Relation between roots and coefficients Questions in Hindi

(A) समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ के मूल $\alpha, \beta$ के लिए,$\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
समीकरण $px^2 + 2qx + r = 0$ के मूल $\gamma, \delta$ के लिए,$\gamma + \delta = -\frac{2q}{p}$ और $\gamma\delta = \frac{r}{p}$ है।
यदि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ $G.P.$ में हैं,तो सार्व अनुपात $k$ लेने पर,$\beta = \alpha k$,$\gamma = \alpha k^2$,और $\delta = \alpha k^3$ होगा।
प्रथम समीकरण से: $\alpha(1+k) = -\frac{2b}{a}$ और $\alpha^2k = \frac{c}{a}$।
द्वितीय समीकरण से: $\alpha k^2(1+k) = -\frac{2q}{p}$ और $\alpha^2k^5 = \frac{r}{p}$।
योग वाले समीकरणों को विभाजित करने पर: $k^2 = \frac{aq}{bp}$।
गुणनफल वाले समीकरणों को विभाजित करने पर: $k^4 = \frac{ar}{pc}$।
अतः,$(\frac{aq}{bp})^2 = \frac{ar}{pc} \Rightarrow \frac{a^2q^2}{b^2p^2} = \frac{ar}{pc}$।
इस प्रकार,$q^2ac = b^2pr$ प्राप्त होता है।

(A) माना द्विघात समीकरण $x^2 - (a - 2)x + (a - 3) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = a - 2$ और $\alpha \beta = a - 3$ है।
मूलों के घनों का योग $S = \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$ है।
मान रखने पर,$S = (a - 2)^3 - 3(a - 3)(a - 2)$।
इस व्यंजक का विस्तार करने पर: $S = (a^3 - 6a^2 + 12a - 8) - 3(a^2 - 5a + 6) = a^3 - 9a^2 + 27a - 26$।
इसे $S = (a - 3)^3 + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $a \ge 3$,पद $(a - 3)^3$ ऋणेतर है और इसका न्यूनतम मान $0$ है जब $a = 3$ हो।
अतः,मूलों के घनों का योग $a = 3$ पर न्यूनतम मान प्राप्त करता है।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण: ${x^3} + px + q = 0$ .....$(i)$
त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के मूलों के गुणों के अनुसार:
मूलों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0$
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = p$
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} = -q$
हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: ${\alpha^3} + {\beta^3} + {\gamma^3} - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 - \alpha\beta - \beta\gamma - \gamma\alpha)$
चूंकि $\alpha + \beta + \gamma = 0$,इसलिए सर्वसमिका का दायां पक्ष $0$ हो जाता है।
अतः,${\alpha^3} + {\beta^3} + {\gamma^3} - 3\alpha\beta\gamma = 0$
${\alpha^3} + {\beta^3} + {\gamma^3} = 3\alpha\beta\gamma$
$\alpha\beta\gamma = -q$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${\alpha^3} + {\beta^3} + {\gamma^3} = 3(-q) = -3q$.

(B) माना कि द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,$\alpha + \beta = p + 3$ और $\alpha \beta = 5p - 2$ है।
मूलों के वर्गों का योग $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\alpha^2 + \beta^2 = (p + 3)^2 - 2(5p - 2)$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$\alpha^2 + \beta^2 = p^2 + 6p + 9 - 10p + 4 = p^2 - 4p + 13$ मिलता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं: $p^2 - 4p + 13 = (p^2 - 4p + 4) + 9 = (p - 2)^2 + 9$।
व्यंजक $(p - 2)^2 + 9$ अपना न्यूनतम मान तब प्राप्त करता है जब $(p - 2)^2 = 0$ हो,जिसका अर्थ है $p = 2$।

(A) दी गई शर्त $f(12 - x) = f(x)$ यह दर्शाती है कि द्विघात फलन $f(x)$ का ग्राफ ऊर्ध्वाधर रेखा $x = \frac{12 - x + x}{2} = 6$ के परितः सममित है।
द्विघात फलन $f(x) = ax^2 + bx + c$ के लिए,सममिति की धुरी $x = -\frac{b}{2a}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = \frac{1}{4}$ और $x$ का गुणांक $b$ है।
सममिति की धुरी को $6$ के बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $-\frac{b}{2(1/4)} = 6$.
$-\frac{b}{1/2} = 6$.
$-2b = 6$.
$b = -3$.

(A) दिया गया है $\alpha^2 + \beta^2 = 5$ और $3(\alpha^5 + \beta^5) = 11(\alpha^3 + \beta^3)$।
माना $\alpha \beta = 2$। तब $\alpha^2 + \beta^2 = 5$ का अर्थ है कि $\alpha$ और $\beta$,$x^2 - px + 2 = 0$ के मूल हैं।
$p^2 - 2(2) = 5 \implies p^2 = 9 \implies p = 3$।
मूल $1$ और $2$ प्राप्त होते हैं।
समीकरण में मान रखने पर: $3(1^5 + 2^5) = 3(33) = 99$ और $11(1^3 + 2^3) = 11(9) = 99$।
अतः,$\alpha \beta = 2$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3 - x - 1 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta + \gamma = 0$ है।
अतः,$\beta + \gamma = -\alpha$,$\gamma + \alpha = -\beta$,और $\alpha + \beta = -\gamma$ है।
अभीष्ट समीकरण के मूल $\frac{1}{-\alpha}, \frac{1}{-\beta}, \frac{1}{-\gamma}$ हैं,जो $-\frac{1}{\alpha}, -\frac{1}{\beta}, -\frac{1}{\gamma}$ के रूप में सरल होते हैं।
माना $y = -\frac{1}{x}$,इसलिए $x = -\frac{1}{y}$ है।
मूल समीकरण $x^3 - x - 1 = 0$ में $x = -\frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-\frac{1}{y})^3 - (-\frac{1}{y}) - 1 = 0$
$-\frac{1}{y^3} + \frac{1}{y} - 1 = 0$
$-y^3$ से गुणा करने पर:
$1 - y^2 + y^3 = 0$
$y^3 - y^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^3 - x^2 + 1 = 0$ है।

(A) माना $y = 2\alpha + 1$,तो $\alpha = \frac{y - 1}{2}$.
चूंकि $\alpha$,$x^3 + 2x - 5 = 0$ का मूल है,हम $\alpha$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\frac{y - 1}{2})^3 + 2(\frac{y - 1}{2}) - 5 = 0$
$\frac{y^3 - 3y^2 + 3y - 1}{8} + y - 1 - 5 = 0$
$y^3 - 3y^2 + 3y - 1 + 8y - 48 = 0$
$y^3 - 3y^2 + 11y - 49 = 0$
इसकी तुलना $x^3 + bx^2 + cx + d = 0$ से करने पर,हमें $b = -3, c = 11, d = -49$ प्राप्त होता है।
अतः,$|b + c + d| = |-3 + 11 - 49| = |-41| = 41$.

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - ax + b = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,$\alpha + \beta = a$ और $\alpha \beta = b$ है।
हमें $V_n = \alpha^n + \beta^n$ दिया गया है।
व्यंजक $V_{n+1} = \alpha^{n+1} + \beta^{n+1}$ पर विचार करें।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण $x^2 = ax - b$ को संतुष्ट करते हैं। अतः,$\alpha^2 = a\alpha - b$ और $\beta^2 = a\beta - b$ है।
$\alpha^{n-1}$ और $\beta^{n-1}$ से गुणा करने पर,हमें $\alpha^{n+1} = a\alpha^n - b\alpha^{n-1}$ और $\beta^{n+1} = a\beta^n - b\beta^{n-1}$ प्राप्त होता है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\alpha^{n+1} + \beta^{n+1} = a(\alpha^n + \beta^n) - b(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1})$.
$V_n$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_{n+1} = aV_n - bV_{n-1}$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समीकरण $x^3 + qx - r = 0$ के लिए,$\alpha + \beta + \gamma = 0$,$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = q$,और $\alpha \beta \gamma = r$ है।
चूंकि $\alpha \beta \gamma = r$,इसलिए $\beta \gamma = \frac{r}{\alpha}$,$\gamma \alpha = \frac{r}{\beta}$,और $\alpha \beta = \frac{r}{\gamma}$ है।
नए समीकरण के मूल $\frac{r+1}{\alpha}$,$\frac{r+1}{\beta}$,और $\frac{r+1}{\gamma}$ हैं।
माना $y = \frac{r+1}{x}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{r+1}{y}$।
इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\left( \frac{r+1}{y} \right)^3 + q \left( \frac{r+1}{y} \right) - r = 0$।
$y^3$ से गुणा करने पर: $(r+1)^3 + q(r+1)y^2 - ry^3 = 0$।
व्यवस्थित करने पर $ry^3 - q(r+1)y^2 - (r+1)^3 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि समीकरण $x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ के तीन मूल $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -(\frac{-1}{1}) = 1$ है।
अतः,$\alpha \beta = \frac{1}{\gamma}$।
चूंकि $\gamma$ मूल समीकरण का एक मूल है,यह $\gamma^3 + 3\gamma^2 - 1 = 0$ को संतुष्ट करता है।
मान लीजिए $x = \alpha \beta = \frac{1}{\gamma}$,जिसका अर्थ है $\gamma = \frac{1}{x}$।
$\gamma = \frac{1}{x}$ को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{1}{x})^3 + 3(\frac{1}{x})^2 - 1 = 0$
$\frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^2} - 1 = 0$
$x^3$ से गुणा करने पर,हमें $1 + 3x - x^3 = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^3 - 3x - 1 = 0$ के बराबर है।

(A) दिया गया समीकरण $x^3 - 2x^2 + 3x - 2 = 0$ है।
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है।
$(x - 1)$ से भाग देने पर,हमें $(x - 1)(x^2 - x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = 1$ और $\beta, \gamma$ समीकरण $x^2 - x + 2 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण से,$\beta + \gamma = 1$ और $\beta \gamma = 2$ है।
हमें $S = \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} + \frac{\alpha \gamma}{\alpha + \gamma} + \frac{\beta \gamma}{\beta + \gamma}$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha = 1$ रखने पर: $S = \frac{\beta}{1 + \beta} + \frac{\gamma}{1 + \gamma} + 2 = \frac{\beta + \beta \gamma + \gamma + \beta \gamma}{1 + (\beta + \gamma) + \beta \gamma} + 2$.
मान रखने पर: $S = \frac{1 + 2(2)}{1 + 1 + 2} + 2 = \frac{5}{4} + 2 = \frac{13}{4}$.

(D) दिया है $P(x) = x^2 + ax + b = (x - a)(x - b)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x^2 - (a + b)x + ab = x^2 + ax + b$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$a = -(a + b)$ $\Rightarrow 2a + b = 0$ $\Rightarrow b = -2a$.
$b = ab$.
स्थिति $1$: यदि $b \neq 0$,तो $a = 1$. $b = -2a$ में मान रखने पर,$b = -2$ प्राप्त होता है।
अतः $P(x) = x^2 + x - 2$. $P(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4$.
स्थिति $2$: यदि $b = 0$,तो $2a + 0 = 0 \Rightarrow a = 0$.
अतः $P(x) = x^2$. $P(2) = 2^2 = 4$.
दोनों स्थितियों में,$P(2) = 4$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3 - x - 2 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha^3 = \alpha + 2$,$\beta^3 = \beta + 2$,और $\gamma^3 = \gamma + 2$ है।
$\alpha^2$ से गुणा करने पर,$\alpha^5 = \alpha^3 + 2\alpha^2 = (\alpha + 2) + 2\alpha^2 = 2\alpha^2 + \alpha + 2$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\beta^5 = 2\beta^2 + \beta + 2$ और $\gamma^5 = 2\gamma^2 + \gamma + 2$ है।
योग करने पर,$\alpha^5 + \beta^5 + \gamma^5 = 2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + (\alpha + \beta + \gamma) + 6$ प्राप्त होता है।
समीकरण $x^3 + 0x^2 - x - 2 = 0$ से,$\sum \alpha = 0$ और $\sum \alpha\beta = -1$ है।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\sum \alpha)^2 - 2(\sum \alpha\beta) = 0^2 - 2(-1) = 2$ का उपयोग करने पर।
मान रखने पर: $\alpha^5 + \beta^5 + \gamma^5 = 2(2) + 0 + 6 = 10$।

(C) माना $a^2(a + p) = b^2(b + p) = c^2(c + p) = k$ है।
तब $a, b, c$ त्रिघात समीकरण $x^3 + px^2 - k = 0$ के मूल हैं।
इसे मानक त्रिघात समीकरण $x^3 + Ax^2 + Bx + C = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = p$,$B = 0$,और $C = -k$ प्राप्त होता है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $x$ का गुणांक $B$ होता है।
अतः,$ab + bc + ca = 0$।

(A) मान लीजिए कि समीकरण $x^2 + (k + 1)x + \lambda = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों के गुणों से:
$\alpha + \alpha^2 = -(k + 1)$
$\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \lambda$
यदि मूल एक-दूसरे के वर्ग हैं,तो हम निम्नलिखित स्थितियों पर विचार करते हैं:
$1$. यदि $\alpha = 0$,तो $\alpha^2 = 0$. समीकरण $x^2 = 0$ हो जाता है,इसलिए $k+1 = 0 \implies k = -1$.
$2$. यदि $\alpha = 1$,तो $\alpha^2 = 1$. समीकरण $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 = 0$ हो जाता है। $x^2 + (k+1)x + \lambda = 0$ के साथ तुलना करने पर,$k+1 = -2 \implies k = -3$.
$3$. यदि $\alpha = \omega$ (जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है),तो $\alpha^2 = \omega^2$. समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ है। $x^2 + (k+1)x + \lambda = 0$ के साथ तुलना करने पर,$k+1 = 1 \implies k = 0$.
$k$ के संभावित मान $-1, -3, 0$ हैं।
इन मानों का योग $(-1) + (-3) + 0 = -4$ है।

(C) दिया गया है कि $|f(a)| + |f(b)| + |f(c)| = 0$ है। चूँकि निरपेक्ष मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसका अर्थ है कि $f(a) = 0, f(b) = 0$,और $f(c) = 0$ है।
अतः,$a, b, c$ त्रिघात समीकरण $x^3 - 2x + 2 = 0$ के मूल हैं।
किसी भी मूल $x$ के लिए,$x^3 - 2x + 2 = 0$,जिसका अर्थ है $x^3 = 2x - 2$ है।
$x$ से भाग देने पर ($x \neq 0$ क्योंकि $f(0) = 2 \neq 0$),हमें $x^2 = 2 - \frac{2}{x}$ प्राप्त होता है,या $x^2 + \frac{2}{x} = 2$ है।
चूँकि $a, b, c$ मूल हैं,इसलिए $a^2 + \frac{2}{a} = 2$,$b^2 + \frac{2}{b} = 2$,और $c^2 + \frac{2}{c} = 2$ है।
हमें $f^2(a^2 + \frac{2}{a}) + f^2(b^2 + \frac{2}{b}) - f^2(c^2 + \frac{2}{c}) = f^2(2) + f^2(2) - f^2(2) = f^2(2)$ का मान ज्ञात करना है।
$f(2) = 2^3 - 2(2) + 2 = 8 - 4 + 2 = 6$ है।
इसलिए,$f^2(2) = 6^2 = 36$ है।

(A) दिया गया है $\alpha + \beta = 3$ और $|\alpha - \beta| = 4$.
दूसरे समीकरण का वर्ग करने पर,$(\alpha - \beta)^2 = 16$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$.
मान रखने पर: $16 = (3)^2 - 4\alpha\beta$.
$16 = 9 - 4\alpha\beta \Rightarrow 4\alpha\beta = 9 - 16 = -7$.
अतः,$\alpha\beta = -\frac{7}{4}$.
$\alpha$ और $\beta$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ होता है।
मान रखने पर: $x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर,$4x^2 - 12x - 7 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक: $x^3 - 3x^2 - 9x + c = (x - a)^2 (x - b)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $(x^2 - 2ax + a^2)(x - b) = x^3 - bx^2 - 2ax^2 + 2abx + a^2x - a^2b = x^3 - (2a + b)x^2 + (a^2 + 2ab)x - a^2b$
$x^3 - 3x^2 - 9x + c$ के साथ गुणांकों की तुलना करने पर:
$2a + b = 3$ $(1)$
$a^2 + 2ab = -9$ $(2)$
$c = -a^2b$ $(3)$
$(1)$ से,$b = 3 - 2a$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2 + 2a(3 - 2a) = -9$
$a^2 + 6a - 4a^2 = -9$
$-3a^2 + 6a + 9 = 0$
$a^2 - 2a - 3 = 0$
$(a - 3)(a + 1) = 0$
अतः,$a = 3$ या $a = -1$.
यदि $a = 3$,तो $b = 3 - 2(3) = -3$. तब $c = -(3)^2(-3) = 27$.
यदि $a = -1$,तो $b = 3 - 2(-1) = 5$. तब $c = -(-1)^2(5) = -5$.
इस प्रकार,$c = -5$ या $27$.

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
$a$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{2b}{a} = 1 + \frac{c}{a}$ प्राप्त होता है $(i)$.
दिया गया है कि $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = 15$,इसलिए $\frac{b}{a} = -15$ है।
इस मान को $(i)$ में रखने पर,$2(-15) = 1 + \frac{c}{a}$,जिसका अर्थ है $-30 = 1 + \frac{c}{a}$,इसलिए $\frac{c}{a} = -31$ है।
चूंकि $\alpha \beta = \frac{c}{a}$,इसलिए $\alpha \beta = -31$ है।

(B) माना $x^2 + ax + b = 0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं और $x^2 + bx + a = 0$ के मूल $\alpha', \beta'$ हैं।
दिया गया है कि $|\alpha - \beta| = |\alpha' - \beta'|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha' - \beta')^2$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:
$a^2 - 4b = b^2 - 4a$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a^2 - b^2 = 4b - 4a$ प्राप्त होता है।
$(a - b)(a + b) = -4(a - b)$।
चूंकि $a \neq b$,हम दोनों पक्षों को $(a - b)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$a + b = -4$।

(C) दिया गया है $x^3 + 8x + 1 = 0$,जिसके मूल $a, b, c$ हैं। अतः,$x^3 = -(8x + 1)$.
किसी भी मूल $r$ के लिए,$r^3 = -(8r + 1)$,जिसका अर्थ है कि $8r + 1 = -r^3$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{bc}{(-b^3)(-c^3)} + \frac{ac}{(-a^3)(-c^3)} + \frac{ab}{(-a^3)(-b^3)}$
$= \frac{bc}{b^3 c^3} + \frac{ac}{a^3 c^3} + \frac{ab}{a^3 b^3} = \frac{1}{b^2 c^2} + \frac{1}{a^2 c^2} + \frac{1}{a^2 b^2}$
$= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 b^2 c^2}$
समीकरण $x^3 + 0x^2 + 8x + 1 = 0$ से,$\sum a = 0$,$\sum ab = 8$,और $abc = -1$.
$a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ca) = (0)^2 - 2(8) = -16$.
$(abc)^2 = (-1)^2 = 1$.
अतः,मान $\frac{-16}{1} = -16$ है।

(B) मान लीजिए $P(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 5074$ है। चूंकि $r_1, r_2, r_3$ समीकरण $P(x) = 0$ के मूल हैं,हम बहुपद को $P(x) = (x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)$ के रूप में लिख सकते हैं।
हमें $(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2)$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2) = -(-r_1 - 2)(-r_2 - 2)(-r_3 - 2) = -((-2 - r_1)(-2 - r_2)(-2 - r_3))$ है।
यह $-P(-2)$ के बराबर है।
बहुपद $P(x)$ में $x = -2$ रखने पर:
$P(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 + 4(-2) + 5074$
$P(-2) = -8 - 2(4) - 8 + 5074$
$P(-2) = -8 - 8 - 8 + 5074 = -24 + 5074 = 5050$ है।
अतः,$(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2) = -P(-2) = -5050$ है।

(A) दिया गया है कि $\sin \alpha$ और $\cos \alpha$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{c}{a}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ होता है।
इसे $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूलों के योग और गुणनफल के मान रखने पर:
$(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = 1$
$\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = 1$
दोनों पक्षों को $a^2$ से गुणा करने पर:
$b^2 - 2ac = a^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $a^2 - b^2 + 2ac = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब $\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$.
दिया है $\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$.
मान रखने पर: $-b/a = \frac{b^2 - 2ac}{c^2} \Rightarrow -bc^2 = ab^2 - 2a^2c$.
$2a^2c = ab^2 + bc^2$.
$abc$ से भाग देने पर: $\frac{2a}{b} = \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$.
यह दर्शाता है कि $\frac{c}{a}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
अतः,उनके व्युत्क्रम $\frac{a}{c}, \frac{b}{a}, \frac{c}{b}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x^4 - 100x^3 + 2x^2 + 4x + 10 = 0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं।
व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta}$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करें।
समीकरण में रखने पर: $(\frac{1}{y})^4 - 100(\frac{1}{y})^3 + 2(\frac{1}{y})^2 + 4(\frac{1}{y}) + 10 = 0$.
$y^4$ से गुणा करने पर: $1 - 100y + 2y^2 + 4y^3 + 10y^4 = 0$,अर्थात $10y^4 + 4y^3 + 2y^2 - 100y + 1 = 0$.
इस नए समीकरण के मूल $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}, \frac{1}{\delta}$ हैं।
मूलों का योग $= -\frac{y^3 \text{ का गुणांक}}{y^4 \text{ का गुणांक}} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.

(C) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ होने पर केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए शीर्षों के लिए,केंद्रक $\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}, \frac{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}}{3}\right)$ है।
समीकरण $x^3 - 3px^2 + 3qx - 1 = 0$ के लिए,विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 3p$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3q$
$\alpha\beta\gamma = 1$
इन मानों को केंद्रक के सूत्र में रखने पर:
$x$-निर्देशांक $= \frac{3p}{3} = p$
$y$-निर्देशांक $= \frac{\frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}}{3} = \frac{3q}{3(1)} = q$
अतः,केंद्रक $(p, q)$ है।

(C) माना कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों का हरात्मक माध्य $H$ का सूत्र $H = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ है।
दिए गए समीकरण $(5 + \sqrt{2})x^2 - (4 + \sqrt{5})x + (8 + 2\sqrt{5}) = 0$ से:
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = \frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$
इन मानों को $H$ के सूत्र में रखने पर:
$H = 2 \cdot \frac{\frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}}{\frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}}$
$H = 2 \cdot \frac{8 + 2\sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$
$H = 2 \cdot \frac{2(4 + \sqrt{5})}{4 + \sqrt{5}}$
$H = 2 \cdot 2 = 4$

(B) माना समीकरण $x^{2} + (2 - \lambda)x + (10 - \lambda) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = \lambda - 2$ और $\alpha\beta = 10 - \lambda$ है।
मूलों के घनों का योग $S = \alpha^{3} + \beta^{3} = (\alpha + \beta)^{3} - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ है।
मान रखने पर,$S = (\lambda - 2)^{3} - 3(10 - \lambda)(\lambda - 2)$.
$S = (\lambda - 2)[(\lambda - 2)^{2} - 3(10 - \lambda)] = (\lambda - 2)(\lambda^{2} - 4\lambda + 4 - 30 + 3\lambda) = (\lambda - 2)(\lambda^{2} - \lambda - 26)$.
$S = \lambda^{3} - 3\lambda^{2} - 24\lambda + 52$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$\frac{dS}{d\lambda} = 3\lambda^{2} - 6\lambda - 24 = 0$ रखें।
$3(\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम के लिए,$\frac{d^{2}S}{d\lambda^{2}} = 6\lambda - 6$ है। $\lambda = 4$ पर,$18 > 0$,अतः यह न्यूनतम है।
मूलों का अंतर $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\lambda - 2)^{2} - 4(10 - \lambda)}$ है।
$\lambda = 4$ के लिए,$|\alpha - \beta| = \sqrt{(4 - 2)^{2} - 4(10 - 4)} = \sqrt{4 - 24} = \sqrt{-20}$ है।
अंतर का परिमाण $|\sqrt{-20}| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$ और $\frac{1}{\sqrt{\beta}}$ समीकरण $ax^2 + bx + 1 = 0$ के मूल हैं।
मूलों का योग: $\frac{1}{\sqrt{\alpha}} + \frac{1}{\sqrt{\beta}} = -\frac{b}{a} \Rightarrow \frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha \beta}} = -\frac{b}{a}$.
मूलों का गुणनफल: $\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta}} = \frac{1}{a} \Rightarrow a = \sqrt{\alpha \beta}$.
$a$ का मान योग के समीकरण में रखने पर: $\frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha \beta}} = -\frac{b}{\sqrt{\alpha \beta}} \Rightarrow b = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})$.
दिया गया समीकरण $x^2 + (b^3 - 3ab)x + a^3 = 0$ है।
यहाँ $b^3 - 3ab = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^3 - 3(\sqrt{\alpha \beta})(-(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2} + 3\sqrt{\alpha \beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) + 3\sqrt{\alpha \beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}) = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})$.
साथ ही,$a^3 = (\sqrt{\alpha \beta})^3 = \alpha^{3/2} \beta^{3/2}$.
समीकरण $x^2 - (\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})x + \alpha^{3/2} \beta^{3/2} = 0$ बन जाता है।
इस द्विघात समीकरण के मूल $\alpha^{3/2}$ और $\beta^{3/2}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x^2 - 4\sqrt{2}kx + 2k^4 - 1 = 0$ है।
मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र से,$\alpha + \beta = 4\sqrt{2}k$ और $\alpha\beta = 2k^4 - 1$ है।
$\alpha^2 + \beta^2 = 66$ दिया गया है।
$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:
$(4\sqrt{2}k)^2 = 66 + 2(2k^4 - 1)$
$32k^2 = 64 + 4k^4$ $\Rightarrow k^4 - 8k^2 + 16 = 0$ $\Rightarrow (k^2 - 4)^2 = 0$।
अतः $k^2 = 4$,जिसका अर्थ है $k = \pm 2$।
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta) = (4\sqrt{2}k)(67 - 2k^4)$।
$k = -2$ रखने पर,$\alpha^3 + \beta^3 = (-8\sqrt{2})(67 - 32) = -280\sqrt{2}$।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + px + \frac{3p}{4} = 0$ है।
मूलों के गुणधर्मों के अनुसार,$\alpha + \beta = -p$ और $\alpha \beta = \frac{3p}{4}$ है।
दिया गया है कि $|\alpha - \beta| = \sqrt{10}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $(\alpha - \beta)^2 = 10$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
$(-p)^2 - 4 \left( \frac{3p}{4} \right) = 10$.
यह $p^2 - 3p = 10$,या $p^2 - 3p - 10 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(p - 5)(p + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$p = 5$ या $p = -2$ है।
इसलिए,$p \in \{-2, 5\}$।

(B) दिया गया है कि $\alpha^3 + \beta^3 = -p$ और $\alpha \beta = q$ है।
माना कि अभीष्ट द्विघात समीकरण के मूल $x_1 = \frac{\alpha^2}{\beta}$ और $x_2 = \frac{\beta^2}{\alpha}$ हैं।
मूलों का योग $x_1 + x_2 = \frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha \beta} = \frac{-p}{q}$ है।
मूलों का गुणनफल $x_1 \times x_2 = \frac{\alpha^2}{\beta} \times \frac{\beta^2}{\alpha} = \alpha \beta = q$ है।
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$x^2 - (\frac{-p}{q})x + q = 0$।
$x^2 + \frac{p}{q}x + q = 0$।
$q$ से गुणा करने पर,$qx^2 + px + q^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना समीकरण $x^2 - (\sin \alpha - 2)x - (1 + \sin \alpha) = 0$ के मूल $x_1$ और $x_2$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार:
$x_1 + x_2 = \sin \alpha - 2$
$x_1 x_2 = -(1 + \sin \alpha)$
हमें $S = x_1^2 + x_2^2$ को न्यूनतम करना है।
$S = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$
$S = (\sin \alpha - 2)^2 - 2(-(1 + \sin \alpha))$
$S = \sin^2 \alpha - 4 \sin \alpha + 4 + 2 + 2 \sin \alpha$
$S = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha + 6$
$S$ को न्यूनतम करने के लिए,माना $u = \sin \alpha$,जहाँ $u \in [-1, 1]$ है।
$S(u) = u^2 - 2u + 6 = (u - 1)^2 + 5$.
न्यूनतम मान $u = 1$ पर प्राप्त होता है।
अतः $\sin \alpha = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{\pi}{2}$।

(D) माना द्विघात समीकरण $81x^2 + kx + 256 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^3$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \alpha^3 = -\frac{k}{81}$ $(1)$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \alpha^3 = \alpha^4 = \frac{256}{81}$ $(2)$
$(2)$ से,$\alpha^4 = (\frac{4}{3})^4$,अतः $\alpha = \pm \frac{4}{3}$.
स्थिति $1$: यदि $\alpha = \frac{4}{3}$,तो $\alpha + \alpha^3 = \frac{4}{3} + \frac{64}{27} = \frac{100}{27}$.
$(1)$ में मान रखने पर: $\frac{100}{27} = -\frac{k}{81} \implies k = -300$.
स्थिति $2$: यदि $\alpha = -\frac{4}{3}$,तो $\alpha + \alpha^3 = -\frac{100}{27}$.
$(1)$ में मान रखने पर: $-\frac{100}{27} = -\frac{k}{81} \implies k = 300$.
विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $-300$ है।

(B) माना समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। दिया है $\lambda = \frac{\alpha}{\beta}$.
$\lambda + \frac{1}{\lambda} = 1$ से,$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = 1$ प्राप्त होता है।
यह $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha\beta$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों में $2\alpha\beta$ जोड़ने पर,$(\alpha + \beta)^2 = 3\alpha\beta$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $3m^2x^2 + m(m - 4)x + 2 = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{m - 4}{3m}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{2}{3m^2}$ है।
इन मानों को $(\alpha + \beta)^2 = 3\alpha\beta$ में रखने पर:
$\left(-\frac{m - 4}{3m}\right)^2 = 3 \left(\frac{2}{3m^2}\right)$.
$\frac{(m - 4)^2}{9m^2} = \frac{2}{m^2}$.
चूंकि $m \neq 0$,$9m^2$ से गुणा करने पर:
$(m - 4)^2 = 18$.
$m^2 - 8m + 16 = 18 \Rightarrow m^2 - 8m - 2 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$m = 4 \pm 3\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः न्यूनतम मान $4 - 3\sqrt{2}$ है।

(D) समीकरण $x^{2}-x-1=0$ के लिए,विएटा के सूत्रों से $\alpha+\beta=1$ और $\alpha\beta=-1$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha^{2}-\alpha-1=0$ और $\beta^{2}-\beta-1=0$ है।
इन्हें $\alpha^{k-2}$ और $\beta^{k-2}$ से गुणा करने पर,हमें पुनरावृत्ति संबंध $p_{k}=p_{k-1}+p_{k-2}$ प्राप्त होता है।
मानों की गणना करने पर:
$p_{1}=1$
$p_{2}=3$
$p_{3}=4$
$p_{4}=7$
$p_{5}=11$
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A: 1+3+4+7+11 = 26$ (सत्य)
$B: p_{5}=11$ (सत्य)
$C: p_{5}-p_{4} = 11-7 = 4 = p_{3}$ (सत्य)
$D: p_{2} \cdot p_{3} = 3 \cdot 4 = 12 \neq p_{5}$ (असत्य)
अतः,विकल्प $D$ असत्य है।

(A) माना द्विघात समीकरण के मूल $a$ और $b$ हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,
$A.M. = \frac{a+b}{2} = 8 \Rightarrow a+b = 16$ $(1)$
$G.M. = \sqrt{ab} = 5 \Rightarrow ab = 25$ $(2)$
द्विघात समीकरण इस प्रकार दिया जाता है,
$x^{2} - x(\text{मूलों का योग}) + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$
$x^{2} - x(a+b) + (ab) = 0$
$(1)$ और $(2)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर,
$x^{2} - 16x + 25 = 0$
अतः,अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^{2} - 16x + 25 = 0$ है।

(A) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $5x^{2} + 6x - 2 = 0$ के मूल हैं,इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
$5\alpha^{2} + 6\alpha - 2 = 0 \implies 5\alpha^{n+2} + 6\alpha^{n+1} - 2\alpha^{n} = 0$ ($\alpha^{n}$ से गुणा करने पर)।
इसी प्रकार,$5\beta^{n+2} + 6\beta^{n+1} - 2\beta^{n} = 0$।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $5(\alpha^{n+2} + \beta^{n+2}) + 6(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) - 2(\alpha^{n} + \beta^{n}) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $5S_{n+2} + 6S_{n+1} - 2S_{n} = 0$ में सरल हो जाता है।
$n = 4$ के लिए,$5S_{6} + 6S_{5} - 2S_{4} = 0$,जिसका अर्थ है $5S_{6} + 6S_{5} = 2S_{4}$।

(D) समीकरण $x^{2}-x+2\lambda=0$ के लिए,$\alpha+\beta=1$ और $\alpha\beta=2\lambda$ है।
समीकरण $3x^{2}-10x+27\lambda=0$ के लिए,$\alpha+\gamma=\frac{10}{3}$ और $\alpha\gamma=9\lambda$ है।
मूलों के योग को घटाने पर: $(\alpha+\gamma)-(\alpha+\beta)=\frac{10}{3}-1 \Rightarrow \gamma-\beta=\frac{7}{3}$।
मूलों के गुणनफल का भाग देने पर: $\frac{\alpha\gamma}{\alpha\beta}=\frac{9\lambda}{2\lambda}$ $\Rightarrow \frac{\gamma}{\beta}=\frac{9}{2}$ $\Rightarrow \gamma=\frac{9}{2}\beta$।
$\gamma$ का मान $\gamma-\beta=\frac{7}{3}$ में रखने पर: $\frac{9}{2}\beta-\beta=\frac{7}{3}$ $\Rightarrow \frac{7}{2}\beta=\frac{7}{3}$ $\Rightarrow \beta=\frac{2}{3}$।
अतः $\gamma=\frac{9}{2} \times \frac{2}{3}=3$।
चूंकि $\alpha+\beta=1$,इसलिए $\alpha=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$।
$\alpha\beta=2\lambda$ का उपयोग करने पर: $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}=2\lambda \Rightarrow \lambda=\frac{1}{9}$।
अंत में,$\frac{\beta\gamma}{\lambda}=\frac{(2/3) \times 3}{1/9}=18$।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $7x^{2}-3x-2=0$ है।
मूलों के गुणों से,$\alpha+\beta = \frac{3}{7}$ और $\alpha\beta = \frac{-2}{7}$ है।
हमें $S = \frac{\alpha}{1-\alpha^{2}}+\frac{\beta}{1-\beta^{2}}$ का मान ज्ञात करना है।
$S = \frac{(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha+\beta)}{1-((\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta)+(\alpha\beta)^{2}}$.
मान रखने पर: अंश = $\frac{27}{49}$ और हर = $\frac{16}{49}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = \frac{27}{16}$।

(C) दिया गया समीकरण $2x(2x+1)=1$ है,जो $4x^{2}+2x-1=0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta = -\frac{1}{2}$ होगा।
अतः,$\beta = -\frac{1}{2} - \alpha$।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,यह $4\alpha^{2}+2\alpha-1=0$ को संतुष्ट करता है,जिसका अर्थ है $1 = 4\alpha^{2}+2\alpha$।
$\beta$ के व्यंजक में यह मान रखने पर:
$\beta = -\frac{4\alpha^{2}+2\alpha}{2} - \alpha = -2\alpha^{2} - \alpha - \alpha = -2\alpha^{2} - 2\alpha = -2\alpha(\alpha+1)$।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-64x+256=0$ है।
मूलों के गुणों से,$\alpha+\beta = 64$ और $\alpha\beta = 256$ है।
हमें व्यंजक $E = \left(\frac{\alpha^{3}}{\beta^{5}}\right)^{\frac{1}{8}}+\left(\frac{\beta^{3}}{\alpha^{5}}\right)^{\frac{1}{8}}$ का मान ज्ञात करना है।
$E = \frac{\alpha^{3/8}}{\beta^{5/8}} + \frac{\beta^{3/8}}{\alpha^{5/8}}$.
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$E = \frac{\alpha^{3/8} \cdot \alpha^{5/8} + \beta^{3/8} \cdot \beta^{5/8}}{(\alpha\beta)^{5/8}}$.
$E = \frac{\alpha^{(3/8+5/8)} + \beta^{(3/8+5/8)}}{(\alpha\beta)^{5/8}} = \frac{\alpha+\beta}{(\alpha\beta)^{5/8}}$.
चूंकि $\alpha\beta = 256 = 2^{8}$,इसलिए $(\alpha\beta)^{5/8} = (2^{8})^{5/8} = 2^{5} = 32$.
मान रखने पर,$E = \frac{64}{32} = 2$.

(D) दिया गया है $p + q = 2$ और $p^{4} + q^{4} = 272$।
हम जानते हैं कि $p^{2} + q^{2} = (p + q)^{2} - 2pq = 2^{2} - 2pq = 4 - 2pq$।
साथ ही,$p^{4} + q^{4} = (p^{2} + q^{2})^{2} - 2p^{2}q^{2} = 272$।
$p^{2} + q^{2}$ का मान रखने पर:
$(4 - 2pq)^{2} - 2(pq)^{2} = 272$।
$16 - 16pq + 4(pq)^{2} - 2(pq)^{2} = 272$।
$2(pq)^{2} - 16pq - 256 = 0$।
$(pq)^{2} - 8pq - 128 = 0$।
मान लीजिए $t = pq$ है। तब $t^{2} - 8t - 128 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(1)(-128)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 512}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{8 \pm 24}{2}$।
$t = 16$ या $t = -8$।
चूंकि $p$ और $q$ धनात्मक हैं,इसलिए $pq$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $pq = 16$।
$p$ और $q$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^{2} - (p+q)x + pq = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^{2} - 2x + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) त्रिभुज के केंद्रक का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ है।
दिए गए शीर्ष $(a, c), (2, b), (a, b)$ हैं और केंद्रक $\left(\frac{10}{3}, \frac{7}{3}\right)$ है।
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{a+2+a}{3} = \frac{10}{3} \implies 2a + 2 = 10 \implies a = 4$.
$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{c+b+b}{3} = \frac{7}{3} \implies c + 2b = 7$.
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,$2b = a + c$. $a=4$ रखने पर,$2b = 4 + c \implies c = 2b - 4$.
$c$ का मान $c + 2b = 7$ में रखने पर: $(2b - 4) + 2b = 7 \implies 4b = 11 \implies b = \frac{11}{4}$.
द्विघात समीकरण $4x^{2} + \frac{11}{4}x + 1 = 0$ है।
मूलों $\alpha, \beta$ के लिए,$\alpha + \beta = -\frac{11}{16}$ और $\alpha\beta = \frac{1}{4}$.
$\alpha^{2} + \beta^{2} - \alpha\beta = (\alpha + \beta)^{2} - 3\alpha\beta = \left(-\frac{11}{16}\right)^{2} - 3\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{121}{256} - \frac{3}{4} = -\frac{71}{256}$.

(B) चूंकि $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$,सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं। इसलिए,दूसरा मूल $1+2i$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध का उपयोग करते हुए:
मूलों का योग $= -\alpha = (1-2i) + (1+2i) = 2 \implies \alpha = -2$.
मूलों का गुणनफल $= \beta = (1-2i)(1+2i) = 1^{2} - (2i)^{2} = 1 + 4 = 5$.
अतः,$\alpha - \beta = -2 - 5 = -7$.

(A) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}-6x-2=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha^{2}-6\alpha-2=0$ और $\beta^{2}-6\beta-2=0$ है।
पहले समीकरण को $\alpha^{8}$ से गुणा करने पर,हमें $\alpha^{10}-6\alpha^{9}-2\alpha^{8}=0$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,दूसरे समीकरण को $\beta^{8}$ से गुणा करने पर,हमें $\beta^{10}-6\beta^{9}-2\beta^{8}=0$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर,हमें $(\alpha^{10}-\beta^{10})-6(\alpha^{9}-\beta^{9})-2(\alpha^{8}-\beta^{8})=0$ प्राप्त होता है।
$a_{n}=\alpha^{n}-\beta^{n}$ की परिभाषा का उपयोग करते हुए,यह $a_{10}-6a_{9}-2a_{8}=0$ में सरल हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $a_{10}-2a_{8}=6a_{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a_{10}-2a_{8}}{3a_{9}} = \frac{6a_{9}}{3a_{9}} = 2$.

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^{2} - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$ के मूल हैं।
मान रखने पर,हमें $x^{2} - x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^{2} - \alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha^{n+1} = \alpha^{n} + \alpha^{n-1}$
$\beta^{2} - \beta - 1 = 0 \Rightarrow \beta^{n+1} = \beta^{n} + \beta^{n-1}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) = (\alpha^{n} + \beta^{n}) + (\alpha^{n-1} + \beta^{n-1})$
यह पुनरावृत्ति संबंध $p_{n+1} = p_{n} + p_{n-1}$ को दर्शाता है।
$p_{n+1} = 29$ और $p_{n-1} = 11$ दिए गए हैं,इसलिए:
$29 = p_{n} + 11$
$p_{n} = 29 - 11 = 18$.
अतः,$p_{n}^{2} = 18^{2} = 324$.

(D) दिया गया समीकरण $x^{2}+5 \sqrt{2} x+10=0$ है। चूँकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं: $\alpha^{2} + 5 \sqrt{2} \alpha + 10 = 0 \implies \alpha^{2} = -5 \sqrt{2} \alpha - 10$ और $\beta^{2} = -5 \sqrt{2} \beta - 10$.
साथ ही,$P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ है।
व्यंजक $E = \frac{P_{17} P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{17} P_{19}}{P_{18} P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18}^{2}}$ पर विचार करें।
अंश में $P_{17}$ और हर में $P_{18}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$E = \frac{P_{17}(P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19})}{P_{18}(P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18})}$.
$P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19} = (\alpha^{20} - \beta^{20}) + 5 \sqrt{2} (\alpha^{19} - \beta^{19}) = \alpha^{19}(\alpha + 5 \sqrt{2}) - \beta^{19}(\beta + 5 \sqrt{2})$.
द्विघात समीकरण से,$\alpha + 5 \sqrt{2} = -\frac{10}{\alpha}$ और $\beta + 5 \sqrt{2} = -\frac{10}{\beta}$ है।
इन मानों को रखने पर:
$P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19} = \alpha^{19}(-\frac{10}{\alpha}) - \beta^{19}(-\frac{10}{\beta}) = -10 \alpha^{18} + 10 \beta^{18} = -10 P_{18}$.
इसी प्रकार,$P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18} = \alpha^{18}(\alpha + 5 \sqrt{2}) - \beta^{18}(\beta + 5 \sqrt{2}) = -10 \alpha^{17} + 10 \beta^{17} = -10 P_{17}$.
अतः,$E = \frac{P_{17}(-10 P_{18})}{P_{18}(-10 P_{17})} = 1$.

(B) दिया गया है $a+b+c=1$,$ab+bc+ca=2$,और $abc=3$ है।
सबसे पहले,सर्वसमिका $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2} + 2(ab+bc+ca)$ का उपयोग करके $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ज्ञात करें:
$1^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2} + 2(2)$
$a^{2}+b^{2}+c^{2} = 1 - 4 = -3$।
इसके बाद,सर्वसमिका $(ab+bc+ca)^{2} = a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} + 2abc(a+b+c)$ का उपयोग करके $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}$ ज्ञात करें:
$2^{2} = a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} + 2(3)(1)$
$4 = a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} + 6$
$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} = 4 - 6 = -2$।
अंत में,सर्वसमिका $a^{4}+b^{4}+c^{4} = (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} - 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$ का उपयोग करें:
$a^{4}+b^{4}+c^{4} = (-3)^{2} - 2(-2)$
$a^{4}+b^{4}+c^{4} = 9 + 4 = 13$।