समीकरण x^3 - 9x^2 + 14x + 24 = 0 के दो मूलों | vedclass

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Question

(A) माना मूल $3\alpha, 2\alpha, \beta$ हैं। त्रिघात समीकरण $x^3 - 9x^2 + 14x + 24 = 0$ के लिए विएटा के सूत्रों के अनुसार: $1) 	ext{मूलों का योग: } 3\

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$6, 4, -1$

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(A) माना मूल $3\alpha, 2\alpha, \beta$ हैं। त्रिघात समीकरण $x^3 - 9x^2 + 14x + 24 = 0$ के लिए विएटा के सूत्रों के अनुसार: $1) 	ext{मूलों का योग: } 3\alpha + 2\alpha + \beta = 9 \implies 5\alpha + \beta = 9 \implies \beta = 9 - 5\alpha$ $2) 	ext{दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: } (3\alpha)(2\alpha) + (2\alpha)(\beta) + (3\alpha)(\beta) = 14 \implies 6\alpha^2 + 5\alpha\beta = 14$ $3) 	ext{मूलों का गुणनफल: } (3\alpha)(2\alpha)(\beta) = -24 \implies 6\alpha^2\beta = -24 \implies \alpha^2\beta = -4$ $\beta = 9 - 5\alpha$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $6\alpha^2 + 5\alpha(9 - 5\alpha) = 14$ $6\alpha^2 + 45\alpha - 25\alpha^2 = 14$ $19\alpha^2 - 45\alpha + 14 = 0$ गुणनखंड करने पर: $(19\alpha - 7)(\alpha - 2) = 0$ अतः,$\alpha = 2$ या $\alpha = \frac{7}{19}$। यदि $\alpha = 2$ है,तो $\beta = 9 - 5(2) = -1$। गुणनफल समीकरण में जाँचने पर: $\alpha^2\beta = (2)^2(-1) = -4$,जो शर्त को पूरा करता है। अतः मूल $6, 4, -1$ हैं।

समीकरण $x^3 - 9x^2 + 14x + 24 = 0$ के दो मूलों का अनुपात $3 : 2$ है। मूल ज्ञात कीजिए।

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