Mix Examples-Pair of straight lines Questions in Gujarati

(A) સમીકરણોની જોડ $3x^2 + 2hxy - 3y^2 = 0$ એ બે લંબ રેખાઓ દર્શાવે છે કારણ કે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $3 + (-3) = 0$ છે.
ચોરસની બાજુઓ બનવા માટે,રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવી જોઈએ.
બીજું સમીકરણ $3x^2 + 2hxy - 3y^2 + 2x - 4y + c = 0$ બાકીની બે બાજુઓ દર્શાવે છે,જે પ્રથમ જોડને સમાંતર હોવી જોઈએ.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવું જોઈએ.
ગણતરી કરતા $h = 2$ અને $c = -8$ મળે છે.
તેથી,$\frac{h}{c} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $2x^2 - 5xy + 2y^2 + 6x - 3y = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(2y - x - 3)(y - 2x) = 0$ મળે છે.
આમ,રેખાઓ $2y - x - 3 = 0$ અને $y - 2x = 0$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $y = 2x$,તેથી $2(2x) - x - 3 = 0 \implies 3x = 3 \implies x = 1$.
આમ,છેદબિંદુ $(1, 2)$ છે,તેથી $\alpha = 1$.
વિધાન (ii) માટે,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $y - 2x = 0$ છે,જેનો ઢાળ $m = 2$ છે. તેથી $\beta = 2$.
વિધાન (iii) માટે,કોણીય દ્વિભાજકો $\frac{2y - x - 3}{\sqrt{5}} = \pm \frac{y - 2x}{\sqrt{5}}$ દ્વારા મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2y - x - 3 = \pm(y - 2x)$ થાય છે.
કિસ્સો $1$: $x + y - 3 = 0$.
કિસ્સો $2$: $x - y + 1 = 0$.
અચળ પદો $-3$ અને $1$ છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપ લેતા,$\gamma = -3$.
કિંમતો સરખાવતા: $\gamma = -3, \alpha = 1, \beta = 2$.
તેથી,$\gamma < \alpha < \beta$.

(D) રેખાઓની જોડી $S = 3x^2 - 2kxy + y^2 = 0$ છે. રેખા $L = 2x - y - 6 = 0$ એટલે કે $y = 2x - 6$.
$S=0$ માં $y$ ની કિંમત મૂકતા,$3x^2 - 2kx(2x - 6) + (2x - 6)^2 = 0$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $(7 - 4k)x^2 + 12(k - 2)x + 36 = 0$ થાય.
ધારો કે છેદબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ છે. ઉગમબિંદુ $C(0, 0)$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1| = 36$,જેનો અર્થ છે કે $|x_1x_2| |m_1 - m_2| = 72$.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$x_1x_2 = \frac{36}{7 - 4k}$.
વળી,$S = ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે,$|m_1 - m_2| = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{|b|} = 2\sqrt{k^2 - 3}$.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $|\frac{36}{7 - 4k}| \cdot 2\sqrt{k^2 - 3} = 72 \Rightarrow |\sqrt{k^2 - 3}| = |7 - 4k|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $k^2 - 3 = (7 - 4k)^2 = 49 + 16k^2 - 56k$.
$15k^2 - 56k + 52 = 0 \Rightarrow (k - 2)(15k - 26) = 0$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k = 2$.
$k = 2$ માટે,$\tan \theta = \frac{2\sqrt{k^2 - 3}}{a + b} = \frac{2\sqrt{4 - 3}}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$\tan \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ છે.
$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=2, b=3, g=-2, f=-5, c=3$ મળે.
છેદબિંદુ $(x_0, y_0) = \left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}, \frac{af-gh}{h^2-ab}\right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x_0 = \frac{-6+10}{4-3} = 4$ અને $y_0 = \frac{-5+4}{1} = -1$.
છેદબિંદુ $(4, -1)$ છે.
ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2}$ અને $(4, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x-2y-6=0$ છે.
ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{3}$ અને $(4, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x+3y-1=0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x-2y-6)(x+3y-1) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2+xy-6y^2-7x-16y+6=0$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2-3xy+2y^2=0$ અને $x^2-3xy+2y^2+x-2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-2y)(x-y)=0$,જે રેખાઓ $L_1: x-2y=0$ અને $L_2: x-y=0$ આપે છે.
બીજા સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-2y+2)(x-y-1)=0$,જે રેખાઓ $L_3: x-2y+2=0$ અને $L_4: x-y-1=0$ આપે છે.
સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $L_1 \parallel L_3$ અને $L_2 \parallel L_4$.
સામેની બાજુઓ સમાંતર હોવાથી,આ આકૃતિ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનો ખૂણો તપાસતા,ઢાળ $m_1 = 1/2$ અને $m_2 = 1$ છે. $m_1 \times m_2 \neq -1$ હોવાથી,ખૂણો $90^{\circ}$ નથી.
તેથી,આ આકૃતિ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(B) રેખાઓની જોડી $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ એ રેખા $lx + my + n = 0$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે જો $\frac{A+B}{1} = \frac{H}{lm} = \frac{A-B}{l^2-m^2}$ હોય.
આપેલ રેખાઓની જોડી $ax^2 - 96bxy + ky^2 = 0$ માટે,$A = a$,$2H = -96b$,અને $B = k$ છે.
રેખા $2x + by + 5 = 0$ છે,તેથી $l = 2$ અને $m = b$ છે.
શરત $\frac{a+k}{1} = \frac{-48b}{2b} = \frac{a-k}{4-b^2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\frac{a+k}{1} = -24$ પરથી,આપણને $a+k = -24$ મળે છે.
$\frac{-48b}{2b} = \frac{a-k}{4-b^2}$ પરથી,આપણને $-24 = \frac{a-k}{4-b^2}$ મળે છે,તેથી $a-k = -96 + 24b^2$.
ઉકેલતા,આપણને $a+3k = 192$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડ $8x^2 - 14xy + 5y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(2x - y)(4x - 5y) = 0$.
તેથી,બે રેખાઓ $L_2: 2x - y = 0$ અને $L_3: 4x - 5y = 0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_1: x - 2y + 3 = 0$ છે.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુ $A(0, 0)$ છે.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ $C(5, 4)$ છે અને $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $B(1, 2)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(p, q) = (\frac{0+1+5}{3}, \frac{0+2+4}{3}) = (2, 2)$ છે.
તેથી $p = q$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+4xy+ky^2-4x-10y+3=0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. આ માટે નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 2 & k & -5 \\ -2 & -5 & 3 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(3k-25) - 2(6-10) - 2(-10+2k) = 0$
$3k-25+8+20-4k = 0 \implies k = 3$.
સમીકરણ $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(x+y-3)(x+3y-1) = 0$.
રેખાઓ $x+y-3=0$ અને $x+3y-1=0$ છે.
છેદબિંદુ શોધતા: $x+y=3$ અને $x+3y=1$. બાદબાકી કરતા $2y = -2 \implies y = -1$,તેથી $x = 4$. છેદબિંદુ $(4, -1)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $(4,-1)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}$,તેથી $d^2 = 17$.
ઉગમબિંદુથી રેખાઓ $x+y-3=0$ અને $x+3y-1=0$ પરના લંબ અંતર $d_1 = \frac{|-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ અને $d_2 = \frac{|-1|}{\sqrt{1^2+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ છે.
ગુણાકાર $p = d_1 \times d_2 = \frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{20}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}$.
આમ,$p^2 = \frac{9}{20}$.
અંતે,$d^2 - 20p^2 = 17 - 20 \times \frac{9}{20} = 17 - 9 = 8$.

(D) આપેલ સમીકરણ $9x^2-24xy+16y^2+\alpha x+\beta y+6=0$ છે. તેને $(3x-4y)^2+\alpha x+\beta y+6=0$ તરીકે લખી શકાય.
તે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવતું હોવાથી,ધારો કે રેખાઓ $(3x-4y+k_1)=0$ અને $(3x-4y+k_2)=0$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $(3x-4y+k_1)(3x-4y+k_2) = 9x^2-24xy+16y^2+3(k_1+k_2)x-4(k_1+k_2)y+k_1k_2=0$ થાય.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $\alpha = 3(k_1+k_2)$,$\beta = -4(k_1+k_2)$,અને $k_1k_2 = 6$.
તેથી,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{3(k_1+k_2)}{-4(k_1+k_2)} = -\frac{3}{4}$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $12 x^2-20 x y+7 y^2=0$ છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $12 x^2-14 x y-6 x y+7 y^2=0$.
આનું સાદું રૂપ $2 x(6 x-7 y)-y(6 x-7 y)=0$ થાય છે,જે $(2 x-y)(6 x-7 y)=0$ આપે છે.
આમ,બે રેખાઓ $y=2 x$ અને $y=\frac{6 x}{7}$ છે.
ત્રીજી રેખા $x+y=1$ છે,એટલે કે $y=1-x$.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીએ છીએ:
$1$. $y=2 x$ અને $y=\frac{6 x}{7}$ નું છેદબિંદુ $(0,0)$ છે.
$2$. $y=2 x$ અને $x+y=1$ નું છેદબિંદુ: $x+2 x=1 \Rightarrow 3 x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}$. શિરોબિંદુ $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ છે.
$3$. $y=\frac{6 x}{7}$ અને $x+y=1$ નું છેદબિંદુ: $x+\frac{6 x}{7}=1 \Rightarrow \frac{13 x}{7}=1 \Rightarrow x=\frac{7}{13}, y=\frac{6}{13}$. શિરોબિંદુ $(\frac{7}{13}, \frac{6}{13})$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(\frac{2}{3}-\frac{6}{13}) + \frac{1}{3}(\frac{6}{13}-0) + \frac{7}{13}(0-\frac{2}{3})|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{6}{39} - \frac{14}{39}| = \frac{1}{2} |-\frac{8}{39}| = \frac{4}{39}$.