$\lambda$ के किस मान के लिए ${x^2} + (2 + \lambda )x - \frac{1}{2}(1 + \lambda ) = 0$ के मूलों के वर्गों का योग न्यूनतम होगा?

मान लीजिए $p(x)$ एक द्विघात बहुपद है जिसका अचर पद $1$ है। यदि $p(x)$ को $x-1$ से विभाजित करने पर शेषफल $2$ बचता है और $x+1$ से विभाजित करने पर शेषफल $4$ बचता है,तो $p(x)=0$ के मूलों का योग क्या है?

यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 + bx - c = 0$ के मूल हैं,तो वह समीकरण जिसके मूल $b$ और $c$ हैं,क्या होगा?

यदि $p$ और $q$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं और $\alpha^3 + \beta^3 = -p$,$\alpha \beta = q$ है,तो वह द्विघात समीकरण जिसके मूल $\frac{\alpha^2}{\beta}$ और $\frac{\beta^2}{\alpha}$ हैं,क्या होगा?

मान लीजिए $\alpha, \beta$ जहाँ $\alpha > \beta$ समीकरण $x^2 - \sqrt{2}x - \sqrt{3} = 0$ के मूल हैं। मान लीजिए $P_n = \alpha^n - \beta^n, n \in \mathbb{N}$ है। तो $(11\sqrt{3} - 10\sqrt{2})P_{10} + (11\sqrt{2} + 10)P_{11} - 11P_{12}$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $f(x)=ax^2+bx+c$ समीकरण $f(1)+2f(2)=0$ और $2f(1)+f(2)=0$ को संतुष्ट करता है,तो $3a+b=$