Equation of pair of straight lines Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण $ax^2 - bxy - y^2 = 0$ है। $x^2$ से भाग देने पर,हमें $-(\frac{y}{x})^2 - b(\frac{y}{x}) + a = 0$ प्राप्त होता है,जो $(\frac{y}{x})^2 + b(\frac{y}{x}) - a = 0$ है।
मान लीजिए $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ रेखाओं की ढाल हैं।
ये द्विघात समीकरण $m^2 + bm - a = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$\tan \alpha + \tan \beta = -b$ और $\tan \alpha \tan \beta = -a$ है।
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{-b}{1 - (-a)} = \frac{-b}{1+a}$.

(B) माना रेखाओं की ढाल $m_{1}$ और $m_{2}$ है।
समीकरण $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ के लिए,$m_{1} + m_{2} = \frac{-2h}{b}$ और $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b}$ है।
ढाल का अनुपात $m_{1}:m_{2} = 5:3$ दिया गया है,इसलिए $m_{1} = 5k$ और $m_{2} = 3k$ लें।
अतः $m_{1} + m_{2} = 8k = \frac{-2h}{b} \Rightarrow k = \frac{-h}{4b}$।
साथ ही $m_{1}m_{2} = 15k^{2} = \frac{a}{b}$।
दूसरे समीकरण में $k$ का मान रखने पर: $15 \left( \frac{-h}{4b} \right)^{2} = \frac{a}{b}$।
$15 \left( \frac{h^{2}}{16b^{2}} \right) = \frac{a}{b}$।
$\frac{15h^{2}}{16b} = a$।
अतः,$\frac{h^{2}}{ab} = \frac{16}{15}$।

(C) दिया गया समीकरण $K x^2 + 5 x y + y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $a x^2 + 2 h x y + b y^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = K$,$2h = 5$,और $b = 1$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं।
तब,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -5$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = K$ होगा।
यह दिया गया है कि प्रवणताओं का अंतर $1$ है,अर्थात $|m_1 - m_2| = 1$ है।
सर्वसमिका $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4 m_1 m_2$ का उपयोग करने पर:
$1^2 = (-5)^2 - 4(K)$.
$1 = 25 - 4K$.
$4K = 24$.
$K = 6$.

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $k x^2 + x y - y^2 = 0$ है।
चूंकि रेखाएं निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करती हैं,इसलिए उनकी ढाल $m = \pm 1$ होनी चाहिए।
समीकरण में $y = mx$ रखने पर,हमें $k x^2 + x(mx) - (mx)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें $k + m - m^2 = 0$ मिलता है।
$m = 1$ के लिए,$k + 1 - 1^2 = 0 \Rightarrow k = 0$.
$m = -1$ के लिए,$k - 1 - (-1)^2 = 0$ $\Rightarrow k - 1 - 1 = 0$ $\Rightarrow k = 2$.
अतः,$k$ के मान $0$ और $2$ हैं।

(C) द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
इसके रेखाओं का युग्म होने के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
दिए गए समीकरण $kxy + 10x + 8y + 16 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
$a = 0, b = 0, c = 16, h = k/2, g = 5, f = 4$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$(0)(0)(16) + 2(4)(5)(k/2) - (0)(4^2) - (0)(5^2) - (16)(k/2)^2 = 0$.
$0 + 20k - 0 - 0 - 16(k^2/4) = 0$.
$20k - 4k^2 = 0$.
$4k(5 - k) = 0$.
अतः,$k = 0$ या $k = 5$.

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $ax^2 + (2a + 1)xy + 2y^2 = 0$ है।
इसे $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $A = a$,$2H = 2a + 1$,और $B = 2$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
दिया गया है कि $m_1 = \frac{1}{m_2}$,जिसका अर्थ है $m_1 m_2 = 1$।
रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए,ढालों का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = \frac{a}{2}$ होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{a}{2} = 1$,इसलिए $a = 2$ प्राप्त होता है।
ढालों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B} = -\frac{2a + 1}{2}$ होता है।
$a = 2$ रखने पर,$m_1 + m_2 = -\frac{2(2) + 1}{2} = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
हमें $m_1^2 + m_2^2$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $m_1^2 + m_2^2 = (m_1 + m_2)^2 - 2m_1 m_2$ का उपयोग करने पर:
$m_1^2 + m_2^2 = (-\frac{5}{2})^2 - 2(1) = \frac{25}{4} - 2 = \frac{25 - 8}{4} = \frac{17}{4}$।

(B) रेखा $QR$ का ढाल $m = -2$ है। मान लीजिए रेखाओं $PQ$ और $PR$ के ढाल क्रमशः $m_1$ और $m_2$ हैं।
चूंकि $\triangle PQR$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,इसलिए कोण $\angle PQR = \angle PRQ = 45^{\circ}$ हैं।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{-2 - m_1}{1 + (-2)m_1} \right| = 1$ है।
यह $\left| \frac{2 + m_1}{1 - 2m_1} \right| = 1$ देता है,इसलिए $2 + m_1 = 1 - 2m_1$ या $2 + m_1 = -(1 - 2m_1)$ होगा।
$3m_1 = -1$ को हल करने पर $m_1 = -1/3$ प्राप्त होता है। $-m_1 = -3$ को हल करने पर $m_2 = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाएँ $PQ$ और $PR$ बिंदु $P(2, 1)$ से होकर गुजरती हैं जिनके ढाल $-1/3$ और $3$ हैं।
समीकरण $y - 1 = -1/3(x - 2) \Rightarrow x + 3y - 5 = 0$ और $y - 1 = 3(x - 2) \Rightarrow 3x - y - 5 = 0$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(x + 3y - 5)(3x - y - 5) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर: $3x^2 - xy - 5x + 9xy - 3y^2 - 15y - 15x + 5y + 25 = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर $3x^2 - 3y^2 + 8xy - 20x - 10y + 25 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है। मान लीजिए $m_1$ और $m_2$ रेखाओं की प्रवणताएँ हैं।
हम जानते हैं कि $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ है।
प्रवणताओं का अंतर $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1m_2$ द्वारा दिया जाता है।
$(m_1 - m_2)^2 = \left(-\frac{2h}{b}\right)^2 - 4\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{4h^2}{b^2} - \frac{4a}{b} = \frac{4h^2 - 4ab}{b^2}$.
दिया गया है कि $4ab = 3h^2$,इसे समीकरण में रखने पर:
$(m_1 - m_2)^2 = \frac{4h^2 - 3h^2}{b^2} = \frac{h^2}{b^2}$.
अतः,$m_1 - m_2 = \pm \frac{h}{b}$.
$m_1 - m_2 = \frac{h}{b}$ और $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ को हल करने पर:
$2m_1 = -\frac{2h}{b} + \frac{h}{b} = -\frac{h}{b} \Rightarrow m_1 = -\frac{h}{2b}$.
$2m_2 = -\frac{2h}{b} - \frac{h}{b} = -\frac{3h}{b} \Rightarrow m_2 = -\frac{3h}{2b}$.
अनुपात $m_1 : m_2 = \left(-\frac{h}{2b}\right) : \left(-\frac{3h}{2b}\right) = 1 : 3$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^{2}-y^{2}=0$ है,जिसे $(x-y)(x+y)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,दी गई रेखाओं की ढाल $m_{1}=1$ और $m_{2}=-1$ है।
$(2,3)$ से गुजरने वाली और इन रेखाओं के समांतर रेखाओं के समीकरण हैं:
$(y-3)=1(x-2) \Rightarrow x-y+1=0$
$(y-3)=-1(x-2) \Rightarrow x+y-5=0$
संयुक्त समीकरण इन दो रेखाओं का गुणनफल है:
$(x-y+1)(x+y-5)=0$
इसका विस्तार करने पर:
$x^{2}-y^{2}-4x+6y-5=0$

(C) द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} + 2Gx + 2Fy + C = 0$ है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $\Delta = ABC + 2FGH - AF^{2} - BG^{2} - CH^{2} = 0$ है।
दिए गए समीकरण $kxy + 5x + 3y + 2 = 0$ की तुलना करने पर:
$A = 0, B = 0, C = 2, H = \frac{k}{2}, G = \frac{5}{2}, F = \frac{3}{2}$।
शर्त में मान रखने पर:
$0 + 2(\frac{3}{2})(\frac{5}{2})(\frac{k}{2}) - 0 - 0 - 2(\frac{k}{2})^{2} = 0$।
$\frac{15k}{4} - \frac{2k^{2}}{4} = 0$।
$15k - 2k^{2} = 0$।
$k(15 - 2k) = 0$।
अतः,$k = 0$ या $k = \frac{15}{2}$।

(D) दिया गया समीकरण: $4x^{2}-y^{2}+2x+y=0$
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $(2x)^{2} - y^{2} + (2x+y) = 0$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(2x-y)(2x+y) + (2x+y) = 0$
$(2x+y)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(2x+y)(2x-y+1) = 0$
अतः,अलग-अलग समीकरण $2x+y=0$ और $2x-y+1=0$ हैं।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2-4pxy+8y^2=0$ है।
यह $ax^2+2hxy+by^2=0$ के रूप में है,जहाँ $a=1$,$2h=-4p$,और $b=8$ है।
मान लीजिए कि $m_1$ और $m_2$ रेखाओं के ढाल हैं।
हम जानते हैं कि $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ होता है।
मान रखने पर,$m_1+m_2 = -\frac{-4p}{8} = \frac{4p}{8} = \frac{p}{2}$ और $m_1m_2 = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,ढालों का योग उनके गुणनफल का तीन गुना है:
$m_1+m_2 = 3(m_1m_2)$
$\frac{p}{2} = 3 \times \frac{1}{8}$
$\frac{p}{2} = \frac{3}{8}$
$p = \frac{3}{8} \times 2 = \frac{3}{4}$.

(D) माना $O(0,0), A(1,2), B(3,4)$ हैं।
$1$. $O$ से $AB$ पर माध्यिका:
$AB$ का मध्य-बिंदु $D = (\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2,3)$ है।
$O(0,0)$ और $D(2,3)$ से गुजरने वाली माध्यिका $OD$ का समीकरण $y = \frac{3}{2}x$ है,जो $3x - 2y = 0$ हो जाता है।
$2$. $O$ से $AB$ पर शीर्षलंब:
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{4-2}{3-1} = 1$ है।
शीर्षलंब $OP$ की ढाल $m_{OP} = -\frac{1}{m_{AB}} = -1$ है।
$O(0,0)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली रेखा $OP$ का समीकरण $y = -x$ है,जो $x + y = 0$ हो जाता है।
$3$. संयुक्त समीकरण:
शीर्षलंब और माध्यिका का संयुक्त समीकरण $(3x - 2y)(x + y) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,$3x^2 + 3xy - 2xy - 2y^2 = 0$,अर्थात $3x^2 + xy - 2y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) धनात्मक $x$-अक्ष और धनात्मक $y$-अक्ष के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाली रेखा $y=x$ है।
चूंकि यह रेखा $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ युग्म का हिस्सा है,इसलिए इसे समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
समीकरण में $y=x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$ax^{2}+2hx(x)+b(x)^{2}=0$
$ax^{2}+2hx^{2}+bx^{2}=0$
$(a+2h+b)x^{2}=0$
सभी $x$ के लिए इसे सत्य होने हेतु,$a+b+2h=0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a+b=-2h$।

(B) द्विघात समीकरण का व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $hxy + 10x + 6y + 4 = 0$ की तुलना करने पर,$a = 0, b = 0, h' = h/2, g = 5, f = 3, c = 4$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & h/2 & 5 \\ h/2 & 0 & 3 \\ 5 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 0$
गणना करने पर: $0(0 - 9) - \frac{h}{2}(2h/2 - 15) + 5(3h/2 - 0) = 0$
$-\frac{h}{2}(h - 15) + \frac{15h}{2} = 0$
$-\frac{h^2}{2} + 15h = 0$
$-h^2 + 30h = 0 \Rightarrow h(30 - h) = 0$
अतः,$h = 0$ या $h = 30$।

(A) दिया गया समीकरण $x^{2} - 4xy + 3y^{2} = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(x - y)(x - 3y) = 0$।
रेखाएँ $x - y = 0$ और $x - 3y = 0$ हैं।
$(3, -2)$ से गुजरने वाली समानांतर रेखाएँ $(x - y + k_{1}) = 0$ और $(x - 3y + k_{2}) = 0$ के रूप में हैं।
$(3, -2)$ बिंदु रखने पर $k_{1} = -5$ और $k_{2} = -9$ प्राप्त होता है।
संयुक्त समीकरण $(x - y - 5)(x - 3y - 9) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $x^{2} + 3y^{2} - 4xy - 14x + 24y + 45 = 0$।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $7x^2 - 14xy + py^2 - 12x + qy - 4 = 0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 7$,$h = -7$,$b = p$,$g = -6$,$f = \frac{q}{2}$,और $c = -4$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं,इसलिए $h^2 = ab$ होगा।
मान रखने पर,$(-7)^2 = 7p$ $\Rightarrow 49 = 7p$ $\Rightarrow p = 7$।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
$p = 7$,$a = 7$,$h = -7$,$g = -6$,$f = \frac{q}{2}$,और $c = -4$ रखने पर:
$7(7)(-4) + 2(\frac{q}{2})(-6)(-7) - 7(\frac{q}{2})^2 - 7(-6)^2 - (-4)(-7)^2 = 0$।
$-196 + 42q - \frac{7q^2}{4} - 252 + 196 = 0$।
$42q - \frac{7q^2}{4} - 252 = 0$।
$-4/7$ से गुणा करने पर,$q^2 - 24q + 144 = 0$ प्राप्त होता है।
$(q - 12)^2 = 0 \Rightarrow q = 12$।
अंत में,$\sqrt{p^2 + q^2 - pq} = \sqrt{7^2 + 12^2 - (7)(12)} = \sqrt{49 + 144 - 84} = \sqrt{109}$।

(A) द्वितीय घात वक्र का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ है।
दिए गए समीकरण $hxy + gx + fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$A = 0, B = 0, C = c, H = \frac{h}{2}, G = \frac{g}{2}, F = \frac{f}{2}$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $\Delta = \begin{vmatrix} A & H & G \\ H & B & F \\ G & F & C \end{vmatrix} = 0$ है।
मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} 0 & \frac{h}{2} & \frac{g}{2} \\ \frac{h}{2} & 0 & \frac{f}{2} \\ \frac{g}{2} & \frac{f}{2} & c \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$0 - \frac{h}{2} \left( \frac{ch}{2} - \frac{gf}{4} \right) + \frac{g}{2} \left( \frac{hf}{4} - 0 \right) = 0$.
$-\frac{ch^2}{4} + \frac{hgf}{8} + \frac{ghf}{8} = 0$.
$-\frac{ch^2}{4} + \frac{hgf}{4} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर,$-ch^2 + hgf = 0$,जिसका अर्थ है $hgf = ch^2$।
$h$ से विभाजित करने पर ($h \neq 0$ मानते हुए),$gf = ch$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $ax^2+8xy+5y^2=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ से तुलना करने पर,हमें $A=a$,$2H=8$ (अतः $H=4$),और $B=5$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
ढालों का योग $m_1+m_2 = -\frac{2H}{B} = -\frac{8}{5}$ है।
ढालों का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{A}{B} = \frac{a}{5}$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,ढालों का योग उनके गुणनफल का दोगुना है:
$m_1+m_2 = 2(m_1m_2)$
$-\frac{8}{5} = 2\left(\frac{a}{5}\right)$
$-\frac{8}{5} = \frac{2a}{5}$
$2a = -8$
$a = -4$.

(B) द्विघात समीकरण $ax^{2} + 2hxy + by^{2} + 2gx + 2fy + k = 0$ रेखाओं के एक युग्म को निरूपित करता है यदि सारणिक $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & k \end{vmatrix} = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $ax^{2} + 0xy + by^{2} + cx + cy + 0 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $h = 0$,$g = c/2$,$f = c/2$,और $k = 0$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सारणिक स्थिति में रखने पर:
$\begin{vmatrix} a & 0 & c/2 \\ 0 & b & c/2 \\ c/2 & c/2 & 0 \end{vmatrix} = 0$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$a(0 - c^{2}/4) - 0 + (c/2)(0 - bc/2) = 0$.
$-ac^{2}/4 - bc^{2}/4 = 0$.
$-4$ से गुणा करने पर:
$ac^{2} + bc^{2} = 0$.
$c^{2}(a + b) = 0$.
चूंकि $c \neq 0$,इसलिए $a + b = 0$ होगा।

(D) दिए गए समीकरण की तुलना $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ से करने पर,हमें $a=3, h=5, b=3, g=0, f=8, c=k$ प्राप्त होता है।
चूंकि समीकरण रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है,इसलिए शर्त $abc+2fgh-af^{2}-bg^{2}-ch^{2}=0$ है।
मान रखने पर: $(3)(3)(k)+2(8)(0)(5)-3(8)^{2}-3(0)^{2}-k(5)^{2}=0$.
$9k+0-192-0-25k=0$.
$-16k=192$.
$k = -12$.

(C) एक सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ रेखाओं के युग्म को निरूपित करता है यदि सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$ हो।
विकल्प $A$ के लिए: $x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$,जो रेखाओं $x=0$ और $x=1$ को निरूपित करता है।
विकल्प $B$ के लिए: $xy - x = 0 \implies x(y-1) = 0$,जो रेखाओं $x=0$ और $y=1$ को निरूपित करता है।
विकल्प $C$ के लिए: $y^2 - x + 1 = 0$। यह एक परवलय है,रेखाओं का युग्म नहीं,क्योंकि इसे दो रैखिक गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता है।
विकल्प $D$ के लिए: $xy + x + y + 1 = 0 \implies x(y+1) + 1(y+1) = 0 \implies (x+1)(y+1) = 0$,जो रेखाओं $x=-1$ और $y=-1$ को निरूपित करता है।
अतः,वह समीकरण जो रेखाओं के युग्म को निरूपित नहीं करता है,वह $y^2 - x + 1 = 0$ है।

(B) दिया गया समीकरण $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} = 0$ के रूप में है,जहाँ $A = \sec^{2} \theta - \sin^{2} \theta$,$2H = -2 \tan \theta$,और $B = \sin^{2} \theta$ है।
रेखाओं के युग्म $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} = 0$ के लिए,ढालों का योग $m_{1} + m_{2} = -\frac{2H}{B}$ और ढालों का गुणनफल $m_{1}m_{2} = \frac{A}{B}$ होता है।
यहाँ,$m_{1} + m_{2} = \frac{2 \tan \theta}{\sin^{2} \theta}$ और $m_{1}m_{2} = \frac{\sec^{2} \theta - \sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}$ है।
हम जानते हैं कि $|m_{1} - m_{2}| = \sqrt{(m_{1} + m_{2})^{2} - 4m_{1}m_{2}}$ होता है।
मान रखने पर:
$|m_{1} - m_{2}| = \sqrt{\left(\frac{2 \tan \theta}{\sin^{2} \theta}\right)^{2} - 4\left(\frac{\sec^{2} \theta - \sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}\right)}$
गणना करने पर,$|m_{1} - m_{2}| = 2$ प्राप्त होता है।

(D) माना $D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (2,3)$ हैं।
माध्यिका $OD$,$(0,0)$ और $(2,3)$ से होकर गुजरती है। इसका समीकरण $y = \frac{3}{2}x$ है,जिसे $3x-2y=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{4-2}{3-1} = \frac{2}{2} = 1$ है।
शीर्षलंब $OE$,$AB$ पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m_{OE} = -\frac{1}{m_{AB}} = -1$ है।
शीर्षलंब $OE$ का समीकरण $y = -x$ है,जिसे $x+y=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माध्यिका और शीर्षलंब का संयुक्त समीकरण $(3x-2y)(x+y) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $3x^2 + 3xy - 2xy - 2y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $3x^2 + xy - 2y^2 = 0$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+2hxy+2y^2=0$ है।
$ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=h, b=2$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
हम जानते हैं कि $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{2} = -h$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ होता है।
ढाल का अनुपात $m_1:m_2 = 1:2$ दिया गया है,इसलिए $m_2 = 2m_1$ है।
गुणनफल समीकरण में $m_2$ का मान रखने पर: $m_1(2m_1) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2m_1^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow m_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m_1 = \pm \frac{1}{2}$।
यदि $m_1 = \frac{1}{2}$ है,तो $m_2 = 1$ होगा।
तब $m_1+m_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ होगा।
चूंकि $m_1+m_2 = -h$,इसलिए $-h = \frac{3}{2} \Rightarrow h = -\frac{3}{2}$।
यदि $m_1 = -\frac{1}{2}$ है,तो $m_2 = -1$ होगा।
तब $m_1+m_2 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$ होगा।
चूंकि $m_1+m_2 = -h$,इसलिए $-h = -\frac{3}{2} \Rightarrow h = \frac{3}{2}$।
अतः,$h = \pm \frac{3}{2}$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मान $\frac{3}{2}$ है।

(C) माना रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं। समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए:
$m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b}$ $(i)$
$m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ $(ii)$
दिया है $4ab = 3h^2$,अतः $ab = \frac{3h^2}{4}$.
इसे $(ii)$ में रखने पर,$m_1 m_2 = \frac{3h^2}{4b^2}$.
अब,$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2 = \frac{4h^2}{b^2} - 4(\frac{3h^2}{4b^2}) = \frac{h^2}{b^2}$.
अतः,$m_1 - m_2 = \frac{h}{b}$ $(iii)$.
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $2m_1 = \frac{-h}{b} \implies m_1 = \frac{-h}{2b}$.
$(i)$ में से $(iii)$ घटाने पर: $2m_2 = \frac{-3h}{b} \implies m_2 = \frac{-3h}{2b}$.
अनुपात $m_1 : m_2 = 1 : 3$।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $K x^2 + 6 x y + y^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $A x^2 + 2 H x y + B y^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $A = K$,$H = 3$,और $B = 1$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
हम जानते हैं कि $m_1 + m_2 = \frac{-2 H}{B} = -6$ और $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = K$।
दिया गया है कि एक ढाल दूसरे का तीन गुना है,इसलिए $m_2 = 3 m_1$।
ढालों के योग में यह मान रखने पर: $m_1 + 3 m_1 = -6$ $\Rightarrow 4 m_1 = -6$ $\Rightarrow m_1 = -\frac{3}{2}$।
अब,ढालों के गुणनफल का उपयोग करने पर: $m_1 \times (3 m_1) = K \Rightarrow 3 m_1^2 = K$।
$m_1 = -\frac{3}{2}$ रखने पर: $K = 3 \times (-\frac{3}{2})^2 = 3 \times \frac{9}{4} = \frac{27}{4}$।

(B) दी गई रेखाओं का युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ है। $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $a+2h(\frac{y}{x})+b(\frac{y}{x})^2=0$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $k = \frac{y}{x}$ एक रेखा की ढाल है। अतः $bk^2+2hk+a=0$।
रेखा $mx+ny=18$ की ढाल $-\frac{m}{n}$ है।
चूंकि यह रेखा $mx+ny=18$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $k$,$-\frac{m}{n}$ का ऋणात्मक व्युत्क्रम होनी चाहिए,अर्थात $k = \frac{n}{m}$।
$k = \frac{n}{m}$ को समीकरण $bk^2+2hk+a=0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $b(\frac{n}{m})^2+2h(\frac{n}{m})+a=0$ प्राप्त होता है।
$m^2$ से गुणा करने पर,हमें $bn^2+2hmn+am^2=0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ है। $abh$ से गुणा करने पर,$bhx^2 + 2abyx + ahy^2 = 0$ प्राप्त होता है।
मानक रूप $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ से तुलना करने पर,$A = bh$,$H = ab$,और $B = ah$ है।
माना ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। दिया है $m_2 = 2m_1$।
ढालों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B}$ और गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{A}{B}$ होता है।
$3m_1 = -\frac{2ab}{ah} = -\frac{2b}{h} \Rightarrow m_1 = -\frac{2b}{3h}$।
$2m_1^2 = \frac{bh}{ah} = \frac{b}{a} \Rightarrow 2\left(-\frac{2b}{3h}\right)^2 = \frac{b}{a}$।
$2 \times \frac{4b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow \frac{8b}{9h^2} = \frac{1}{a}$ $\Rightarrow \frac{ab}{h^2} = \frac{9}{8}$।

(A) रेखा $3x + 2y - 8 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{3}{2}$ है।
माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की ढाल $m$ है जो दी गई रेखा के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + mm_1} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m - (-3/2)}{1 + m(-3/2)} \right|$
$1 = \left| \frac{2m + 3}{2 - 3m} \right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(2 - 3m)^2 = (2m + 3)^2$
$4 - 12m + 9m^2 = 4m^2 + 12m + 9$
$5m^2 - 24m - 5 = 0$
चूंकि रेखाएं मूल बिंदु से गुजरती हैं,उनका समीकरण $y = mx$ है,इसलिए $m = \frac{y}{x}$।
सहायक समीकरण में $m = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$5(\frac{y}{x})^2 - 24(\frac{y}{x}) - 5 = 0$
$x^2$ से गुणा करने पर:
$5y^2 - 24xy - 5x^2 = 0$
अतः,संयुक्त समीकरण $5x^2 + 24xy - 5y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0 \quad \dots(i)$
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का युग्म है। माना रेखाओं की ढाल $m$ और $m_{1}$ है।
अतः,रेखाएं $y=mx$ और $y=m_{1}x$ हैं।
उनका गुणनफल $y^{2}-(m+m_{1})xy+mm_{1}x^{2}=0$ है।
समीकरण को $b$ से विभाजित करने पर,$y^{2}+\frac{2h}{b}xy+\frac{a}{b}x^{2}=0 \quad \dots(ii)$.
तुलना करने पर,$m+m_{1} = -\frac{2h}{b}$ और $mm_{1} = \frac{a}{b}$.
$y=mx$ को मूल समीकरण में रखने पर,$bm^{2}+2hm+a=0$ प्राप्त होता है।
$b^{2}m^{2}+2hbm+ab=0 \implies b^{2}m^{2}+2hbm = -ab$.
दोनों पक्षों में $h^{2}$ जोड़ने पर,$h^{2}+2hbm+b^{2}m^{2} = h^{2}-ab$.
अतः,$(h+bm)^{2} = h^{2}-ab$.

(D) द्विघात समीकरण का व्यापक रूप $ax^{2} + 2hxy + by^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $3x^{2} + xy - y^{2} - 3x + 6y + k = 0$ से तुलना करने पर:
$a = 3, b = -1, h = \frac{1}{2}, g = -\frac{3}{2}, f = 3, c = k$.
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^{2} - bg^{2} - ch^{2} = 0$ है।
मान रखने पर:
$3(-1)(k) + 2(3)(-\frac{3}{2})(\frac{1}{2}) - 3(3)^{2} - (-1)(-\frac{3}{2})^{2} - k(\frac{1}{2})^{2} = 0$.
$-3k - \frac{9}{2} - 27 + \frac{9}{4} - \frac{k}{4} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर:
$-12k - 18 - 108 + 9 - k = 0$.
$-13k - 117 = 0$.
$-13k = 117$.
$k = -9$.

(C) माना रेखाओं $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ की प्रवणताएँ $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$m_{1} = nm_{2}$ है।
हम जानते हैं कि $m_{1}+m_{2} = -\frac{2h}{b}$ और $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b}$ होता है।
$m_{1} = nm_{2}$ को योग और गुणनफल के समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$m_{2}(n+1) = -\frac{2h}{b} \implies m_{2} = -\frac{2h}{b(n+1)}$.
$nm_{2}^{2} = \frac{a}{b}$.
$m_{2}$ का मान गुणनफल समीकरण में रखने पर:
$n \left( -\frac{2h}{b(n+1)} \right)^{2} = \frac{a}{b}$.
$n \left( \frac{4h^{2}}{b^{2}(n+1)^{2}} \right) = \frac{a}{b}$.
$4nh^{2} = ab(n+1)^{2}$.

(B) माना बिंदु $P(h, k)$ है।
$P_{1}$,$P$ से $x$-अक्ष $(y=0)$ पर लंब की लंबाई है,इसलिए $P_{1} = |k|$.
$P_{2}$,$P$ से रेखा $x-y=0$ पर लंब की लंबाई है,इसलिए $P_{2} = \frac{|h-k|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{|h-k|}{\sqrt{2}}$.
दिया गया है कि $P_{1} = 2P_{2}$,इसलिए:
$|k| = 2 \cdot \frac{|h-k|}{\sqrt{2}}$
$|k| = \sqrt{2} |h-k|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$k^{2} = 2(h-k)^{2}$
$k^{2} = 2(h^{2} + k^{2} - 2hk)$
$k^{2} = 2h^{2} + 2k^{2} - 4hk$
$2h^{2} - 4hk + k^{2} = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ है:
$2x^{2} - 4xy + y^{2} = 0$

(B) दी गई रेखाओं का युग्म $23x^2 - 48xy + 3y^2 = 0$ है।
रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ और रेखा $lx + my + n = 0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र:
$\text{Area} = \frac{n^2 \sqrt{h^2 - ab}}{|am^2 - 2hlm + bl^2|}$
यहाँ,$a = 23$,$h = -24$,$b = 3$,$l = 2$,$m = 3$,और $n = 5$ है।
सबसे पहले,$\sqrt{h^2 - ab} = \sqrt{(-24)^2 - (23)(3)} = \sqrt{576 - 69} = \sqrt{507} = 13 \sqrt{3}$ की गणना करें।
इसके बाद,हर $|am^2 - 2hlm + bl^2| = |23(3)^2 - 2(-24)(2)(3) + 3(2)^2| = |207 + 288 + 12| = 507$ की गणना करें।
अब,मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \frac{25 \times 13 \sqrt{3}}{507} = \frac{25}{13 \sqrt{3}} \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के ढालों का अंतर $\frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{|b|}$ होता है।
दिए गए समीकरण $y^2 - 2xy \sec^2 \alpha + (3 + \tan^2 \alpha)(\tan^2 \alpha - 1) x^2 = 0$ के लिए,$a = (3 + \tan^2 \alpha)(\tan^2 \alpha - 1)$,$h = -\sec^2 \alpha$,और $b = 1$ है।
ढालों का अंतर $\frac{2 \sqrt{(-\sec^2 \alpha)^2 - (3 + \tan^2 \alpha)(\tan^2 \alpha - 1)(1)}}{|1|}$ है।
गणना करने पर,हमें $2 \sqrt{4} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ से $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के युग्म पर डाले गए लंबों का गुणनफल $p = \left| \frac{c}{\sqrt{(a-b)^2 + 4h^2}} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$xy+x+y+1=0$ के लिए:
$a=0, b=0, h=1/2, c=1$.
$p_1 = \left| \frac{1}{\sqrt{(0-0)^2 + 4(1/2)^2}} \right| = 1$.
$x^2-y^2+2x+1=0$ के लिए:
$a=1, b=-1, h=0, c=1$.
$p_2 = \left| \frac{1}{\sqrt{(1-(-1))^2 + 4(0)^2}} \right| = 1/2$.
$2x^2+3xy-2y^2+2x+1=0$ के लिए:
$a=2, b=-2, h=3/2, c=1$.
$p_3 = \left| \frac{1}{\sqrt{(2-(-2))^2 + 4(3/2)^2}} \right| = 1/5$.
मानों की तुलना करने पर: $1/5 < 1/2 < 1$,जिसका अर्थ है $p_3 < p_2 < p_1$.

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $15 x^2 + 31 x y + 14 y^2 = 0$ है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $15 x^2 + 10 x y + 21 x y + 14 y^2 = 0$ $\Rightarrow 5 x(3 x + 2 y) + 7 y(3 x + 2 y) = 0$ $\Rightarrow (3 x + 2 y)(5 x + 7 y) = 0$.
अतः,दो रेखाएँ $L_1: 3 x + 2 y = 0$ और $L_2: 5 x + 7 y = 0$ हैं।
$(2,3)$ से $3 x + 2 y = 0$ पर लंब की दूरी $d_1 = \frac{|3(2) + 2(3)|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ है।
$(2,3)$ से $5 x + 7 y = 0$ पर लंब की दूरी $d_2 = \frac{|5(2) + 7(3)|}{\sqrt{5^2 + 7^2}} = \frac{31}{\sqrt{74}}$ है।
चूंकि $p_1 > p_2$,इसलिए $p_1 = \frac{31}{\sqrt{74}}$ और $p_2 = \frac{12}{\sqrt{13}}$ है।
अब,$p_1^2 + \frac{1}{74} - p_2^2 + \frac{1}{13} = \frac{31^2}{74} + \frac{1}{74} - \frac{12^2}{13} + \frac{1}{13} = \frac{962}{74} - \frac{143}{13} = 13 - 11 = 2$.

(B) दिया गया समीकरण $8x^2+8xy+2y^2+26x+13y+15=0$ है ...$(i)$
हम समीकरण को $2(4x^2+4xy+y^2)+13(2x+y)+15=0$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $2x+y=t$. तो समीकरण $2t^2+13t+15=0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $2t^2+10t+3t+15=0 \Rightarrow 2t(t+5)+3(t+5)=0$.
अतः,$(2t+3)(t+5)=0$.
$t=2x+y$ रखने पर,हमें $(2(2x+y)+3)(2x+y+5)=0$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $(4x+2y+3)(2x+y+5)=0$ हो जाता है।
इस प्रकार,दो रेखाएँ $4x+2y+3=0$ और $2x+y+5=0$ हैं।
पहली रेखा को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $2x+y+1.5=0$ प्राप्त होता है।
समानांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A=2, B=1, C_1=5, C_2=1.5$.
$d = \frac{|5-1.5|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{3.5}{\sqrt{5}} = \frac{7}{2\sqrt{5}}$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(p^2-q^2) x^2+(q^2-r^2) xy+(r^2-p^2) y^2=0$ ...$(i)$
$(l-m) x^2+(m-n) xy+(n-l) y^2=0$ ...(ii)
$Ax^2+Bxy+Cy^2=0$ के रूप के किसी भी समीकरण के लिए,यदि $A+B+C=0$ है,तो $(x-y)$ समीकरण का एक गुणनखंड है।
समीकरण $(i)$ के लिए: $(p^2-q^2) + (q^2-r^2) + (r^2-p^2) = 0$। अतः,$(x-y)$ एक गुणनखंड है।
समीकरण (ii) के लिए: $(l-m) + (m-n) + (n-l) = 0$। अतः,$(x-y)$ एक गुणनखंड है।
चूंकि दोनों समीकरण मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म को दर्शाते हैं और $(x-y)$ गुणनखंड साझा करते हैं,इसलिए उभयनिष्ठ रेखा $x-y=0$ है।

(D) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ है।
रेखाओं के संपाती होने के लिए शर्त $h'^2 - ab = 0$ है।
$4x^2 + hxy + y^2 = 0$ की तुलना $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ से करने पर,$a = 4$,$2h' = h$,और $b = 1$ प्राप्त होता है।
संपाती होने की शर्त के अनुसार,$(\frac{h}{2})^2 - (4)(1) = 0$।
$\frac{h^2}{4} = 4$।
$h^2 = 16$।
$h = \pm 4$।

(A) रेखा $x+y+1=0$ की ढाल $m = -1$ है। मान लीजिए कि आवश्यक रेखाओं की ढाल $m'$ है।
चूंकि रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,हम सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ का उपयोग करते हैं।
$\tan 45^{\circ} = |\frac{m' - (-1)}{1 + m'(-1)}| \Rightarrow 1 = |\frac{m'+1}{1-m'}|$.
इससे दो स्थितियां प्राप्त होती हैं: $\frac{m'+1}{1-m'} = 1$ या $\frac{m'+1}{1-m'} = -1$.
स्थिति $1$: $m'+1 = 1-m'$ $\Rightarrow 2m' = 0$ $\Rightarrow m' = 0$.
रेखा का समीकरण $y-4 = 0(x-3) \Rightarrow y-4 = 0$ है।
स्थिति $2$: $m'+1 = -(1-m')$ $\Rightarrow m'+1 = -1+m'$ $\Rightarrow 1 = -1$,जिसका अर्थ है कि रेखा ऊर्ध्वाधर है $(m' = \infty)$.
रेखा का समीकरण $x-3 = 0$ है।
संयुक्त समीकरण $(x-3)(y-4) = 0 \Rightarrow xy-4x-3y+12 = 0$ है।

(D) दिया गया समीकरण $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2$,$2h' = h$,और $b = 6$ प्राप्त होता है।
माना कि दो रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
दिया गया है कि $m_1 = 3m_2$ है।
हम जानते हैं कि ढाल का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ होता है।
$m_1 = 3m_2$ को गुणनफल में रखने पर,$(3m_2)m_2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow 3m_2^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m_2^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow m_2 = \pm \frac{1}{3}$।
अतः,$m_1 = 3(\pm \frac{1}{3}) = \pm 1$।
ढाल का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h'}{b} = -\frac{h}{6}$ है।
$m_1$ और $m_2$ के मान रखने पर: $\pm 1 \pm \frac{1}{3} = -\frac{h}{6}$।
धनात्मक स्थिति के लिए: $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = -\frac{h}{6} \Rightarrow h = -8$।
ऋणात्मक स्थिति के लिए: $-1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} = -\frac{h}{6} \Rightarrow h = 8$।
अतः,$h = \pm 8$।

(A) दिया गया समीकरण $8x^2 + axy + y^2 = 0$ है।
मान लीजिए कि दो रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
समघातीय समीकरण $Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0$ के लिए,ढालों का योग $m_1 + m_2 = -B/C$ और ढालों का गुणनफल $m_1 m_2 = A/C$ होता है।
यहाँ,$A = 8$,$B = a$,और $C = 1$ है।
अतः,$m_1 + m_2 = -a$ और $m_1 m_2 = 8$ है।
दिया गया है कि एक ढाल दूसरी की तीन गुनी है,इसलिए $m_1 = 3m_2$ लें।
गुणनफल समीकरण में मान रखने पर: $(3m_2) \times m_2 = 8$ $\Rightarrow 3m_2^2 = 8$ $\Rightarrow m_2^2 = 8/3$।
योग समीकरण में मान रखने पर: $3m_2 + m_2 = -a$ $\Rightarrow 4m_2 = -a$ $\Rightarrow m_2 = -a/4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $m_2^2 = a^2/16$।
$m_2^2$ के दोनों मानों की तुलना करने पर: $a^2/16 = 8/3$ $\Rightarrow a^2 = 128/3$ $\Rightarrow a = \pm 8 \sqrt{2/3}$।
चूंकि विकल्पों में धनात्मक मान दिया गया है,इसलिए $a = 8 \sqrt{\frac{2}{3}}$।

(B) दिया गया समीकरण $ax^3+3bx^2y+3cxy^2+dy^3=0$ है।
$x^3$ से विभाजित करने और $m = \frac{y}{x}$ रखने पर,हमें $m$ में त्रिघात समीकरण प्राप्त होता है: $dm^3+3cm^2+3bm+a=0$.
मान लीजिए कि मूल $m_1, m_2, m_3$ हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का गुणनफल $m_1m_2m_3 = -\frac{a}{d}$ है।
चूंकि दो रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए $m_1m_2 = -1$ लें।
इस मान को गुणनफल समीकरण में रखने पर: $(-1)m_3 = -\frac{a}{d} \Rightarrow m_3 = \frac{a}{d}$.
चूंकि $m_3$ त्रिघात समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह $d(\frac{a}{d})^3+3c(\frac{a}{d})^2+3b(\frac{a}{d})+a=0$ को संतुष्ट करेगा।
$d^2$ से गुणा करने पर,हमें $a^3+3a^2c+3abd+ad^2=0$ प्राप्त होता है।
$a$ से विभाजित करने पर ($a \neq 0$ के कारण),हमें $a^2+3ac+3bd+d^2=0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $5x^2 - 8xy + 3y^2 = 0$ है।
$x^2$ से भाग देने पर,हमें $3(\frac{y}{x})^2 - 8(\frac{y}{x}) + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \frac{y}{x}$ रेखाओं की ढाल है। तब $3m^2 - 8m + 5 = 0$।
द्विघात सूत्र $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $3m^2 - 8m + 5 = 0$ को हल करने पर:
$m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(3)(5)}}{2(3)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{8 \pm 2}{6}$।
दो ढाल $m_1 = \frac{8+2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ और $m_2 = \frac{8-2}{6} = \frac{6}{6} = 1$ हैं।
चूंकि $m_1 > m_2$,इसलिए $m_1 = \frac{5}{3}$ और $m_2 = 1$ है।
अतः,अनुपात $m_1 : m_2 = \frac{5}{3} : 1 = 5 : 3$ है।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $4x^2-5xy+y^2=0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $m = \frac{y}{x}$ के पदों में द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$m^2-5m+4=0$.
यहाँ,$m_1$ और $m_2$ इस समीकरण के मूल हैं।
अतः,ढालों का योग $m_1+m_2 = 5$ और ढालों का गुणनफल $m_1m_2 = 4$ है।
हम जानते हैं कि $|m_1-m_2| = \sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|m_1-m_2| = \sqrt{5^2-4(4)} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$.

(B) दी गई रेखाओं का समीकरण: $x^2+2 h x y+2 y^2=0 \dots (i)$
$a x^2+2 h x y+b y^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1$ और $b=2$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
अतः,$m_1+m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{2} = -h \dots (ii)$
और $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \dots (iii)$
ढाल का अनुपात $m_1:m_2 = 1:2$ दिया गया है,इसलिए $m_2 = 2m_1$।
$(iii)$ में $m_2 = 2m_1$ रखने पर: $m_1(2m_1) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2m_1^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow m_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m_1 = \pm \frac{1}{2}$।
यदि $m_1 = \frac{1}{2}$,तो $m_2 = 1$। $(ii)$ से,$m_1+m_2 = -h$ $\Rightarrow \frac{1}{2} + 1 = -h$ $\Rightarrow h = -\frac{3}{2}$।
यदि $m_1 = -\frac{1}{2}$,तो $m_2 = -1$। $(ii)$ से,$m_1+m_2 = -h$ $\Rightarrow -\frac{1}{2} - 1 = -h$ $\Rightarrow h = \frac{3}{2}$।
अतः,$h = \pm \frac{3}{2}$।