Relation between roots and coefficients Questions in Hindi

(C) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_1 = b^2 - 4ac$ है। मूलों का अंतर $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (\frac{-b}{a})^2 - 4(\frac{c}{a}) = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूल $\alpha - k$ और $\beta - k$ हैं। इन मूलों का अंतर $(\alpha - k) - (\beta - k) = \alpha - \beta$ है।
अतः,मूलों के अंतर का वर्ग $(\alpha - \beta)^2 = \frac{B^2 - 4AC}{A^2}$ है।
$(\alpha - \beta)^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{B^2 - 4AC}{A^2}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{B^2 - 4AC}{b^2 - 4ac} = \frac{A^2}{a^2} = (\frac{A}{a})^2$ प्राप्त होता है।

(A) द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $p + q = -p$ और मूलों का गुणनफल $pq = q$ होता है।
$pq = q$ से,हमें $q(p - 1) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $q = 0$ या $p = 1$ है।
स्थिति $1$: यदि $q = 0$ है,तो $p + 0 = -p$,जिससे $2p = 0$ प्राप्त होता है,अतः $p = 0$ है। इससे मूल $(0, 0)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $p = 1$ है,तो $1 + q = -1$,जिससे $q = -2$ प्राप्त होता है। इससे मूल $(1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही युग्म $p = 1, q = -2$ है।

(A) माना कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं,इसलिए $\beta = \frac{1}{\alpha}$,जिसका अर्थ है कि $\alpha \cdot \beta = 1$ है।
समीकरण $5x^2 - 7x + k = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a} = \frac{k}{5}$ होता है।
मूलों के गुणनफल को $1$ के बराबर रखने पर,हमें $\frac{k}{5} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 5$।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = c/a$ होता है।
दिया गया समीकरण: $x^2 - 7x + 6 = 0$.
यहाँ,$a = 1, b = -7, c = 6$.
मूलों का योग $\alpha + \beta = -(-7)/1 = 7$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 6/1 = 6$.
हमें $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर,हमें $\frac{7}{6}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 2x + 4 = 0$ है।
मूल $\alpha, \beta$ हैं,अतः $\alpha + \beta = 2$ और $\alpha \beta = 4$ है।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^2 - 2\alpha + 4 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha^2 = 2\alpha - 4$।
$\alpha^n$ से गुणा करने पर,$\alpha^{n+2} = 2\alpha^{n+1} - 4\alpha^n$ प्राप्त होता है।
माना $S_n = \alpha^n + \beta^n$ है। तब $S_n = 2S_{n-1} - 4S_{n-2}$।
हम जानते हैं कि $S_0 = 2$ और $S_1 = 2$ है।
$S_2 = 2(2) - 4(2) = -4$।
$S_3 = 2(-4) - 4(2) = -16$।
$S_4 = 2(-16) - 4(-4) = -16$।
$S_5 = 2(-16) - 4(-16) = 32$।
अतः,$\alpha^5 + \beta^5 = 32$।

(A) समीकरण $a(p + x)^2 + 2bpx + c = 0$ पर विचार करें।
इसका विस्तार करने पर,हमें $a(p^2 + 2px + x^2) + 2bpx + c = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ में द्विघात समीकरण के रूप में पदों को व्यवस्थित करने पर: $ax^2 + 2x(ap + bp) + ap^2 + c = 0$,जो $ax^2 + 2xp(a + b) + ap^2 + c = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $q$ और $r$ इस समीकरण के मूल हैं,इसलिए मूलों का गुणनफल $qr$ अचर पद को $x^2$ के गुणांक से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
अतः,$qr = \frac{ap^2 + c}{a} = p^2 + \frac{c}{a}$.

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
माना नए मूल $\alpha' = 2 + \alpha$ और $\beta' = 2 + \beta$ हैं।
नए मूलों का योग $\alpha' + \beta' = (2 + \alpha) + (2 + \beta) = 4 + (\alpha + \beta) = 4 - \frac{b}{a} = \frac{4a - b}{a}$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\alpha'\beta' = (2 + \alpha)(2 + \beta) = 4 + 2(\alpha + \beta) + \alpha\beta = 4 + 2(-\frac{b}{a}) + \frac{c}{a} = \frac{4a - 2b + c}{a}$ है।
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,$x^2 - (\frac{4a - b}{a})x + \frac{4a - 2b + c}{a} = 0$ प्राप्त होता है।
$a$ से गुणा करने पर,$ax^2 - (4a - b)x + 4a - 2b + c = 0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $ax^2 + x(b - 4a) + 4a - 2b + c = 0$ मिलता है।

(C) माना $x^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं और $x^2 + qx + r = 0$ के मूल $\alpha', \beta'$ हैं।
तब $\alpha + \beta = -b, \alpha\beta = c$ और $\alpha' + \beta' = -q, \alpha'\beta' = r$ है।
दिया गया है कि $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha'}{\beta'}$,योगांतरानुपात (componendo and dividendo) के नियम से $\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha' + \beta'}{\alpha' - \beta'}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(\alpha + \beta)^2}{(\alpha - \beta)^2} = \frac{(\alpha' + \beta')^2}{(\alpha' - \beta')^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$,इसलिए $\frac{b^2}{b^2 - 4c} = \frac{q^2}{q^2 - 4r}$ होगा।
वज्र-गुणन करने पर $b^2(q^2 - 4r) = q^2(b^2 - 4c) \Rightarrow b^2q^2 - 4rb^2 = q^2b^2 - 4cq^2$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$-4rb^2 = -4cq^2$,जिसका अर्थ है $rb^2 = cq^2$।

(C) माना $\alpha$ और $\alpha^2$ समीकरण $x^2 - x - k = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha + \alpha^2 = 1$
$\alpha^3 = k$
अतः,$k^{2/3} + k^{1/3} = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$k^2 + k + 3k(k^{2/3} + k^{1/3}) = 1$।
$k^2 + 4k - 1 = 0$ को हल करने पर $k = 2 \pm \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं। तब,$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
दिया गया है कि मूलों का योग उनके व्युत्क्रमों के वर्गों के योग के बराबर है:
$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$
$-\frac{b}{a} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2}$
$-\frac{b}{a} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$
$\alpha + \beta$ और $\alpha\beta$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{b}{a} = \frac{(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})}{(\frac{c}{a})^2}$
इसे सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$2 = \frac{b^2}{ac} + \frac{bc}{a^2}$.

(B) दिए गए द्विघात समीकरण $x^2 - 6x + a = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = 6$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = a$ है।
दिए गए संबंध $3\alpha + 2\beta = 16$ को $2(\alpha + \beta) + \alpha = 16$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\alpha + \beta = 6$ का मान रखने पर: $2(6) + \alpha = 16$ $\Rightarrow 12 + \alpha = 16$ $\Rightarrow \alpha = 4$.
चूंकि $\alpha + \beta = 6$,इसलिए $4 + \beta = 6 \Rightarrow \beta = 2$.
अब,मूलों के गुणनफल का उपयोग करने पर: $a = \alpha\beta = 4 \times 2 = 8$.

(A) दिए गए समीकरण $lx^2 + mx + n = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{m}{l}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{n}{l}$ है।
माना नए मूल $S_1 = \alpha^3\beta$ और $S_2 = \alpha\beta^3$ हैं।
नए मूलों का योग $S_1 + S_2 = \alpha\beta(\alpha^2 + \beta^2) = \alpha\beta((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta) = \frac{n}{l} \left( \frac{m^2}{l^2} - \frac{2n}{l} \right) = \frac{n(m^2 - 2nl)}{l^3}$ है।
नए मूलों का गुणनफल $S_1 S_2 = \alpha^4\beta^4 = (\alpha\beta)^4 = \frac{n^4}{l^4}$ है।
अभीष्ट समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
अतः,$x^2 - \frac{n(m^2 - 2nl)}{l^3}x + \frac{n^4}{l^4} = 0$.
$l^4$ से गुणा करने पर,$l^4x^2 - nl(m^2 - 2nl)x + n^4 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि मूलों का अंतर $\alpha - \beta = 1$ है।
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ होता है।
द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ से,मूलों का योग $\alpha + \beta = -p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = q$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1)^2 = (-p)^2 - 4(q)$
$1 = p^2 - 4q$
अतः,$p^2 = 4q + 1$।

(B) दिया गया समीकरण $(5 + \sqrt{2})x^2 - (4 + \sqrt{5})x + 8 + 2\sqrt{5} = 0$ है।
माना मूल $x_1$ और $x_2$ हैं।
मूलों का योग: $x_1 + x_2 = \frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$.
मूलों का गुणनफल: $x_1x_2 = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}} = \frac{2(4 + \sqrt{5})}{5 + \sqrt{2}} = 2(x_1 + x_2)$.
हरात्मक माध्य $H = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2}$.
सूत्र में $x_1x_2 = 2(x_1 + x_2)$ रखने पर:
$H = \frac{2 \times 2(x_1 + x_2)}{x_1 + x_2} = 4$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$ और $\alpha \beta = \frac{C}{A}$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha^3 + \beta^3 = (-\frac{B}{A})^3 - 3(\frac{C}{A})(-\frac{B}{A})$.
$\alpha^3 + \beta^3 = -\frac{B^3}{A^3} + \frac{3BC}{A^2}$.
$A^3$ को उभयनिष्ठ हर लेने पर,$\alpha^3 + \beta^3 = \frac{-B^3 + 3ABC}{A^3} = \frac{3ABC - B^3}{A^3}$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण ${x^2} - (1 + {n^2})x + \frac{1}{2}(1 + {n^2} + {n^4}) = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha + \beta = 1 + {n^2}$
$\alpha \beta = \frac{1}{2}(1 + {n^2} + {n^4})$
हमें ${\alpha ^2} + {\beta ^2}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका ${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(\alpha + \beta )^2} - 2\alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(1 + {n^2})^2} - 2 \times \frac{1}{2}(1 + {n^2} + {n^4})$
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = (1 + {n^4} + 2{n^2}) - (1 + {n^2} + {n^4})$
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = 1 + {n^4} + 2{n^2} - 1 - {n^2} - {n^4}$
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {n^2}$.

(B) माना समीकरण $x^2 - 30x + p = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग $\alpha + \alpha^2 = 30$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = p$ है।
$\alpha^2 + \alpha - 30 = 0$ को हल करने पर:
$(\alpha + 6)(\alpha - 5) = 0$,जिससे $\alpha = -6$ या $\alpha = 5$ प्राप्त होता है।
यदि $\alpha = 5$ है,तो $p = \alpha^3 = 5^3 = 125$ है।
यदि $\alpha = -6$ है,तो $p = \alpha^3 = (-6)^3 = -216$ है।
अतः,$p$ के मान $125$ और $-216$ हैं।

(B) माना द्विघात समीकरण $x^2 - 3x + 1 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -(-3)/1 = 3$ है और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 1/1 = 1$ है।
हमें मूलों के वर्गों का योग ज्ञात करना है,जो $\alpha^2 + \beta^2$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ का उपयोग करते हुए,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$.
अतः,मूलों के वर्गों का योग $7$ है।

(A) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि मूलों का योग $\alpha + \beta = -1$ है।
दिया गया है कि उनके व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{1}{6}$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
$\alpha + \beta = -1$ रखने पर,$\frac{-1}{\alpha \beta} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\alpha \beta = -6$ है।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$x^2 - (-1)x + (-6) = 0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x^2 + x - 6 = 0$ मिलता है।

(C) माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -p$ और $\alpha \beta = q$ है।
दिया गया है कि मूलों का योग उनके वर्गों के योग के बराबर है:
$\alpha + \beta = \alpha^2 + \beta^2$
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-p = (-p)^2 - 2q$
$-p = p^2 - 2q$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p^2 + p = 2q$.

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - 3x + 1 = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = 3$ और $\alpha \beta = 1$ प्राप्त होता है।
माना नए मूल $x_1 = \frac{1}{\alpha - 2}$ और $x_2 = \frac{1}{\beta - 2}$ हैं।
नए मूलों का योग $S = x_1 + x_2 = \frac{1}{\alpha - 2} + \frac{1}{\beta - 2} = \frac{\alpha + \beta - 4}{\alpha \beta - 2(\alpha + \beta) + 4}$ है।
मान रखने पर,$S = \frac{3 - 4}{1 - 2(3) + 4} = \frac{-1}{1 - 6 + 4} = \frac{-1}{-1} = 1$ प्राप्त होता है।
नए मूलों का गुणनफल $P = x_1 x_2 = \frac{1}{(\alpha - 2)(\beta - 2)} = \frac{1}{\alpha \beta - 2(\alpha + \beta) + 4}$ है।
मान रखने पर,$P = \frac{1}{1 - 2(3) + 4} = \frac{1}{1 - 6 + 4} = \frac{1}{-1} = -1$ प्राप्त होता है।
अपेक्षित द्विघात समीकरण $x^2 - Sx + P = 0$ है,जो $x^2 - (1)x + (-1) = 0$ अर्थात $x^2 - x - 1 = 0$ देता है।

(B) माना $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
अतः $\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha \beta = c/a$ है।
नए मूल $\alpha - 1$ और $\beta - 1$ हैं।
नया समीकरण $2x^2 + 8x + 2 = 0$ है,जिसे $x^2 + 4x + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
नए मूलों का योग: $(\alpha - 1) + (\beta - 1) = -4$ $\Rightarrow \alpha + \beta - 2 = -4$ $\Rightarrow \alpha + \beta = -2$ है।
चूंकि $\alpha + \beta = -b/a$,इसलिए $-b/a = -2 \Rightarrow b = 2a$ है।
नए मूलों का गुणनफल: $(\alpha - 1)(\beta - 1) = 1 \Rightarrow \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 = 1$ है।
मान रखने पर: $c/a - (-2) + 1 = 1$ $\Rightarrow c/a + 3 = 1$ $\Rightarrow c/a = -2$ है।
चूंकि $c/a = -2$ और $b/a = 2$ है,इसलिए $c/a = -b/a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = -b$ या $b = -c$।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $9x^2 + 6x + 1 = 0$ है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{1}{9}$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ हैं।
नए मूलों का योग $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-2/3}{1/9} = -\frac{2}{3} \times 9 = -6$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\frac{1}{\alpha} \times \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{1/9} = 9$ है।
अपेक्षित द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - (-6)x + 9 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + 6x + 9 = 0$ हो जाता है।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $6x^2 - 6x + 1 = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha + \beta = 1$ और $\alpha\beta = \frac{1}{6}$ है।
हमें $S = \frac{1}{2}[a + b\alpha + c\alpha^2 + d\alpha^3] + \frac{1}{2}[a + b\beta + c\beta^2 + d\beta^3]$ का मान ज्ञात करना है।
$S = a + \frac{b}{2}(\alpha + \beta) + \frac{c}{2}(\alpha^2 + \beta^2) + \frac{d}{2}(\alpha^3 + \beta^3)$.
$\alpha + \beta = 1$ और $\alpha\beta = \frac{1}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 - 2(\frac{1}{6}) = \frac{2}{3}$.
$\alpha^3 + \beta^3 = 1^3 - 3(\frac{1}{6})(1) = \frac{1}{2}$.
अतः,$S = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} + \frac{d}{4}$।

(A) दिए गए द्विघात समीकरण $x^2 - px + q = 0$ से,मूलों का योग और गुणनफल इस प्रकार है:
$\tan \alpha + \tan \beta = p$ $(i)$
$\tan \alpha \tan \beta = q$ $(ii)$
$\tan(\alpha + \beta)$ के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{p}{1 - q}$
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$.
$\theta = \alpha + \beta$ रखने पर:
$\sin^2(\alpha + \beta) = \frac{\tan^2(\alpha + \beta)}{1 + \tan^2(\alpha + \beta)}$
$= \frac{(\frac{p}{1 - q})^2}{1 + (\frac{p}{1 - q})^2}$
$= \frac{\frac{p^2}{(1 - q)^2}}{\frac{(1 - q)^2 + p^2}{(1 - q)^2}}$
$= \frac{p^2}{p^2 + (1 - q)^2}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x - m}{mx + 1} = \frac{x + n}{nx + 1}$
वज्र-गुणन करने पर: $(x - m)(nx + 1) = (x + n)(mx + 1)$
$(n - m)x^2 - 2mnx - (m + n) = 0$
चूंकि मूल व्युत्क्रम हैं,उनका गुणनफल $1$ है। अतः $\frac{-(m + n)}{n - m} = 1$
$-(m + n) = n - m$
$-m - n = n - m$
$-2n = 0 \implies n = 0$.

(B) दिया गया है कि $x^2 - 5x + 16 = 0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं,इसलिए $\alpha + \beta = 5$ और $\alpha \beta = 16$ है।
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha^2 + \beta^2$ और $\frac{\alpha \beta}{2}$ हैं।
मूलों का योग: $(\alpha^2 + \beta^2) + \frac{\alpha \beta}{2} = -p$.
$(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = \alpha^2 + \beta^2$ का उपयोग करने पर,$(5^2 - 2(16)) + \frac{16}{2} = -p$.
$(25 - 32) + 8 = -p$ $\Rightarrow -7 + 8 = -p$ $\Rightarrow 1 = -p$ $\Rightarrow p = -1$.
मूलों का गुणनफल: $(\alpha^2 + \beta^2) \times \frac{\alpha \beta}{2} = q$.
$(25 - 32) \times \frac{16}{2} = q$ $\Rightarrow (-7) \times 8 = q$ $\Rightarrow q = -56$.
अतः,$p = -1$ और $q = -56$।

(B) माना $\alpha$,${x^2} - x + k = 0$ का एक मूल है। तब $2\alpha$,${x^2} - x + 3k = 0$ का एक मूल है।
समीकरणों में इन मूलों को रखने पर:
${\alpha^2} - \alpha + k = 0$ $(1)$
$(2\alpha)^2 - (2\alpha) + 3k = 0 \Rightarrow 4{\alpha^2} - 2\alpha + 3k = 0$ $(2)$
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$2{\alpha^2} - 2\alpha + 2k = 0$ $(3)$
समीकरण $(2)$ से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$2{\alpha^2} + k = 0 \Rightarrow {\alpha^2} = -k/2$
${\alpha^2} = -k/2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$-k/2 - \alpha + k = 0 \Rightarrow \alpha = k/2$
अब,$\alpha = k/2$ को ${\alpha^2} = -k/2$ में रखने पर:
$(k/2)^2 = -k/2$
$k^2/4 = -k/2$
$k^2 + 2k = 0$
$k(k + 2) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k = -2$ प्राप्त होता है।

(A) माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों का $A.M.$ $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{8}{5}$ है,जिसका अर्थ है $\alpha + \beta = \frac{16}{5}$ $(i)$.
उनके व्युत्क्रमों का $A.M.$ $\frac{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}}{2} = \frac{8}{7}$ है।
यह $\frac{\alpha + \beta}{2\alpha\beta} = \frac{8}{7}$ में सरल होता है।
$\alpha + \beta = \frac{16}{5}$ का मान रखने पर: $\frac{16/5}{2\alpha\beta} = \frac{8}{7} \Rightarrow \frac{8}{5\alpha\beta} = \frac{8}{7}$.
अतः,$\alpha\beta = \frac{7}{5}$ $(ii)$.
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x^2 - (\frac{16}{5})x + \frac{7}{5} = 0$.
$5$ से गुणा करने पर,हमें $5x^2 - 16x + 7 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\alpha^2 - 5\alpha + 3 = 0$ और $\beta^2 - 5\beta + 3 = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - 5x + 3 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,हमारे पास है:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = 5$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = 3$
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ हैं।
नए मूलों का योग: $S = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = \frac{5^2 - 2(3)}{3} = \frac{25 - 6}{3} = \frac{19}{3}$.
नए मूलों का गुणनफल: $P = \frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 1$.
अभीष्ट समीकरण $x^2 - Sx + P = 0$ है।
मान रखने पर: $x^2 - \frac{19}{3}x + 1 = 0$.
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 - 19x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना मूल $2k$ और $3k$ हैं।
समीकरण $12x^2 - mx + 5 = 0$ के लिए मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $2k + 3k = \frac{m}{12}$ $\Rightarrow 5k = \frac{m}{12}$ $\Rightarrow m = 60k$ $(i)$
मूलों का गुणनफल: $(2k)(3k) = \frac{5}{12}$ $\Rightarrow 6k^2 = \frac{5}{12}$ $\Rightarrow k^2 = \frac{5}{72}$ $\Rightarrow k = \sqrt{\frac{5}{72}} = \frac{\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{12}$.
$k$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$m = 60 \times \frac{\sqrt{10}}{12} = 5\sqrt{10}$.

(C) माना समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $3\alpha$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + 3\alpha = -\frac{b}{a}$ $\Rightarrow 4\alpha = -\frac{b}{a}$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{b}{4a}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot 3\alpha = \frac{c}{a} \Rightarrow 3\alpha^2 = \frac{c}{a}$.
$\alpha$ का मान गुणनफल समीकरण में रखने पर:
$3\left(-\frac{b}{4a}\right)^2 = \frac{c}{a}$
$3 \cdot \frac{b^2}{16a^2} = \frac{c}{a}$
$3b^2 = 16ac$.

(B) दिया गया समीकरण $3x^2 - 20x + 17 = 0$ है।
वह समीकरण ज्ञात करने के लिए जिसके मूल दिए गए समीकरण के मूलों के व्युत्क्रम हैं,हम $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
मूल समीकरण में $x$ के स्थान पर $\frac{1}{x}$ रखने पर:
$3(\frac{1}{x})^2 - 20(\frac{1}{x}) + 17 = 0$
$\frac{3}{x^2} - \frac{20}{x} + 17 = 0$
पूरे समीकरण को $x^2$ से गुणा करने पर:
$3 - 20x + 17x^2 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$17x^2 - 20x + 3 = 0$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 2x + 4 = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -2$ और $\alpha \beta = 4$ है।
हमें $\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{(\alpha \beta)^3}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta(\alpha + \beta)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3} = \frac{(\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta(\alpha + \beta)}{(\alpha \beta)^3}$.
$\alpha + \beta = -2$ और $\alpha \beta = 4$ मान रखने पर:
$= \frac{(-2)^3 - 3(4)(-2)}{(4)^3} = \frac{-8 + 24}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$.

(B) मान लीजिए कि दो संख्याएँ $x_1$ और $x_2$ हैं।
समांतर माध्य $\frac{x_1 + x_2}{2} = 9$ है,जिसका अर्थ है $x_1 + x_2 = 18$.
गुणोत्तर माध्य $\sqrt{x_1 x_2} = 4$ है,जिसका अर्थ है $x_1 x_2 = 16$.
द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 18x + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - px + q = 0$ है जिसके मूल $a$ और $b$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग: $a + b = p$ ... $(i)$
मूलों का गुणनफल: $ab = q$ ... $(ii)$
हमें $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$.
$(i)$ और $(ii)$ से मान रखने पर:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{p}{q}$.

(D) माना कि दिए गए समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = q$
$\alpha + \alpha^2 = -p$
दूसरे समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(\alpha + \alpha^2)^3 = (-p)^3$
$\alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3\alpha \cdot \alpha^2(\alpha + \alpha^2) = -p^3$
$\alpha^3 = q$ और $\alpha + \alpha^2 = -p$ का मान रखने पर:
$q + q^2 + 3q(-p) = -p^3$
$p^3 + q^2 + q - 3pq = 0$
$p^3 + q^2 + q(1 - 3p) = 0$.

(A) दिया गया है कि $3$,$x^2 + ax + 3 = 0$ का एक मूल है,इसलिए $x = 3$ रखने पर:
$3^2 + a(3) + 3 = 0$
$9 + 3a + 3 = 0$
$3a = -12$
$a = -4$
अब,दूसरे समीकरण $x^2 - 4x + b = 0$ पर विचार करें। मान लीजिए मूल $\alpha$ और $3\alpha$ हैं।
मूलों के योग के सूत्र से,$\alpha + 3\alpha = -(-4)/1 = 4$.
$4\alpha = 4$,जिसका अर्थ है $\alpha = 1$.
मूलों के गुणनफल के सूत्र से,$\alpha \times 3\alpha = b/1$.
$3\alpha^2 = b$.
$\alpha = 1$ रखने पर,हमें $3(1)^2 = b$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = 3$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 - (p + 1)x + (p - 1) = 0$ है।
$ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2$,$b = -(p + 1)$,और $c = (p - 1)$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -b/a = (p + 1)/2$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = c/a = (p - 1)/2$.
शर्त $\alpha - \beta = \alpha \beta$ दी गई है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha \beta)^2$.
सर्वसमिका $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
$((p + 1)/2)^2 - 4((p - 1)/2) = ((p - 1)/2)^2$.
$(p + 1)^2/4 - 2(p - 1) = (p - 1)^2/4$.
$4$ से गुणा करने पर:
$(p + 1)^2 - 8(p - 1) = (p - 1)^2$.
$p^2 + 2p + 1 - 8p + 8 = p^2 - 2p + 1$.
$-6p + 9 = -2p + 1$.
$8 = 4p$.
$p = 2$.

(A) दिया गया है कि $p$ और $q$ समीकरण $3x^2 - 5x - 2 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$p + q = \frac{5}{3}$ और $pq = \frac{-2}{3}$ है।
माना नए मूल $\alpha = 3p - 2q$ और $\beta = 3q - 2p$ हैं।
मूलों का योग $\alpha + \beta = (3p - 2q) + (3q - 2p) = p + q = \frac{5}{3}$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = (3p - 2q)(3q - 2p) = 9pq - 6p^2 - 6q^2 + 4pq = 13pq - 6(p^2 + q^2)$ है।
चूँकि $p^2 + q^2 = (p + q)^2 - 2pq = (\frac{5}{3})^2 - 2(\frac{-2}{3}) = \frac{25}{9} + \frac{4}{3} = \frac{37}{9}$ है।
गुणनफल $\alpha \beta = 13(\frac{-2}{3}) - 6(\frac{37}{9}) = \frac{-26}{3} - \frac{74}{3} = \frac{-100}{3}$ है।
अभीष्ट समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^2 - (\frac{5}{3})x - \frac{100}{3} = 0$,जिसे सरल करने पर $3x^2 - 5x - 100 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि ${x^2} + px + 1$ व्यंजक $a{x^3} + bx + c$ का एक गुणनखंड है,अतः हम लिख सकते हैं:
$a{x^3} + bx + c = (x^2 + px + 1)(ax + k)$
जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$a{x^3} + bx + c = ax^3 + (ap + k)x^2 + (p k + a)x + k$
दोनों पक्षों में $x$ की समान घातों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^2$ का गुणांक: $ap + k = 0 \Rightarrow k = -ap$
$x$ का गुणांक: $pk + a = b$
अचर पद: $k = c$
$k = -ap$ में $k = c$ रखने पर,हमें $c = -ap \Rightarrow p = -c/a$ प्राप्त होता है।
$pk + a = b$ में $p = -c/a$ और $k = c$ रखने पर:
$(-c/a)(c) + a = b$
$-c^2/a + a = b$
$a^2 - c^2 = ab$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + (3 - \lambda)x - \lambda = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = \lambda - 3$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = - \lambda$ है।
हमें $S = \alpha^2 + \beta^2$ को न्यूनतम करना है।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ का उपयोग करते हुए:
$S = (\lambda - 3)^2 - 2(-\lambda) = \lambda^2 - 6\lambda + 9 + 2\lambda = \lambda^2 - 4\lambda + 9$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$S = (\lambda^2 - 4\lambda + 4) + 5 = (\lambda - 2)^2 + 5$.
चूंकि $(\lambda - 2)^2 \ge 0$,इसलिए $S$ का न्यूनतम मान $5$ है,जो $\lambda - 2 = 0$ अर्थात $\lambda = 2$ पर प्राप्त होता है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + bx + c = 0$ है,जहाँ $c < 0 < b$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4c$ है। चूँकि $b^2 > 0$ और $c < 0$ है,इसलिए $-4c > 0$ होगा,अतः $D > 0$ है। इस प्रकार,मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -b$। चूँकि $b > 0$ है,इसलिए $\alpha + \beta < 0$ है।
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = c$। चूँकि $c < 0$ है,इसलिए $\alpha \beta < 0$ है।
चूँकि गुणनफल $\alpha \beta < 0$ है,इसलिए एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है।
चूँकि योग $\alpha + \beta < 0$ है,इसलिए ऋणात्मक मूल का निरपेक्ष मान (absolute value) धनात्मक मूल से बड़ा है।
$\alpha < \beta$ दिया गया है,अतः $\alpha$ ऋणात्मक मूल है और $\beta$ धनात्मक मूल है।
इसलिए,$|\alpha| > \beta$,जिसका अर्थ है कि $\alpha < 0 < \beta < |\alpha|$।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$ax^2 + 2bx + c = 0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं $\implies \alpha + \beta = -\frac{2b}{a}, \alpha\beta = \frac{c}{a}$
$2bx^2 + cx + a = 0$ के मूल $\alpha, \gamma$ हैं $\implies \alpha + \gamma = -\frac{c}{2b}, \alpha\gamma = \frac{a}{2b}$
$cx^2 + ax + 2b = 0$ के मूल $\alpha, \delta$ हैं $\implies \alpha + \delta = -\frac{a}{c}, \alpha\delta = \frac{2b}{c}$
मूलों का गुणनफल लेने पर:
$(\alpha\beta)(\alpha\gamma)(\alpha\delta) = (\frac{c}{a})(\frac{a}{2b})(\frac{2b}{c}) = 1$
$\alpha^3(\beta\gamma\delta) = 1$
मूलों के योग और समीकरणों को हल करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\alpha + \alpha^2 = -1$.

(B) माना त्रिघात समीकरण ${x^3} + p{x^2} + qx + r = 0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
दिया गया है कि दो मूलों का योग शून्य है,माना $\alpha + \beta = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -p$ होता है।
$\alpha + \beta = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $0 + \gamma = -p$ प्राप्त होता है,अतः $\gamma = -p$ है।
चूंकि $\gamma$ समीकरण का एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $(-p)^3 + p(-p)^2 + q(-p) + r = 0$।
$-p^3 + p^3 - pq + r = 0$।
$-pq + r = 0$।
अतः,$pq = r$।

(D) दिया गया समीकरण $x^3 + x + 1 = 0$ है।
इसे मानक त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1, b = 0, c = 1, d = 1$ प्राप्त होता है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$ होता है।
मान रखने पर,$\alpha \beta \gamma = -\frac{1}{1} = -1$ प्राप्त होता है।
हमें $\alpha^3 \beta^3 \gamma^3$ का मान ज्ञात करना है,जो $(\alpha \beta \gamma)^3$ के बराबर है।
अतः,$(\alpha \beta \gamma)^3 = (-1)^3 = -1$।

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 - 3x^2 + x + 5 = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = 3$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 1$
$\alpha \beta \gamma = -5$
हमें $y = \sum \alpha^2 + \alpha \beta \gamma$ का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $\sum \alpha^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)$.
मान रखने पर:
$\sum \alpha^2 = (3)^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$.
अब,$y = 7 + (\alpha \beta \gamma) = 7 + (-5) = 2$.
चूंकि $y = 2$ है,हम जांचते हैं कि कौन सा समीकरण संतुष्ट होता है:
विकल्प $B$ के लिए: $y^3 - y^2 - y - 2 = (2)^3 - (2)^2 - 2 - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0$.
अतः,$y = 2$ समीकरण $y^3 - y^2 - y - 2 = 0$ को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $2x^3 - 3x^2 + 6x + 1 = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ और दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 2, b = -3, c = 6, d = 1$ है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = -(\frac{-3}{2}) = \frac{3}{2}$ और $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{6}{2} = 3$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$।
मान रखने पर: $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\frac{3}{2})^2 - 2(3) = \frac{9}{4} - 6 = \frac{9 - 24}{4} = -\frac{15}{4}$।