${\left( {\sqrt {\frac{x}{3}} + \frac{3}{{2{x^2}}}} \right)^{10}}$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद का गुणांक ज्ञात कीजिए।

यदि $(2x^3 + \frac{3}{x})^{10}$ के द्विपद विस्तार में $x$ की सभी धनात्मक सम घातों के गुणांकों का योग $5^{10} - \beta \cdot 3^9$ है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना कि $n$ एक धनात्मक सम पूर्णांक है। यदि $(1+x)^{n}$ के विस्तार में सबसे बड़े गुणांक और दूसरे सबसे बड़े गुणांक का अनुपात $11:10$ है,तो $(1+x)^{n}$ के विस्तार में पदों की संख्या क्या है?

यदि $x + y = 1$ है,तो $\sum\limits_{r = 0}^n {{r^2}{\,^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$,$(1-3 \beta x)^{2}$ और $\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ के विस्तार में मध्य पदों के गुणांक,जहाँ $\beta > 0$,क्रमशः एक $A.P.$ के पहले तीन पद बनाते हैं। यदि $d$ इस $A.P.$ का सार्व अंतर है,तो $50-\frac{2 d}{\beta^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x$ का एक संभावित मान ज्ञात कीजिए,जिसके लिए $\left\{3^{\log _{3} \sqrt{25^{x-1}+7}}+3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}\right\}^{10}$ के विस्तार में $3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}$ की बढ़ती घातों में नौवां पद $180$ के बराबर है।