Relation between roots and coefficients Questions in Hindi

(B) माना गलत समीकरण $x^2 + 17x + q = 0$ है।
चूंकि मूल $-2$ और $-15$ हैं,इसलिए मूलों का गुणनफल $(-2) \times (-15) = 30$ है।
चूंकि अचर पद $q$ नहीं बदला गया था,इसलिए $q = 30$ है।
मूल समीकरण $x^2 + 13x + 30 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 10x + 3x + 30 = 0$।
$x(x + 10) + 3(x + 10) = 0$।
$(x + 3)(x + 10) = 0$।
अतः,मूल $x = -3$ और $x = -10$ हैं।

(B) माना मूल $\alpha$ और $n\alpha$ हैं।
मूलों का योग: $\alpha + n\alpha = -\frac{b}{a} \implies \alpha(n + 1) = -\frac{b}{a} \implies \alpha = -\frac{b}{a(n + 1)}$ ... $(i)$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot n\alpha = \frac{c}{a} \implies n\alpha^2 = \frac{c}{a} \implies \alpha^2 = \frac{c}{na}$ ... $(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( -\frac{b}{a(n + 1)} \right)^2 = \frac{c}{na}$
$\frac{b^2}{a^2(n + 1)^2} = \frac{c}{na}$
$nb^2 = ac(n + 1)^2$.

(B) माना मूल $\alpha$ और $\alpha^n$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha + \alpha^n = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \cdot \alpha^n = \alpha^{n+1} = \frac{c}{a}$.
दूसरे समीकरण से,$\alpha = (\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}}$.
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर:
$(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + ((\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}})^n = -\frac{b}{a}$
$(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + (\frac{c}{a})^{\frac{n}{n+1}} = -\frac{b}{a}$
दोनों पक्षों को $a$ से गुणा करने पर:
$a \cdot \frac{c^{\frac{1}{n+1}}}{a^{\frac{1}{n+1}}} + a \cdot \frac{c^{\frac{n}{n+1}}}{a^{\frac{n}{n+1}}} = -b$
$a^{\frac{n}{n+1}} c^{\frac{1}{n+1}} + a^{\frac{1}{n+1}} c^{\frac{n}{n+1}} = -b$
$(a^n c)^{\frac{1}{n+1}} + (a c^n)^{\frac{1}{n+1}} = -b$.

(A) दिया गया है कि $\sin \alpha$ और $\cos \alpha$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार:
$\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{b}{a}$
$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{c}{a}$
हम जानते हैं कि:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1$
मान रखने पर:
$(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = 1$
$\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = 1$
$a^2$ से गुणा करने पर:
$b^2 - 2ac = a^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a^2 - b^2 + 2ac = 0$

(D) मान लीजिए कि $x^2 - bx + c = 0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं और $x^2 - cx + b = 0$ के मूल $\alpha', \beta'$ हैं।
पहले समीकरण के लिए मूलों का अंतर $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{b^2 - 4c}$ है।
दूसरे समीकरण के लिए मूलों का अंतर $|\alpha' - \beta'| = \sqrt{(\alpha' + \beta')^2 - 4\alpha'\beta'} = \sqrt{c^2 - 4b}$ है।
दिया गया है कि मूलों का अंतर समान है,इसलिए $\sqrt{b^2 - 4c} = \sqrt{c^2 - 4b}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$b^2 - 4c = c^2 - 4b$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$b^2 - c^2 = 4c - 4b$।
$(b - c)(b + c) = -4(b - c)$।
यदि $b \neq c$ है,तो $(b - c)$ से भाग देने पर $b + c = -4$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $a(b - c)x^2 + b(c - a)x + c(a - b) = 0$ है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। हमें दिया गया है कि $\alpha = 1$ है।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{C}{A}$ होता है।
यहाँ,$A = a(b - c)$,$B = b(c - a)$,और $C = c(a - b)$ है।
मान रखने पर,हमें $1 \times \beta = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरा मूल $\beta = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$ है।

(B) माना समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \alpha^2 = -\frac{b}{a} \dots (1)$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \frac{c}{a} \dots (2)$
$(1)$ से,$\alpha(1 + \alpha) = -\frac{b}{a}$। दोनों पक्षों का घन करने पर:
$\alpha^3(1 + \alpha)^3 = -\frac{b^3}{a^3}$
$\alpha^3 = \frac{c}{a}$ और $(1 + \alpha)^3 = 1 + \alpha^3 + 3\alpha(1 + \alpha)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{c}{a} [1 + \frac{c}{a} + 3(-\frac{b}{a})] = -\frac{b^3}{a^3}$
$\frac{c}{a} [\frac{a + c - 3b}{a}] = -\frac{b^3}{a^3}$
$c(a + c - 3b) = -b^3$
$ac + c^2 - 3bc = -b^3$
$b^3 + c^2a + ca^2 = 3abc$
इस सर्वसमिका को $a(c - b)^3 = c(a - b)^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$X = (a - b)^3$।

(D) दिया गया है कि $8$ और $2$ समीकरण ${x^2} + ax + \beta = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध का उपयोग करते हुए,मूलों का योग $8 + 2 = 10 = -a$ है,इसलिए $a = -10$ है।
मूलों का गुणनफल $8 \times 2 = 16 = \beta$ है।
दिया गया है कि $3$ और $3$ समीकरण ${x^2} + \alpha x + b = 0$ के मूल हैं।
मूलों का योग $3 + 3 = 6 = -\alpha$ है,इसलिए $\alpha = -6$ है।
मूलों का गुणनफल $3 \times 3 = 9 = b$ है।
अब,$a = -10$ और $b = 9$ को समीकरण ${x^2} + ax + b = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें ${x^2} - 10x + 9 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 1)(x - 9) = 0$।
अतः,मूल $x = 1$ और $x = 9$ हैं।

(C) चूंकि $\alpha$ और $\beta$,$x^2 - ax + b = 0$ के मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^2 - a\alpha + b = 0 \implies \alpha^2 = a\alpha - b$
$\beta^2 - a\beta + b = 0 \implies \beta^2 = a\beta - b$
पहले समीकरण को $\alpha^{n-1}$ से और दूसरे को $\beta^{n-1}$ से गुणा करने पर:
$\alpha^{n+1} = a\alpha^n - b\alpha^{n-1}$
$\beta^{n+1} = a\beta^n - b\beta^{n-1}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\alpha^{n+1} + \beta^{n+1} = a(\alpha^n + \beta^n) - b(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1})$
दिया गया है कि $V_n = \alpha^n + \beta^n$,इसलिए:
$V_{n+1} = aV_n - bV_{n-1}$

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $2{x^2} + 7x + c = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -\frac{7}{2}$ और $\alpha \beta = \frac{c}{2}$ है।
हमें $|{\alpha ^2} - {\beta ^2}| = \frac{7}{4}$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $|(\alpha + \beta)(\alpha - \beta)| = \frac{7}{4}$।
चूंकि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$,इसलिए $(\alpha - \beta)^2 = (-\frac{7}{2})^2 - 4(\frac{c}{2}) = \frac{49}{4} - 2c$।
अतः,$|\alpha - \beta| = \sqrt{\frac{49 - 8c}{4}} = \frac{\sqrt{49 - 8c}}{2}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $|-\frac{7}{2}| \times \frac{\sqrt{49 - 8c}}{2} = \frac{7}{4}$।
$\frac{7}{2} \times \frac{\sqrt{49 - 8c}}{2} = \frac{7}{4}$।
$\frac{7\sqrt{49 - 8c}}{4} = \frac{7}{4}$।
$\sqrt{49 - 8c} = 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$49 - 8c = 1$।
$8c = 48$,इसलिए $c = 6$।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण ${x^2} + (2 + \lambda )x - \frac{1}{2}(1 + \lambda ) = 0$ है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। अतः,$\alpha + \beta = -(2 + \lambda)$ और $\alpha \beta = -\frac{1 + \lambda}{2}$ है।
हमें मूलों के वर्गों का योग $S = {\alpha ^2} + {\beta ^2}$ को न्यूनतम करना है।
सर्वसमिका ${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(\alpha + \beta )^2} - 2\alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
$S = {(-(2 + \lambda ))^2} - 2\left( -\frac{1 + \lambda}{2} \right) = {\lambda ^2} + 5\lambda + 5$.
$\lambda$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2\lambda + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = -5/2$।

(C) माना मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
$3x^2 + px + 3 = 0$ के लिए मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \alpha^2 = -p/3$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = 3/3 = 1$
चूंकि $\alpha^3 = 1$,$\alpha$ के संभावित मान $1, \omega, \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
यदि $\alpha = 1$,तो $\alpha + \alpha^2 = 1 + 1 = 2$,अतः $2 = -p/3 \implies p = -6$। लेकिन हमें $p > 0$ दिया गया है,इसलिए यह स्थिति अमान्य है।
यदि $\alpha = \omega$ या $\alpha = \omega^2$,तो $\alpha + \alpha^2 = \omega + \omega^2 = -1$।
इस मान को योग के समीकरण में रखने पर: $-1 = -p/3 \implies p = 3$।
अतः,$p = 3$।

(D) दिया गया है कि $a$ और $b$ समीकरण ${x^2} - 3x + 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $a + b = 3$ और $ab = 1$ है।
नए समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ के मूल $a - 2$ और $b - 2$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध का उपयोग करते हुए:
$-p = (a - 2) + (b - 2) = (a + b) - 4 = 3 - 4 = -1$,जिसका अर्थ है कि $p = 1$ है।
$q = (a - 2)(b - 2) = ab - 2(a + b) + 4 = 1 - 2(3) + 4 = 1 - 6 + 4 = -1$ है।
अतः,$(p, q) = (1, -1)$ है।
इसलिए,सही उत्तर $D$ है।

(A) माना मूल $\alpha$ और $2\alpha$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{3a - 1}{a^2 - 5a + 3} = \frac{1 - 3a}{a^2 - 5a + 3} \implies \alpha = \frac{1 - 3a}{3(a^2 - 5a + 3)}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot 2\alpha = 2\alpha^2 = \frac{2}{a^2 - 5a + 3} \implies \alpha^2 = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
योग के समीकरण से $\alpha$ का मान गुणनफल के समीकरण में रखने पर:
$\left[\frac{1 - 3a}{3(a^2 - 5a + 3)}\right]^2 = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
$\frac{(1 - 3a)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2} = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
$(1 - 3a)^2 = 9(a^2 - 5a + 3)$.
$1 - 6a + 9a^2 = 9a^2 - 45a + 27$.
$39a = 26$.
$a = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}$.

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ त्रिघात समीकरण $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = -a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
अब,हमें $\alpha^{-1} + \beta^{-1} + \gamma^{-1}$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha^{-1} + \beta^{-1} + \gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$
$= \frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$
विएटा के सूत्रों से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.

(A) माना मूल $3\alpha, 2\alpha, \beta$ हैं।
त्रिघात समीकरण $x^3 - 9x^2 + 14x + 24 = 0$ के लिए विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$1) \text{मूलों का योग: } 3\alpha + 2\alpha + \beta = 9 \implies 5\alpha + \beta = 9 \implies \beta = 9 - 5\alpha$
$2) \text{दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: } (3\alpha)(2\alpha) + (2\alpha)(\beta) + (3\alpha)(\beta) = 14 \implies 6\alpha^2 + 5\alpha\beta = 14$
$3) \text{मूलों का गुणनफल: } (3\alpha)(2\alpha)(\beta) = -24 \implies 6\alpha^2\beta = -24 \implies \alpha^2\beta = -4$
$\beta = 9 - 5\alpha$ को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$6\alpha^2 + 5\alpha(9 - 5\alpha) = 14$
$6\alpha^2 + 45\alpha - 25\alpha^2 = 14$
$19\alpha^2 - 45\alpha + 14 = 0$
गुणनखंड करने पर: $(19\alpha - 7)(\alpha - 2) = 0$
अतः,$\alpha = 2$ या $\alpha = \frac{7}{19}$।
यदि $\alpha = 2$ है,तो $\beta = 9 - 5(2) = -1$।
गुणनफल समीकरण में जाँचने पर: $\alpha^2\beta = (2)^2(-1) = -4$,जो शर्त को पूरा करता है।
अतः मूल $6, 4, -1$ हैं।

(A) $\triangle PQR$ में,$\angle R = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $P + Q = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = \frac{\pi}{4}$।
दिया गया है कि $\tan(\frac{P}{2})$ और $\tan(\frac{Q}{2})$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,इसलिए:
मूलों का योग: $\tan(\frac{P}{2}) + \tan(\frac{Q}{2}) = -\frac{b}{a}$
मूलों का गुणनफल: $\tan(\frac{P}{2}) \tan(\frac{Q}{2}) = \frac{c}{a}$
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\frac{\tan(\frac{P}{2}) + \tan(\frac{Q}{2})}{1 - \tan(\frac{P}{2}) \tan(\frac{Q}{2})} = 1$
मूलों का योग और गुणनफल रखने पर:
$\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$
$\frac{-b/a}{(a-c)/a} = 1$
$-b = a - c$
$c = a + b$.

(B) माना $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - (a - 2)x - a + 1 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = a - 2$ और $\alpha \beta = -a + 1$ प्राप्त होता है।
माना $S$ मूलों के वर्गों का योग है,अतः $S = \alpha^2 + \beta^2$ है।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
$S = (a - 2)^2 - 2(-a + 1)$
$S = a^2 - 4a + 4 + 2a - 2$
$S = a^2 - 2a + 2$ प्राप्त होता है।
$S$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $S$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dS}{da} = 2a - 2$ है।
$\frac{dS}{da} = 0$ रखने पर,$2a - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 1$ है।
चूंकि $\frac{d^2S}{da^2} = 2 > 0$ है,इसलिए फलन $S$ का मान $a = 1$ पर न्यूनतम है।
अतः,$a$ का मान $1$ है।

(A) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि समांतर माध्य $AM = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है $\alpha + \beta = 3$.
दिया गया है कि हरात्मक माध्य $HM = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta} = \frac{4}{3}$.
$\alpha + \beta = 3$ का मान $HM$ सूत्र में रखने पर: $\frac{2\alpha\beta}{3} = \frac{4}{3}$,जो सरल होकर $2\alpha\beta = 4$ यानी $\alpha\beta = 2$ देता है।
द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 3x + 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
समांतर माध्य $(AM)$ $= \frac{\alpha + \beta}{2} = 9$ है,जिसका अर्थ है $\alpha + \beta = 18$।
गुणोत्तर माध्य $(GM)$ $= \sqrt{\alpha \beta} = 4$ है,जिसका अर्थ है $\alpha \beta = 16$।
$\alpha$ और $\beta$ मूलों वाले द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$ है।
$(\alpha + \beta)$ और $\alpha \beta$ के मान रखने पर,हमें $x^2 - 18x + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि द्विघात समीकरण $x^2 - 18x + 9 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{9}{1} = 9$ होता है।
दो संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ का गुणोत्तर माध्य $\sqrt{\alpha \beta}$ के रूप में परिभाषित होता है।
अतः,गुणोत्तर माध्य $\sqrt{9} = 3$ है।

(B) माना द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दो संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ का हरात्मक माध्य $(HM)$ $HM = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $(5 + \sqrt{2})x^2 - (4 + \sqrt{5})x + (8 + 2\sqrt{5}) = 0$ से:
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = \frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$.
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}} = \frac{2(4 + \sqrt{5})}{5 + \sqrt{2}}$.
अब,इन मानों को $HM$ के सूत्र में रखने पर:
$HM = \frac{2 \times \frac{2(4 + \sqrt{5})}{5 + \sqrt{2}}}{\frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}}$.
$HM = \frac{4(4 + \sqrt{5})}{5 + \sqrt{2}} \times \frac{5 + \sqrt{2}}{4 + \sqrt{5}}$.
$HM = 4$.

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2 - bx}{ax - c} = \frac{m - 1}{m + 1}$.
वज्र-गुणन करने पर: $(m + 1)(x^2 - bx) = (m - 1)(ax - c)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $(m + 1)x^2 - b(m + 1)x = a(m - 1)x - c(m - 1)$.
मानक द्विघात रूप $Ax^2 + Bx + C = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$(m + 1)x^2 - [b(m + 1) + a(m - 1)]x + c(m - 1) = 0$.
माना मूल $\alpha$ और $-\alpha$ हैं। मूलों का परिमाण समान लेकिन चिह्न विपरीत होने के लिए,मूलों का योग शून्य होना चाहिए।
मूलों का योग $= -\frac{B}{A} = 0$,जिसका अर्थ है $B = 0$.
अतः,$b(m + 1) + a(m - 1) = 0$.
$bm + b + am - a = 0$.
$m(a + b) = a - b$.
$m = \frac{a - b}{a + b}$.

(A) माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। दिया है $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{3}$,अतः $\alpha = \frac{2\beta}{3}$.
मूलों के योग से,$\alpha + \beta = \frac{m}{12}$ $\Rightarrow \frac{2\beta}{3} + \beta = \frac{m}{12}$ $\Rightarrow \frac{5\beta}{3} = \frac{m}{12}$ $\Rightarrow m = 20\beta$.
मूलों के गुणनफल से,$\alpha \beta = \frac{5}{12}$ $\Rightarrow \left(\frac{2\beta}{3}\right)\beta = \frac{5}{12}$ $\Rightarrow \frac{2\beta^2}{3} = \frac{5}{12}$ $\Rightarrow \beta^2 = \frac{5}{8}$ $\Rightarrow \beta = \frac{\sqrt{10}}{4}$.
$m$ का मान ज्ञात करने पर,$m = 20 \times \frac{\sqrt{10}}{4} = 5\sqrt{10}$.

(D) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ के लिए,$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ होता है।
व्यंजक $E = \frac{\alpha}{a\beta + b} + \frac{\beta}{a\alpha + b}$ पर विचार करें।
चूंकि $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$,इसलिए $a\alpha + b = -\frac{c}{\alpha}$ प्राप्त होता है। इसी प्रकार,$a\beta + b = -\frac{c}{\beta}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = \frac{\alpha}{-c/\beta} + \frac{\beta}{-c/\alpha} = -\frac{\alpha\beta}{c} - \frac{\alpha\beta}{c} = -\frac{2\alpha\beta}{c}$.
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ रखने पर:
$E = -\frac{2(c/a)}{c} = -\frac{2}{a}$.

(B) दिया गया है कि $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha^3 + \beta^3 = q$ है।
सर्वसमिका $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ का उपयोग करने पर:
$q = (-p)^3 - 3\alpha\beta(-p) = -p^3 + 3p\alpha\beta$ है।
अतः,$3p\alpha\beta = p^3 + q$,जिसका अर्थ है $\alpha\beta = \frac{p^3 + q}{3p}$ है।
वांछित द्विघात समीकरण के मूल $\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ हैं।
मूलों का योग $= \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}$ है।
मान रखने पर: $\frac{(-p)^2 - 2(\frac{p^3 + q}{3p})}{\frac{p^3 + q}{3p}} = \frac{p^2 - \frac{2(p^3 + q)}{3p}}{\frac{p^3 + q}{3p}} = \frac{3p^3 - 2p^3 - 2q}{p^3 + q} = \frac{p^3 - 2q}{p^3 + q}$ है।
मूलों का गुणनफल $= \frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 1$ है।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^2 - \left(\frac{p^3 - 2q}{p^3 + q}\right)x + 1 = 0$ है।
$(p^3 + q)$ से गुणा करने पर,हमें $(p^3 + q)x^2 - (p^3 - 2q)x + (p^3 + q) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $\alpha$ और $\beta$ दिए गए समीकरण के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$ है।
अतः,$\beta = -\frac{1}{2} - \alpha$.
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$4\alpha^2 + 2\alpha - 1 = 0$,जिसका अर्थ है $4\alpha^2 = 1 - 2\alpha$.
अब,$4\alpha^3 - 3\alpha = \alpha(4\alpha^2) - 3\alpha$ पर विचार करें।
$4\alpha^2 = 1 - 2\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\alpha(1 - 2\alpha) - 3\alpha = \alpha - 2\alpha^2 - 3\alpha = -2\alpha^2 - 2\alpha$ प्राप्त होता है।
$4\alpha^2 + 2\alpha - 1 = 0$ से,$2\alpha^2 = \frac{1 - 2\alpha}{2} = \frac{1}{2} - \alpha$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$-(\frac{1}{2} - \alpha) - 2\alpha = -\frac{1}{2} + \alpha - 2\alpha = -\frac{1}{2} - \alpha$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\beta = -\frac{1}{2} - \alpha$,इसलिए दूसरा मूल $4\alpha^3 - 3\alpha$ है।

(B) माना $x^2 - x + m = 0$ का एक मूल $\alpha$ है। तब $x^2 - 3x + 2m = 0$ का एक मूल $2\alpha$ होगा।
$\alpha^2 - \alpha + m = 0$ --- $(1)$
$(2\alpha)^2 - 3(2\alpha) + 2m = 0 \Rightarrow 4\alpha^2 - 6\alpha + 2m = 0 \Rightarrow 2\alpha^2 - 3\alpha + m = 0$ --- $(2)$
$(1) \times 2$ करने पर: $2\alpha^2 - 2\alpha + 2m = 0$ --- $(3)$
$(3) - (2)$ करने पर: $\alpha - m = 0 \Rightarrow \alpha = m$
$\alpha = m$ को $(1)$ में रखने पर: $m^2 - m + m = 0 \Rightarrow m^2 = 0 \Rightarrow m = 0$
यदि $m = 0$ है,तो समीकरण $x^2 - 3x = 0$ और $x^2 - x = 0$ हैं। मूल $0, 3$ और $0, 1$ हैं। यहाँ $0$ का दोगुना $0$ है।
यदि हम अन्य मूलों पर विचार करें,तो $m = -2$ भी एक संभावित मान है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - 3x + 5 = 0$ के मूल हैं।
अतः,$\alpha^2 - 3\alpha + 5 = 0 \implies \alpha^2 - 3\alpha = -5$
और $\beta^2 - 3\beta + 5 = 0 \implies \beta^2 - 3\beta = -5$
अब,इन मानों को अभीष्ट मूलों में प्रतिस्थापित करने पर:
मूल $1 = \alpha^2 - 3\alpha + 7 = -5 + 7 = 2$
मूल $2 = \beta^2 - 3\beta + 7 = -5 + 7 = 2$
$2$ और $2$ मूलों वाला द्विघात समीकरण:
$x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$
$x^2 - (2 + 2)x + (2 \times 2) = 0$
$x^2 - 4x + 4 = 0$

(B) माना समीकरण $x^2 - 30x + p = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \alpha^2 = 30$ $(1)$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = p$ $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\alpha^2 + \alpha - 30 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $(\alpha + 6)(\alpha - 5) = 0$।
अतः,$\alpha = -6$ या $\alpha = 5$।
यदि $\alpha = -6$ है,तो $p = \alpha^3 = (-6)^3 = -216$।
यदि $\alpha = 5$ है,तो $p = \alpha^3 = (5)^3 = 125$।
इसलिए,$p$ के संभावित मान $125$ और $-216$ हैं।

(D) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\sin \alpha$ और $\cos \alpha$ हैं।
मूलों का योग: $\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{b}{a} \quad (i)$
मूलों का गुणनफल: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{c}{a} \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ का वर्ग करने पर:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2$
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{b^2}{a^2}$
चूंकि $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,हमारे पास है:
$1 + 2\left(\frac{c}{a}\right) = \frac{b^2}{a^2}$
$1 + \frac{2c}{a} = \frac{b^2}{a^2}$
$a^2$ से गुणा करने पर: $a^2 + 2ac = b^2 \Rightarrow a^2 - b^2 + 2ac = 0$. यह विकल्प $(b)$ है।
अब,$(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$। चूंकि $a^2 + 2ac = b^2$,हमें $(a+c)^2 = b^2 + c^2$ प्राप्त होता है। यह विकल्प $(c)$ है।
अतः,$(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(B) द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{C}{A}$ और मूलों का योगफल $\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$ होता है।
दिया गया है कि मूलों का गुणनफल $2$ है,इसलिए $\frac{3a + 4}{a + 1} = 2$ है।
$a$ के लिए हल करने पर: $3a + 4 = 2(a + 1)$ $\Rightarrow 3a + 4 = 2a + 2$ $\Rightarrow a = -2$ प्राप्त होता है।
अब,$a = -2$ को मूलों के योगफल के सूत्र में रखने पर:
मूलों का योगफल $= -\frac{2a + 3}{a + 1} = -\frac{2(-2) + 3}{-2 + 1} = -\frac{-4 + 3}{-1} = -\frac{-1}{-1} = -1$।

(D) माना $f(x) = x^3 - x - 1$ है। दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $f(x) = 0$ के मूल हैं।
माना $y = \frac{1+x}{1-x}$ है।
तब $y(1-x) = 1+x \implies y - yx = 1+x \implies y-1 = x(y+1) \implies x = \frac{y-1}{y+1}$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ का यह मान समीकरण $x^3 - x - 1 = 0$ में रखने पर:
$\left( \frac{y-1}{y+1} \right)^3 - \left( \frac{y-1}{y+1} \right) - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $(y+1)^3$ से गुणा करने पर:
$(y-1)^3 - (y-1)(y+1)^2 - (y+1)^3 = 0$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर:
$(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) - (y-1)(y^2 + 2y + 1) - (y^3 + 3y^2 + 3y + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
$(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) - (y^3 + y^2 - y - 1) - (y^3 + 3y^2 + 3y + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
$-y^3 - 7y^2 + y - 1 = 0 \implies y^3 + 7y^2 - y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण के मूल $\frac{1+\alpha}{1-\alpha}, \frac{1+\beta}{1-\beta}, \frac{1+\gamma}{1-\gamma}$ हैं।
तीनों मूलों का गुणनफल $= -(\text{अचर पद}) / (\text{मुख्य गुणांक}) = -1/1 = -1$ है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 - bx - c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -(\frac{-b}{a}) = \frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{-c}{a}$ है।
हमें $\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2$ का मान ज्ञात करना है।
इसे $(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta - \alpha\beta = (\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(\alpha + \beta)$ और $\alpha\beta$ के मान रखने पर:
$= (\frac{b}{a})^2 - 3(\frac{-c}{a})$
$= \frac{b^2}{a^2} + \frac{3c}{a}$
$= \frac{b^2 + 3ac}{a^2}$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ है जिसके मूल $p$ और $q$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $p + q = -p \implies q = -2p$
मूलों का गुणनफल: $pq = q$
गुणनफल समीकरण में $q = -2p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-2p) = -2p$
$-2p^2 + 2p = 0$
$-2p(p - 1) = 0$
अतः,$p = 0$ या $p = 1$।

(B) समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{C}{A}$ है।
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha^2 + \beta^2 = -p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha^2\beta^2 = q$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $-p = (-\frac{B}{A})^2 - 2(\frac{C}{A})$.
$-p = \frac{B^2}{A^2} - \frac{2C}{A} = \frac{B^2 - 2AC}{A^2}$.
अतः,$p = -\frac{B^2 - 2AC}{A^2} = \frac{2AC - B^2}{A^2}$.

(C) माना $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं और $\alpha', \beta'$ समीकरण $x^2 + qx + r = 0$ के मूल हैं।
तब $\alpha + \beta = -b$,$\alpha \beta = c$ और $\alpha' + \beta' = -q$,$\alpha' \beta' = r$ है।
दिया गया है कि मूलों का अनुपात समान है,अर्थात $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha'}{\beta'}$.
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) के नियम का उपयोग करने पर,$\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha' + \beta'}{\alpha' - \beta'}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(\alpha + \beta)^2}{(\alpha - \beta)^2} = \frac{(\alpha' + \beta')^2}{(\alpha' - \beta')^2}$.
चूँकि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$,इसलिए $\frac{b^2}{b^2 - 4c} = \frac{q^2}{q^2 - 4r}$.
वज्र गुणन करने पर,$b^2(q^2 - 4r) = q^2(b^2 - 4c)$.
$b^2q^2 - 4rb^2 = q^2b^2 - 4cq^2$.
$-4rb^2 = -4cq^2$,जिसे सरल करने पर $rb^2 = cq^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\alpha^2 = 5\alpha - 3$ और $\beta^2 = 5\beta - 3$,इसका अर्थ है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - 5x + 3 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से,मूलों का योग $\alpha + \beta = -(-5)/1 = 5$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 3/1 = 3$ है।
हमें $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ का मान ज्ञात करना है।
इस व्यंजक को $\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta}$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ का उपयोग करते हुए,हम ज्ञात मान रखते हैं:
$\alpha^2 + \beta^2 = (5)^2 - 2(3) = 25 - 6 = 19$.
अतः,$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{19}{3}$.

(C) दिए गए समीकरण $(x - a)(x - b) = c$ को $(x - a)(x - b) - c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $(x - a)(x - b) - c = 0$ के मूल हैं,इसलिए हम द्विघात समीकरण को $(x - \alpha)(x - \beta) = (x - a)(x - b) - c$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(x - \alpha)(x - \beta) + c = (x - a)(x - b)$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $(x - \alpha)(x - \beta) + c = 0$ समीकरण $(x - a)(x - b) = 0$ के समतुल्य है।
इसलिए,इस समीकरण के मूल $x = a$ और $x = b$ हैं।

(C) चूंकि $x^2 + px + 1$,$ax^3 + bx + c$ का एक गुणनखंड है,हम लिख सकते हैं:
$ax^3 + bx + c = (x^2 + px + 1)(ax + c)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$ax^3 + bx + c = ax^3 + cx^2 + pax^2 + pcx + ax + c$
$ax^3 + bx + c = ax^3 + (c + ap)x^2 + (pc + a)x + c$
$x^2$ और $x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) \, c + ap = 0 \Rightarrow p = -c/a$
$2) \, pc + a = b$
दूसरे समीकरण में $p = -c/a$ रखने पर:
$(-c/a)c + a = b$
$-c^2/a + a = b$
$-c^2 + a^2 = ab$
$a^2 - c^2 = ab$

(D) समीकरण $x^2 - px + r = 0$ के लिए,$\alpha + \beta = p$ और $\alpha \beta = r$ है।
समीकरण $x^2 - qx + r = 0$ के लिए,$\frac{\alpha}{2} + 2\beta = q$ और $(\frac{\alpha}{2})(2\beta) = \alpha \beta = r$ है।
पहले समीकरण से,$\alpha + \beta = p \implies 2\alpha + 2\beta = 2p$।
$2\alpha + 2\beta = 2p$ में से $\frac{\alpha}{2} + 2\beta = q$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2\alpha - \frac{\alpha}{2}) = 2p - q
\implies \frac{3\alpha}{2} = 2p - q
\implies \alpha = \frac{2(2p - q)}{3}$।
अब,$\beta = p - \alpha = p - \frac{2(2p - q)}{3} = \frac{3p - 4p + 2q}{3} = \frac{2q - p}{3}$।
चूंकि $r = \alpha \beta$,इसलिए:
$r = \left(\frac{2(2p - q)}{3}\right) \left(\frac{2q - p}{3}\right) = \frac{2}{9}(2p - q)(2q - p)$।

(A) माना द्विघात समीकरण $12x^2 + mx + 5 = 0$ के मूल $3k$ और $2k$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $-(b/a) = -m/12$ होता है।
अतः,$3k + 2k = -m/12 \implies 5k = -m/12 \implies k = -m/60$.
मूलों का गुणनफल $c/a = 5/12$ होता है।
अतः,$(3k)(2k) = 5/12 \implies 6k^2 = 5/12 \implies k^2 = 5/72$.
$k = -m/60$ का मान $k^2 = 5/72$ में रखने पर:
$(-m/60)^2 = 5/72 \implies m^2/3600 = 5/72$.
$m^2 = (5 \times 3600) / 72 = 5 \times 50 = 250$.
$m = \pm \sqrt{250} = \pm 5\sqrt{10}$.
चूंकि दिए गए विकल्प धनात्मक हैं,इसलिए सही उत्तर $5\sqrt{10}$ है।

(C) माना समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
अतः,$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^2$ और $\beta^2$ हैं।
नए मूलों का योग $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (\frac{c}{a})^2 = \frac{c^2}{a^2}$ है।
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,$x^2 - (\frac{b^2 - 2ac}{a^2})x + \frac{c^2}{a^2} = 0$ प्राप्त होता है।
$a^2$ से गुणा करने पर,$a^2x^2 - (b^2 - 2ac)x + c^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = c/a$ होता है।
दिए गए समीकरण $2x^2 - 2(m^2 + 1)x + (m^4 + m^2 + 1) = 0$ के लिए:
मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{2(m^2 + 1)}{2} = m^2 + 1$.
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{m^4 + m^2 + 1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$.
मान रखने पर:
$\alpha^2 + \beta^2 = (m^2 + 1)^2 - 2 \times \frac{m^4 + m^2 + 1}{2}$.
$\alpha^2 + \beta^2 = (m^4 + 2m^2 + 1) - (m^4 + m^2 + 1)$.
$\alpha^2 + \beta^2 = m^2$.

(C) माना कि द्विघात समीकरण $x^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\frac{1}{\alpha}$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,समीकरण $1x^2 + bx + c = 0$ है,इसलिए $a = 1$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \times \frac{1}{\alpha} = 1$ है।
इसलिए,$\frac{c}{a} = 1$ होगा।
चूंकि $a = 1$ है,हमें $c = 1$ प्राप्त होता है।
विकल्पों को देखने पर,यदि $a = c$ है,तो $1 = c$ होगा,जो हमारे परिणाम के अनुरूप है। अतः,$a = c$ सही शर्त है।

(C) दिए गए समीकरणों से:
$\alpha + \beta = -b$ .... $(1)$ और $\alpha\beta = ac$ .... $(2)$
$\alpha + \gamma = -a$ .... $(3)$ और $\alpha\gamma = bc$ .... $(4)$
समीकरण $(1)$ में से $(3)$ घटाने पर: $\beta - \gamma = a - b$ .... $(5)$
समीकरण $(2)$ को $(4)$ से विभाजित करने पर: $\frac{\beta}{\gamma} = \frac{a}{b} \implies \beta = \frac{a\gamma}{b}$ .... $(6)$
समीकरण $(6)$ का मान $(5)$ में रखने पर:
$\frac{a\gamma}{b} - \gamma = a - b$
$\gamma \left( \frac{a - b}{b} \right) = (a - b)$
यदि $a \neq b$ है,तो $\gamma = b$ प्राप्त होता है।
$\gamma = b$ का मान $(4)$ में रखने पर: $\alpha b = bc \implies \alpha = c$.
$\alpha = c$ का मान $(2)$ में रखने पर: $c\beta = ac \implies \beta = a$.
अतः,$\alpha = c, \beta = a, \gamma = b$ है।

(B) दिया गया समीकरण $2x^2 + 2(a + b)x + a^2 + b^2 = 0$ है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{2(a + b)}{2} = -(a + b)$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{a^2 + b^2}{2}$ है।
अब,$(\alpha + \beta)^2 = (-(a + b))^2 = (a + b)^2$ है।
और $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (a + b)^2 - 4(\frac{a^2 + b^2}{2}) = a^2 + 2ab + b^2 - 2a^2 - 2b^2 = -(a^2 - 2ab + b^2) = -(a - b)^2$ है।
अभीष्ट समीकरण $x^2 - [(\alpha + \beta)^2 + (\alpha - \beta)^2]x + [(\alpha + \beta)^2(\alpha - \beta)^2] = 0$ है।
नए मूलों का योग $= (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$ है।
नए मूलों का गुणनफल $= (a + b)^2 \times (-(a - b)^2) = -((a + b)(a - b))^2 = -(a^2 - b^2)^2$ है।
अतः,समीकरण $x^2 - 4abx - (a^2 - b^2)^2 = 0$ है।