ મળે છે,જ્યાં $m = y/x$.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
તેથી $m_1 + m_2 = \frac{2 \tan \alpha}{\sin ^2 \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha \cos \alpha}$ અને $m_1 m_2 = \frac{\tan ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha}{\sin ^2 \alpha} = \sec^2 \alpha + \cot^2 \alpha$.
ઢાળનો તફાવત $|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2}$ છે.
ગણતરી કરતા,$|m_1 - m_2| = \sqrt{4} = 2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $4x^2+6xy+ky^2=0$ $(i)$ અને $3x^2-5xy+2y^2=0$ (ii) છે.
(ii) દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ $3x^2-3xy-2xy+2y^2=0$ $\Rightarrow 3x(x-y)-2y(x-y)=0$ $\Rightarrow (3x-2y)(x-y)=0$ છે.
આમ,રેખાઓ $y=x$ અને $y=\frac{3}{2}x$ છે.
જો રેખા $y=mx$ એ રેખા $y=m_1x$ ને લંબ હોય,તો $m = -\frac{1}{m_1}$.
કિસ્સો $1$: રેખા $y=x$ એ $(i)$ ની એક રેખાને લંબ છે. તો રેખા $y=-x$ એ $(i)$ નું સમાધાન કરે.
$(i)$ માં $y=-x$ મૂકતા: $4x^2+6x(-x)+k(-x)^2=0$ $\Rightarrow 4-6+k=0$ $\Rightarrow k=2$.
કિસ્સો $2$: રેખા $y=\frac{3}{2}x$ એ $(i)$ ની એક રેખાને લંબ છે. તો રેખા $y=-\frac{2}{3}x$ એ $(i)$ નું સમાધાન કરે.
$(i)$ માં $y=-\frac{2}{3}x$ મૂકતા: $4x^2+6x(-\frac{2}{3}x)+k(-\frac{2}{3}x)^2=0$ $\Rightarrow 4-4+\frac{4k}{9}=0$ $\Rightarrow k=0$.
$k$ ના શક્ય મૂલ્યો $2$ અને $0$ છે.
તફાવતનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|2-0|=2$ છે.
તફાવતનું બમણું મૂલ્ય $2 \times 2 = 4$ થાય.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+2 \sqrt{2} x y+k y^2=0$ છે.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=\sqrt{2}, b=k$ મળે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}$ છે.
$\theta = 45^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1 = \frac{2\sqrt{2-k}}{1+k}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(1+k)^2 = 4(2-k)$ $\Rightarrow k^2+2k+1 = 8-4k$ $\Rightarrow k^2+6k-7=0$.
અવયવ પાડતા $(k+7)(k-1)=0$ મળે. $k>0$ હોવાથી,$k=1$.
રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+2\sqrt{2}xy+y^2=0$ બને છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ $\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{1-1} = \frac{xy}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow x^2-y^2=0$.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x-y=0$ અને $x+y=0$.
ત્રીજી રેખા $x+2y+1=0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ ત્રણ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$) $x-y=0$ અને $x+y=0 \Rightarrow (0,0)$.
$2$) $x-y=0$ અને $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1/3, x=-1/3$.
$3$) $x+y=0$ અને $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1, x=1$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ સૂત્રથી મળે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 1/3 + 1/3| = \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ સીધી રેખાઓની જોડી બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan \theta$ અને $m_2 = \tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $(y-1) = \tan \theta(x-1)$ અને $(y-1) = \cot \theta(x-1)$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $[(y-1) - \tan \theta(x-1)][(y-1) - \cot \theta(x-1)] = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(y-1)^2 - (x-1)(y-1)(\tan \theta + \cot \theta) + (x-1)^2 = 0$ મળે છે.
સરળ બનાવતા,$x^2 + y^2 - (\tan \theta + \cot \theta)xy + (\tan \theta + \cot \theta - 2)x + (\tan \theta + \cot \theta - 2)y + (2 - (\tan \theta + \cot \theta)) = 0$ મળે છે.
આને આપેલ સમીકરણ $x^2 - (a+2)xy + y^2 + a(x+y-1) = 0$ સાથે સરખાવતા,$xy$ નો સહગુણક:
$\tan \theta + \cot \theta = a+2$.
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\frac{2}{\sin 2\theta} = a+2$,જેનો અર્થ છે કે $\sin 2\theta = \frac{2}{a+2}$.
તેથી,$\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{2}{a+2}\right)$.

(C) આપેલ સમીકરણો $xy+4x-3y-12=0$ અને $xy-3x+4y-12=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $x(y+4)-3(y+4)=0 \Rightarrow (x-3)(y+4)=0$. આ રેખાઓ $x=3$ અને $y=-4$ દર્શાવે છે.
બીજા સમીકરણ માટે: $x(y-3)+4(y-3)=0 \Rightarrow (x+4)(y-3)=0$. આ રેખાઓ $x=-4$ અને $y=3$ દર્શાવે છે.
ચોરસ બનાવતી ચાર રેખાઓ $x=3, x=-4, y=3, y=-4$ છે.
ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(-4,-4), B(3,-4), C(3,3)$ અને $D(-4,3)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ એ $A(-4,-4)$ અને $C(3,3)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{3-(-4)}(x-(-4))$ $\Rightarrow y+4 = 1(x+4)$ $\Rightarrow x-y=0$ છે.
વિકર્ણ $BD$ એ $B(3,-4)$ અને $D(-4,3)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{-4-3}(x-3)$ $\Rightarrow y+4 = \frac{7}{-7}(x-3)$ $\Rightarrow y+4 = -x+3$ $\Rightarrow x+y+1=0$ છે.
વિકર્ણોનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y)(x+y+1)=0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2+xy+x-xy-y^2-y=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2-y^2+x-y=0$ થાય છે.