Relation between roots and coefficients Questions in Hindi

(B) माना द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि मूलों का अंतर $|\alpha - \beta| = 1$ है।
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ होता है।
द्विघात समीकरण से मान रखने पर,जहाँ $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha\beta = q$:
$1^2 = (-p)^2 - 4(q)$
$1 = p^2 - 4q$
$p^2 = 4q + 1$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $4x^2 + 3x + 7 = 0$ है।
इसे $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 4, b = 3, c = 7$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a = -3/4$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = c/a = 7/4$ है।
अब,$1/\alpha + 1/\beta = (\alpha + \beta) / (\alpha\beta)$।
मान रखने पर,$(-3/4) / (7/4) = -3/7$ प्राप्त होता है।

(D) माना मूल $\alpha$ और $2\alpha$ हैं।
मूलों का योग: $\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{3a - 1}{a^2 - 5a + 3} \Rightarrow \alpha = -\frac{3a - 1}{3(a^2 - 5a + 3)}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha \times 2\alpha = 2\alpha^2 = \frac{2}{a^2 - 5a + 3} \Rightarrow \alpha^2 = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
$\alpha^2$ के व्यंजक का वर्ग करने पर: $\alpha^2 = \frac{(3a - 1)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2}$.
$\alpha^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{1}{a^2 - 5a + 3} = \frac{(3a - 1)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2}$.
चूंकि $a^2 - 5a + 3 \neq 0$,इसलिए $9(a^2 - 5a + 3) = (3a - 1)^2$.
$9a^2 - 45a + 27 = 9a^2 - 6a + 1$.
$-39a = -26 \Rightarrow a = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}$.

(A) माना समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \alpha^2 = -p$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = q$
अतः,$\alpha = q^{1/3}$।
योग के समीकरण में $\alpha$ का मान रखने पर:
$q^{1/3} + q^{2/3} = -p$
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(q^{1/3} + q^{2/3})^3 = (-p)^3$
$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$q + q^2 + 3q(q^{1/3} + q^{2/3}) = -p^3$
$q + q^2 + 3q(-p) = -p^3$
$p^3 + q^2 - 3pq + q = 0$
$p^3 - q(3p - q) + q = 0$.

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $c = 2e^{2\log k} - 1$ है।
दिया गया है कि मूलों का गुणनफल $7$ है,इसलिए:
$2e^{2\log k} - 1 = 7$
$2e^{\log k^2} = 8$
चूंकि $e^{\log k^2} = k^2$,हमें प्राप्त होता है:
$2k^2 = 8$
$k^2 = 4$
$k = \pm 2$
समीकरण में $\log k$ पद मौजूद है,इसलिए लघुगणक को परिभाषित होने के लिए $k > 0$ होना चाहिए।
अतः,$k = 2$।

(C) दिया गया है कि $\alpha^2 = 5\alpha - 3$ और $\beta^2 = 5\beta - 3$,जिसका अर्थ है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - 5x + 3 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = 5$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = 3$
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ हैं।
नए मूलों का योग: $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = \frac{5^2 - 2(3)}{3} = \frac{25 - 6}{3} = \frac{19}{3}$.
नए मूलों का गुणनफल: $\frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 1$.
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2 - \frac{19}{3}x + 1 = 0$.
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 - 19x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना द्विघात समीकरण $2x^2 - 2(p - 2)x - p - 1 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = p - 2$ और $\alpha \beta = \frac{-(p + 1)}{2}$ है।
माना $S$ मूलों के वर्गों का योग है: $S = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$.
मान रखने पर,$S = (p - 2)^2 - 2 \left( \frac{-(p + 1)}{2} \right) = (p - 2)^2 + p + 1$.
विस्तार करने पर,$S = p^2 - 4p + 4 + p + 1 = p^2 - 3p + 5$.
$S$ को न्यूनतम करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $S = \left( p - \frac{3}{2} \right)^2 + 5 - \frac{9}{4} = \left( p - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{11}{4}$.
$S$ का मान तब न्यूनतम होता है जब $p - \frac{3}{2} = 0$,जिससे $p = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x + a} - \frac{1}{x + b} = \frac{1}{x + c}$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{(x + b) - (x + a)}{(x + a)(x + b)} = \frac{1}{x + c}$
$\frac{b - a}{x^2 + (a + b)x + ab} = \frac{1}{x + c}$
वज्र-गुणन करने पर: $x^2 + (a + b)x + ab = (b - a)(x + c)$
$x^2 + (a + b)x + ab = (b - a)x + (b - a)c$
$x^2 + (a + b - b + a)x + ab - (b - a)c = 0$
$x^2 + 2ax + ab - bc + ac = 0$
चूंकि मूलों का गुणनफल $0$ है,इसलिए अचर पद $0$ होना चाहिए:
$ab + ac - bc = 0 \implies a(b + c) = bc \implies a = \frac{bc}{b + c}$
द्विघात समीकरण $x^2 + Bx + C = 0$ के लिए मूलों का योग $-B$ होता है।
मूलों का योग $= -2a = -2 \left( \frac{bc}{b + c} \right) = \frac{-2bc}{b + c}$.

(A) माना $r$ गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात है। तब $\beta = \alpha r, \gamma = \alpha r^2, \delta = \alpha r^3$.
दिए गए समीकरणों से:
$\alpha + \beta = 1 \Rightarrow \alpha(1 + r) = 1 \dots (i)$
$\alpha \beta = p \Rightarrow \alpha^2 r = p \dots (ii)$
$\gamma + \delta = 4 \Rightarrow \alpha r^2(1 + r) = 4 \dots (iii)$
$\gamma \delta = q \Rightarrow \alpha^2 r^5 = q \dots (iv)$
$(iii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,$r^2 = 4$,अतः $r = \pm 2$.
यदि $r = 2$ है,तो $\alpha = 1/3$,जिससे $p = 2/9$ और $q = 32/9$ प्राप्त होता है।
यदि $r = -2$ है,तो $\alpha(1 - 2) = 1 \Rightarrow \alpha = -1$.
तब $p = \alpha^2 r = (-1)^2(-2) = -2$ और $q = \alpha^2 r^5 = (-1)^2(-2)^5 = -32$.
अतः,$(p, q) = (-2, -32)$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2 + px + q = 0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
हम जानते हैं कि $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha \beta = q$ है।
माना नए मूल $\alpha' = q/\alpha$ और $\beta' = q/\beta$ हैं।
नए मूलों का योग $\alpha' + \beta' = \frac{q}{\alpha} + \frac{q}{\beta} = q \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right) = q \left( \frac{-p}{q} \right) = -p$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\alpha' \beta' = \left( \frac{q}{\alpha} \right) \left( \frac{q}{\beta} \right) = \frac{q^2}{\alpha \beta} = \frac{q^2}{q} = q$ है।
अभीष्ट समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - (-p)x + q = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + px + q = 0$ हो जाता है।

(B) दिया गया समीकरण $x^3 + 5x^2 - 7x - 1 = 0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों से,मूलों का गुणनफल $\alpha\beta\gamma = -(-1)/1 = 1$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha\beta, \beta\gamma, \gamma\alpha$ हैं।
चूंकि $\alpha\beta\gamma = 1$,हम मूलों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\alpha\beta = \frac{1}{\gamma}$,$\beta\gamma = \frac{1}{\alpha}$,$\gamma\alpha = \frac{1}{\beta}$.
अतः,नए समीकरण के मूल $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ हैं।
$\frac{1}{x}$ मूलों वाला समीकरण प्राप्त करने के लिए,मूल समीकरण में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{1}{x})^3 + 5(\frac{1}{x})^2 - 7(\frac{1}{x}) - 1 = 0$.
$x^3$ से गुणा करने पर:
$1 + 5x - 7x^2 - x^3 = 0$,
जो सरल होकर $x^3 + 7x^2 - 5x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $4x^2 - \sqrt{13}x - 7 = 0$ है।
इसे $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 4$,$b = -\sqrt{13}$,और $c = -7$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-\sqrt{13}}{4} = \frac{\sqrt{13}}{4}$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = -\frac{7}{4}$ है।
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ होता है।
मान रखने पर: $(\alpha - \beta)^2 = (\frac{\sqrt{13}}{4})^2 - 4(-\frac{7}{4}) = \frac{13}{16} + 7 = \frac{13 + 112}{16} = \frac{125}{16}$।
अतः,$|\alpha - \beta| = \sqrt{\frac{125}{16}} = \frac{5\sqrt{5}}{4}$।

(C) माना समीकरण $2x^2 - 3x + 5 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से,मूलों का योग $\alpha + \beta = -(-3)/2 = 3/2$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 5/2$ है।
समीकरण $ax^2 + bx + 2 = 0$ के मूल $1/\alpha$ और $1/\beta$ दिए गए हैं।
समीकरण $ax^2 + bx + 2 = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $(1/\alpha)(1/\beta) = 1/(\alpha \beta) = 1/(5/2) = 2/5$ है।
साथ ही,$ax^2 + bx + 2 = 0$ के लिए मूलों का गुणनफल $c/a = 2/a$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$2/a = 2/5$,जिससे $a = 5$ प्राप्त होता है।
$ax^2 + bx + 2 = 0$ के लिए मूलों का योग $(1/\alpha) + (1/\beta) = (\alpha + \beta) / (\alpha \beta) = (3/2) / (5/2) = 3/5$ है।
साथ ही,मूलों का योग $-b/a = -b/5$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$-b/5 = 3/5$,जिससे $b = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 5$ और $b = -3$।

(D) माना द्विघात समीकरण $2x^2 - (a + 1)x + (a - 1) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{a + 1}{2}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{a - 1}{2}$ है।
मूलों का अंतर $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि मूलों का अंतर उनके गुणनफल के बराबर है,इसलिए $|\alpha - \beta| = \alpha \beta$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha \beta)^2$ प्राप्त होता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (\alpha \beta)^2$।
$(\frac{a + 1}{2})^2 - 4(\frac{a - 1}{2}) = (\frac{a - 1}{2})^2$।
$\frac{a^2 + 2a + 1}{4} - 2(a - 1) = \frac{a^2 - 2a + 1}{4}$।
$4$ से गुणा करने पर,$a^2 + 2a + 1 - 8(a - 1) = a^2 - 2a + 1$।
$a^2 + 2a + 1 - 8a + 8 = a^2 - 2a + 1$।
$-6a + 9 = -2a + 1$।
$8 = 4a$।
$a = 2$।

(B) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,इसलिए $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ और $a\beta^2 + b\beta + c = 0$ है।
$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ से,हमें $\alpha(a\alpha + b) = -c$ प्राप्त होता है,अतः $(a\alpha + b) = -\frac{c}{\alpha}$।
इसी प्रकार,$(a\beta + b) = -\frac{c}{\beta}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{(a\alpha + b)^2} + \frac{1}{(a\beta + b)^2} = \frac{1}{(-c/\alpha)^2} + \frac{1}{(-c/\beta)^2} = \frac{\alpha^2}{c^2} + \frac{\beta^2}{c^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{c^2}$।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है:
$\frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{c^2} = \frac{(-b/a)^2 - 2(c/a)}{c^2} = \frac{b^2/a^2 - 2c/a}{c^2} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2c^2}$।

(B) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। दिया गया है कि $|\alpha - \beta| = 3$.
समीकरण $(k - 2)x^2 - (k - 4)x - 2 = 0$ के लिए, मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{k - 4}{k - 2}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{-2}{k - 2}$ है।
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$.
मान रखने पर: $3^2 = \left(\frac{k - 4}{k - 2}\right)^2 - 4\left(\frac{-2}{k - 2}\right)$.
$9 = \frac{(k - 4)^2 + 8(k - 2)}{(k - 2)^2}$.
$9(k - 2)^2 = k^2 - 8k + 16 + 8k - 16$.
$9(k^2 - 4k + 4) = k^2$.
$9k^2 - 36k + 36 = k^2$.
$8k^2 - 36k + 36 = 0$.
$4$ से भाग देने पर: $2k^2 - 9k + 9 = 0$.
$2k^2 - 6k - 3k + 9 = 0 \Rightarrow 2k(k - 3) - 3(k - 3) = 0$.
$(2k - 3)(k - 3) = 0$.
अतः, $k = 3$ या $k = 3/2$.

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 + px + 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha\beta = 1$ है।
दिया गया है कि $\gamma, \delta$ समीकरण $x^2 + qx + 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\gamma + \delta = -q$ और $\gamma\delta = 1$ है।
व्यंजक $E = (\alpha - \gamma) (\beta - \gamma) (\alpha + \delta) (\beta + \delta)$ पर विचार करें।
$E = [\alpha\beta - \gamma(\alpha + \beta) + \gamma^2] [\alpha\beta + \delta(\alpha + \beta) + \delta^2]$।
मान रखने पर:
$E = [1 - \gamma(-p) + \gamma^2] [1 + \delta(-p) + \delta^2] = [1 + p\gamma + \gamma^2] [1 - p\delta + \delta^2]$।
चूंकि $\gamma^2 + q\gamma + 1 = 0$,इसलिए $\gamma^2 + 1 = -q\gamma$।
चूंकि $\delta^2 + q\delta + 1 = 0$,इसलिए $\delta^2 + 1 = -q\delta$।
ये मान रखने पर:
$E = [-q\gamma + p\gamma] [-q\delta - p\delta] = \gamma(p - q) \cdot \delta(-p - q) = -\gamma\delta(p - q)(p + q) = -1(p^2 - q^2) = q^2 - p^2$।

(A) माना समीकरण $x^2 - x - k = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha + \alpha^2 = 1$
$\alpha \cdot \alpha^2 = -k \implies \alpha^3 = -k$
समीकरण $\alpha^2 + \alpha = 1$ का घन करने पर:
$(\alpha^2 + \alpha)^3 = 1^3$
$\alpha^6 + \alpha^3 + 3\alpha^2 \cdot \alpha(\alpha^2 + \alpha) = 1$
चूंकि $\alpha^3 = -k$,इसलिए $\alpha^6 = k^2$:
$k^2 + (-k) + 3(-k)(1) = 1$
$k^2 - 4k - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$k = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
समीकरण $cx^2 + bx + a = 0$ पर विचार करें। मान लें कि इसके मूल $x_1$ और $x_2$ हैं।
इस समीकरण के लिए,मूलों का योग $x_1 + x_2 = -\frac{b}{c}$ और मूलों का गुणनफल $x_1x_2 = \frac{a}{c}$ है।
यदि हम मूल समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ में $x = \frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करते हैं,तो हमें $a(\frac{1}{y})^2 + b(\frac{1}{y}) + c = 0$ प्राप्त होता है।
$y^2$ से गुणा करने पर,हमें $a + by + cy^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो कि $cy^2 + by + a = 0$ है।
चूंकि $x = \frac{1}{y}$,नए समीकरण के मूल मूल समीकरण के मूलों के व्युत्क्रम हैं।
अतः,मूल $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ हैं।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -B/A$ और $\alpha\beta = C/A$ है।
दिया गया है कि $\alpha^2, \beta^2$ समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha^2 + \beta^2 = -p$ और $\alpha^2\beta^2 = q$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ होता है।
मान रखने पर,$-p = (-B/A)^2 - 2(C/A)$।
$-p = \frac{B^2}{A^2} - \frac{2C}{A} = \frac{B^2 - 2AC}{A^2}$।
अतः,$p = -\frac{B^2 - 2AC}{A^2} = \frac{2AC - B^2}{A^2}$।

(C) दिए गए समीकरण $x^2 - 2x + 3 = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = 2$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 3$ है।
माना $y = \frac{x - 1}{x + 1}$। तब $y(x + 1) = x - 1$,जिसका अर्थ है $yx + y = x - 1$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $x(y - 1) = -y - 1$,इसलिए $x = \frac{-(y + 1)}{y - 1} = \frac{y + 1}{1 - y}$।
$x = \frac{y + 1}{1 - y}$ को मूल समीकरण $x^2 - 2x + 3 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{y + 1}{1 - y})^2 - 2(\frac{y + 1}{1 - y}) + 3 = 0$।
$(1 - y)^2$ से गुणा करने पर: $(y + 1)^2 - 2(y + 1)(1 - y) + 3(1 - y)^2 = 0$।
$(y^2 + 2y + 1) - 2(1 - y^2) + 3(1 - 2y + y^2) = 0$।
$y^2 + 2y + 1 - 2 + 2y^2 + 3 - 6y + 3y^2 = 0$।
समान पदों को जोड़ने पर: $6y^2 - 4y + 2 = 0$,जिसे सरल करने पर $3y^2 - 2y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $3x^2 - 2x + 1 = 0$ है।

(B) माना द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = \frac{c}{a}$
प्रश्न के अनुसार,मूलों का योग उनके वर्गों के योग के बराबर है:
$\alpha + \beta = \alpha^2 + \beta^2$
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$.
मान रखने पर:
$-\frac{b}{a} = (-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})$
$-\frac{b}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}$
पूरे समीकरण को $a^2$ से गुणा करने पर:
$-ab = b^2 - 2ac$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2ac = b^2 + ab$
$2ac = b(a + b)$

(C) माना $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं और $\alpha', \beta'$ समीकरण $x^2 + qx + r = 0$ के मूल हैं।
तब $\alpha + \beta = -b, \alpha\beta = c$ और $\alpha' + \beta' = -q, \alpha'\beta' = r$ होगा।
दिया गया है कि मूलों का अनुपात समान है,इसलिए $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha'}{\beta'}$.
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर,$\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha' + \beta'}{\alpha' - \beta'}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(\alpha + \beta)^2}{(\alpha - \beta)^2} = \frac{(\alpha' + \beta')^2}{(\alpha' - \beta')^2}$.
चूंकि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$,इसलिए $\frac{b^2}{b^2 - 4c} = \frac{q^2}{q^2 - 4r}$.
वज्र गुणन करने पर $b^2(q^2 - 4r) = q^2(b^2 - 4c)$ प्राप्त होता है।
$b^2q^2 - 4b^2r = q^2b^2 - 4cq^2$.
$-4b^2r = -4cq^2$.
अतः,$b^2r = cq^2$.

(C) दिया गया है कि $\alpha + \beta = -p, \alpha \beta = 1$ और $\gamma + \delta = -q, \gamma \delta = 1$ है।
व्यंजक $(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta)$ पर विचार करें।
$= \{\alpha \beta - \gamma(\alpha + \beta) + \gamma^2\} \{\alpha \beta + \delta(\alpha + \beta) + \delta^2\}$
$= (1 + p\gamma + \gamma^2)(1 - p\delta + \delta^2)$
चूंकि $\gamma$,$x^2 + qx + 1 = 0$ का एक मूल है,इसलिए $\gamma^2 + q\gamma + 1 = 0$,अर्थात $\gamma^2 + 1 = -q\gamma$ है।
इसी प्रकार,$\delta^2 + 1 = -q\delta$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (p\gamma - q\gamma)(-p\delta - q\delta) = \gamma(p - q) \cdot \delta(-p - q)$
$= -\gamma \delta (p - q)(p + q) = -(1)(p^2 - q^2) = q^2 - p^2$.

(A) दिए गए द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ है।
हमें व्यंजक $\alpha \beta^2 + \alpha^2 \beta + \alpha \beta$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha \beta$ को कॉमन लेने पर:
$\alpha \beta (\beta + \alpha) + \alpha \beta = \alpha \beta (\alpha + \beta + 1)$.
$\alpha + \beta$ और $\alpha \beta$ के मान रखने पर:
$= \frac{c}{a} \left( -\frac{b}{a} + 1 \right) = \frac{c}{a} \left( \frac{a - b}{a} \right) = \frac{c(a - b)}{a^2}$.

(A) दिए गए समीकरण $x^2 - 5x - 3 = 0$ के लिए,$\alpha + \beta = 5$ और $\alpha\beta = -3$ है।
माना $y = \frac{1}{2\alpha - 3}$ है। तब $2\alpha - 3 = \frac{1}{y}$,अर्थात $2\alpha = \frac{1 + 3y}{y}$,जिससे $\alpha = \frac{3y + 1}{2y}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$,$x^2 - 5x - 3 = 0$ का एक मूल है,इसलिए $\alpha$ का मान समीकरण में रखने पर:
$(\frac{3y + 1}{2y})^2 - 5(\frac{3y + 1}{2y}) - 3 = 0$.
हर को हटाने के लिए $4y^2$ से गुणा करने पर:
$(3y + 1)^2 - 10y(3y + 1) - 12y^2 = 0$.
$9y^2 + 6y + 1 - 30y^2 - 10y - 12y^2 = 0$.
$-33y^2 - 4y + 1 = 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,$33y^2 + 4y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$y$ को $x$ से बदलने पर,अभीष्ट समीकरण $33x^2 + 4x - 1 = 0$ है।

(A) यहाँ $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$,$\alpha \beta = \frac{c}{a}$ और $\gamma + \delta = -\frac{q}{p}$,$\gamma \delta = \frac{r}{p}$ है।
चूँकि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $\beta - \alpha = \delta - \gamma$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\beta - \alpha)^2 = (\delta - \gamma)^2$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$ का उपयोग करने पर,$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (\gamma + \delta)^2 - 4\gamma \delta$ मिलता है।
मान रखने पर,$\frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{q^2}{p^2} - \frac{4r}{p}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{q^2 - 4pr}{p^2}$ मिलता है।
चूँकि $D_1 = b^2 - 4ac$ और $D_2 = q^2 - 4pr$ है,इसलिए $\frac{D_1}{a^2} = \frac{D_2}{p^2}$ होगा।
अतः,$\frac{D_1}{D_2} = \frac{a^2}{p^2}$।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - 6x - 2 = 0$ के मूल हैं।
अतः,$\alpha^2 - 6\alpha - 2 = 0 \implies \alpha^2 - 2 = 6\alpha$ और $\beta^2 - 6\beta - 2 = 0 \implies \beta^2 - 2 = 6\beta$।
हमें $\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9}$ का मान ज्ञात करना है।
$a_n = \alpha^n - \beta^n$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(\alpha^{10} - \beta^{10}) - 2(\alpha^8 - \beta^8)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{\alpha^8(\alpha^2 - 2) - \beta^8(\beta^2 - 2)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$\alpha^2 - 2 = 6\alpha$ और $\beta^2 - 2 = 6\beta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\alpha^8(6\alpha) - \beta^8(6\beta)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6\alpha^9 - 6\beta^9}{2(\alpha^9 - \beta^9)} = \frac{6}{2} = 3$।

(B) समीकरण $x^2 - 5x + 16 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ दिए गए हैं।
अतः,$\alpha + \beta = 5$ और $\alpha\beta = 16$।
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $-p = (\alpha^2 + \beta^2) + \frac{\alpha\beta}{2}$ है।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:
$-p = (5^2 - 2(16)) + \frac{16}{2} = (25 - 32) + 8 = -7 + 8 = 1$।
अतः,$p = -1$।
मूलों का गुणनफल $q = (\alpha^2 + \beta^2) \times \frac{\alpha\beta}{2}$ है।
$q = (25 - 32) \times \frac{16}{2} = (-7) \times 8 = -56$।
अतः,$p = -1$ और $q = -56$।

(B) दिया गया है $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \beta = \frac{c}{a}$।
व्यंजक $E = (1 + \alpha + \alpha^2)(1 + \beta + \beta^2)$ पर विचार करें।
गुणनफल का विस्तार करने पर:
$E = 1 + (\alpha + \beta) + (\alpha^2 + \beta^2) + \alpha \beta + \alpha \beta(\alpha + \beta) + (\alpha \beta)^2$
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ का उपयोग करते हुए:
$E = 1 + (\alpha + \beta) + ((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta) + \alpha \beta + \alpha \beta(\alpha + \beta) + (\alpha \beta)^2$
$\alpha + \beta$ और $\alpha \beta$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 1 - \frac{b}{a} + (\frac{b^2}{a^2} - 2\frac{c}{a}) + \frac{c}{a} + \frac{c}{a}(-\frac{b}{a}) + \frac{c^2}{a^2}$
$E = \frac{a^2 - ab + b^2 - ac - bc + c^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{a^2}$
$E = \frac{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}{2a^2}$
चूंकि वर्गों का योग गैर-ऋणात्मक है और $a \neq 0$ है,इसलिए यह व्यंजक धनात्मक है।

(A) माना मूल $3\alpha, 2\alpha, \beta$ हैं। (चूंकि दो मूलों का अनुपात $3 : 2$ है।)
मूलों का योग: $3\alpha + 2\alpha + \beta = 9$
$\Rightarrow 5\alpha + \beta = 9 \dots (i)$
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $6\alpha^2 + 5\alpha\beta = 14 \dots (ii)$
मूलों का गुणनफल: $6\alpha^2\beta = -24 \Rightarrow \alpha^2\beta = -4 \dots (iii)$
$(i)$ से,$\beta = 9 - 5\alpha$. इस मान को $(ii)$ में रखने पर:
$6\alpha^2 + 5\alpha(9 - 5\alpha) = 14$
$19\alpha^2 - 45\alpha + 14 = 0$
$(19\alpha - 7)(\alpha - 2) = 0$
अतः,$\alpha = 2$ या $\alpha = 7/19$.
यदि $\alpha = 2$,तो $\beta = -1$. जो $(iii)$ को संतुष्ट करता है।
अतः,मूल $6, 4, -1$ हैं।

(D) समीकरण $x^2 - 5x + 16 = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = 5$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = 16$ है।
हमें दूसरे समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल ज्ञात करने हैं।
पहला मूल $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (5)^2 - 2(16) = 25 - 32 = -7$ है।
दूसरा मूल $\frac{\alpha\beta}{2} = \frac{16}{2} = 8$ है।
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल $-7$ और $8$ हैं।
मूलों का योग: $-7 + 8 = 1 = -p \implies p = -1$।
मूलों का गुणनफल: $(-7)(8) = -56 = q \implies q = -56$।
अतः,$p = -1$ और $q = -56$।

(B) द्विघात समीकरणों के लिए,हमारे पास है:
$\alpha_1 + \alpha_2 = -\frac{b}{a}, \alpha_1\alpha_2 = \frac{c}{a}$
$\beta_1 + \beta_2 = -\frac{q}{p}, \beta_1\beta_2 = \frac{r}{p}$
रैखिक समीकरणों की प्रणाली $\alpha_1y + \alpha_2z = 0$ और $\beta_1y + \beta_2z = 0$ का एक शून्येतर हल होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \\ \beta_1 & \beta_2 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1 = 0 \Rightarrow \frac{\alpha_1}{\beta_1} = \frac{\alpha_2}{\beta_2} = k$ (मान लीजिए)
अनुपात के गुण का उपयोग करते हुए,$\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\beta_1 + \beta_2} = \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{\beta_1 - \beta_2} = k$
साथ ही,$\frac{\alpha_1\alpha_2}{\beta_1\beta_2} = k^2$
इसलिए,$\left( \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\beta_1 + \beta_2} \right)^2 = \frac{\alpha_1\alpha_2}{\beta_1\beta_2}$
मान रखने पर:
$\left( \frac{-b/a}{-q/p} \right)^2 = \frac{c/a}{r/p}$
$\frac{b^2 p^2}{a^2 q^2} = \frac{cp}{ar}$
$b^2 p^2 ar = a^2 q^2 cp$
$b^2 pr = q^2 ac$

(A) चूंकि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,मान लीजिए सार्व अनुपात $k$ है। तब $\beta = \alpha k$,$\gamma = \alpha k^2$,और $\delta = \alpha k^3$.
समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ और गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ है।
समीकरण $px^2 + 2qx + r = 0$ के लिए,मूलों का योग $\gamma + \delta = -\frac{2q}{p}$ और गुणनफल $\gamma \delta = \frac{r}{p}$ है।
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\delta}{\gamma} = k$.
अतः,$\frac{(\alpha + \beta)^2}{\alpha \beta} = \frac{(\gamma + \delta)^2}{\gamma \delta}$ प्राप्त होता है।
गुणांकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{4b^2}{ac} = \frac{4q^2}{pr}$.
इसका सरलीकरण $\frac{b^2}{ac} = \frac{q^2}{pr}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{ac}{b^2} = \frac{pr}{q^2}$।

(A) दिया गया है कि $\tan \alpha$ और $\tan \beta$ समीकरण $x^2 - px + q = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$\tan \alpha + \tan \beta = p$ और $\tan \alpha \tan \beta = q$.
$\tan(\alpha + \beta)$ के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{p}{1 - q}$.
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$.
$\theta = \alpha + \beta$ रखने पर:
$\sin^2(\alpha + \beta) = \frac{\tan^2(\alpha + \beta)}{1 + \tan^2(\alpha + \beta)} = \frac{(\frac{p}{1 - q})^2}{1 + (\frac{p}{1 - q})^2}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$= \frac{p^2}{(1 - q)^2 + p^2} = \frac{p^2}{p^2 + (1 - q)^2}$.

(C) प्रथम समीकरण का विविक्तकर $D_1 = b^2 - 4ac$ है। मूलों का अंतर $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$ होता है।
दूसरे समीकरण के लिए,मूल $\alpha - k$ और $\beta - k$ हैं। मूलों का अंतर $(\alpha - k - (\beta - k))^2 = (\alpha - \beta)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$ होता है।
साथ ही,दूसरे समीकरण के लिए,मूलों के अंतर का वर्ग $\frac{B^2 - 4AC}{A^2}$ होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{B^2 - 4AC}{A^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{B^2 - 4AC}{b^2 - 4ac} = \frac{A^2}{a^2} = \left( \frac{A}{a} \right)^2$।

(B) माना द्विघात समीकरण $x^2 + bx + c = 0$ है।
सचिन ने अचर पद $c$ में गलती की है,इसलिए उसके मूल $(4, 3)$ गुणांक $b$ के लिए सही हैं। मूलों का योग $-(b) = 4 + 3 = 7$ है,इसलिए $b = -7$ है।
राहुल ने $x$ के गुणांक $b$ में गलती की है,इसलिए उसके मूल $(3, 2)$ अचर पद $c$ के लिए सही हैं। मूलों का गुणनफल $c = 3 \times 2 = 6$ है।
सही द्विघात समीकरण $x^2 - 7x + 6 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 6x - x + 6 = 0 \implies x(x - 6) - 1(x - 6) = 0 \implies (x - 6)(x - 1) = 0$.
सही मूल $x = 6$ और $x = 1$ हैं।

(A) यहाँ $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
माना नए मूल $S_1 = \alpha + \frac{1}{\beta}$ और $S_2 = \beta + \frac{1}{\alpha}$ हैं।
मूलों का योग $= (\alpha + \beta) + (\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha}) = (\alpha + \beta) + \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = -\frac{b}{a} + \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{a} - \frac{b}{c} = -\frac{b(a+c)}{ac}$।
मूलों का गुणनफल $= (\alpha + \frac{1}{\beta})(\beta + \frac{1}{\alpha}) = \alpha\beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha\beta} = 2 + \frac{c}{a} + \frac{a}{c} = \frac{2ac + c^2 + a^2}{ac} = \frac{(a+c)^2}{ac}$।
अभीष्ट समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^2 + \frac{b(a+c)}{ac}x + \frac{(a+c)^2}{ac} = 0$।
$ac$ से गुणा करने पर,$acx^2 + (a+c)bx + (a+c)^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) पहले समीकरण $x^2 - 2ax + b^2 = 0$ के लिए,मान लें कि मूल $\alpha_1$ और $\beta_1$ हैं। मूलों का योग $\alpha_1 + \beta_1 = 2a$ है। मूलों का समांतर माध्य $(AM)$ $\frac{\alpha_1 + \beta_1}{2} = \frac{2a}{2} = a$ है।
दूसरे समीकरण $x^2 - 2bx + a^2 = 0$ के लिए,मान लें कि मूल $\alpha_2$ और $\beta_2$ हैं। मूलों का योग $\alpha_2 + \beta_2 = 2b$ है। मूलों का समांतर माध्य $(AM)$ $\frac{\alpha_2 + \beta_2}{2} = \frac{2b}{2} = b$ है।
दूसरे समीकरण के मूलों का गुणनफल $\alpha_2 \beta_2 = a^2$ है। मूलों का गुणोत्तर माध्य $(GM)$ $\sqrt{\alpha_2 \beta_2} = \sqrt{a^2} = |a|$ है।
परिणामों की तुलना करने पर,पहले समीकरण का समांतर माध्य $a$ है,जो दूसरे समीकरण के समांतर माध्य $(b)$ या गुणोत्तर माध्य $(|a|)$ के बराबर होना आवश्यक नहीं है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0 \implies a\alpha^2 + b\alpha = -c \implies \alpha(a\alpha + b) = -c \implies a\alpha + b = -c/\alpha$.
इसी प्रकार,$a\beta^2 + b\beta + c = 0 \implies a\beta^2 + b\beta = -c \implies \beta(a\beta + b) = -c \implies a\beta + b = -c/\beta$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\alpha}{a\beta + b} + \frac{\beta}{a\alpha + b} = \frac{\alpha}{-c/\beta} + \frac{\beta}{-c/\alpha}$.
$= -\frac{\alpha\beta}{c} - \frac{\alpha\beta}{c} = -\frac{2\alpha\beta}{c}$.
चूंकि मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = c/a$ है,इसलिए यह मान रखने पर:
$= -\frac{2}{c} \times \frac{c}{a} = -\frac{2}{a}$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ है जिसके मूल $\alpha = \tan 30^\circ$ और $\beta = \tan 15^\circ$ हैं।
मूलों के गुणधर्मों से,मूलों का योग $\alpha + \beta = -p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = q$ है।
हम जानते हैं कि $\tan(30^\circ + 15^\circ) = \tan 45^\circ = 1$ होता है।
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$1 = \frac{-p}{1 - q}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $1 - q = -p$,या $q - p = 1$ है।
हमें $2 + q - p$ का मान ज्ञात करना है।
$q - p = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 + 1 = 3$ प्राप्त होता है।

(A) माना द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ है।
सचिन ने अचर पद में गलती की,इसलिए मूलों का योग सही है।
मूलों का योग $= 4 + 3 = 7$.
राहुल ने $x$ के गुणांक में गलती की,इसलिए मूलों का गुणनफल सही है।
मूलों का गुणनफल $= 3 \times 2 = 6$.
सही द्विघात समीकरण $x^{2} - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^{2} - 7x + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2} - 6x - x + 6 = 0 \implies x(x - 6) - 1(x - 6) = 0 \implies (x - 6)(x - 1) = 0$.
अतः,सही मूल $6$ और $1$ हैं।

(C) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - 6x - 2 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = 6$ और $\alpha\beta = -2$ है।
साथ ही,$\alpha^2 = 6\alpha + 2$ और $\beta^2 = 6\beta + 2$ है।
$a_n = \alpha^n - \beta^n$ दिया गया है,अतः व्यंजक का मान होगा:
$\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9} = \frac{(\alpha^{10} - \beta^{10}) - 2(\alpha^8 - \beta^8)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{\alpha^8(\alpha^2 - 2) - \beta^8(\beta^2 - 2)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$\alpha^2 - 2 = 6\alpha$ और $\beta^2 - 2 = 6\beta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\alpha^8(6\alpha) - \beta^8(6\beta)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6(\alpha^9 - \beta^9)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6}{2} = 3$.

(A) दिया गया समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है। मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
उनके वर्गों के व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2\beta^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})}{(\frac{c}{a})^2} = \frac{\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त के अनुसार,$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$,इसलिए $-\frac{b}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$ है।
वज्र-गुणन करने पर $-bc^2 = a(b^2 - 2ac) = ab^2 - 2a^2c$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2a^2c = ab^2 + bc^2$ मिलता है।
यह $2(ca^2) = bc^2 + ab^2$ के रूप में है,जो $bc^2, ca^2, ab^2$ के $A.P.$ में होने की शर्त है।

(A) माना $lx^2 + nx + n = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q}$.
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = -\frac{n}{l}$ और $\alpha\beta = \frac{n}{l}$.
हमें $\sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} + \sqrt{\frac{n}{l}}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{p}{q} = \frac{\alpha}{\beta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} + \sqrt{\alpha\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha\beta}} + \sqrt{\alpha\beta}$ प्राप्त होता है।
$\alpha + \beta$ और $\alpha\beta$ के मान रखने पर:
$= \frac{-n/l}{\sqrt{n/l}} + \sqrt{n/l} = -\sqrt{\frac{n}{l}} + \sqrt{\frac{n}{l}} = 0$.

(D) माना सही समीकरण $x^2 + px + q = 0$ $(i)$ है।
पहला छात्र $p$ का गलत मान उपयोग करता है लेकिन $q$ का सही मान उपयोग करता है। प्राप्त मूल $2$ और $6$ हैं।
मूलों का गुणनफल $2 \times 6 = 12$ है। चूँकि अचर पद $q$ सही है,इसलिए $q = 12$ है।
दूसरा छात्र $q$ का गलत मान उपयोग करता है लेकिन $p$ का सही मान उपयोग करता है। प्राप्त मूल $2$ और $-9$ हैं।
मूलों का योग $2 + (-9) = -7$ है। चूँकि $x$ का गुणांक $(p)$ सही है,इसलिए $-p = -7$,जिसका अर्थ है $p = 7$ है।
समीकरण $(i)$ में $p = 7$ और $q = 12$ रखने पर,हमें $x^2 + 7x + 12 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 4x + 3x + 12 = 0$ $\Rightarrow x(x + 4) + 3(x + 4) = 0$ $\Rightarrow (x + 3)(x + 4) = 0$.
अतः,मूल $x = -3$ और $x = -4$ हैं।

(B) दिया गया है कि $\alpha_1, \alpha_2$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
अतः,$\alpha_1 + \alpha_2 = -\frac{b}{a}$ और $\alpha_1 \alpha_2 = \frac{c}{a}$।
अब,$\beta_1, \beta_2$ समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल हैं।
अतः,$\beta_1 + \beta_2 = -\frac{q}{p}$ और $\beta_1 \beta_2 = \frac{r}{p}$।
निकाय $\alpha_1 y + \alpha_2 z = 0$ और $\beta_1 y + \beta_2 z = 0$ का शून्येतर हल तब होता है जब सारणिक शून्य हो:
$\alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 = 0 \implies \frac{\alpha_1}{\beta_1} = \frac{\alpha_2}{\beta_2} = k$।
तब $\alpha_1 = k \beta_1$ और $\alpha_2 = k \beta_2$।
मूलों के योग और गुणनफल से:
$\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\beta_1 + \beta_2} = k = \frac{-b/a}{-q/p} = \frac{bp}{aq}$।
साथ ही,$\frac{\alpha_1 \alpha_2}{\beta_1 \beta_2} = k^2 = \frac{c/a}{r/p} = \frac{cp}{ar}$।
$k^2$ की तुलना करने पर:
$\left(\frac{bp}{aq}\right)^2 = \frac{cp}{ar} \implies \frac{b^2 p^2}{a^2 q^2} = \frac{cp}{ar}$।
सरल करने पर:
$b^2 pr = q^2 ac$।

(D) मान लीजिए कि सही द्विघात समीकरण $x^2 + bx + c = 0$ है (क्योंकि $x^2$ का गुणांक $1$ है)।
पहले छात्र के लिए,अचर पद गलत था,लेकिन $x$ का गुणांक $(b)$ सही था। प्राप्त मूल $3$ और $2$ थे। अतः,मूलों का योग $-b = 3 + 2 = 5$ है,जिसका अर्थ है कि $b = -5$ है।
दूसरे छात्र के लिए,अचर पद $(c)$ और $x^2$ का गुणांक $(a=1)$ सही थे। $c = -6$ और $a = 1$ दिए गए हैं,इसलिए मूलों का गुणनफल $c/a = -6/1 = -6$ है।
सही द्विघात समीकरण $x^2 - 5x - 6 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 6x + x - 6 = 0 \implies x(x - 6) + 1(x - 6) = 0 \implies (x - 6)(x + 1) = 0$.
अतः,सही मूल $6$ और $-1$ हैं।